Matematikos didaktika

3. Bendrieji gebėjimai.Jų formavimo svarba, prielaidos, sąlygos. Bendrieji matematiniai gebėjimai. Analizuodami mokyklinės matematikos mokymo kaitos priežastis ir kryptis, konstatavome, kad šiandieninė situacija reikalauja, jog mokykloje moksleivis ne tik įgytų žinias, bet ir įgytų naujai besikuriančiai, informacinei visuomenei būdingus gebėjimus: savarankiškai įgyti reikalingų žinių, bendrauti, bendradarbiauti, dirbti grupėje bei vienam, kritiškai mąstyti, spręsti problemas, imtis atsakomybės priimti sprendimus ir pan. Šių gebėjimų kryptingas ugdymas bei plėtojimas tampa labai svarbiu šiandienos mokyklos uždaviniu. Dėl savo visaapimančio pobūdžio jie pavadinti bendraisiais gebėjimais. Anot P. Gudyno (1998, p.5), “bendrųjų gebėjimų grupei priskiriami tie universalūs gyvenimiški gebėjimai, kurie leidžia asmeniui sėkmingai mokytis ir dirbti įvairiose (nebūtinai giminingose srityse ir yra itin svarbūs bręstant asmenybei” . Remdamiesi P. Gudynu (1998, p.5) bei JAV matematinio išsilavinimo standartais (1992) bendruosius gebėjimus galime suskirstysi į *asmeninius; *socialinius; *komunikacinius; *kritinio mąstymo ir problemų sprendimo; *darbinius ir veiklos. Šie gebėjimai paprastai ugdomi visuose mokomuosiuose dalykuose. Tačiau greta jų paprastai išskiriami bei konkretizuojami ir siauresni– mokomųjų dalykų bendrieji gebėjimai.Galime išskirti tris bendruosius matematinius gebėjimus– matematinės komunikacijos, matematinio mąstymo bei problemų sprendimo. Apibrėšime šiuos gebėjimus. Komunikacija. Matematinė komunikacija. Komunikacija aiškinimai: susisiekimas, ryšiai, susižinojimas; susisiekimo kelias; bendravimas. Oksfordo žodyne (1998, p.78) pateikiami tokie komunikacijos aiškinimai: informacijos paskelbimas, paviešinimas; įvairūs naujienų perdavimo būdai; informacijos perdavimas bei gavimas laišku, kompiuteriu ar kitais būdais.Matematinės komunikacijos gebėjimais laikysime šiuos moksleivių gebėjimus: *suprasti, paaiškinti, interpretuoti bei įvertinti matematines sąvokas bei uždavinių sąlygas, sprendinius, sprendimų, įrodymų idėjas, pateiktas įvairia forma: žodžiu, raštu ar vizualiai; *išreikšti žodžiu, raštu bei pateikti vizualiai uždavinių sprendimų, įrodymų idėjas, sprendinius, matematines sąvokas, teiginius bei kitą informaciją; *vartoti matematikos žodyną, pažymėjimus ir struktūrą sąvokoms, ryšiams tarp jų nusakyti bei situacijoms modeliuoti. Matematinės komunikacijos gebėjimų lavinimas– svarbus faktorius, padedantis vaikams susikonstruoti sau neformalius, intuityvius ryšius tarp įvairių abstrakčių matematikoje vartojamų pažymėjimų, sąvokų, simbolių, objektų Matematikoje, kaip ir kalboje, komunikaciniais laikomi moksleivio gebėjimai naudotis jos žodynu (ženklais, pažymėjimais, terminais, matematinės kalbos logika ir struktūra) idėjoms ir ryšiams suprasti bei apibūdinti. Matematinės komunikacijos gebėjimų ugdymas padeda vaikui suvokti matematiką kaip naudingą, praktinę, įvairiapusę ir lanksčią discipliną. Matematinis mąstymas. Remdamiesi apžvelgta literatūra, galime teigti, kad matematinio mąstymo sąvoka suprantama labai įvairiai Čia galimas dvejopas požiūris: matematika, kaip dalykas, kuris siekia suprasti, paaiškinti, aprašyti ir apibendrinti modeliais tai, kas kyla iš mus supančio pasaulio (ši matematikos sritis dažniausiai vadinama taikomąja matematika) bei tai, kas “kyla mūsų mintyse”, t.y. tai, kas yra mūsų protu sukonstruota (ši matematikos sritis paprastai vadinama “teorine arba grynąja matematika” ir remiasi tam tikromis pradinėmis sąvokomis, aksiomų sistemomis iš kurių išvedami kiti teiginiai). Tuo tikslu susiformavo tam tikra “matematinė kalba”, paremta tam tikrais simboliais ir taisyklėmis (matematinės logikos dėsniai, įrodymų, pagrindimo schemos ir t.t.), kurias moksleiviai turi išmokti, žinoti ir paprasčiausiose situacijose gebėti vartoti. Dažniausiai matematinis mąstymas buvo suprantamas kaip susipažinimas su šiomis “mąstymo taisyklėmis” mokantis mokyklinės matematikos bei jų taikymu deduktyviai dėstant teoriją ir sprendžiant uždavinius, kurie daugiausiai orientuoti į atskirų formalių “taisyklių” įsisavinimą. Bendrąją prasme mokytis matematiškai mąstyti tai: *Stengtis išsiugdyti ir išplėtoti matematinį požiūrį– vertinti matematizavimo ir abstrahavimo bei konkretinimo procesus ir turėti polinkį juos taikyti; *Kartu su konkrečiam moksleiviui reikalingomis profesinėmis kompetencijomis ugdyti ir tuos matematinius “įrankius”, kuriuos jis ateityje galėtų panaudoti savo profesinėje veikloje vis labiau technologizuotame pasaulyje. Moksleivio matematinio mąstymo gebėjimais laikysime šiuos gebėjimus: *Naudoti žinomus matematinius faktus, modelius, savybes ir sąryšius gautiems atsakymams ir uždavinių sprendimams pagrįsti, gautoms išvadoms paaiškinti, įvairioms situacijoms analizuoti; *Konstruoti, sekti bei vertinti loginius argumentus, daryti logiškas išvadas tiek apie savo sukonstruotų, tiek apie kitų asmenų loginių argumentų validumą bei patikimumą; *Formuluoti kontrpavyzdžius; *Konstruoti matematines prielaidas, formuluoti pagrįstas hipotezes; *Suprasti ir taikyti matematinį pagrindimą bei argumentavimą, pagrindinėje mokykloje ypatingą dėmesį kreipiant į erdvinį pagrindimą bei pagrindimą remiantis proporcijomis ir grafikais; taikyti deduktyviojo ir induktyviojo mąstymo principus; *Konstruoti matematinių teiginių griežtus pagrindimus ir įrodymus, įskaitant dedukcinį įrodymą, netiesioginį įrodymą, įrodymą prieštaros, matematinės indukcijos ar kitais būdais. Problemų sprendimas. Visų pirma aptarsime problemos sąvokos sampratą. Tarptautinių žodžių žodyne (1969, p.617– 618) pateikiami tokie žodžio problema aiškinimai: sudėtingas teorinis arba praktinis klausimas, reikalingas išsprendimo, išstudijavimo, ištyrimo. Analogiška šio žodžio reikšmės samprata pateikiama ir Oksfordo žodyne (1998, p.322). Paprastai kalbėdami apie problemų vietą mokant matematikos mokykloje vartojame du terminus problemų sprendimas matematikoje bei probleminis mokymas. Problemų sprendimas. Ši sąvoka paprastai vartojama apibūdinti tam tikros rūšies matematiniams gebėjimams (problemų sprendimo), tam tikro tipo uždaviniams (juos vadiname probleminiais)bei bendrosioms tokių uždavinių sprendimo strategijoms. Problemos (probleminio uždavinio, probleminės situacijos) samprata dažniausiai įgyja vieną iš dviejų prasmių (galėtų būti tapatinama su vienu iš šių dviejų apibrėžimų): *Kiekvienas klausimas, kurį galime išspręsti matematikos pagalba arba bet koks matematinis uždavinys vadinamas matematine problema. Kaip matome, šis apibrėžimas apima bet kokį su mokykline matematika susijusią užduotį ar klausimą; *Problema vadinsime kiekvieną painų ar sudėtingą klausimą. Šis apibrėžimas, kaip matome apima sudėtingus, taip vadinamus “nerutininius” uždavinius, kuriems išspręsti reikia kūrybiško žinomų faktų, procedūrų panaudojimo arba naujų sukūrimo bei kūrybiško išugdytų gebėjimų panaudojimo. Pastebėsime, jog dauguma autorių vadovaujasi antruoju apibrėžimu pagrįsta problemos samprata. Šia samprata vadovausimės savo darbe. Kalbėdami apie problemą, ją suprasime kaip tam tikrą ištyrimo reikalingą situaciją, iššūkį, kai: *Moksleivis neturi paruoštos žinomos procedūros, kurią pritaikęs jis tiesiogiai gauna atsakymą (išsprendžia situaciją); *Moksleivis priima tą iššūkį ir įvairiais būdais mėgina rasti pagrįstą atsakymą/sprendimą. Palyginimui panagrinėkime kaip naudojama matematinio probleminio uždavinio (problemos) samprata mūsų mokykloje. Bene tiksliausiai ji atskleista V. Drėgūno ir P. Rumšo (1984). Aiškindami probleminio uždavinio sąvoką, autoriai uždavinį ir jo sprendimą suskaido į sudedamąsias dalis– uždavinio sąlygą (pažymėjimas A), klausimą (pažymėjimas C), sprendimą (pažymėjimas S), rezultatą (pažymėjimas R) ir teoriją (pažymėjimas T). Šių komponentų sistemą sutrumpintai galime užrašyti taip: ATSR. Anot autorių, uždavinio problemiškumas priklauso nuo to, kurie jo komponentai (sąlyga A, teorija T, sprendimas S ar rezultatas R) nenurodyti arba nepakankamai žinomi uždavinį sprendžiančiam mokiniui. V. Drėgūnas ir P. Rumšas siūlo tokią uždavinių klasifikaciją: *Standartiniu vadinamas uždavinys, kurio tiksliai suformuluota sąlyga, žinomas sprendimo būdas ir žinomi (arba lengvai nuspėjami) teorijos teiginiai (taisyklės, formulės, teoremos), kuriais grindžiamas sprendimas. Toks uždavinys žymimas ATSx; *Mokomuoju vadinamas uždavinys, kurio nežinomas arba nevisiškai nusakytas vienas iš komponentų A, T arba S. Toks uždavinys žymimas ATxR, AxSR arba xTSR; *Paieškos uždaviniu vadinamas uždavinys, kurio nežinomi ar ne visiškai nurodyti du uždavinio komponentai. Toks uždavinys žymimas ATxy, AxyR, xySR, AxTy, xTyR, xTSy; *Probleminiu vadinamas uždavinys, kurio nežinomi arba nepakankamai apibūdinti trys komponentai. Toks uždavinys žymimas Axyz, xyzR, xTyz, xySz. Autoriai pastebi, jog “uždavinio priskyrimas vienai ar kitai kategorijai priklauso nuo mokymo pakopos ir nuo mokinio žinių lygio. Tas pats uždavinys vienu atveju gali būti standartinis, o kitu– paieškos arba net probleminis uždavinys. (…) Probleminis uždavinys pirmiausia transformuojamas į paieškos uždavinį, po to – į mokomąjį arba standartinį (p.91)”. Be abejonės tokia autorių pateikta probleminio uždavinio samprata leidžia mokytojams net ir neturint tokių uždavinių rinkinių, panaudojant standartinius, paieškos ar mokomuosius uždavinius nesunkiai juos transformuoti į probleminius. Tačiau mokslinės–didaktinės literatūros studijos rodo, jog ši probleminio uždavinio samprata pastaruoju metu gerokai pakito. Panagrinėkime kaip problemų sprendimas suprantamas Lietuvos mokyklos dokumentuose. Pasinaudosime šios sąvokos samprata, kuri pateikiama ir P. Gudyno [1998] parengtuose Bendrojo išsilavinimo standartų metodiniuose komentaruose. Ji siejama su sąlyginiu uždavinių suskirstymu į paprastus (kartais vadinamus rutininiais) bei nestandartinius. Čia paprastais laikomi uždaviniai, kuriuose reikia pritaikyti žinomą formulę ar algoritmą. Nestandartiniais laikomi uždaviniai, kuriuose sprendimo kelias iš anksto nėra aiškus, jį reikia gebėti rasti. P. Gudynas pabrėžia, kad tokie (nestandartiniai) uždaviniai artimesni realiam gyvenimui, nes dauguma matematikos taikymų praktikoje būna susiję su gana neapibrėžtomis probleminėmis situacijomis– tokią situaciją pirmiausia reikia ištyrinėti, po to aiškiai suformuluoti problemą, sukurti jos sprendimo matematinį modelį, atlikti matematines procedūras ir gautą atsakymą pagrįsti probleminės situacijos terminais. Kaip matome, P. Gudyno pateikta probleminio uždavinio samprata gerokai platesnė nei iki šiol vyravusi pateikta V. Drėgūno ir P Rumšo bei artimesnė pasaulyje vyraujančiai matematinės problemos mokykliniame kurse sampratai. Matematinių problemų klasifikacija: *“Grynosios” matematinės problemos (kartais vadinamos matematinio turinio problemomis); *“Realiosios” problemos, kurios yra svarbios realizuojant moksleivio už mokyklos, klasės ribų įgytą patyrimą; *Atvirieji matematiniai tyrinėjimai pradedant kalbą apie naujas matematines sąvokas; *Konkrečių praktinių matematinių situacijų tyrinėjimas jas modeliuojant arba pasitelkiant žinomą matematinį aparatą; *Tarpdalykinių projektų vykdymas, kur matematika yra tik viena iš sudedamųjų dalių, pagalbinių situacijų tyrimo priemonių. Kalbant apie problemų sprendimą įprasta kalbėti apie problemų sprendimo procesą bei apie problemų sprendimo strategijas. Problemų sprendimo proceso tyrinėjo ir tyrinėja daugelis mokslininkų, tačiau pasaulyje bene labiausiai pripažintas George Polya. Savo knygoje How to Solve it (1945) Polya pateikia garsųjį problemų sprendimo proceso planą, kuriuo plačiai remiamasi ir šiandien. Anot Polya problemos (probleminės situacijos) sprendimą galime nagrinėti kaip keturių žingsnių procesą: 1. Problemos supratimas. Šis problemos sprendimo žingsnis orientuotas į probleminės informacijos išskyrimą bei pradinį jos apdorojimą. Labai svarbu kad moksleivis pastebėtų probleminę situaciją (jei ji nėra pateikiama tiesiogiai mokytojo ar vadovėlio), gebėtų ją suformuluoti (arba savais žodžiais performuluoti), išskirtų esminę informaciją, nustatytų ar duomenų nėra per daug arba per mažai (tokiu atveju moksleivis turėtų pabandyti išsiaiškinti kokių duomenų galėtų trūkti bei kur juos galima rasti, kaip juos gauti). 2. Sprendimo plano sukūrimas. Šis problemos sprendimo žingsnis siejamas su taip vadinamųjų problemų sprendimų strategijų paieška bei konkrečiu realizavimu. Problemų sprendimo strategijomis paprastai vadinami tam tikri bendrieji galimi probleminės informacijos pertvarkymo principai tikslu ištirti rūpimą situaciją. Paprastai skiriami trys problemų sprendimo strategijų lygmenys (nuo labai specifinių, prie labiau bendrų): 1.Konkrečios matematikos srities ar temos strategijos; 2.Bendrosios matematinių problemų sprendimo strategijos; 3.Bendrosios strategijos, tinkančios ne tik matematinėms problemoms spręsti. Apibendrindami išskirsime tokias pagrindines problemų sprendimo strategijas: *Modelio (nebūtinai algebrinio ar geometrinio) paieška, sukūrimas; *Susijusių, panašių dažniausiai jau išspręstų problemų nagrinėjimas, bandant surasti modelį, kuris galėtų būti pritaikytas išspręsti tuo metu nagrinėjamą problemą; *Paprastesnio ar atskiro problemos atvejo išsprendimas, išnagrinėjimas kuris leidžia, padeda išspręsti ir nagrinėjamą problemą; *Lentelių naudojimas; *Diagramų, schemų, paveikslėlių naudojimas; *Lygčių, lygčių sistemų, nelygybių, nelygybių sistemų sudarymas; *Motyvuoto spėjimo ir tikrinimo naudojimas; *Darbo “atgaline eiga” principo panaudojimas (sprendžiant kai kurias problemas , lengviau yra pradėti yra nuo galutinio rezultato nagrinėjimo ir eiti prie sąlygos tuo pačiu išsprendžiant problemą); *Dalinių, pagalbinių tikslų, reikalingų problemai išnagrinėti, nustatymas. Kaip matome, sprendimo plano sukūrimas yra ne kas kita, o strategijos, padėsiančios išspręsti problemą suradimas. G. Polya savo knygoje How to solve it (1945) šio žingsnio reikšmę ypač akcentuoja “pagrindinis pasiekimas sprendžiant problemą yra sprendimo plano idėjos sugalvojimas”. R. Bilstein& S. Libeskind (1990) rašo, jog moksleiviai (o ir mokytojai) dažnai klausia kada kokią sprendimo strategiją pasirinkti? Autoriai teigia, jog nėra nusistovėjusio, apibrėžto atsakymo į šį klausimą. Tačiau bendrųjų problemų sprendimo strategijų žinojimas, praktinis jų pabandymas įvairiose situacijose turėtų padėti moksleiviui geriau, kvalifikuočiau pasirinkti strategiją konkrečiai problemai išspręsti. Problemų sprendimo strategijų svarbą mokant matematikos R. Bilstein& S. Libeskind iliustruoja tokia patarle: Jei duosi žmogui dykai gabalą duonos, pamaitinsi jį vienai dienai; Jei išmokysi jį kepti, pamaitinsi jį visam gyvenimui. 3. Plano įgyvendinimas, vykdymas. Plano įgyvendinimas, vykdymas– tai bandymas išspręsti problemą, naudojant pasirinktą strategiją. Jei pasirinktoji strategija “neveikia”, paprastai grįžtama į 2–ojo (o kartais ir į 1–ojo) žingsnio pradžią– bandoma surasti, sukurti naują strategiją. Čia taip pat atliekame reikalingus aritmetinius ar algebrinius pertvarkius ir skaičiavimus. Be abejonės, labai svarbus yra informacijos apdorojimą palengvinančių priemonių (skaičiuoklių, kompiuterių) panaudojimas. 4. Grįžimas atgal. Šiuo žingsniu patikrinamas sprendinys (sprendiniai) suformuluotos pradinės problemos atžvilgiu. Paprastai rekomenduojama panagrinėti ar gautasis atsakymas pagrįstas ir protingas, ar atsakoma į tai ko buvo klausiama, ar atsakymas išsamus. Tačiau šiuo žingsniu stengiamasi atsakyti ir į daugiau klausimų. Čia rekomenduojama apsvarstyti ir išspręstos problemos bei sprendimo metodų praplėtimo, apibendrinimo klausimus, bei ištirti kitų šios problemos sprendimo kelių galimybes. Dažniausiai yra taip, kad tie apibendrinimai ir plėtiniai yra daug įdomesnės ir labiau intriguojančios problemos nei išnagrinėtoji. Kaip matome, apibrėžtoji problemų sprendimo sąvoka yra labai glaudžiai susijusi su matematinio mąstymo bei matematinės komunikacijos sąvokomis. 4. Vertybių it Nuostatų formavimas mokant matematikos. Pedagogika galutiniu ugdymo tikslu linkusi laikyti ugdytinio vertybių, nuostatų bei tinkamo, moralaus elgesio ir gyvenimo būdo formavimą. Vertybėmis paprastai laikoma tam tikra individo tvirtų įsitikinimų sistema, lemianti jo sprendimus, elgesį bei nuostatas (ANSI, 1999). Moralūs sprendimai, moralus elgesys ir vertybės anot S. Capel, M. Leask, T. Turner (1995) yra susiję su asmeninėmis nuostatomis, įgytomis žiniomis, socialine, kultūrine, religine ir politine terpe. Kiekvienoje visuomenėje susiformavusios tam tikros, dažniausiai su jos tęstinumu ir sėkmingu progresu susijusios moralės normos, savotiškas moralės kodeksas, visuomeninės nuostatos, kurios dažniausiai švietimo sistemos pagalba perteikiamos jos nariams. Be abejonės šios moralinės, vertybinės nuostatos laikui bėgant kinta. Visuomenių nuostatos keičiasi ne tik dėl vienų ar kitų kultūrų įtakos, imigracijos ar emigracijos procesų. Mūsų nuostatų kaitą įtakoja mokslo atradimai, dvasinė, kultūrinė patirtis, technologijų vystymasis, įstatymų (ypač tarptautinių) leidyba, galimybės keliauti ir bendrauti su kitų šalių žmonėmis, keitimasis švietimo patirtimi ir t.t. Moralių sprendimų priėmimas bei vertybių sistemos susiformavimas yra sąlygojamas individo asmeninio apsisprendimo, jų ugdymui didelę įtaką daro mokykla, namų aplinka, kultūra ir tikėjimas, visuomenė. Moralės ugdymas realizuojamas individo individualaus ir socialinio elgesio pokyčiais. Be abejonės, mokykla turi dideles potencines galimybes įtakoti individo vertybinių nuostatų formavimąsi, o kai kuriems moksleiviams ji gali būti apskritai vienintele vieta kur vertybių sistema, nuostatos formuojasi (ugdomos) sąmoningai, įgyjant informacijos, svarstant, diskutuojant ginčijantis. Pastebėsime, jog nemažą įtaką vertybių bei nuostatų formavimuisi turi ir kiti, pasąmoningi faktoriai. Pavyzdžiui, I. Reece, S. Walker [1997] pabrėžia bendraamžių, mokyklos vidinės tvarkos, mokytojo elgesio ir kitus faktorius. Atsižvelgiant į ugdymo įstaigų svarbą individo nuostatų ir vertybių sistemos formavimesi, joms keliamas uždavinys įtakoti bei padėti moksleiviams susiformuoti visuomenei priimtinas vertybių sistemą, nuostatas bei elgesio principus. Čia paprastai laikomasi dviejų bendrų principų (jie buvo pateikti Švietimo reformos akte [1988] angl. Education Reform Act– ERA): *Įtakoti, padėti atsiskleisti, suprasi bei plėtoti moksleivių dvasinius, moralinius, kultūrinius, protinius ir fizinius poreikius; *Parengti moksleivius gyventi suaugusių žmonių bendruomenėje– išnaudoti galimybes, jausti atsakomybę bei naudotis sukaupta patirtimi. R. Dearing (1994) kalbėdamas apie šiuos principus teigia, jog ”švietimo paskirtis ne tik aprūpinti moksleivius žiniomis ir įgūdžiais, kurių jiems prireiks norint užsidirbti pragyvenimui. Švietimas turi padėti jauniems žmonėms kūrybiškai planuoti ir praleisti laisvalaikį, ugdyti pagarbą kitiems žmonėms, kitoms kultūroms, kitokiems įsitikinimams, pilietiškumą, rūpinimąsi savimi ir kitais, skatinti sveiką gyvenimo būdą, vertinti save ir kitus, savo ir kitų darbą bei pasiekimus. Švietimas turi ugdyti pagarbą savo tautos ir kitų tautų kultūriniam palikimui, bendražmogiškoms dvasinėms ir moralinėms gyvenimo normoms”. I. Reece ir S. Walker (1997) remdamiesi tarptautinės organizacijos OFSTED 1993 metais paskelbtomis Moralinio švietimo gairėmis bei išsivysčiusių šalių mokymo programų studijomis, prieina prie išvados, kad “daugelyje valstybių įvykusių švietimo pertvarkų pasekmė– perkrautos mokymo programos, kuriose gerokai sumažinamos galimybės plėtoti, padėti moksleiviams susiformuoti vertybių sistemas”. Tačiau pastaruoju metu daugelyje Europos šalių plačiai akcentuojamas kiek kitokios moksleivių nuostatų ir vertybių sistemų formavimo metodikos, kurios įvardijamos “tyliosios strategijos” vardu. Pagrindines “tyliosios strategijos” idėjas aptaria E. Lekevičius ir E. Motiejūnienė (1998). Autoriai moksleivių nuostatų ir vertybių sistemų formavimo metodikas skirsto į tiesiogines (draudimus, pamokslavimus, moralizavimus ir pan.) bei netiesiogines, kurios ir vadinamos tyliąja strategija. Šios metodikos remiasi mintimi, kad galima ir reikia sudaryti sąlygas dorovei vaiko sieloje “savaime” atsirasti, bet nereikėtų jos diegti prievarta. Ugdymo tikslas– padėti mokiniui pačiam atrasti vertybes, pagelbėti apsispręsti, o ne primygtinai piršti pasaulėžiūrą, nuostatas, vertybes. Ši nuostata tampa ypač veiksminga dirbant su vyresnio amžiaus (11– 18 metų) vaikais, kurie “jau nebetiki besąlygiškai mokytoju ir supranta kad egzistuoja ne tik juoda ir balta, kad yra daugybė atspalvių, kad gėris nešvyti visomis vaivorykštės spalvomis, o blogis dažnai nėra besąlygiškas. Šiame amžiaus tarpsnyje moksleiviai nori ir geba spręsti sudėtingas moralines dilemas” (E. Lekevičius ir E. Motiejūnienė [1998] p.14). Pastebėsime, jog esant kritinei situacijai dažnai veiksmingi būna ir tiesioginiai poveikio būdai, tačiau nuolat vartojami jie dažniausiai sukelia priešingą efektą negu tikimasi. Kaip matome, tylioji strategija skirta mokinio Aš plėtotei. “Aš” apima ne tik mus pačius, bet ir artimus žmones, artimiausią supančią aplinką, gyvenamosios vietovės, vietos bendruomenės papročius, istoriją, gamtą, kultūrą taip pat ir tautos, valstybės, bendražmogiškąsias, istorines, kultūrines vertybes bei individo santykį su jomis. Tylioji strategija paprastai įgyvendinama per žinių, mokymo(si) arba veiklos principų bei egzistuojančių vertybių ir nuostatų sąveiką. Šių komponenčių sąveika yra gana sudėtinga. Vertybinės ir nuostatos, be abejo, yra veikiamos žinių, kurios gaunamos mokantis. Antra vertus, vertybės ir nuostatos yra konservatyvesnės už žinias, jos lėčiau kinta. Be to, anot E. Lekevičiaus ir E. Motiejūnienės (1998), jau susiformavusios nuostatos dažnai tampa savotišku ekranu, kuris neįleidžia į mūsų sąmonę šioms nuostatoms prieštaraujančios informacijos. Tokiu atveju moksleivis dažnai padaro sau išvadą: “mokytojas šneka nesąmones”. Šią situaciją autoriai vaizduoja tokia schema: Moksleivio atmesta informacija dažnai būna labai vertinga. Todėl manytume, jog mokytojo užduotis čia būtų dvejopa: *Visų pirma mokytojas turi parinkti reikiamą, tinkamą informaciją, medžiagą kurios pagrindu bus mokomasi, o kartu ir formuojamos tam tikros nuostatos ir vertybės; *Antra, mokytojas privalo galvoti apie informacijos pateikimo būdus, t.y. apie tai kaip reiktų moksleiviams pateikti informaciją, mokomąją medžiagą, kad moksleiviai ją priimtų aktyviai, sąmoningai ir atmestų jos kuo mažiau. Paprastai įvairūs autoriai (D. Child [1993], S. Capel, M. Leask, T. Turner [1995], E. Lekevičius ir E. Motiejūnienė [1998], R.Dearing [1994], I. Reece, S. Walker [1997] ir kt.) rekomenduoja dirbti taip vadinamais aktyviaisiais mokymo(si) metodais. Vertybių ir nuostatų formavimas ir kaita, pasireiškiantis per elgesio ir gyvenimo būdo kaitą yra ilgas ir sudėtingas procesas. Anot I. Reece ir S. Walker [1997] dažnai vartoto “bausmių ir skatinimo” principo efektas atrodo yra greitas, tačiau tyrimai rodo, jog jis– trumpalaikis. Autoriai siūlo bendruosius nurodymus, kurie galėtų efektyviai netiesiogiai įtakoti nuostatų ir vertybių sistemos formavimąsi: 1.Tiksliai apibrėžti mokymo(si) tikslus ir uždavinius; 2.Procesą labiau orientuoti į mokymąsi o ne į mokymą; 3.Skatinti darbą grupėmis, grupines diskusijas bei 4.Skatinti kiekvieno moksleivio aktyvų dalyvavimą. Bendraamžiai dažnai turi labai didelę įtaką nuostatoms, todėl būtina gerai apgalvoti moksleivių darbo taisykles, stilių, manieras; 5.Organizuoti žaidimus “pasiskirstant roles” (“dirbtines diskusijas pasiskirsčius roles”) ir pan. Pastebėsime, jog paminėtieji vertybių bei nuostatų formavimo principai dera su interpretativistiniu požiūriu į mokymą ir mokymąsi, kuris paremtas konstruktyvistinės teorijos principais. 5. Reikalavimai matematikos mokymo turiniui. Mokymo turiniu nusakoma kokių matematikos sąvokų, temų bei procedūrų būtina mokyti vaikus mokykloje. Kiekvienos šalies mokymo turinys iš dalies skirtingas, dažnai jis įtakotas konkrečios šalies kultūrinio, istorinio, mokslinio palikimo, tradicijų, geopolitinės padėties ar net vyraujančios religijos Galime išskirti tam tikrus bendruosius principus, kurių laikomasi sudarant mokymo turinį: *Mokymo turinys turi būti parenkamas taip, kad skatintų moksleivių teigiamų nuostatų ir vertybinių orientacijų formavimą. Šis principas ypač svarbus kai kalbama apie “tyliųjų strategijų” principų taikymą padedant susiformuoti moksleivių vertybių sistemoms; *Mokymo turinys turi būti parenkamas taip, kad padėtų įvairiapusiškai ugdyti moksleivių bendruosius matematinius gebėjimus; *Mokymo turinys turi būti parenkamas taip, kad nediskriminuotų moksleivių dėl jų lyties, religijos, rasės, kultūros ir papročių, gyvenamosios vietos, fizinio ar protinio neįgalumo; *Mokymo turinys turi atitikti moksleivių patirtį ir subrendimą jį suvokti; *Mokymo turinys turi būti parenkamas taip, kad skatintų ugdymo turinio integraciją. Paprastai skiriamos trys ugdymo turinio integracijos kryptys– vidinė dalyko, tarpdalykinė ir sociokultūrinė. Pagrindinis sociokultūrinės integracijos tikslas– susieti moksleivio patirtį, interesus, amžiaus ypatumus su socialiniu­–kultūriniu gyvenimo kontekstu. Anot Ž.Jackūno (1997) aktualia, moksleivių sociokultūrinę patirtį ir interesus atliepiančia medžiaga prisodrintas ugdymo turinys gali skatinti moksleivio dvasinį aktyvumą, interpretacinį santykį su mokomąja medžiaga, nusiteikimą veikti, kurti, padeda klasėje plėtotis ugdomajam procesui, laiduojančiam įvairiapusią, integralią asmenybės sklaidą. Tarpdalykinės integracijos pagrindinis tikslas– padėti vaikui susieti, suderinti įvairių dalykų žinias, tuo būdu parodant, kad moksleivį supantis pasaulis yra integruota visuma, kurioje vykstančius procesus, jų tarpusavio ryšius reikia nagrinėti pasitelkiant ir sintetinant įvairių sričių mokslo žinias ir laimėjimus. Dalyko vidinės integracijos pagrindinis tikslas– padėti vaikui suderinti atskirų mokomojo dalyko temų žinias, siekiant, kad moksleivis suvoktų dėstomo dalyko esmę, ryšius tarp įvairių dalyko temų, šiose temose naudojamų sąvokų. Kaip pavyzdį mokyklinėje matematikoje galėtume paminėti tokių stambių temų kaip algebra, geometrija, matematinė analizė, stochastika integracijos svarbą. R. Fogarty savo knygoje The Mindful School: How to Integrate the Curricula (1991) plačiai nagrinėja įvairias integracijos rūšis, idėjas bei principus. Remdamiesi minėta knyga bei K. Lake (1994) idėjomis m lentelėje pateikiame įvairių požiūrių klasifikaciją į ugdymo turinio formavimą integraciniu aspektu. Apibendrindami ugdymo turinio integracijos sąvokos sampratą remsimės Humhreys (Huphreys, Post and Ellis, 1981)– integruotu ugdymu vadinsime mokymosi procesą, kurio metu vaikas tyrinėja įvairius aplinkos objektus ir reiškinius, remdamasis įvairių mokomųjų dalykų žiniomis, jas susiejant” Apibendrindami mokymo turinio formavimo problematiką, pastebėsime, jog daugelis autorių tiesiogiai ar netiesiogiai mokymo turinio šaltinius skirsto į formaliuosius ir neformaliuosius. Formaliais turinio šaltiniais laikomi vadovėliai, žemėlapiai, formulių rinkiniai, žinynai ir kitos konkretaus dalyko mokymui klasėje skirtos priemonės. Neformaliais turinio šaltiniais gali būti ir spauda, televizija, radijas, archeologiniai, istoriniai ir kiti kultūriniai šaltiniai, kasdienė probleminė patirtis. Pastebėsime, kad interpretaciniame švietimo sistemos modelyje neformaliųjų ugdymo turinio šaltinių reikšmė labai didelė. 6. Matematikos metodai ir kryptys. Matematikos mokymo organizavimas. PAMOKA IR JAI KELIAMI REIKALAVIMAI Pamoka - pagrindinė mokymo ir auklėjimo organizavimo forma. Tai logiškai išbaigta ribotos trukmės mokymo, lavinimo ir auklėjimo proceso dalelė. Kiekviena pamoka apibūdinama tikslais, turiniu, priemonėmis, metodais ir organizacija. Visa tai turi būti teisingai įvertinta, racionaliai parinkta ir suderinta - tik tada pamoka bus vykusi. Svarbiausi reikalavimai, keliami matematikos pamokai: I. Skelbti mokiniams pamokos temą ir didaktinį tikslą. Patartina iš visų mokomųjų tikslų išskirti vieną pagrindinį, vyraujantį ir lemiantį kitus. Toks tikslas vadinamas didaktiniu tikslu. Gerai suprastas pamokos didaktinis tikslas padeda mokytojui ne tik numatyti jos struktūrą, mokomąją medžiagą bei metodus, bet ir tikslingai organizuoti mokinių pažintinę veiklą suaktyvinti ir sudominti mokinius pamokos tema. Todėl mokinius su pagrindiniu didaktiniu tikslu reikia supažindinti pamokos pradžioje arba prieš nagrinėjant naują medžiagą. Mokiniams turi būti aišku, kokio rezultato, vadovaujant mokytojui, reikia siekti per pamoką. II. Siekti mokymo, lavinimo ir auklėjimo tikslų optimalaus komplekso. Sudaryti optimalų ugdymo tikslų kompleksą - gana sudėtinga. Tai padaryti gali padėti šie patarimai: 1) ugdymo tikslus numatyti ne vienai pamokai, o visos temos pamokoms. Tada visoms ugdymo kryptims bus galima skirti reikiamą dėmesį, kruopščiai parinkti tikslus, atsižvelgiant į mokinių realias galimybes, išsiaiškinti blogo pažangumo ir nepakankamo išsiauklėjimo priežastis; 2) numatyti didaktinį tikslą nes jis lemia visus kitus; 3) parenkant lavinimo ir auklėjimo tikslus, patartina peržiūrėti visą matematikos lavinimo ir auklėjimo tikslų sąrašą ir iš jų išrinkti tuos, kurių realiai galima siekti tą pamoką. Kaip bus realizuotas užsibrėžtasis pamokos ugdymo tikslų kompleksas, priklausys nuo visų ugdymo šaltinių, mokymo medžiagos, mokymo metodų, mokinių veiklos organizavimo, mokytojo ir mokinių santykių. III. Tinkamai parinkti mokomąją medžiagą. Tam, kad tai padaryti, reikia laikytis šių taisyklių: 1) mokymo turinys turi laiduoti, kad per pamoką bus pasiekti planuojamieji ugdymo tikslai. Taigi mokytojas privalo žinoti, kas svarbiausia ir esmingiausia, į ką reikia sutelkti mokinių dėmesį; nustatyti naujų žinių ryšį su įgytomis, su gyvenimo praktika, mokinių aplinka bei jų patirtimi; apgalvoti, kurią medžiagą jis dėstys pats, o kurią mokiniai išsiaiškins savarankiškai; išskirti medžiagą kuri bus panaudota konkretiems lavinimo ir auklėjimo tikslams; numatyti mintinio darbo pratimus, uždavinius savarankiškiems mokinių darbams; parinkti technines ir vaizdines mokymo priemones, kurios padėtų suprasti ir įsiminti mokomąją medžiagą. 2) Mokomosios medžiagos apimtis turi būti pakankama, kad per pamoką visi mokiniai, taigi ir gabesnieji, būtų užimti jiems prieinamu darbu. 3) Mokomosios ir pažintinės užduotys turi būti tokio sudėtingumo, kad sudarytų mokiniams intelektualinių sunkumų, bet būtų įveikiamos. 4) Namų darbų užduotys turi būti tokios apimties ir sudėtingumo, kad visi mokiniai sugebėtų jas atlikti ir nebūtų užimti ilgiau negu numatyta konkrečiai klasei. IV. Parinkti tokius mokymo metodus ir būdus, kad būtų realizuojamas sąmoningumo, aktyvumo ir savarankiškumo principas. Mokytojas, atsižvelgdamas į pamokos temą ir jos tikslus, į konkrečios klasės mokinių pažintinius gebėjimus ir interesus, taip parenka mokymo metodus ir jų derinius, kad mokymasis būtų kiek galima aktyvesnis ir savarankiškesnis, o mokinių įgytos žinios - kiek galima sąmoningesnės. Geriausia mokomąją medžiagą perteikti problemiškai arba euristiniu pokalbiu, taip pat įvairiais savarankiškais darbais. V. Taupyti pamokos laiką. Reikia siekti, kad aktyvus mokymas ir mokymasis vyktų visas 45 minutes. Patartina vadovautis šiomis taisyklėmis: 1) prieš pamoką paruošti klasės lentą (užrašyti joje mintinio skaičiavimo pratimus, savarankiškų ir namų darbų užduotis, nubraižyti sudėtingesnius brėžinius) ir vaizdines bei technines mokymo priemones; 2) pradėti ir baigti pamoką tiksliai nustatytu laiku; 3) pamokos organizaciniams klausimams skirti kiek galima mažiau laiko; 4)tikslingai naudoti laiką, pavyzdžiui, sunkiausias užduotis spręsti tada, kai mokiniai dėmesingi, neskirti daug dėmesio uždavinių sprendimo apiforminimui žemesnėse klasėse, kol mokinių rašymo įgūdžiai yra silpni, vengti pašalinių pokalbių ir klausimų; 5) per visą pamoką išlaikyti optimalų mokymo ir mokymosi tempą atitinkantį konkrečias mokymo sąlygas. VI. Sudaryri optimalias materialines ir moralines-psichologines mokymo sąlygas. Materialinės mokymo sąlygos laikomos optimaliomis, jei pamoka vyksta estetiškai apipavidalintame matematikos kabinete, kuris atitinka visus mokyklinės higienos reikalavimus ir kuriame yra visos reikalingos vaizdinės ir techninės mokymo priemonės. Gera mokytojo nuotaika, jo atidumas ir jautrumas, teisingumas ir pagarba vaikams, pedagoginis taktas teigiamai nuteikia mokinius. Geras mokytojas turi būti reiklus sau ir mokiniams. Mokitojas turi domėtis ne tik kiekvieno mokinio matematiniu pasirengimu, bet ir jo psichinėmis savybėmis: mąstymo ypatumais, atmintimi, dėmesingumu, vaizduote, valią jautrumu. Tik tada mokytojas sugebės paveikti mokinio emocijas, uždegti meilę darbui ir matematikai, sukelti norą kūrybiškai mokytis. VII. Optimaliai organizuoti pamoką. Pamoka laikoma optimaliai organizuotą jei tenkinami I-VI reikalavimai; tobula jos struktūra; teisingas santykis tarp frontalaus, grupinio ir individualaus mokinių darbo; sistemingai kontroliuojami mokymosi rezultatai; mokymas diferencijuojamas ir individualinamas. Kad to pasiektų, mokytojas turi: 1) puikiai žinoti mokomąją medžiagą ir negaišti laiko apmąstymams, abejonėms, spėliojimams; 2) žinoti kiekvieno nagrinėjamo klausimo mokymo metodiką ir įvairius jo dėstymo variantus, visus matematikos mokymo metodus ir būdus, sugebėti juos parinkti ir suderinti; 3) pažinti visus klasės mokinius, žinoti jų sugebėjimus ir žinių spragas, numatyti visus galimus sunkumus mokantis naują medžiagą, kelius ir būdus jiems įveikti. MATEMATIKOS PAMOKOS STRUKTŪRA Pamokos struktūra apibūdinama keturiais požymiais: 1) sudėtimi (iš kokių dalių ar etapų sudaryta pamoka); 2) tvarka, kuria išdėstyri tie etapai; 3) ryšiu tarp atskirų etapų; 4) laiku, skirtu kiekvienam etapui. Pamokos struktūrą lemia jos tipas. Pateiksime labiausiai paplitusią pamokų klasifikaciją pagal didaktinį tikslą ir apibūdinsime dažniausiai pasitaikančių matematikos pamokų tipų struktūras. Mišria, arba kombinuota, pamoka siekiama kelių didaktinių tikslų. Tai tokia pamoka, kai daugiausia buvo taikomi žodiniai dėstymo metodai, naudojant vaizdines mokymo priemones. Vadinamąją tradicinę kombinuotą pamoką sudarė keturi etapai: namų darbų ir žinių tikrinimas, naujos medžiagos aiškinimas, žinių įtvirtinimas ir namų darbų skyrimas. Ši pamoka prasideda mokinių apklausa, kuri dažnai, nepaisant normų, užsitęsia iki 30 min. Eksperimentais įrodyta, kad mokyklinio amžiaus vaikai sugeba koncentruoti dėmesį ir aktyviai mąstyti tik 25 - 30 min., o žemesnių klasių mokinių dėmesį sunku išlaikyti ir 20 min. Čia ir išryškėja svarbiausias tradicinės kombinuotos pamokos trūkumas - tinkamiausias laikas naujoms žinioms mokytis išnaudojamas žinių tikrinimui. Šiuolaikinė kombinuota pamoka yra visai kitokios paskirties bei struktūros, be to, vedama retai. Jos struktūra gali būti įvairi, pateiksime vieną variantą: 1) mokinių mokymosi motyvavimas, pamokos temos ir tikslų skelbimas (2 min.); 2) naujos medžiagos aiškinimas (20 min.); 3) naujos medžiagos pirminis įtvirtinimas (5 min.); 4) žinių ir mokėjimų, nesusijusių su nauja medžiaga, tikrinimas (15 min.); 5) atliktų namų darbų surinkimas ir naujų skyrimas (3 min.). Tokia pamokos struktūra gali būti tada, kai reikia išnagrinėti nedidelį naujos medžiagos kiekį arba kai naują medžiagą galima perteikti žodinio dėstymo metodais. Naujos medžiagos perteikimo pamoka - viena dažniausiai pasitaikančių. Beveik visas tokios pamokos laikas skiriamas naujai medžiagai nagrinėti ir įtvirtinti. Pamokos pradžioje kartojami matematiniai teiginiai ir faktai, kurie bus panaudojami naujai medžiagai mokyti. Po to mokytojas pradeda nagrinėti naują medžiagą. Dažniausiai taikomi tokie mokymo metodai, kurie aktyvina mokinių mąstomąją veiklą ir savarankiškumą. Aktyviai dirbdami, mokiniai sąmoningiau ir tvirčiau įsimena naują medžiagą, geriau pasiruošia atlikti namų darbus, todėl kitą pamoką nebūtina išsamiai jų tikrinti. Naujos medžiagos perteikimo pamokos struktūra: 1) žinių, reikalingų naujai medžiadai mokyti, kartojimas ir pamokos temos bei tikslų skelbimas; 2) naujos medžiagos nagrinėjimas; 3) naujų žinių susiejimas su senomis ie įtvirtinimas; 4) pamokos rezultatų aptarimas; 5) namų darbų skyrimas. Mokėjimų ir įgūdžiu formavimo ir įtvirtinimo pamokoje mokiniai daug dirba savarankiškai. Savarankiškumo laipsnis nustatomas pratybų sistema. Pratybos būna trijų rūšių: Įvadinės (paruošiamosios) pratybos skiriamos toje pačioje pamokoje įgytoms žinioms pritaikyti ir iš dalies įtvirtinti. Per tokias pratybas mokytojas arba vienas mokinys sprendžia uždavinį lentoje ir komentuoja, kiti mokiniai sprendžia sąsiuviniuose. Lavinamosios (treniruojamosios) pratybos - tai savarankiškas užduočių sprendimas pagal nurodytą pavyzdį ar žinomą algoritmą. Nuo įvadinių pratybų jos skiriasi tuo, kad mokiniai dirba savarankiškiau, sprendžia sudėtingesnius ir įvairesnius uždavinius bei pratimus. Per lavinamąsias pratybas mokinių įgūdžiai virsta mokėjimais. Kūrybinės pratybos - sudėtingų, nestandartinių, kūrybinių uždavinių ir pratimų sprendimas. Jų paskirtis - ugdyti mokinių matematinius gebėjimus, ruošti juos kūrybinei veiklai. Mokėjimų ir įgūdžių formavimo bei įtvirtinimo pamokos struktūra: l) mokymosi motyvavimas, pamokos temos ir tikslų skelbimas; 2) įvadinės pratybos; 3) lavinamosios pratybos; 4) kūrybinės pratybos; 5) pamokos rezultatų aptarimas; 6)namų darbų skyrimas. Žinių, mokėjimų ir įgūdžių taikymo pamoka - tai mokomosios ekskursijos, laboratorinio darbo, modeliavimo pamoka ir kitos praktikos darbų pamokos. Ne visos šio tipo pamokos vyksta matematikos kabinete, todėl mokiniai parengiami kabinete ankstesnę pamoką, o razultatai aptarimi kitą pamoką. Tokių pamokų struktūra gali būti labai įvairi. Gana įvairios gali būti ir kontrolinės pamokos. Jų struktūra priklauso visų pirma nuo to, ką norima patikrinti - žinias, mokėjimus ar įgūdžius, taip pat ir nuo tikrinimo būdo - raštu ar žodžiu. MOKYTOJO RENGIMOSI PAMOKOMS SISTEMA Matematikos pamoka - viena viso mokymo grandis, todėl negalima laukti gerų rezultatų, jeigu mokytojas rengiasi tik eilinei pamokai ir negalvoja, ką veiks per kitas pamokas. Taigi tikslinga nagrinėti ne rengimąsi pamokai,o rengimosi pamokoms sistemą. Išskiriami trys etapai: rengimasis mokslo metams, rengimasis temos mokymui, rengimasis pamokai. Pirmasis etapas. Rengdamasis mokslo metams, mokytojas išsiaiškina, kokiose klasėse dirbs ir kokią mokomąją medžiagą teks perteikti mokiniams. Jis susipažįsta su matematikos programa, atidžiai peržiūri vadovėlį, uždavinyną, knygą, mokytojui ir didaktinę medžiagą, skaito metodinę ir matematinę literatūrą. Mokytojas savo kabinete sukomplektuoja reikalingas mokymo priemones. Jis peržiūri kabinete esančias vaizdines ir ekranines mokymo priemones; perneša iš kitų mokyklos matematikos kabinetų reikalingas mokymo priemones ir išneša nereikalingus. Mokytojas turi susipažinti su mokiniais, su kuriais jam teks dirbti. Šiame etape reikia suplanuoti mokomąją medžią visiems mokslo metams. Reikia sudaryti vadinamąjį kalendorinį planą. Kalendoriniame plane reikia nurodyti datą, temos pavadinimą, pamokos temą ir pagrindinius tikslus, mokymo priemones, kartojimo medžiagą, darbo su vadovėliu rūšis. Antrasis etapas - pasirengimas temos mokymui - pradedamas pamokų suskirstymu grupėmis. Rekomenduoja grupes sudaryti iš 2 - 4 pamokų, skirtų vieno skyrelio mokymui, siūloma sudaryti pastovų mokymo ciklą, laiduojantį, kad mokomoji medžiaga bus išsamiai išnagrinėta. Šios rekomendacijos taikomi mokant matematikos IV ir V klasėse. Tačiau patyrusių matematikos mokytojų darbo praktika rodo, kad grupę geriau sudaryti iš didesnio skaičiaus, pavyzdžiui 5-15 pamokų. Tiek pamokų skiriama beveik kiekvienai VI XI klasių matematikos kurso temai. Todėl VI - XI klasėse reikia rengtis visos temos mokymui. Šiame etape mokytojas, išanalizavęs mokomąją ir metodinę literatūrą, paskirsto teorinę medžiagą, uždavinius ir pratimus atskiromis pamokomis ir numato jų pagrindines struktūrines dalis; apytiksliai paskirsto laiką atskiroms mokytojo ir mokinių darbo rūšims, suplanuoja mokinių savarankiškus darbus,numato,kada ir kaip bus tikrinamos mokinių žinios, parenka kontrolinius darbus; suplanuoja mokomosios medžiagos kartojimą; parenka visai temai mokymo priemones. Šis pasirengimas baigiamas teminio plano sudarymu. Jis rašomas atskirame sąsiuvinyje arba kortelėse. Tokiu būdu kaupiama pamokų kartoteka. Trečias etapas. Remdamasis teminiu planu ir praėjusių pamokų rezultatais, mokytojas rengiasi eilinei pamokai. Jis koreguoja pamokos temą ir tikslus, pamokos struktūrą, parenka mokymo metodus. Mokytojas iš anksto turi numatyti, kokia bus pamokos pradžia, kaip sudomins mokinius nagrinėjama medžiagą, kaip ir kada paskelbs jos temą bei tikslus, kaip patikrins mokinių pasirengimą pamokai ir namų darbus. Mokytojas turi detaliai numatyti, kaip bus įvesta nauja sąvoką, o rengiantis pamokai, parenkami pratimai mintiniam skaičiavimui, uždaviniai įvairioms mokinių grupėms, užduotys namų darbams. Trečiajame rengimosi etape sudaromas pamokos planas. Jį rašo kiekvienas mokytojas - ir pradedantysis, ir patyręs. Plane mokytojas užrašo tai, kas, jo manymu, yra svarbiausia, ką reikia mokiniams padiktuoti. Čia nurodomi pamokos tema ir tikslai, struktūrinių dalių turinys ir joms skirtas laikas,mokymo metodai, mokymo priemonės , namų darbai. Pradedančiam mokytojui tenka sudaryti pamokos konspektą. Tai smulkus pamokos aprašymas. Čia užrašoma mokytojo kalba pamokoje, jo formuluojami klausimai, galimi mokinių atsakymai, uždavinių sąlygos ir jų sprendimas, savarankiškų darbų užduotys. MATEMATIKOS PAMOKOS ANALIZĖ Pamokos stebėjimas ir analizė reikalingi ne tik mokytojo darbui kontroliuoti, bet didaktikos išvadoms bei rekomendacijoms įgyvendinti, mokytojo darbui tobulinti, būsimiems pedagogams rengti. Todėl analizuoti pamoką turi mokėti ne tik mokyklos vadovai bei liaudies švietimo organų darbuotojai, bet ir kiekvienas mokytojas. Analizuoti pamoką galima įvairiais aspektais: didaktiniu, psichologiniu, auklėjamuoju ir metodiniu. Bendro pobūdžio metodinė matematikos pamokos analizė: 1. Pamokos vieta pamokų sistemoje. Žiūrėti, ar temos pavadinimas atitinka jos turinį, ar pakanka laiko temos mokymui ir kaip jis išnaudojamas? Koks jos ryšys su ankstesnėmis ir tolesnėmis pamokomis? 2. Pamokos tema ir tikslai. Nagrinėjamas pagrindinis didaktinis tikslas, taip pat lavinimo, auklėjimo tikslai. Žiūrima, ar galima realizuoti šiuos tikslus per tą pamoką. Ar buvo paskelbta mokiniams pamokos tema ir jos didaktinis tikslas? 3. Pamokos tipas ir struktūra. Žiūrima, koks pamokos tipas, ar teisingai jis parinktas, ar atitinka pamokos tikslus. Analizuojama pamokos struktūra: ar ji atitinka parinktąjį tipą. 4. Pamokos organizavimas. Stebima, kaip organizuotas pamokos pradžia, ar sudominti ir nuteikti darbui makiniai, ar paruošta klasės lenta, vadovėliai, sąsiuviniai. Žiūrima, kaip mokytojas stebi ir kontroliuoja mokinių veiklą, jų sąsiuvinius, kaip taupo pamokos laiką, kaip organizuoja jos pabaigą? 5. Mokinių aktyvinimas pamokoje. Stebima, kokais būdais palaikomas mokinių dėmesys ir susidomėjimas. Ar mokytojo klausimai nuoseklūs? 1. Mokymo metodai ir kryptys. Analizuojami pamokoje taikomi metodai, mokymo kryptys. 6. Vaizdinių ir techninių mokymo priemonių naudojimas. Stebima, kaip realizuojamas vaizdumo principas: kokios naudojamos vaizdinės ir techninės mokymo priemonės, kur jos naudojamos ir kada, kaip naudojama kilnojama lenta, brėžimo įrankiai, spalvoti pieštukai ir kreida? 7. Namų darbų tikrinimas ir apklausa. Nagrinėjama namų darbų turinys ir apimtis. Analizuojama: kas buvo tikrinama ir kaip,kokios mokinių daromos tipinės klaidos ir trūkumai? 8. Naujos medžiagos perteikimas. Analizuojamas naujos medžiagos turinys, žiūrima, kaip ji siejama su anksčiau išmokta medžiaga, kaip skirstoma dalimis, kaip pereinama nuo vienos dalies prie kitos, kaip išskiriamos svarbiausios ir sunkiausios vietos? 9. Naujos medžiagos įtvirtinimas. Žiūrima, ar tikslingai įtvirtinimui parinkta medžiaga, ar buvo komentuojami pratimų sprendimai, ar uždaviniai ir pratimai išdėstyti sistemingai. 10. Mintinis darbas pamokoje. Stebima, kaip organizuotas mintinis darbas, koks jo tikslas, turinys, vieta pamokoje. Kaip mokytojas reagavo į teisingus ir klaidingus atsakymus, kiek mokinių dirbo mintimis? 11. Namų darbų skyrimas. Žiūrima, koks namų darbų tikslas, turinys ir apimtis, ar buvo naudojami užduotims sudaryti vadovėlis, uždavinynas ir papildomi šaltiniai, kokio sudėtingumo namų darbai? 12. Pamokos lavinamasis ir auklėjamasis poveikis. Analizuojama, kaip pamokoje realizuotas moksliškumo bei prieinamumo principas. Aiškinamasi, kokius mokėjimus ir įgūdžius įgijo mokiniai, ar tvirti tie įgūdžiai ir mokėjimai, kokios mokinių protinės galios buvo vystomos per pamoką. 13. Išvados. Čia turi būti nurodyta, ar pasiekti pamokos tikslai, ar įvykdytas pamokos planas, ką reikėjo pakeisti pamokos struktūroje, kokios teigiamos ir neigiamos pamokos pusės. Turi būti pateiktas bendras pamokos įvertinimas.7Matematikos namų darbai ir jų tikrinimas Namų darbai tai savarankiškas mokinių mokymasis mokytojui tiesiogiai nevadovaujant. Matematikos namų darbų užduotis gali būti žodinės, rašomosios ir praktinės. Žodinių užduočių pavyzdžiai: išmokti iš vadovėlio teorinę medžiagą; pasirengti atsakyti į mokytojo klausimus; išskirti teoremos įrodymo loginius etapus; parinkti sudėtinių teoremų, turinčių vieną sąlygą ir kelias išvada ir kt. Prie rašomųjų užduočių priskiriama: uždavinių ir pratimų sprendimas; atsakymai raštu į mokytojo klausimus; tekstinių uždavinių sudarymas; matematiniai rašiniai; medžiagos konspektavimas.Praktinės užduotys gali būti įvairių modelių gaminimas, matavimai ir stebėjimai, diagramų ir nomogramų braižymas, sąmatų sudarymas ir pan. Pavyzdžiui, nubraižyti buto planą ir sudaryti jo remonto sąmatą (nurodoma medžiagų kaina ir darbo apmokėjimas). Matematikos namų darbams keliami šie reikalavimai: 1. darbai turi būti saikingos apimties. Mokinys turi užtrukti ne daugiau kaip 40-50% klasės darbui skirto laiko. 2. namų darbai turi būti ne per sunkūs, ne per lengvi. Turinys turi būti optimalaus sudėtingumo. 3. darbai turi būti tikslingai patikrinti. Kiekvienu uždaviniu reikia siekti tam tikro tikslo -įtvirtinti teorines žinias, formuoti ir vystyti mokėjimus bei įgūdžius ir pan. 4. darbai turi būti įvairinami. Kad turinys būtų įvairesnis, užduotis reikia skirti ne tik iŠ paskutinės pamokos, bet ir iš ankstesniųjų. Patartina namų darbų užduotis diferencijuoti ir individualinti, skirti į privalomus ir savo noru atliekamus užduotis. 5. namų darbai turi būti optimaliai organizuoti. Organizavimą vadinsime optimaliu, jeigu: a) tenkinami anksčiau nurodyti 1-4 reikalavimai; b) per pamoką mokiniai gerai parenkami namų darbams; c) užduotis skiriamos tada, kai mokiniai supranta, kaip jas atlikti (pamokos viduryje ar pabaigoje, tik ne po skambučio); d) išugdyta teisinga mokinių pažiūra į namų darbus, kaip į privalomą jų pareigą; e) mokiniai įpratinti atlikti namų darbus tuo pačiu laiku; f) namų darbai griežtai ir reguliariai tikrinami. 6. Netvarkingi ir nesistemingai tikrinami namų darbai netenka savo vertės. Matematikos namų darbus, ypač atliekamus raštu, galima tikrinti trimis aspektais: 1) ar jie atlikti; 2) ar teisingai atlikti; 3) ar atlikti savarankiškai. Būtina siekti, kad tikrinimas būtų ne tik konstatuojamo pobūdžio, bet ir turėtų ugdomąją reikšmę. Ekonomiškiausias laiko atžvilgiu yra vizualinis namų darbų tikrinimas. Frontalus namų darbų tikrinimas organizuojamas taip: mokytojo nurodymu vienas mokinys skaito iš savo sąsiuvinio uždavinio sprendimą ir jį komentuoja Visi kiti mokiniai, žiūrėdami į namų darbų sąsiuvinius, seka skaitantįjį, taiso jo ir savo klaidas. Jeigu uždavinį galima spręsti įvairiais būdais, patartina sužadinti diskusiją Kur kas naudingiau namų darbai patikrinami po pamokų. Galima ne tik išsiaiškinti, ar darbai atlikti, ar teisingai, bet ir patikrinti, ar dirbta savarankiškai.Visuotinė kontrolė - tikrinami visi namų darbų sąsiuviniai, dažniausiai taikytina žemesnėse klasėse, kad mokiniai priprastų prie sistemingo darbo ir tvarkos. Atrankinė kontrolė rekomenduojama 8-11 klasėse. Dažniausiai tikrinami neįpratę dirbti mokiniai. Kartais galima taikyti būdus, kuriais patikrinamas tik atlikimo teisingumas. Šiuolaikinė matematikos mokymo metodika teigia: kuo geriau mokiniai rengiami namų darbams ir pratinami reguliariai bei sistemingai dirbti namuose, tuo mažiau reikia juos kontroliuoti. Matematikos žinių ir mokėjimų tikrinimas ir vertinimas Mokinių žinios ir mokėjimai gali būti tikrinami žodžiu ir raštu. Žodinė apklausa yra dviejų rūšių - individuali ir firontali. Per individualia apklausą sunku pasiekti, kad aktyviai dirbtų visi mokiniai. Todėl apklausa turi būti trumpa ir kartu visapusiška Per 15min. galima apklausti 5-6 mokinius. Kad apklausa būtų intensyvesnė, mokytojas 2-3 mokinius iškviečia prie lentos, vieną- prie savo stalo, 3-4 - pasodina į pirmuosius suolus ir jiems pateikia užduotis, užrašyta ant lapelių. Lemiamą reikšmę žodinei apklausai tyri mokytojo klausimai. Jie turi būti tikslingai parinkti, aiškūs, reikalaujantys optimalaus informacijos kiekio. Frontali apklausa - tai apklausa pateikianti klausimus visai klasei. Frontali apklausa dažnai skiriama sisteminti, apibendrinti, kartoti. Ji intensyvina ir aktyvina žinių ir mokėjimų kontrolę. Trumpalaikiai rašomieji darbai - žinių ir mokėjimų iš paskutinių pamokų medžiagos tikrinis raštu, neperspėjus mokinių. Jų trukmė 8-20 min. Matematikos diktantas - perspektyvus kontrolės raštu būdas, leidžiantis per 5-10min. Patikrinti, kaip mokiniai pasirengę pamokai. Apibendrinto pobūdžio kontroliniai darbai paprastai rašomi išnagrinėjus programos temą. Tokiems darbams mokiniai parengiami iš anksto. Mokiniai turi būti supažindinti su kontrolinių darbų rašymo taisyklėmis. Viena iš taisyklių reikalauja, kad juodraštis būtų tik kontrolinių darbų sąsiuvinyje. Testai - savitos užduotys, į kurias mokiniai turi trumpai atsakyti raštu. Skiriami trijų rūšių testai: a)reikalaujantieji savarankiško atsakymo b)reikalaujantieji parinkti atsakymą c)reikalaujantieji alternatyvaus atsakymo. c)Žinių ir mokėjimų vertinimas - svarbus ir atsakingas mokytojo darbas. Vertinti reikia objektyviai, visapusiškai, atsižvelgiant net tik į žinias, bet ir į mokinio pastangas. Pradedančiajam mokytojui pirmiausia reikia gerai susipažinti su matematikos žinių bei mokėjimo vertinimo normomis, kuriu tikslas yra suvienodinti matematinio parengimo reikalavimus visose mokyklose. Vertinimo normų projekte skiriamos trijų rūšių klaidos: esminės klaidos; neesminės klaidos; trūkumai. Esminė klaida - kai mokiniui trūksta pagrindinių žinių ir kai nemoka taikyti praktikoje. Neesminė klaida rodo, kad dar nepakankami gilios arba nepakankamai tvirtos žinios ir mokėjimai arba kad mokinys nežino tų dalykų, kurie pagal programą nėra pagrindiniai. Prie trūkumų priskiriami žodžių rašybos netikslumai, neiškreipiantys atsakymai ar sprendimo esmės, atsitiktiniai apsirinkimai ir panašiai. Už trūkumus pažymys nemažinamas. Atsakymas į teorinį klausymą laikomas nepriekaištingu, kai jis tiksliai atitinka klausymą, yra pagrįstas, trumpas ir nuoseklus, paaiškintas pavyzdžiais. Uždavinio sprendimas laikomas nepriekaištingu, kai teisinga jo eiga ir teisingas jo atsakymas, kai parinktas teisingas sprendimo būdas, gerai atlikti būtini skaičiavimai ir pertvarkymai, nuosekliai ir atidžiai aprašytas. MATEMATIKOS KABINETAS IR MATEMATIKOS MOKYMO PRIEMONĖS Matematikos kabinetu vadiname vientisą, organiškai susietą matematikos mokymo priemonių sistemą, sukomplektuotą viename kambaryje, laikantis mokytojo ir mokinių darbo mokslinio organizavimo reikalavimų. Kabinete turi būti sukomplektuotos visos reikalingos mokymo priemonės ir tenkinti mokyklines higienos reikalavimus. Mokymo primonėmis vadiname įvairius objektus, kurie naudojami mokant ir mokantis matematikos. Mokymo priemonės ne tik palengvina matematikos mokymą, daro jį vaizdesnį. Matematikos mokymo priemonės skirstomos į jutimines ir daiktines. Prie jutiminių mokymo priemonių galima priskirti modelius - aprašymus. Prie daiktinių mokymo priemonių priskiriami natūralūs objektai, klasės lenta, įvairūs specialūs įrengimai. Klasės lenta - svarbiausia matematikos kabineto maokymo priemonė. Ekranines mokymo priemones, matematines sienines lenteles ir demonstracinius modelius priimta vadinti matematikos vaizdinėmis priemonėmis. Kiekvienai šių priemonių būdingos tam tikros didaktinės funkcijos ir galimybės, pedagoginės ir techninės naudojimo ribos. Pagrindinėmis vaizdinėmis mokymo priemonėmis dabar laikomos ekraninės mokymo priemonės. Tai mokomieji kino filmai ir fragmentai, diafilmai ir skaidrės. Antroji vieta tipinių vaizdinių mokymo priemonių sąraše skiriama spausdintoms mokymo priemonėms, prie kurių priskiriami vadovėliai ir uždavinynai, spausdinsienti pratybų sąsiuviniai, sieninės lentelės... Tipinių vaizdinių mokymo priemonių sąraše trečioji vieta tenka demonstraciniams modeliams. Matematikos kabinetas turi būti aprūpintas techninėmis mokymo priemonėmis. Pageidautina turėti: 1. grafoprojektorių; 2. diaprojektorių skaidrėms demonstruoti; 3. kino projektorių filmams demonstruoti; 4. epiprojektorių neperšviečiamiems paveikslams demonstruoti; 5. televizorių; 6. magnetofoną; 7. programuotojo mokymo aparatūrą ir kitas mokymo proceso valdymo priemones. Turi būti griežta visų mokymo priemonių apskaito. Inventorizacijos aktai, buhalterinės apskaito knygos. Matematikos kabinetas yra viso matematikos užklasinio ir metodinio darbo organizavimo centras. MATEMATIKOS MOKYMO METODAI IR KRYPTYS BENDROSIOS PASTABOS Mokymo metodais vadinami mokytojo ir mokinių bendros veiklos būdai, kuriuos taikant mokiniai įgyja žinių, mokėjimų ir įgūdžių, ugdomas mokinių intelektas, formuojama pasaulėžiūra. Bendrąją mokymo metodų teoriją nagrinėja didaktika. Matematikos mokymo metodikos uždavinys - išrinkti iš bendrųjų metodų labiausiai tinkamus matematikos mokymui, papildyti juos atsižvelgiant į matematikos specifiką. Parenkant mokymo metodus, reikia atsižvelgti į mokomosios medžiagos specifiką, į mokinių amžių, į bendraklasės pasirengimo lygį ir į laiką, skirtą klausimui išnagrinėti. Dėl nevykusiai parinkto metodo kartais slopinamas mokinių aktyvumas ir savarankiškumas, gaištamas laikas, mokoma formaliai. Patyręs mokytojas derina įvairius metodus, siekia, kad mokiniai ne tik klausytų, bet ir matytų, rašytų, braižytų, t. y. siekia, kad suvokimo būdai būtų įvairūs. Mokymo metodas bus taikomas sėkmingai, kai mokytojas supras to metodo esmę ir sugebės jį taikyti konkrečiai situacijai, kai žinos, kuriuos mokyklinės matematikos klausimus ir kurioje klasėje tikslinga mokyti tuo metodu, kai įpratins mokinius aktyviai mokytis tuo metodu. AIŠKINIMAS IR MOKYKLINĖ PASKAITA Aiškinimas ir mokyklinė paskaita - bene labiausiai paplitę naujos medžiagos dėstymo metodai. Juos taikant, dažniausiai aktyvus būna tik mokytojas, o mokiniai lieka pasyvūs - klauso mokytojo kalbos ir užsirašo sąsiuviniuose tai, ką mokytojas rašo lentoje. Šie mokymo metodai pedagoginėje spaudoje kritikuojami, bet niekas neneigia, kad jie turi ir kai kurių gerų savybių, kurios išryškėja tik tuomet, kai visomis priemonėmis aktyvinamas mokinio dėmesys ir sudaromos sąlygos savarankiškai protauti. Aiškinimo metodą galima taikyti visose klasėse, tik aiškinimo trukmė turi priklausyti nuo mokinių amžiaus : kuo žemesnė klasė, tuo jis turi būti trumpesnis. Šiaip ar taip, bet jis negali tęstis visą pamoką. Mokyklinė paskaita skaitoma tik aukštesnėse klasėse ir išimtiniais atvejais gali trukti net visą pamoką. Šis metodas taikomas tada, kai dėstomoji medžiaga sudėtinga arba didelės apimties ir nenorima jos skaidyti dalimis, taip pat katrojant išeitą medžiagą, ypač stambius programos skyrius. Pvz, mokykline paskaita galima išdėstyti rodiklinės arba logaritminės funkcijos savybes, supažindinti su matematinės indukcijos metodu, įrodyti trigonometrinių funkcijų sudėties teoremą, išvesti piramidės tūrio formulę ir pan. Kad aiškinimas ar mokyklinė paskaita būtų efektyvūs, mokytojas savo mintis turi dėstyti planingai, nuosekliai, logiškai; neskubėti, akcentuoti svarbiausias vietas, daryti logines pauzes; tinkamai naudoti klasės lentą, vaizdines ir technines vaizdo priemones; dėstyti vaizdžiai, emocingai; moduliuoti balsą, vengti monotonijos. Aiškinimas ir mokyklinė paskaita turi keletą gerų savybių, kurių trūksta kitiems matematikos mokymo metodams; būtent, klausydamiesi matematikos mokytojo kalbos, mokiniai mokosi taisyklingai, tiksliai, nuosekliai, glaustai, rišliai ir logiškai reikšti savo mintis, pratinasi prie matematinės medžiagos dėstymo stiliaus, susipažįsta su pagrindiniais protavimo dėsniais ir problemų sprendimo būdais. EURISTINIS POKALBIS Vienas iš efektyviausių matematikos mokymo metodų yra euristinis pokalbis, kurį taikydamas mokytojas tikslingais klausimais nukreipia mokinių mąstymą pageidaujama kryptimi. Rengdamasis euristiniam pokalbiui, mokytojas suformuluoja ir užrašo pamokos plane visus pagrindinius ir papildomus klausimus, kuriuos jis numato pateikti mokiniams, pasižymi, kaip ir kada apibendrins bei fiksuos iš mokinių atsakymų išplaukiančias išvadas. Pradedantiems dirbti ir neseniai dirbantiems mokytojams patartina apgalvoti ir užsirašyti galimus mokinių atsakymus. Tikslinga numatyti, kurie mokiniai bus klausiami, kurie bus kviečiami rašyti lentoje. Visas reikalingas mokymo priemones reikia paruošti iš anksto. Euristinio pokalbio klausimai turi būti nuoseklūs. Pageidautina, kad klausimai būtų tikslūs, trumpi ir konkretūs, kad jie aktyvintų mokinius, telktųjų dėmesį, skatintų domėjimąsi pokalbiu. Reikia vengti trivialių klausimų, ypač tokių, į kuriuos atsakinėjant galima spėlioti. Mokytojas turi greitai mintyse įvertinti mokinio atsakymą ir, kai reikia, duoti papildomų klausimų, kurie padėtų mokiniams suvokti padarytą klaidą. Nereikia vengti pagirti mokinį: pagyrimas aktyvina, apsaugo nuo baimės apsirikti. Baigdamas pokalbį, mokytojas susumuoja rezultatus, padaro galutinę išvadą, nurodo, kas svarbiausia išnagrinėtoje medžiagoje, ir pagiria bei įvertina aktyviausius mokinius. įtvirtinant išeitąją medžiagą, mokiniai pakartoja pagrindines protavimo grandis arba sudaro trumpą pokalbiu išdėstytos medžiagos planą. Euristinio pokalbio metodas labiausiai tinka aštuonmetės mokyklos matematikos kursui dėstyti, bet gali būti taikomas visose klasėse, tik pokalbio stilius turi atitikti mokinių intelektą. SAVARANKIŠKAS MOKINIŲ DARBAS SU VADOVĖLIU Vienas iš svarbesnių dabartinio matematikos mokymo tikslų - mokyti mokinius savarankiškai įgyti žinių. Todėl reikia išmokyti juos dirbti su knyga- su matematikos vadovėliu, uždavinynu, žinynu, su mokiniams skirtomis knygomis bei žurnalais. Svarbiausias vaidmuo čia tenka matematikos vadovėliui. Matematikos vadovėlis turi specifinių ypatumų: tekste vartojama daug specialių simbolių, nuolat tiesiogiai ar netiesiogiai remiamasi ankstesniu tekstu, tekstas siejamas su brėžiniais, vartojama daugybė terminų, dėstymas tikslus, naudojami įvairūs šriftai - kuriais išskiriami apibrėžimai, nauji terminai. Tikslinga išskirti du darbo su vadovėliu atvejus: darbą su išnagrinėtu tekstu, darbą su dar negirdėtu tekstu. Savaime aišku, antruoju atveju darbas su vadovėliu yra sudėtingesnis, todėl taikytinas tik aukštesnėse klasėse. Svarbiausios darbo su vadovėliu rūšys: 1. Rasti vadovėlyje nurodytą paragrafą arba skyrelį, išskirti nurodytą teiginį, taisyklę arba apibrėžimą. 2. Susieti naujas žinias su senomis. 3. Išskirti nesuprantamas teksto vietas. 4. Atsakyti įklausimus, remiantis perskaitytu tekstu. 5. Išskirti iš teksto pagrindines mintis bei esminius klausimus. 6. Išanalizuoti vadovėlyje pateiktą brėžinį, schemą ar lentelę. 7. Sudaryti nagrinėjamam tekstui kontrolinius klausimus ir įjuos atsakyti. 8.Sudaryti planą arba konspektą. Visų rūšių darbo su vadovėliu reikia mokyti sistemingai, nuosekliai sunkinant užduotis. Todėl mokytojas, pradėdamas dirbti su nauja klase, turi išsiaiškinti, kurių darbo su matematine knyga įgūdžių trūksta mokiniams. PROBLEMINIS MOKYMAS Probleminiu mokymu vadinama tokia mokymo kryptis, kai mokiniai ne paprastai sužino iš mokytojo ar vadovėlio mokslo teiginius, o patys juos „atranda" tiriamąja veikla, kurią organizuoja ir kuriai vadovauja mokytojas. Yra trys probleminio mokymo etapai: 1. probleminės situacijos sudarymas, 2. problemos sprendimas, 3. sprendinio tikrinimas. Svarbiausias probleminio mokymo etapas - probleminės situacijos sudarymas. Probleminę situaciją suprantame kaip mokytojo veiklos dėka išryškėjusį pažinimo prieštaravimą, skatinantį mokinius savarankiškai mąstyti, veikti, ieškoti, aiškintis. Komentuodamas pratimo sprendimą, mokinys aiškina, kuo remdamasis jis atliko tapačiuosius pertvarkymus, kaip taikė formulę ir pan. Komentuojama dažniausiai tada, kai tikrinamos mokinių žinios ir įgūdžiai, baigiant išmokti naują medžiagą. Mokymo problema komentuojant sprendžiama labai retai. Probleminę situaciją galima sudaryti pokalbiu, laboratoriniu darbu ir kitais metodais. Tačiau tų metodų negalima tapatinti su pačiu probleminiu mokymu, nes neužtenka vien problemą iškelti -mokiniai turi savarankiškai ją išspręsti ir patikrinti. Probleminis mokymas vis labiau plinta. Mokomąją medžiagą pateikiant problemiškai, mokiniai stengiasi prisiminti reikiamus faktus, ieško būdų teiginiams argumentuoti, mokosi taikyti mokslinio pažinimo metodus, kritiškai vertinti savo ir kitų protavimus. Taip skatinamas mokinių pažintinis aktyvumas ir savarankiškumas, ugdomas intelektas. Problemiškai pateiktos ir mokinių surastos žinios yra tvirtos, jos ilgai išlieka sąmonėje. Tačiau probleminis mokymas irgi turi trūkumų: neformuojami skaičiavimo, matavimo ir kiti įgūdžiai, sugaištama daugiau laiko, be to, ne kiekvieną mokomosios medžiagos dalį galima išdėstyti problemiškai. 7. Matematikos uždaviniai (klasifikacija : pasirenkamojo atsakymo, trumpo sprendimo, struktūruoti, probleminiai ir klasifikacija ATSR ): paskirtis, sudarymo technologijos, jų sprendimo mokymas. 1.Matematinių uždavinių apibūdinimas Nagrinėsime mokomuosius uždavinius. Matematinį uždavinį sudari duomenų sistema A, vadinama uždavinio sąlyga, ir klausimas (arba užduotis) C, ką reikia sužinoti, apskaičiuoti, įrodyti ir pan. Uždavinio sąlygą siejant su skirtingais klausimais, gaunami skirtingi uždaviniai. Pvz, sąlygą A=(stačiakampio kraštinės lygios 3 cm ir 4 cm) galima sieti su klausimu Q = (reikia apskaičiuoti stačiakampio plotą) ir su klausimu C2 = (reikia apskaičiuoti įstrižainės ilgį). Be sąlygos ir klausimo kiekviename uždavinyje turi būti numanomafunkcinių sąryšių sistema, siejanti nurodytus dydžius. Jei tokių sąryšių nėra, uždavinys neturi prasmės. Uždaviniai kurie turi vieną arba keletą sprendinių, todėl jie vadinami apibrėžtaisiais uždaviniais. Iš apibrėžtojo uždavinio sąlygos A pašalinus kurį nors duomenį ak, gaunamas neapibrėžtasis uždavinys, dažniausiai turintis be galo daug sprendinių, priklausančių nuo to dydžio (parametro), kurio viena reikšmė yra a^. Prie duomenų ai, a2,..., an prijungus dar vieną duomenį an+1, gaunamas uždavinys su pertekline sąlyga A'. Atskiru atveju, kai A=>an+i, gautasis uždavinys iš esmės nesiskiria nuo pradinio uždavinio. Priešingu atveju sąlygos A' duomenys yra prieštaringi, todėl gautasis uždavinys neturi sprendinio. Uždaviniai dar skirstomi į paprastuosius ir sudėtinius. Jei iš uždavinio neįmanoma išskirti kito uždavinio, tai jis vadinamas paprastuoju, o jei įmanoma,-sudėtiniu. Pvz, uždavinys „Mokinys pirko 4 sąsiuvinius po 2 et. Kiek centų jis sumokėjo?" yra paprastasis, o uždavinys „Mokinys turėji 15 et, ir pirko 4 sąsiuvinius po 2 et. Kiek centų jam liko?"- sudėtinis, nes iš jo galima iš skirtio pirmąjį uždavinį. Sudėtinį uždavinį suskirsčius į paprastųjų uždavinių seką ir paeiliui išsprendus tos sekos uždavinius, gaunamas duotojo uždavinio sprendinys. Kartais metodinėje literatūroje teikiamas uždavinių skirstymas į aritmetinius, algebrinius, geometrinius, trigonometrinius ir analizinius nėra griežtas, nes dažnai tą patį uždavinį galima priskirti įvairioms grupėms.Pavyzdžiui, tekstinį uždavinį beveik visada galima spręsti ir aritmetiškai, ir algebriškai. Geometrinio turinio uždavinys dažnai sprendžiamas algebros metodais, todėl neaišku kokiu jį vadinti. Tačiau kai kuriuos uždavinius iš tikrųjų galima priskirti vienai matematikos šakai. Algebrinių lygčių bei nelygybių ir jų sistemų sprendimo uždavinius galima vadinti algebriniais uždaviniais. Analogiškus pratimus su transcendentiniais predikatais ir uždavinius, susijusius su išvestinės ar integralo skaičiavimu, galima priskirti prie analizinių uždavinių. Iš jų galima išskirti trigonometrinių analizinių uždavinių klasę. Atsižvelgiant į didaktinius tikslus, uždaviniai skirstomi [pažintinius, treniruojamuosius ir kūrybinius. Pažintiniais uždaviniais siekiama naujų žinių, todėl jie sprendžiami aiškinant naują medžiagą probleminiu arba euristiniu metodu. Mokykloje daugiausia sprendžiama treniruojamųjų pratimų, kurių tikslas - įtvirtinti matematines sąvokas, ugdyti sąmoningus ir tvirtus matematinių žinių bei metodų taikymo įgūdžius, padėti įsiminti matematinę teoriją. Pažintinių ir treniruojamųjų uždavinių nepakanka siekiant svarbiausio matematikos mokymo tikslo - ugdyti mokinių kūrybinį mąstymą. Todėl būtina sistemingai spręsti kūrybinius uždavinius, kuriems reikia ne tik loginio mąstymo, bet ir matematinės intuicijos, išradingumo, sumanumo, mąstymo lankstumo. Pagal mąstymo tipą, vyraujantį sprendimo procese, uždavinius galima skirstyti į algoritminius, pusiau algoritminius ir euristinius.Treniruojamieji uždaviniai dažniausiai yra algoritminiai, jie sprendžiami pagal formules ir taisykles. Tai kvadratinės lygties šaknų radimo ir kiti panašaus pobūdžio uždaviniai. Pažintiniai uždaviniai dažniausiai yra pusiau algoritminiai, o kūrybiniai - euristiniai. Prie pusiau algoritminių uždavinių galima priskirti, pavyzdžiui, tekstiniu uždavinius, sprendžiamus sudarant lygtį arba lygčių sistemą. Uždaviniu vaidmuo ir funkcijos Sistemingu uždavinių sprendimu reikia siekti svarbiausių didaktinių matematikos mokymo tikslų- teikti gilių ir tvirtų žinių, ugdyti sąmoningus įgūdžius, lavinti kūrybinį mąstymą. Uždavinių sprendimui skiriama labai daug laiko tiek pamokoje, tiek ir atliekant namų darbus. Svarbu šį laiką ne išeikvoti, o panaudoti kuo efektyviau, bet ne visada tai pasiekiama. Kartais neleistinai siaurinamas uždavinių vaidmuo ir didaktinė paskirtis. Pirmoji žalinga tradicinė pažiūra, kad uždaviniai reikalingi tik įgytoms žinioms įtvirtinti arba pakartoti, kontrolinių ir savarankiškų darbų uždaviniai- įgytiems įgūdžiams patikrinti. Antroji žalinga tendencija- stengtis su mokiniais išspręsti kuo daugiau uždavinių nekreipiant dėmesio į jų didaktinę vertę, užmirštant, kad geriau išanalizuoti vieną atidžiai parinktą uždavinį, aptarti įvairius sprendimo būdus ir išsiaiškinti sprendimo loginę pusę, negu spręsti daug uždavinių. Dar verta prisiminti, kad atsakymas į uždavinio klausimą- toli gražu nėjo sprendimo pabaiga. Parenkant uždavinius, reikia naudotis vadovėliuose esančiais uždavinių rinkiniais. Bet juose kartais vartojamos pasenusios, neįdomios formuluotės, negyvenimiškos situacijos (pvz. automobiliai, traukiniai, baseinai su pripildytu ir išpiltu vandeniu ir kt.). Daugelio teikiamų uždavinių funkcijos ribotos, per mažai yra uždavinių, lavinančių kūrybinį mąstymą, todėl yra per mažai didaktiškai vertingų uždavinių. Taip pat yra žalinga netikusi uždavinių sprendimo metodika, nepagrįstas sprendimo metodų standartizavimas, uždavinių skirstymas pagal prielaidą, o ne pagal jų matematinį turinį, ne pagal juose nurodytų dydžių funkcinius sąryšius. Būtina mokinius pratinti kritiškai vertinti patį sprendimą, j į optimizuoti, patikrinti gautąjį rezultatą apibendrinti uždavinį. Sprendžiant matematinius uždavinius, natūraliai formuojasi mokinių kūrybinio mąstymo elementai. Todėl uždavinių formulavimas ir jų sprendimas turi atitikti matematinio mąstymo vystymosi dėsnius. Jie turi padėti susiformuoti mokinio sąmonėje pagrindinėmis mokslinio mąstymo formomis- atskirti esminius dalykus nuo neesminių, analizuoti, modeliuoti, atlikti mintinį eksperimentą. Uždaviniais turi būti kontroliuojamos ne tik mokinio žinios, bet ir jo matematinė veikla. Spręsdami uždavinius turime numatyti funkcijas: uždavinys turi būti sprendžiamas ne tam, kad kuo nors užimtume mokinius, o siekiant didaktinių tikslų. 1. Mokymo funkcijos: formuoti svarbiausias matematines sąvokas, aiškinti tarpusavio ryšius, išryškinti pagrindinius dėsnius, teiginius,principus bei jų struktūrines priklausomybes, ugdyti matematinius sugebėjimus ir įgūdžius, pratinti naudotis įrankiais, lentelėmis bei žinynais, brėžiniais, grafikais ir pan., mokyti protavimų formų bei jo taikymo būdų. 2. Auklėjimo funkcijos: formuoti dialektinę materialistinę pasaulėžiūrą, ugdyti kūrybinius gabumus, meilę darbui, diegti atsakomybės jausmą, lavinti mokinius estetiškai ir pan. Sprendžiant uždavinius reikia atskleisti matematikos pobūdį, taikymo galimybes. Parodę, kaip matematika taikome praktinėmis problemomis spręsti, parodome materialiojo pasaulio formas ir kiekybinius santykius. Duodami spręsti uždavinius su pertekline arba nepilna informacija, padedame mokiniams ruoštis praktinei veiklai. 3. Lavinimo funkcijos: naudotis mokslinio pažinimo metodais (stebėjimu, palyginimu, eksperimentu, analize ir sinteze, apibendrinimu ir specializavimu, abstrahavimu ir konkretinimu), indukciškai ir dedukciškai protauti, teisingai naudotis analogija ir intuicija, atlikti praktinį ir mintinį eksperimentą, sudarinėti hipotezes ir jas tikrinti, modeliuoti paprasčiausias situacijas ( sudarinėti schemas, grafikus, diagramas ir pan.) Atskirti esminius dalykus nuo neesminių, klasifikuoti tiriamuosius objektus, sisteminti įgytas žinias, pasirinkti metodus ir priemones tikslui pasiekti, įžvelgti mokomosios medžiagos ryšį su praktine žmonių veikla ir gretimais mokslais, suvokti praktinę mokslinių žinių vertę. 4. Kontroliavimo funkcijos: uždaviniais tikrinamas mokinio gebėjimas mokytis, jo turimų žinių ir įgūdžių kiekybė bei kokybė, vertinamas jo matematinis mąstymas, nuovokumas, parenkant uždavinius žinių kontrolei, negalima pamiršti, kad kontroliuodami taip pat turime mokyti, auklėti bei lavinti. Uždavinio sprendimas analizės metodu Sprendžiant uždavinį analizės metodu, pradedame ne nuo sąlygos A, o nuo klausimo (užduoties) C. Susipažinus su uždavinio sąlyga ir užduotimi, keliamas klausimas: „ Kokius duomenis reikia turėti, norint tiesiogiai atsakyti į uždavinio klausimą(atlikti nurodytą užduotį)?" Svarstant šį klausimą, reikia atsiminti uždavinio duomenis ir atsižvelgti į sąryšius. Norint atlikti užduotį C, riekia turėti duomenis u ir v, kurie gali būti paprastojo uždavinio Bi=>C duomenys. Jei bent vieną iš tų duomenų nėra, tai reikia kelt klausimą ką reikia dar papildomai rasti. Kada viską išsiaiškinus sudaromas paprastas uždavinys B2=>Bi, kurio sąlygoje turi būti duomenys atsakymui į klausimą Bi gauti. Procesas tęsiamas tol kol sudaromas paprastas uždavinys A=>Bn. Pailiustruokime pavyzdžiu: Jeigu mokiniui yra visiškai aiški yra uždavinio sąlyga bei sprendimas, tai galima spręsti ir sintezės metodu, t.y. iš karto užrašyti sprendimą. Analizės metodas taikytinas tada kai uždavinys yra pakankamai sudėtingas. Sistemingai taikant analizės metodą, sparčiau lavinamas mokinio loginis ir funkcinis mąstymas, formuojasi įgūdžiai, išmokstama spręsti uždavinius savarankiškai. Būtina pabrėžti, kad izoliuoti analizę nuo sintezės neįmanoma Tie metodai vienas kitą papildo, todėl geriausi rezultatai gaunami abu juos tinkamai derinti. © 3.UŽDAVINIO SPRENDIMAS SINTEZĖS METODU Pirmiausia mokinys turi išmokti spręsti paprastuosius uždavinius. Sudaryti paprastųjų uždavinių seką, galima dviem metodais: sintezės ir analizės. Apibudinsime uždavinio sprendimą sintezės metodu. Iš uždavinio sąlygos A duomenų au a2, —, an sudarome kokią nors grupę - paprastojo uždavinio sąlygą, suformuluojame atitinkamą klausimą ir, išsprendę sudarytąjį uždavinį, gauname rezultatą bj. Rezultatą bi prijungiame prie sąlygos A duomenų, gauname pradinį uždavinį su pertekline sąlyga. Iš jo vėl išskiriame paprastąjį uždavinį, jį išsprendžiame ir gautą rezultatą b2 prijungiame prie pradinio uždavinio duomenų. Taip darome tol, kol pavyksta sudaryti paprastąjį uždavinį su klausimu C. Toks ir yra uždavinio sprendimas sintezės metodu, kurį dažniausiai taiko mokiniai. 1 Pvz. Mokinys turėjo 50 et. Kai nusipirko 4 pieštukus po 3 et ir keletą sąsiuvinių po 2 et, jam liko 20 et. Kiek sąsiuvinių pirko mokinys? Iš duomenų sudaromos dvi grupės: „4 pieštukai po 3ct" ir „turėjo 50 et, liko 20 et". Iš tų grupių galima sužinoti, kad už pieštukus sumokėta 12 et, o už visą pirkinį- 30 et. Sudarius naują duomenų grupę „už pieštukus sumokėta 12 et, o už visą pirkinį- 30 et", sužinoma, kad už sąsiuvinius sumpkėta 18 et. Po to sprendžiamas paskutinis paprastasis uždavinys „Už 18 et pirkta sąsiuvinių po 2 et. Kiek sąsiuvinių pirkta?", kurio klausimas sutampa su pradinio uždavinio klausimu. Sintezės metodą galima taikyti ne tik aritmetiniams, bet ir visiems kitiems už-daviniams.Panašiai sintezės metodu sprendžiami ir braižymo uždaviniai: iš duomenų grupės nubraižoma paprasčiausia figūra, kurią prijungus prie duomenų, braižoma kita figūra ir 1.1. Sprendžiant uždavinį sintezės metodu, neįmanoma paaiškinti, nuo kurių duomenų reikia pradėti, ko pirmiausia ieškoti, kokį paprastąjį uždavinį reikia išspręsti pirma ir koki paskui. Todėl šiuo metodu neįmanoma pasiekti pagrindinio uždavinių sprendimo tikslo - išmokyti savarankiškai spręsti uždavinius. Taikydamas sintezės metodą, mokinys dažnai daro nereikalingų veiksmų. Galima sakyti, kad mokinys uždavinį sprendžia ne sintezės, o bandymų ir klaidų metodu. Mat mokinys tokiu atveju gali remtis tik ankstesne patirtimi arba analogija, kurią sukelia sprendžiamasis uždavinys. Sintezes metodu visada užrašomas baigtas uždavinio sprendimas, o sprendžiama - paprastųjų uždavinių seka sudaroma analizės metodu. Probleminiai uždaviniai Aiškindamiesi probleminio uždavinio sąvoką, be matematinio uždavinio sąlygos A ir klausimo C, nagrinėsime dar tris komponentus - sprendimą S, jo rezultatą R ir teoriją T, kuria grindžiamas sprendimas. Šių keturių komponentų sistemą sutrumpintai rašysime ATSR. Paaiškinsime tas sąvokas paprastu pavyzdžiu: „Reikia išspręsti lygtį 5x-17=38". Uždavinio sąlyga A: žinomas atėminys ir skirtumą, bet nežinomas turinys; be to, turinys yra žinomo skaičiaus 5 ir nežinomo skaičiaus sandauga. Sprendimo rezultatas R yra kintamojo x reikšmė,su kuria duotoji lygtis virsta teisinga lygybe. Sprendimą S sudaro transformacijų seka: 5x-17=38«-*5x=38+17^5x=55*-*x=55:5«-*x=ll Toerija T susideda iš skirtumo bei dalmens apibrėžimų ir sudėties bei daugybos dėsnių. Uždavinio problematiškumas priklauso nuo to, kurie jo komponentai (sąlyga A, teorija T, sprendimas S ar rezultatas R) nenurodyti arba nepakankamai žinomi uždavinį sprendžiančiam mokiniui. Matematinį uždavinį vadinsime standartiniu, kai yra tiksliai suformuluota jo sąlyga, žinomas sprendimo būdas ir žinomi (arba lengvai atspėjami) teorijos teiginiai (taisykės, formulės, teoremos), kuriais grindžiamas sprendimas. Tokį uždavinį žymėsime ATSx. Jei nežinomas asba ne visiškai nusakytas vienas iš komponentų A, T ir S, tai uždavinį vadinsime mokomuoju; jį žymėsime arba A?xR, arba AxSR, arba xTSR. Kai nežinomi arba ne visiškai nurodyti du uždavinio komponentai, jį vadinsime paieškos uždaviniu (ATxy, AxyR, xySR, AxTy, xTyR, xTSy), o kai nežinomi arba nepakankamai apibūdinti trys komponentai -probleminiu uždavinių (Axyz, xyzR, xTyz, xySz). Uždavinio priskyrimas vienai ar kitai kategorija priklauso nuo mokymo pakopos ir nuo mokinio žinių lygio. Tas pats uždavinys vienu atveju galibūti standartinis, o kitu - paieškos arba net probleminis uždavinys. Pvz. Uždavinys „Išspręsti lygtį x*x=x" trečios klasės mokiniui yra probleminis, mokiniui, išmokusiam skaidyti daugianarius, - paieškos uždavinys, o mokiniui, išėjimui kvadratinių lygčių teoriją, - standartinis. Iki šiol matematikos pamokose daugiausia sprendžiama standartinių ir mokomųjų AtxR tipo uždavinių, o iš kitų uždavinių, pateiktų papildomuose vadovėlių skyriuose arba pažymėtų žvaigždutėmis, - tik vienas kitas. Tačiau mokinio kūrybinis mąstymas, pasiruošimas savarankiškai veiklai kaip tik apibūdinamas mokėjimu spręsti uždavinius, kuriuos pavadinome probleminiais ir paieškos uždaviniais. Probleminis uždavinys pirmiausia transformuojamas į paieškos uždavinį, o po to — i mokomąjį arba standartinį. Matematikos pamokose galimair reikia nagrinėti probleminius ir paieškos uždavinius, net neturint tokių uždavinių rinkinių: tam galimapanaudoti standartinius uždavinius iš vadovėlių. Nežymiai pakeitus uždavinio formuluote, pakyla jo didaktine vertė, o turinys iš esmės nepasikeičia. Braižymo uždaviniai Savitą uždavinių klasę sudaro vadinamieji braižymo uždaviniai. Braižymo uždavinys - tai geometrinis uždavinys, kuriame reikalaujama iš turimų figūrų pagal tam tikras taisykles sudaryti figūrą turinčią nurodytas savybes. Taisyklėse nurodoma, kokius elementariuosius veiksmus galima atlikti braižant ieškomą figūrą. Sprendžiant planimetrijos braižymo uždavinius, dažniausiai leidžiama atlikti šiuos elementariuosius veiksmus: 1) per du turimus (skirtingus) taškus nubrėžti tiesę; 2) iš turimo centro nubrėžti nurodyto spindulio apskritimą; 3) pažymėti dviejų turimų tiesių sankirtos tašką (kai jis yra); 4)pažymėti turimos tiesės ir turimo apskritimo sankirtos taškus (kai jie yra); 5) pažymėti dviejų turimų apskritimų sankirtos taškus (kai jie yra). Be to,leidžiama laisvai pasirinkti plokštumos, turimos tiesės arba turimo apskritimo tašką ir j į prijungti prie nagrinėjamųjų taškų sistemos. Jei leidžiama atlikti visus penkis elementariuosius veiksmus, tai sakoma, kad braižymo uždavinys sprendžiamas skriestuvu ir liniuote. Geometrijos kurse nagrinėjami vadinamieji pagrindiniai braižymo uždaviniai. Kurie uždaviniai laikytini pagrindiniais, priklauso nuo to, kaip dėstoma pati geometrijos teorija. Pagrindiniais laikomi ir trikampių braižymo uždaviniai, kai jie braižomo žinant pagrindinius elementus: 1) tris kraštines; 2) dvi kraštines ir kampą tarp jų; 3) kraštinę ir du kampus prie jos Braižymo uždavinio sprendimą sudaro keturi etapai: analizė, braižymas (sintezė), įrodymas ir tyrimas. Pirmuoju etapu išsiaiškiname, kaip sudaryti reikiamą elementariųjų veiksmų ir pagrindinių uždavinių grandinę. Tuo tikslu apytiksliai nubraižome ieškomąją figūrą ir pažymime jos elementus. Paskui išjos išskiriame arba papildę brėžinį sudarome paprastesnę figūrą, turinčią dvi savybes: ją mokame nubraižyti iš uždavinio duomenų ir išjos galima gauti ieškomąją figūrą. Antruoju etapu nurodome, kokia elementariųjų veiksmų ir pagrindinių uždavinių grandinė sieja duomenis su ieškomąja figūra. Trečiuoju etapu [rodome, kad nubraižytoji figūra atitinka uždavinio sąlygą. Jeigu tai savaime aišku, tai šis etapas praleidžiamas. Braižymo uždavinio sprendimą baigiame tyrimu, t.y. išsiaiškiname, kokias sąlygas turi tenkinti uždavinio duomenys, kad uždavinys turėtų sprendinį. Be to, nurodome, kiek sprendinių turės uždavinys. Planimetrijos braižymo uždaviniams spręsti yra sukurti specialūs metodai: „geometrinių vietų" metodas, įvairūs transformacijų metodai, algebrinis metodas. Jie nagrinėjami geometrijos mokymo metodikoje. Uždavinių sprendimo mokymas Mokomojo uždavinio sprendimą galima skirstyti į keturis etapus: 1) uždavinio suvokimas, 2) sprendimo plano sudarymas; 3) sprendimo plano vykdymas ir 4) gautojo sprendinio nagrinėjimas Gavęs uždavinį, mokinys turi laikytis taisyklės: pradėti spręsti tik visiškai išsiaiškinęs uždavinio sąlygą, įsitikinęs, kad atsimena jo duomenis, suvokęs, kokie sąryšiai sieja uždavinyje nurodytus dydžius. Todėl uždavinį reikia skaityti atidžiai, suvokti kiekvieno žodžio prasmę ir paskirtį. Sudėtingesnio uždavinio tekstas skaitomas net keletą kartų, stengiantis duomenis suskirstyti į logiškai pagrįstas grupes. Frontalia apklausa mokytojas turi patikrinti, ar visi mokiniai sąmoningai ir tiksliai suprato uždavinio sąlygą ir klausimą. Nagrinėti uždavinio sąlygą daug lengviau, vaizdžiai suvokus joje nurodytus dydžius ir procesus. Tai ypač svarbu nagrinėjant geometrinio uždavinio sąlygą. Geometrinį uždavinį reikia nubraižyti kruopščiai, nes daugiausia klaidų padaroma naudojantis smulkiu, atmestinai nubraižytu, klaidinančiu brėžiniu. Geometrinis uždavinys turi atitikti tiek uždavinio sąlygą tiek ir išjos išplaukiančias išvadas. Todėl sąlygoje nurodyta figūra braižoma tik išsiaiškinus jos elementų sąryšius. Pvz. Jei viena trikampio kraštinė yra dukart ilgesnė už kitą, tai turi atsispindėti ir brėžinyje. Susipažįstant su uždaviniu, labai svarbu, kad mokiniai suvoktų jame aprašytą situaciją. Vyresnėse klasėse didelę reikšmę turi uždavinio sąlygos užrašymas sutartiniai ženklais. Pagrindinis darbo etapas - sprendimo plano sudarymas. Mokiniai linkę iš karto taikyti sintezės metodą, kuris nedaug tepadeda, kai uždavinys yra bent kiek sudėtingesnis ar nestandartinis. Svarbiausia - analizuoti uždavinį. Jei analizuojama sunkiai ir apčiuopiamų rezultatų nematyti, reikia mėginti derinti analizę su sinteze. Sudarant sprendimo planą, pirmiausia reikia stengtis uždavinį priskirti kuriai nors žinomai grupei (tipui). Sudaręs sprendimo planą, mokinys turi jį įvykdyti praktiškai. Jis turi pasirinkti trumpą ir aiškų sprendimo apiforminimo būdą. Svarbu apgalvoti, kuriuos reiškinių pertvarkymus reikia užrašyti ir kuriuos tik nurodyti žodžiu. Lavinti mokinius lakoniškai aiškinti ir pagrįsti protavimus žodžiu ir raštu - vienas iš matematikos mokymo tikslų. Uždavinys baigiamas nagrinėti patikrinus, ar gautasis rezultatas atitinka sąlygą. Uždavinio sprendimui keliami trys kategoriški reikalavimai: jis turi būti teisingas pagrįstas ir išsamus. Jeigu bent vienas šių reikalavimų neįvykdytas, uždavinys nelaikomas išspręstu. Uždavinio sprendimas nėra išsamus, jeigu neatsižvelgta į visus sąlygą atitinkančius atvejus. Be tų trijų kategoriškų reikalavimų pageidaujama, kad sprendimas būtų tinkamai apiformintas, kad jis būtų kuo paprastesnis, kad būtų paaiškinta, kaip ieškota sprendimo kelio (pateikta analizė), kad uždavinys būtų apibendrintas. Mokant savarankiškai spręsti uždavinius, svarbu apgalvotai sudaryti jų seką, kad vieno uždavinio sprendimą būtų galima pagrįsti pirmesnio uždavinio sprendimu. Be to, labai svarbu mokinį sudominti uždaviniu, kad pats norėtu jį išspręsti, įveikti sunkumus. Todėl mokytojas, pasirinkdamas uždavinį, turi pagalvoti ir atsakyti įšiuos klausimus: 1. Kokios to uždavinio didaktinės funkcijos? Kokie matematinės veiklos lavinimo elementai slypi uždavinyje? 2. Ar būtina spręsti kaip tik šį uždavinį? 3. Kodėl uždavinyje nurodyti tie, o ne kiti dydžiai? 4. Kodėl pateikti šie, o ne kiti skaitiniai duomenys? 5. Ar uždavinys sudomins mokinius? 6. Ar mokinys sugebės savarankiškai išspręsti šį uždavinį? Kokių žinių, įgūdžių ir sugebėjimų reikia jam išspręsti? Kokias išvadas reikės padaryti, jei mokinys jo neišspręs? 7. kaip mokytojas galės ir privalės padėti mokiniui? 8. Kaip tas uždavinys siejasi su ankstesniu ir paskesnių mokymo metodu? Taip įvertindamas kiekvieną mokomąjį uždavinį, mokytojas per trumpiausią iai^ftpasiekia gerų rezultatų. 8.Mokslinio pažinimo metodai. Matematiko mokyme (stebėjimas ir eksperimentas, analize ir sinteze paliginimas, abstrahavimas ir apibendrinimas, indukcija, analogija, dedukcija.) Mokslinis pažinimas mokantis matematikos Matematikas nesukuria abstrakčios teorijos iš nieko.Iš pradžių jis stebi, kad kai kurios konkrečių objektų sistemos yra panašios struktūros, kad tų objektų ir jų sąryšių savybės panašios. Tik paskui tos savybės ir sąryšiai abstrakčiai tiriami aibėje, kurios elementai yra idealūs abstraktūs objektai. Taip atsiranda abstrakti dedukcinė teorija, apibendrinanti sistemas, kurios tampa teorijos modeliais. Vadinasi, logiškai modeliai turėtų atsirasti tuomet, kai jau sukurta matematinė teorija, o iš tikrųjų ji yra pagrindas tai teorijai sukurti. Mokytis matematikos - vadinasi, mokyti tam tikro pobūdžio mąstymo veiklos, vadinamos matematine veikla. Aišku, mokinys neprilygsta mokslininko matematiko veiklai, bet kai mokinys pats atranda matematinį dėsnį, jis samprotauja kaip mokslininkas. Vėliau, kai mokinys pereina prie veiksmų su tų aibių elementų skaičiais, jo matematinė veikla pakyla į aukštesnę pakopą. Atrasdamas veiksmų su skaičiais dėsnius, pakeisdamas skaičius kintamaisiais, jis pereina į dar aukštesnį lygį. Todėl matematikos mokymą turime taip organizuoti, kad mokiniui padėtume kilti nuosekliai iš vieno matematikos lygio į kitą. Mokslininko matematinę veiklą sudaro 3 stadijos: 1)Empirinės medžiagos matematizavimas 2)Loginis matematinės medžiagos apdorojimas 3)Sukurtos teorijos taikymas Mokinio matematinę veiklą sudaro 3fazės: 1)Faktų kaupimas, kuriam reikia stebėjimo, eksperimento, indukcijos, analogijos, apibendrinimo ir abstrahavimo. 2)Pirminių sąvokų bei aksiomų sistemos išskyrimas iš sukauptos medžiagos ir dedukcinės teorijos sukūrimas 3)Teorijos taikymas. STEBĖJIMAS IR EKSPERIMENTAS Pažinimas yra objektyvios tikrovės atspindėjimo ir atkūrimo žmogaus sąmonėje procesas. Žmogus, prieš išmokdamas mąstyti turi įgyti gebėjimą tapatinti ir skirti daiktus, reiškinius pagal jų savybes. Pažinimą sudaro 2 pakopos - jutiminė ir mąstymo. Jutiminis susijęs su jutimo organais ir pagrįsta stebėjimu - daiktų ir reiškinių savybių bei sąryšių fiksavimas. Išorinio pasaulio reiškinys, veikdamas jutimo organus, sukelia pojūčius-to daikto arba reiškinio atspindžius sąmonėje. Visuma vadinama suvokiniu. Pažinimui dažnai taikomas eksperimentas-stebėjimas dirbtinėmis sąlygomis. Jis svarbus fizikai, chemijai, biologijai. Matematika nėra eksperimentinis mokslas.Kaip sakėme, matematika turi dar dvi fazes- faktų kaupimo ir jų taikymo. Mokant matematikos tos dvi fazes yra svarbios: 1) teorijos supratimui 2) jos pateisinimui. Patirtis rodo, kad pagrindus eksperimentais, mokomoji medžiaga geriau suprantama ir įsimenama negu tuos faktus pagrindus dedukciniais samprotavimais. Konkrečiau apie stebėjimą ir eksperimentą kalbėsime aiškindami, kaip formuojamos matematinės sąvokos ir sudaromi teiginiai. Analizė ir sintezė Mokykla privalo ne tik teikti mokiniui iš anksto paruoštas žinias, bet ir mokyti savarankiškai jų semtis. Šiam tikslui ypač tinka matematika: joje plačiausiai taikomi ir aiškiausiai pasireiškia bendrieji mokslinio mąstymo metodai. Todėl, mokydamasis matematikos, mokinys gali ir privalo susipažinti su svarbiausiomis taisyklingo mąstymo operacijomis: analize ir sinteze, palyginimu, apibendrinimu ir abstrahavimu, indukcija ir dedukcija. Analizė (pirmine šio žodžio prasme) yra daikto arba reiškinio skaidymas į jam būdingas sudėtines dalis ir tų dalių savybių bei sąryšių tyrimas, o sintezė -vienovę tiriamojo objekto dalių ir savybių jungimas į vienovę. Pavyzdžiui, stebėdami medį, jį analizuojame -skirstome į kamieną, šakas, lapus, žiedus, vaisius ir t.t, fiksuojame tų dalių ypatybes. Tas dalis ir jų savybes jungdami į vienovę, atliekame sintezę. Dabar analize dažnai vadinamas vienas iš mąstymo būdų, kai nuo pasekmės einama prie priežasties, o sinteze - kai nuo priežasties einame prie pasekmės. Pavyzdžiui, analizuojant uždavinį, nuo klausimo einame prie duomenų, o įrodinėjant teiginį analizės metodu, nuo teiginio , kurio teisingumą reikia pagrįsti, - prie teiginio, laikomo teisingu. Įrodinėjant teiginį sintezės metodu, nuo žinomojo teiginio (priežasties) einama prie įrodomojo (pasekmės). Analizė ir sintezė praktiškai neatskiriamos viena nuo kitos: jos papildo viena kitą, sudarydamos vieningą analizės ir sintezes metodą. Šis metodas svarbus kuriant matematinę teoriją, bet dar svarbesnis mokant matematikos. Palyginimas, apibendrinimas ir abstrahavimas Palyginimu vadiname mąstymo operaciją, kuria išsiaiškiname, ar tiriamųjų objektų savybės yra vienodos, ar skirtingos. Jis turi būti prasmingas: galima lyginti tik įmanomus susieti objektus. PVZ, galima lyginti kelių f-jų savybes, bet nėra prasmės lyginti figūros plotą su fizinio kūno mase. Matematiniai objektai turi būti lyginami planingai ir išsamiai: griežtai fiksuojamos tos savybės, į kurias būtina atsižvelgti ir peržvelgiami visi variantai. Kai lyginant įsitikinama, jog tiriamieji objektai turi vienodų savybių, sąmonėje prasideda apibendrinimo procesas : bendrosios savybės jungiamos į vienovę. Bendroji objektų savybė dažniausiai vadinama tų objektų požymiu. Požymiai, būdingi visiems kokios nors aibės elementams ir tik jiems, vadinami esminiais požymiais. Jie skiria tos aibės elementus nuo objektų, nepriklausančių tai aibei. Nuo analizės, sintezės, palyginimo ir apibendrinimo einama prie abstrahavimo. Tai mąstymo operacija, kuria, atmetus neesminius požymius iškeliamas esminių požymių kompleksas. Abstrahavimo rezultatas yra sąvoka - idealus objektas, atspindintis esminius tiriamųjų daiktų arba reiškinių požymius ir žymimas žodžiu arba žodžių grupe. Apibendrinimas pasireiškia perėjimu iš vienos objektų aibės kitą, platesnę aibę, apimančią ir pradinę aibę. PVZ. Apibendrindami skaičiaus sąvoką, iš sveikųjų skaičiaus aibės pereiname į racionaliųjų skaičių aibę, o iš racionaliųjų skaičių aibės pereiname prie realiųjų skaičių aibės. Abstrahavimas yra svarbiausias matematinės teorijos kūrimo metodas, taigi ir svarbus matematikos mokymo metodas. Jau pradinėje matematikos mokymo stadijoje mokytojas gali ir privalo kreipti mokinių dėmesį į abstrakcijos prigimtį. PVZ. Mokiniams sugalvoti, ką reiškia lygybė 2*5=10, kiek centų reikia mokėti už 5 sąsiuvinius, kiek rankų turi 5 vaikai. Priešinga abstrahavimui mąstymo operacija yra konkretumas. Konkretinimą reikia skirti nuo sąvokos iliustravimo - sąvokos aiškinimo pavyzdžiais. PVZ. Konkretindami sąvoką „kvadratinė lygtis", turime nurodyti visus galimus kvadratinių lygčių tipus, o ją iliustruojant - vieną ar kelias konkrečias kvadratines lygtis. ANALOGIJA Nepilnąja indukcija galima gauti tik hipotezę. Kitas būdas hipotezėms gauti yra analogija -skirtingų daiktų arba reiškinių panašumas kuriuo nors atžvilgiu (pvz.: objektui A budinsi požymiai a, b. c, d, e; objektui B budinsi požymiai b, c. d, e; vadinasi tikėtina, kad objektui B budimas ir požymis a). Gauti išvadą analogijos metodu - tai gauti teiginį Pa&"istą daikto arba reiškinio panašumu į kitą daiktą arba reiškinį. Yra keletas analogijos tipų: 1.Kai iš dviejų objektų panašumo kokio nors požymio P atžvilgiu sprendžiama apie jų panašumą požymio Q atžvilgiu, analogija vadinama paprastąja. a)Jei tokiu atveju Q priklauso nuo P, tai analogija vadinama griežtąja. b)Jei Q nepriklauso nuo P - negriežtąja. 2.Kartais iš pasekmių panašumo sprendžiama apie jų priežasčių panašumą arba iš priežasčių panašumo apie pasekmių panašumą. Tai - išplėstinė analogija. Ji taip pat būna griežtoji arba negiežtoji. Analogijos metode tiesiogiai yra nagrinėjamas vienas objektas, o išvada daroma apie kitą objektą. Pirmasis objektas vadinamas modeliu, o antrasis - originalu. Išvados gautos analogijos metodu, yra tikėtinos, bet ne visada teisingos. Jų teisingumas tikrinamas kitais metodais. Šis metodas padeda mokiniams spėti, koks gali būti naujo klausimo sprendimas, skatina savarankiškai mąstyti, ugdo matematinę intuiciją. Analogija dažniausiai remiamasi kalbant apie planimetrijos ir stereometrijos teiginius. Patartina gretinti, pavyzdžiui, tiesės ir plokštumos, apskritimo ir sferos, lygiagretainio ir gretasienio, trikampio ir trikampės piramidės, stačiakampio ir stačiakampio gretasienio savybes. Naudojant analogiją, visada reikia priminti, kad išvadas, gautas analogijos metodu, būtina tikrinti, nes jos gali būti ir klaidingos (pvz.: žinodami natūriniu skaičių dalumo iš 3 ir iš 9 požymius, galime mėginti sudaryti analogiška dalumo iš 27 požymį, bet iis yra klaidingas). Vadinasi, naudotis analogija reikia atsargiai, bet negalima jos vengti. Kai, mokant matematikos, plačiai taikomas analogijos metodas, mokiniai skatinami domėtis šiuo mokslu, tyrinėti, jie lengviau ir tvirčiau išmoksta medžiagą, perkeldami žinių sistemą iš pažįstamo objekto į mažiau pažįstamą, tad ir pačios žinios darosi aktualesnės. Labai naudinga remtis analogija, sprendžiant sunkius uždavinius. Skatinant mokinius naudotis analogija, negalima pamiršti, kad kartais mokinys, neišmokęs teorijos arba išmokęs ją formaliai mėgina analogija pakeisti trūkstamas žinias. Iš tokių mokinių būtina reikalauti, kad jie atliekamas operacijas pagrįstų teoriniais teiginiais, dėsniais ir taisyklėmis. KAI KURIE LOGIKOS DĖSNIAI Matematikoje labai svarbu mokėti iš turimų teiginių sudaryti naujus teiginius, kurių teisingumu ar klaidingumu neabejotume. Todėl matematikos mokymui būtina žinoti matematinės logikos pradmenis. Matematinėje logikoje žiūrima vien teiginio teisingumo - teisingas jis, ar klaidingas, - o į prasmę, reiškiamą mintį nekreipiama dėmesio. Teiginiai dažniausiai žymimi raidėmis p, q, r, s. Teiginiams priskiriamos teisingumo reikšmės 1 ir 0. Jeigu/? yra teisingas teiginys (pvz.: 12 dalijasi iš 3). rašomep=\, o jeigu klaidingas (pvz.: 8 yra pirminis skaičius), rašome p=0. Teiginio p neiginiu vadiname teiginį p („ ne p", „netiesa, kad p"), kuris yra teisingas tada ir tik tada, kai teiginys p - klaidingas. Vadinasi, jei p=l, tai p=0; jei p=0, tai p=\ (pvz.: teisingo teiginio ..12 dalijasi iš 3" neiginys ..12 nesidaliia iš 3" yra klaidingas). Teiginiai p ir p vadinami priešingaisiais teiginiais. Iš to išplaukia du logikos dėsniai (visada teisingi teiginiai): 1.du vienas kitam priešingi teiginiai negali būti abu kartu teisingi (neprieštaravimo dėsnis); 2.iš dviejųpriešingųjų teiginių vienas visada yra teisingas (negalimo trečiojo dėsnis). Teiginių p ir q implikacija p =># („ jei p, tai q", „iš p išplaukia q") vadiname teiginį, kuris yra klaidingas tada ir tik tada, kai p - teisingas teiginys, o q - klaidingas. Implikacijos p =>q teiginys p vadinamas sąlyga, o q - išvada. Iš implikacijos apibrėžimo išplaukia trys dėsniai. 1.Teisingos išvados dėsnis (modus ponens): jei implikacija p=>q ir jos sąlyga p yra teisingi teiginiai, tai išvada q - teisingas teiginys. 2.Klaidingos išvados dėsnis (modus tollens): jei teisingos implikacijos p=>q išvada q yra klaidingas teiginys, tai sąlyga p - klaidingas teiginys. 3.Silogizmo taisyklė: jei p => s ir s=>q yra teisingi teiginiai, tai p=>q - irgi teisingas teiginys. Teiginių p ir q konjunkcija p a q („p ir q") vadinamas teiginys, kuris yra teisingas tada ir tik tada, kai p ir q - teisingi teiginiai. Teiginių p ir q disjunkcija p v q („p arba q") vadinamas teiginys, kuris yra klaidingas tik tada, kai p ir q - klaidingi teiginiai. Teiginių p ir q ekvivalentumu p q („p ekvivalentus q", „p tada ir tik tada, kai q") vadiname teiginį kuris yra teisingas tada ir tik ta«la, kai abu duotieji teiginiai teisingi (p=l ir q=l) arba abu klaidingi (p=0 ir q=0). Teiginiaip^>q,p Aq, p vq, p q vadinami sudėtiniais teiginiais. Logikos dėsniai: 1. ((p=>q) A(q=>p)) «(p«q) 2. p/\q p q 3.p\/q p Aq 4.p=>q p a q 5.(p=>q) ( => p) - kontrapozicijos dėsnis (jei p=>q - teisingas teiginys, tai q => p- taip pat teisingas teiginys). 6.(p Aq=>r) o(pAr^^)- išplėstinės kontrapozicijos dėsnis (jei p Aq=>r-teisingas teiginys, tai p a r => q - taip pat teisingas teiginys). DEDUKCIJA Svarbiausias metodas, kuriuo gaunamos teisingos išvados - tai dedukcijos metodas. Juo iš vienos ar kelių teisingų premisų, laikantis tam tikrų taisyklių, visada gaunama teisinga išvada. Premisos yra teisingi teiginiai ir mūsų tikslas - gauti iš jų teisingą išvadą. Jeigu visos premisos yra bendrieji teiginiai, tai išvada gali būti arba bendrasis, arba dalinis teiginys; jeigu bent viena iš premisų yra dalinis teiginys, tai išvada gali būti tik dalinis teiginys. Pvz.: pagal (T) taisykle iš premisos „Visi kvadratai yra rombai" gauname išvada „Kai kurie rombai yra kvadratai", o iš premisos „Visi lygiakraščiai trikampiai yra taisyklingieji" - išvada „ Kai kurie taisyklingieji trikampiai yra lygiakraščiai". Dažnai dedukciškai protaujant remiamasi kontropozicijos dėsniu: Jei S yra P, tai Sx yra Pv Jei S, nėra Px,tai S nėra P. Pvz.: iš teiginio „Jei funkcija yra diferencijuojama, tai ji yra tolydi" galima daryti išvada „Jei funkcija nėra tolydi, tai ii nėra diferencijuojama". Svarbiausias dedukcijos protavimo būdas yra silogizmas, kurį sudaro dvi premisos ir išvada. Pvz.: Kiekvienas medis (M) yra augalas (P). Ąžuolas (S) yra medis (M). Ąžuolas (S) yra augalas (P). Sąvokos įeinančios į silogizmą, vadinamos silogizmo terminais. Terminas, einąs išvados subjektu („ąžuolas"), vadinamas mažuoju terminu ir žymimas raide S. Terminas, einąs išvados predikatu („augalas"), vadinamas didžiuoju terminu ir žymimas raide P. Tie terminai vadinami kraštiniais terminais. Terminas, kuris yra abiejose premisose ir kurio nėra išvadoje („medis"), vadinamas viduriniuoju terminu ir žymimas raide M. Premisa, į kurią įeina didysis terminas P, vadinama didžiąja („Kiekvienas medis yra augalas"), o premisa, į kurią įeina mažasis terminas S, - mažąja („Ąžuolas yra medis"). Sudarant silogizmą reikia laikytis sąlygų: 1.kiekviename silogizme turi būti tik trys terminai S, M, P; 2.vidurinysis terminas turi būti arba bent vienos bendrosios premisos A (bendrojo teiginio A) subjektas, arba neigiamos premisos (E arba O) predikatas; 3.bent viena premisa turi būti bendrasis teiginys (A arba E); 4.bent viena premisa turi būti teigiama (A arba I); 5.iš dviejų teigiamų premisų (A arba I) negalima daryti neigiamos išvados (E arba O); 6.jei bent viena premisa yra dalinis teiginys (I arba O), tai išvada negali būti bendrasis teiginys (A arba E); 7.jei bent viena premisa yra neigiama (E arba O), tai negalima daryti teigiamos išvados (A arba I). INDUKCIJOS IR DEDUKCIJOS TAIKYMAS MOKANT MATEMATIKOS Dedukcija kartais vadinamas ne tik išvados gavimo metodas, bet ir tam tikras teorinės medžiagos dėstymo būdas: iš bendrų teiginių, dėsnių ar taisyklių išvedami daliniai ar atskiri teiginiai, dėsniai, taisyklės. Dedukcinis dėstymo metodas ir dedukcinis įrodymas yra dedukcinės teorijos pagrindas. Dedukcinė teorija sudaroma šitaip: 1.pateikiamas pirminių sąvokų sąrašas; 2.visos kitos sąvokos apibrėžiamos remiantis pirminėmis arba jau apibrėžtomis sąvokomis; 3.visi teiginiai formuluojami vartojant tik pirmines arba jau apibrėžtas sąvokas; 4.pateikiama aksiomų sistema; 5.visi kiti teiginiai (teoremos) logiškai išvedami iš aksiomų arba iš anksčiau įrodytų teiginių. Dedukcinė teorija dar vadinama aksiomine teorija, nes svarbiausias vaidmuo tenka aksiomoms. Indukcinių ir dedukcinių metodų santykis, mokant matematikos, priklauso nuo mokinių amžiaus. Pvz.: iš lygybės (2+3H5=2+(3+5) ir kitu panašiu lygybių mokinys išveda sudėties asociatyvumo dėsni (a+bHc =a+(b+c). jis taiko indukciją, o kai tuo dėsniu remiasi. norėdamas apskaičiuoti skaitinio reiškinio (478+75H25 reikšme, jis masto dedukciškai -bendraji dėsni taiko konkrečiam atvejui. 9. Matematines sąvokos ir jų formavimo metodika. Matematinės sąvokos ir jų formavimo metodika Matematinės sąvokos apibrėžimas Mokyklinėje matematikoje sąvokos pateikiamos keliais būdais. Pirmiausia išnagrinėsime dažniausiai pasitaikantį klasikinį apibrėžimą, kuriuo nurodoma pateikiamos sąvokos giminė, rūšis ir rūšinis požymis. Kiekvienu matematikos mokymo etapu nagrinėjamos kokios nors aibės A elementai, aptariamos tų elementų savybės ir sąryšiai. Jei aibėje A yra elementų, turinčių savybę P, ir elementų, neturinčių tos savybės tai aibę A galima suskirstyti į dvi klasės: B = {x/xAP(x)} ir = {x/xA }. Sąvoka, kurios apimtis yra aibė A yra naujosios sąvokos giminė. Naujoji sąvoka, kurios apimtis yra klasė B - tos gimininės sąvokos rūšis. Savybė P - rūšinis požymis. Naujajai sąvokai pavadinti sudaromas terminas. Pvz: jau aprašytos klasės B elementai vadinami pirminiais skaičiais. Naujosios sąvokos apibrėžimas sudaromas pagal šitokią schemą: „Aibės A elementas, kuris turi savybę P, vadinamas aibės B elementu" Pvz: Lygiagretainis, kuris turi statų kampą, vadinamas stačiakampiu. Apibrėžimo schema : x A P(x) x B. Kartais gali paaiškėti, kad aibė B - tuščia. Pavyzdžiui, jei iš trikampių aibės išskirsime stačiuosius lygiakraščius trikampius, tai šis poaibis bus tuščias. Todėl, sąvoką formaliai apibrėžus, būtina įsitikinti, kad ji egzistuoja. Matematinių sąvokų apibrėžimams keliami du reikalavimai: 1.Išskirti apibrėžiamąja sąvoką iš artimiausios giminės. 2.Nurodyti minimalų rūšinį požymį. Apibrėžimai, kurie tenkina abu reikalavimus, vadinami korektiškais. Terminai, reiškiantys dvi ir daugiau sąvokas, vadinami omonimais. Pvz: šaknis- gali reikšti ir lygties šaknį, ir skaičiaus šaknį; laipsnis yra ir kampų matavimo vienetas ir algebrinis reiškinys. Kita vertus, skirtingi terminai, reiškiantys tą pačią sąvoką, vadinami sinonimais. Pvz: lygiakraštis trikampis ir taisyklingas trikampis. Klasikinis apibrėžimas nėra vienintelis būdas matematikos sąvokai pateikti. Kartais vartojamas vadinamasis genetinis apibrėžimas, kuriame vietoj rūšinio požymio nurodoma, kaip sudaromas apibrėžiamasis objektas( matematinė sąvoka). Pvz: sferą galima laikyti paviršiumi, kurį nubrėžia pusapskritimis, sukamas apie skersmenį, jungiantį pusapskritimio galus. Matematinių sąvokų mokymo metodika Apibrėžiant naują sąvoką, remiamasi anksčiau apibrėžtomis sąvokomis, kurios savo ruožtu buvo apibrėžtos remiantis pateiktomis dar anksčiau. Taip galima grįžti prie pirmųjų teorijos sąvokų. Savaime aišku, pradinių matematinės teorijos sąvokų apibrėžti neįmanoma, todėl jos pateikiamos be apibrėžimo. Pradinė(neapibrėžiamos) matematinės teorijos sąvokos vadinamos pirminėmis tos teorijos sąvokomis. Dabar sisteminis geometrijos kursas grindžiamas šiomis pirminėmis sąvokomis: taškas, figūra, tiesė, plokštuma, priklauso, yra tarp, atkarpos ilgis, kampo matas. Apibrėžiamosios sąvokos, norint jas atskirt nuo pirminių, kartais vadinamos išvestinėmis sąvokomis. Pirminių sąvokų turinys ir jų tarpusavio ryšiai nusakomi tam tikrais teiginiais, vadinami aksiomomis. Pavyzdžiui, sąvokų „taškas" ir „tiesė" tarpusavio ryšys nusakomas aksioma „ Per du skirtingus taškus eina viena ir tik viena tiesė". Mokant pirminių sąvokų, jos formuojamos mąstymo operacijomis (analizė, palyginimu, sinteze, apibendrinimu, abstrahavimu), remiantis aplinkos daiktų ir specialiai parinktų pavyzdžių bei modelių stebėjimais. Griežtai dėstant matematines disciplinas aukštojoje mokykloje, dažniausiai taikomas abstraktus dedukcinis sąvokų pateikimo metodas: naujos sąvokos apibrėžimas formuluojamas studentų iš anksto neparuošus. Vidurinėje mokykloje beveik visada taikomas konkretus indukcinis metodas: mokiniai stebi ir analizuoja konkrečius pavyzdžius, lygina juos, aptaria jų savybes, išskiria esmines, apibendrina ir abstrahuoja. Sumaniai organizavus šį mąstymo procesą, mokiniai beveik visada sugeba patys suformuluoti naujosios sąvokos apibrėžimą. Mokytojas tik suteikia apibrėžimui korektišką formą. Pavyzdžiui, susipažindami su lygiagretainio sąvoka, mokiniai gali stebėti keturkampius, pavaizduotus lentoje arba plakate, aptaria jų bendrąsias savybes. Iš esminių savybių gali būti pastebėta: priešingos kraštinės lygios, priešingi kampai lygūs ir pan.; iš neesminių - kampai statieji (ne visų!), visos kraštinės lygios (irgi ne visų!). Paskui mokiniai, mokytojo padedami, aptaria, kurias savybes reikia nurodyti apibrėžime, o kurių nereikia ir kodėl. Konkretus indukcinis matematinių sąvokų aiškinimo metodas nepaprastai svarbus I-III klasėse einant propedeutinį aritmetikos kursą ir IV-V klasėse einant propedeutinius algebros ir geometrijos kursus. Propedeutiniuose kursuose sąvokos dažniausiai aiškinamos tik pavyzdžiais, aptariamos įvairios jų savybės. Aukštesnėse klasėse katrais taikomas ir abstraktus dedukcinis sąvokos pateikimo metodas. Jis tinka tik tada, kai naujoji sąvoka lengvai išplaukia iš anksčiau nagrinėtųjų, kai mokinai yra gerai susipažinę su artimiausia giminine sąvoka, o rūšinis požymis labai paprastas ir aiškus. Tokiu atveju teorijos dėstymą galima pradėti sąvokos apibrėžimu, paskui naująją sąvoką iliustruoti pavyzdžiais ir kontrapavyzdžiais. Pavyzdžiui, kvadratinės lygties sąvoką galima patikti šitaip: suformuluoti apibrėžimą („ax2 +bx+c=0 pavidalo lygtis, kurioje a^O, vadinam kvadratine"), paaiškinti tą sąvoką išreiškianti terminą; pailiustruoti tą sąvoka konkrečiais pavyzdžiais. Tipinės apibrėžimų klaidos Išnagrinėsime kai kurias tipines klaida, pasitaikančias mokinių formuluojamuose apibrėžimuose. 1.Išskirdami sąvoką ne iš artimiausios giminės, gauname griozdišką, logiškai netobulą (nekorektišką) apibrėžimą. Tas pats atsitinka, kai apibrėžime nurodomos priklausomos savybės. Pavyzdys. Dažnai mokiniai lygiagretainiu pavadina keturkampį, kurio priešingos kraštinės lygios ir lygiagrečios, nes lygiagretainio vaizdinys jiems primena abi savybes. Priklausomų savybių nurodymas apibrėžime nepakeičia nei sąvokos turinio, nei apimties, bet vis dėlto jis rodo, kad mokinio matematinių žinių lygis nėra aukštas. 2.Nekorektiški apibrėžimai vis dėlto nėra tokie pavojingi kaip klaidingi apibrėžimai. Apibrėžimo klaidos pakeičia sąvokos turinį ir apimtį, iškraipo ją. Gauti prieštarą - vienas iš metodų klaidingiems apibrėžimams paneigti. Dažnai klaidingi apibrėžimai kritikuojami kontrapavyzdžiu. 3.Kartais mokiniai daro klaidą, vadinamą ydinguoju ratu - vieną sąvoką apibrėžia remdamiesi kita sąvoka, kurią savo ruožtu apibrėžia remdamiesi pirmąja. Pavyzdžiui, užuot pasakę, kad stačiuoju vadinamas kampas lygus savo gretutiniam kampui, mokiniai tvirtina, kad statusis kapas - tai toks kampas, kurio kraštinės tarpusavi statmenos. Paklaustas, kokios tiesės vadinamos statmenomis, tuoj pat atsako, kad tai - „tiesės, sudarančios stačiuosius kampus". 4.Kartais, nors ir retokai, mokinių sakomose apibrėžimuose pasitaiko tautologija, t.y. sąvoka aiškinama remiantis ta pačia sąvoka, tik išreikšta kitais žodžiais. Pavyzdžiui, tokia loginė klaida daroma, kai sakoma, kad dalyba yra veiksmas, kuriuo vienas skaičius dalomas iš kito, arba kad figūros vadinamos panašiomis, kai jos panašios viena į kitą. 5.Kartais mokiniai apibrėžimuose visai nenurodo, iš kokios aibės išskiriamas apibrėžiamasis poaibis: vietoj praleidžiamo artimiausios giminės sąvokos termino atsiranda žodelis „tas", ,jeigu" ir pan. Tokiems „apibrėžimams" dirvą dažniausiai paruošia pats mokytojas, neįpratinęs mokinių į klausimą atsakyti pilnu sakiniu. Pavyzdžiui, į klausimą „Ką vadiname stačiuoju trikampiu?" leidžiama mokiniui atsakyti: „Kuris turi statųjį kampą". Didelis mokymo trūkumas yra klaidinga tokių apibrėžimų taisymo metodika. Svarbiausia - neišaiškinę esmės, neužkirsime kelio tokioms klaidoms. SĄVOKŲ KLASIFIKAVIMAS Sąvokos klasifikavimu vadiname tos sąvokos apimties skirstymą į netuščius poaibius laikantis šių reikalavimų: 1) skirstoma pagal vieną esminį požymį, vadinamą klasifikavimo pagrindu; 2) bet kurie du poaibiai negali turėti bendrų elementų; 3) visų poaibių sąjunga turi būti klasifikuojamos sąvokos apimtis; 4) poaibiai turi būti klasifikuojamos sąvokos rūšinių sąvokų apimtys. Gautuosius poaibius vadiname klasėmis, o tų klasių sistemą - klasifikavimo rezultatą - klasifikacija. Taikant dichotomiją, pavyzdžiui, trikampio sąvokai ir klasifikavimo pagrindu laikant kampų didumą, galima iš pradžių trikampius skirstyti į stačiuosius ir pražulniuosius (nestačiuosius), o paskui pražulniuosius trikampius skirstyti į smailiuosius ir bukuosius: Savaime aišku, dichotomiją galima taikyti tol, kol išsemiamos visos rūšinės sąvokos, gaunamos iš pradinės sąvokos. Tuomet klasifikacija vaizduojama daugiapakope schema. Pavyzdžiui, klasifikuodami realiuosius skaičius, natūriniai nulis Klasifikuodami sąvoką, atskleidžiame jos apimtį, skirstome ją, atsižvelgdami į pradines sąvokas ir jos rūšinių sąvokų turinį. Pats klasifikavimas yra efektyvi priemonė siekiant, kad matemetinės sąvokos išliktų tikslios ir griežtos mokinio sąmonėje, kad jos sudarytų darnią schemą. Su paprasčiausiais klasifikavimo pavyzdžiais mokinius reikia supažindinti jau 4-5 klasėje. Klasifikavimas padeda mokiniams tiksliai suprasti sąvokas, išsiaiškinti jų ryšius ir atskirti apimtis. Labai naudinga sąvokas klasifikuoti kartojant išeitą medžiagą: klasifikavimas kartojimą paverčia kūrybiniu darbu, kelia mokinių susidomėjimą pačiu kartojimu. Kadangi klasifikavimas padeda sisteminti išmoktą medžiagą, tai kartojimas pasidaro efektyvesnis, o žinios - gilesnės. Sudarydami sąvokos kilmės medį, einame apimties platėjimo kryptimi, nagrinėjame, kokiomis sąvokomis grindžiamas tiriamosios sąvokos apibrėžimas. Klasifikuodami skirstome sąvokos apimtį, einame prie siauresnių sąvokų. 10. Matematiniai teiginiai. Teoremų įrodymo mokymai. 1. Teiginio forma Prisiminkite kas yra teiginys, tai jūs jau sužinojote pirmame kurse. „Natūrinis skaičius x yra pirminis" negalima laikyti teiginiu, nes neįmanoma pasakyti ar jis teisingas, ar klaidingas. Vietoj x įrašę 7, gausime teisingą teiginį „Natūrinis skaičius 7 yra pirminis", o jeigu 6 gausime klaidingą „Natūrinis skaičius 6 yra pirminis". Tokio tipo sakiniai matematinėje logikoje vadinami teiginių formomis,o mokyklinėje matematikoje-sakiniais su kintamuoju. 'Teiginio formą su kintamuoju x žymėsime P(x) ir skaitysime „ x turi savybę P". Kai teiginio formą P(x) reikės paaiškinti, rašysime: P(x)= (x turi savybę P ). Pateikiant teiginio formą P(x) reikia nurodyti kintamojo x reikšmių aibę, vadinamą tos teiginio formos apibrėžimo sritimi. Kartais konkrečios teiginio formos apibrėžimo sritis aiški iš pačios teiginio formos. Pavyzdžiui: P(x) = ( natūrinis skaičius x yra pirminis) apibrėžimo sritis yra visų natūrinių skaičių aibė N. Nurodydami teiginio formos P(x) apibrėžimo sritį A, rašysime (xe A) P(x). Akivaizdu, kad iš teiginio formos, kai ae A, gauname teisingą ar klaidingą teiginį P(a). Visos kintamojo x reikšmės, su kuriomis gaunami teisingi teiginiai sudaro aibę B, vadinamą tos teiginio formos teisingumo sritimi. T.y. B c A. Pavyzdžiui (xeN)[x Q(x)] yra teisingas, kai B c C. Pvz. „ Jeigu natūrinis skaičius dalijasi iš 6, taijis dalijasi iš 2" yra teisingas, nes B={6, 12,18,...,}, C={2,4,6,...},nesBaC. Norint įsitkinti, kad sąlyginis teiginys (VxeA) [P(x)=> Q(x)] yra klaidingas, užtenka rasti vieną aibės B elementą nepriklausantį C. Pvz. (VxeN) fx(xQ(x)] sąlygą ir išvadą sukeitę vietomis, gausime teiginį (V xeA) [Q(x) =>P(x)], vadinamą atvirkštiniu pirmajam teiginiui. Kai (V xe A) [P(x) =>Q(x)] yra teisingas teiginys, jam atvirkštinis teiginys (V xe A) [Q(x) =>P(x)] gali būti ir teisingas, ir klaitingas. Pavyzdžiui, iš teoremos „ Jeigu lygiagretainio gretimosios kraštinės lygios, tai jo įstrižainės statmenos viena kitai" sudarytas atvirkštinis teiginys „Jeigu lygiagretainio įstrižainės statmenos viena kitai, tai jo gretimosios kraštinėslygios" yra teisingas. O iš teisingo teiginio „Jeigu natūrinis skaičius dalijasi iš 6, tai jis dalijasi iš 2" gaunamas klaidingas atvirkštinis teiginys „Jeigu natūrinis skaičius dalijasi iš 2, tai jis dalijasi iš 6". Lengva suvokti, kada abu vienas kitam atvirkštiniai teiginiai (V xeA) [P(x) =>Q(x)] ir (V xeA) [Q(x) =>P(x)] yra teisingi. Kadangi pirmasis teiginys teisingas, kai B c C, o antrasis teisingas, kai C c B, tai abu teiginiai teisingi, kai B=C, t. y. kai teiginio formų (V xe A) P(x) ir (V xe A) Q(x) teisingumo sritys sutampa. Pavyzdžiui, abu pateiktieji teiginiai apie lygiagretainius yra teisingi todėl, kad aibė lygiagretainių, kurių įstrižainės yra statmenos, sutampa su aibe lygiagretainių, kurių kraštinės lygios. Susitarkime pradinį teiginį (V xeA) [P(x) =>Q(x)] vadinti tiesioginiu. Tuomet teiginys (V xeA) [P(x)=>Q(x)] vadinamas priešingu tiesioginiam teiginiui, o teiginys (V xeA) [Q(x)=> P(x)]- priešingu atvirkštiniam teiginiui.Tiesioginis teiginys (V xeA) [P(x) =>Q(x)] ir teiginys (V xe A) [g(x)=> P (x)],priešingas atvirkštiniam, yra ekvivalentus, t. y. jie yra arba teisingi, arba abu klaidingi. Norint tuo įsitikinti, užtenka pasirinkti bet kurią kintamojo x reikšmę, pažymėti p=P(x), q=Q(x) ir remtis logikos dėsniu (p=>q) ^(g^p)- Panašiai įsitikiname, kad atvirkštinis teiginys yra ekvivalentus priešingajam teiginiui. Todėl iš keturių teiginių yra ekvivalentus tie: (V xeA) [P(x) ^Q(x)] (V xeA) [Q(x)=*P(x)]; (V xeA) [P(x)=>g(x)]o (V xeA) [Q(x) =>P(x)]. Vadinasi, yra tik dviejų iš esmės skirtingų tipų teoremos: tiesioginės ir atvirkštinės. Įrodant teorwmas, dažnai remiamasi tiesioginio teiginio ir atvirkštinio priešingajam teiginiui ekvivalentumu:užuot įrodžius suformuluotąją teoremą, įrodoma teorema, atvirkštinė priešingajai. Toks įrodymas vadinamas netiesioginiu. Pavyzdžiui, norint įrodyti teoremą, atvirkštinę Pitagoro teoremai: „Jei trikampio ABC kraštinėssusietos lygybeAB2=AC2+BC2, tai kampas C yra status", užtenka įrodyti teiginį, priešingą Pitagoro teoremai: „Jei trikampio ABC kampas C nėra status, tai AB2* AC2+BC2". Kaip matėme, iš teoremos (įrodyto teiginio) P=>Q teisingumo neišplaukia, jog ir atvirkštinis teiginys Q=>P yra teisingas. Todėl pastarąjį reikiaįrodyti atskirai. Susipažinsime su viena svarbia sistema teoremų, kurių atvirkštinės teoremos yrateisingos. Teorema.Jeigu Pi => Qi P2=>Q2,-,Pn=> Qn yra teisingi teiginiai, kurių sąlygos Pi, P2,-.., Pn išsemia visus galimus atvejus, o išvados Qlt Q2,--,Qn poromis nesuderinamos, tai atvirkštiniai teiginiai Qi=>P] Q2=>P2,-,Qn=>Pn irgi teisingi .Įrodymas.Užtenka įrodyti, kad vienas, sakysime, pirmasis atvirkštinis teiginys yra teisingas. Implikacija Qi=>Pi neteisinga tik tuo atveju, kai Qi=l, Pj=0. kadangi Ph F*2,..., P„ apima visus galimus atvejus, tai bent vienas iš tų teiginių yra teisingas. Tarkime, kad teisingas teiginys Pj (j *1), t.y. Pj=l. Kadangi implikacija Pj=>Qj teisinga ir Pj=l, tai Qj=l. Vadinasi, Qi=l ir Qpl (j *1). Tai prieštarauja sąlygai, kad teiginiai Qu Q2,--,Qn poromis nesuderinami, t. y. gali būti teisingas tik vienas iš tų teiginių. Todėl implikacija Qi^>Pi turi būti teisinga. Teorema įrodyta. Paaiškinsime pavyzdžiu, kaip taikoma išnagrinėtoji teorema. Trikampio ABC kraštinių ilgius žymėkime šitaip: BC=a, CA=b, AB=c. Galime užrašyti tris teoremas apie kraštines, esančios prieš kampą C, kvadratą: (ZC=90°)^(c2=a2 + b2), (ZC90°)=>(c2>a2 + b2). Sąlygos čia apima visus galimus atvejus (kampas C gali būti tik arba statusis, arba smailusis, arba bukasis), o išvados yra kas dvi nesuderinamos: jei teisingas kuris nors iš teiginių c2=a2 + b2, c2

Daugiau informacijos...

★ Klientai rekomenduoja

Šį rašto darbą rekomenduoja mūsų klientai. Ką tai reiškia?

Mūsų svetainėje pateikiama dešimtys tūkstančių skirtingų rašto darbų, kuriuos įkėlė daugybė moksleivių ir studentų su skirtingais gabumais. Būtent šis rašto darbas yra patikrintas specialistų ir rekomenduojamas kitų klientų, kurie po atsisiuntimo įvertino šį mokslo darbą teigiamai. Todėl galite būti tikri, kad šis pasirinkimas geriausias!