Funkcijos ir integralai

2. Funkcijos y = f(x) integralinės (Rymano)sumos atkarpoje [a;b] apibrėžimas. Apibrėžtinio integralo apibrėžimas. Apibrėžtinio integralo geometrinė prasmė. Sakykime, kad atkarpoje [a;b] apibrėžta teigiama ir tolydi funkcija y = f(x). 1 apibrėžimas. Figūra, apribota iš apačios abscisių ašies, iš šonų x = a ir x = b, iš viršaus funkcijos y = f(x) grafiko, vadinama kreivine trapecija. Apskaičiuosime šios trapecijos plotą. Atkarpą [a;b] taškais a = x0 0 atkarpoje [a;b], tai Įrodymas: Kadangi bet kuriame atkarpos [a;b] taškeir ,tai. Tuomet ir . Perėję prie ribos, kai , gauname reikiamą lygybę. 6. Jei atkarpoje [a;b], tai . Įrodymas: Iš lygybėsišplaukia . Tuomet, remiantis 5 ir 1 savybėmis, , t.y. . 7. Apibrėžtinio integralo įvertinimas. Tarkime, kad m =, M =. Tada . Įrodymas: Kadangiir, tai. Apskaičiuosime sumą ==. dabar aišku, kad, perėję prie ribos nelygybėse, teoremą įrodome. 8. Vidutinės reikšmės teorema. Kadangi ši savybė dažnai naudojama, tai ją suformuluosime kaip teoremą. Teorema: Jeigu funkcija f(x) tolydi atkarpoje [a;b], tai egzistuoja tos atkarpos taškas c, kuriame =. Įrodymas: Kadangi funkcija tolydi atkarpoje [a;b], tai ji šioje atkarpoje įgyja savo mažiausią ir didžiausią reikšmes m ir M, todėl . Tuomet teisingos nelygybės. Padaliję jas iš b - a > 0, gausime. Kadangi dydis yra tarp funkcijos f(x) mažiausios ir didžiausios reikšmių m ir M, tai šis dydis, remiantis teorema apie tolydžios atkarpoje funkcijos tarpinę reikšmę, yra funkcijos f(x) tarpinė reikšmė, įgyjama, pavyzdžiui, kuriame nors taške c (a 0 geometriškai reikštų kreivinės trapecijos aAXx turinčios kintamą kraštinę xX, plotą. Aišku, kad tokios trapecijos plotas irgi bus kintamas ir priklausys nuo x. Todėl=. Teorema: Jei funkcija f(x) tolydi atkarpoje [a;b], =, tai =šios atkarpos taškuose. Įrodymas: Kintamajam x suteikiame pokytįir apskaičiuojame pokytį:====. Integralui taikome vidutinės reikšmės teoremą:===; čia . Tuomet ==. Pasinaudosime išvestinės apibrėžimu:==. Kadangi , kai , tai dėl f(x) tolydumo:== f(x). Taigi = f(x). Iš to išplaukia svarbi išvada: kiekviena tolydi atkarpoje [a;b] funkcija f(x) turi pirmykštę funkciją= 5.Niutono ir Leibnico formulė Išvesime formulę, kuri apibrėžtinį integralą susieja su pointegralinės funkcijos pirmykšte funkcija. Teorema: Jei funkcija f(x) tolydi atkarpoje [a;b] ir F(x) – kuri nors jos pirmykštė šioje atkarpoje, tai =. Įrodymas: Remiantis integralo su kintamu viršutiniu rėžiu teorema, galime teigti, kad tolydi atkarpoje [a;b] funkcija f(x) turi pirmykštę, lygią . Kadangi pagal sąlygą F(x) irgi yra funkcijos f(x) pirmykštė, tai jos turi skirtis tik konstanta, todėl=. Įrašę į šią lygybę x = a, gauname: =, . Taigi =. Įrašę į šią formulę x = b, turime =,=. Ši formulė vadinama Niutono ir Leibnico formule. Skirtumą įprasta žymėti . 6.. Kreivės lanko ilgio apskaičiavimasStačiakampės koordinatės: Tarkime, kad stačiakampėse koordinatėse duota kreivė, kurios lygtis . Rasime šios kreivės lanko AB ilgį. Pirmiausia apibrėšime, ką vadiname kreivės lanko ilgiu. Tuo tikslu lanką AB bet kaip taškais padalykime į n dalių. Sakykime, kad šių abscisės yra . Per gautus taškus išveskime stygas . Stygos ilgį pažymėkime . Tuomet laužtės, įbrėžtos į lanką AB, ilgis bus lygus . Pažymėkime . Apibrėžimas: Kreivės lanko AB ilgiu L vadinama riba, prie kurios artėja įbrėžtos į tą kreivę ilgis, kai . Taigi . Dabar tarkime, kad funkcija f(x) ir jos išvestinė atkarpoje [a;b] tolydžios. Pažymėkime: . Pagal Pitagoro teoremą . Skirtumui pritaikome Lagranžo teoremą. Tuomet . Todėl ir . Vadinasi, . Kadangi f‘(x) tolydi atkarpoje [a;b[, tai irgi tolydi, todėl egzistuoja parašytos integralinės sumos riba, kuri lygi apibrėžtiniam integralui: ; čia . Dydis ds vadinamas kreivės lanko ilgio diferencialu. 7. Išveskite formulę kreivės lankui apskaičiuoti, kai kreivė duota parametrinėmis lygtimis. Kreivės lanko ilgis, kai kreivė duota parametrinėmis lygtimis. Tarkime, kad kreives lygtys yra tokios: x = x (t), y = y(t),t priklauso [t1; t2 ]; čia x (t) ir y (t) tolydžios atkarpoje [t1;t2] funkcijos, turinčios tolydžias išvestines.Tuomet Ir (sqrt(1+y,2))dx=(sqrt(x,2t+y'2t))dt. Vadinasi, jeigu x (t1)=a, x(t2)=b, tai L=a ]b(sqrt(1+ y'2)) dx=t1 ]t2 (sqrt(x't2 +y't2)) dt. 8. Kreivės lanko ilgio apskaičiavimas Polinėse koordinatėse: Tarkime, kad kreivės lygtis polinėje koordinačių sistemoje yra , . Šią lygtį galima pakeisti parametrinėmis lygtimis, naudojant ryšio tarp stačiakampių ir polinių koordinačių formules . Tuomet, įrašę į šias lygtis vietoje dydį , gauname ; čia parametras vaidina parametro t vaidmenį. Tuomet . Randame: , todėl ir ; čia 9.Netiesioginiai integralai su begaliniais rėžiais ir jų konvergavimo požymiai Apibrėžimas: Integraloriba, kaivadinama funkcijos f(x) netiesioginiu integralu intervale ir žymima taip:=. Jei ši riba baigtinė, tai sakome kad netiesioginis integralas konverguoja. Priešingu atveju, kai minėtoji riba yra begalinė arba neegzistuoja, sakome, kad netiesioginis integralas diverguoja. Teorema: Jeigu su visomisreikšmėmis tiesingos nelygybėsir jeigu integralaskonverguoja, tai konverguoja ir integralas, be to,. Teorema: Jeigu su visomisreikšmėmis teisingos nelygybėsir jeigu integralasdiverguoja, tai diverguoja ir integralas. Teorema: Jeigu integralaskonverguoja, tai konverguoja ir integralas. Apibrėžimas: Jeigu, konverguojant integralui, konverguoja ir integralas, tai integralasvadinamas absoliučiai konverguojančiu.Tiriant integralokonvergavimą, iš anksto nėra žinoma, su kokia funkcija reikia palyginti pointegralinę funkciją. Labai dažnai palyginimui naudojama laipsnine funkcija y =. Tarkime, kad Jei taigi integralas konverguoja Jei todėl integralas diverguoja Kai Vadinasi , integralas konverguoja, kai ir diverguoja, kai 10. Trukiųjų funkcijų netiesioginių integralų apibrėžai ir konvergavimo požymiai 1. teorema: tarkime, kad funkcijos f(x) ir g(x) atkarpos [a,b] taške x=a turi begalinį trūkį. Jeigu su visais teisinga nelygybė , tai konvertuojant integralui konvertuos ir 2. teorema: Tarkime, kad funkcijos f(x) ir g(x) atkarpos [a,b] taške x=a turi begalinį trūkį. Jeigu su visais teisinga nelygybė , tai diverguojant integralui diverguoja ir 3. teorema(ribinis palyginimo požymis): tarkime, kad intervale (a,b] taške x=a turinčios begalinį trūkį. Jeigu egzistuoja begalinė riba: , tai integralai ir abu kartu konvertuoja arba abu kartu diverguoja. Taikant palyginimo požymius dažniausiai yra taikomos laipsninės funkcijos y(x)= konvertuoja, kai ir diverguoja, kai ir diverguoja, kai kai funkcija f(x) turi trūkį taške x=b, tai šios f-jos integralas yra lyginamas su laipsninės funkcijos g(x)= 12.Dvilypis integralas polinėje koordinačių sistemoje Tai atvejais, kai integravimo sritį D riboja apskritimų lankai, tiesės, einančios per koordinačių pradžią, kreivės, kurių polinės lygtys yra nesudėtingos, dvilypį integralą patogiau integruoti polinėje koordinačių sistemoje. Išreikškime dvilypį integralą kartotiniais integralais polinėje koordinačių sistemoje. Kai polius sutampa su stačiakampės koordinačių sistemos pradžia, o polinė ašis su Ox teigiamąja pusaše, ryšys tarp taško M(x,y) Dekarto ir polinių koordinačių išreiškiama lygtimis: čia - taško M polinis spindulys , - polinis kampas . Tegul f(x,y) – tolydžioji funkcija, apibrėžta uždaroje aprėžtoje srityje D. Sritį D koordinatinių linijų ir tinklu, t.y. koncentriniais apskritimais ir iš poliaus išeinančiais spinduliais padalykime į n elementarių dalių. Spinduliai ir ir dviejų apskritimų ir lankai apriboja kreivinį keturkampį abcd. Jo kraštinės ab ilgis lygus ir lanko ad ilgis lygus . Šio keturkampio plotas . Parinkę i – toje srityje tašką - kreivinio keturkampio viršūnę, iš dvilypio integralo apibrėžimo, gauname: , čia , - i-tosios srities skersmuo. Reiškinys vadinamas ploto diferencialu (elementu) polinėje koordinačių sistemoje. Toliau dvilypį integralą išreikšime kartotiniais integralais . sakykime, kad sritis D yra taisyklinga atžvilgiu. Tarkime, kad sritį D apriboja dvi kreivės ACB ir AEB ir spinduliai OA ir OB, kurie su poline ašimi sudaro kampus ir . Tegul kreivių ACB ir AEB lygtys yra ir . Tuomet: . 13. Pirmojo tipo kreivinio integralo apibrėžiams ir jo savybės Baigtine integraline suma σn riba, kai χ → 0n nepriklausanti nuo lanko AB padalijimo i dalinius lankus būdo bei taškų Mi parinkimo, vadinama funkcijos f(x,y) pirmojo tipo kreiviniu integralu kreive L. 1. Jei f1(x,y) ir f2(x,y) – tolydžios funkcijos, apibrėžtos kreivės L taškuose, o c1 ir c2 – bet kokie realieji skaičiai, tai 2. Jei integravimo kreivė L susideda iš baigtinio skaičiaus glodžiųjų lankų Li, i = 1,k tai 3. Pirmojo tipo kreivinio integralo skaitinė reikšmė nepriklauso nuo krypties, kuri gali būti suteikta keliui AB: 4. Jei f(x,y) ≡ 1, (x,y) L, tai l – kreivės lanko L ilgis 5. Integralo modulio įvertis 6. Jei f1(x,y) ≤ f2 (x,y) (x,y) L, tai 7. Vidutinės reikšmės teorema. Jei funkcija f(x,y) tolydi kreivės lanko L taškuose, tai egzistuoja toks taškas M(ξ,η) L, kad 14. Kreivės lanko masės apskaičiavimas Tarkime, kad erdvinės kreivės L taškuose apibrėžta tolydžioji f-ja , kuri išreiškia materialiosios kreivės L masės pasiskirstymo tankį. Apskaičiuosime tos materialiosios kreivės L masę m. Kreivę L suskaidome į n dalinių lankų, kurių ilgius pažymime . Kiekviename daliniame lanke laisvai pasirenkame po tašką . Tarkime, kad masės tankis daliniame lanke yra pastovus ir lygus . Tuomet i-tojo lanko masė , o visos kreivės masė: . Tikslią masės reikšmę gausime, perėję prie ribos, kai : 15.Pirmojo tipo kreivinio integralo apibrėžimas. Pirmojo tipo kreivinio integralo apskaičiavimas (išvesti formules, trys atvejai). Tarkime, kad f-ja f(x,y) yra apibrėžta glodžios kreivės L lanko AB taškuose. Lanką AB padaliname į n dalinių lankų , kurių ilgis . Kiekviename daliniame lanke laisvai pasirenkame po tašką . Sudarome integralinę sumą: . Baigtinė integralinės sumos riba, kai , nepriklausanti nuo lanko AB padalinimo į dalinius lankus ir taškų pasirinkimo, vadinama pirmojo tipo kreiviniu integralu kreive L ir žymima arba . Teorema: Jei kreivė L yra tolydi, o f-ja f(x,y) yra tolydi šios kreivės taškuose, tai egzistuoja f-jos f(x,y) pirmojo tipo kreivinis integralas. Apskaičiavimas: Tarkime, kad plokštumoje x0y yra duota glodi kreivė L, kurios lygtis y=g(x), , be to f(x,y) yra tolydi kreivės L taškuose. Tada kreivės taško koordinatės (x, g(x)) ir bus teisinga lygybė , kai . Pasinaudoję formule , gauname , perėję prie ribos, kai , pirmojo tipo kreivinį integralą išreiškiame apibrėžtiniu integralu: . Jeigu kreivė L duota parametrine lygtimi ,, , tai pirmojo tipo kreivinis integralas išreiškiamas taip: . Kai glodi kreivė L duota polinėse koordinatėse lygtimi , , pirmojo tipo kreivinis integralas lygus: . 16.Antrojo tipo kreivinio integralo apibrėžimas. Antrojo tipo kreivinio integralo apskaičiavimas Kreivę vadiname orientuota, kai nurodyta, kuris iš dviejų taškų yra pradžia, ir kuris – galo taškas. Kai kreivė yra uždara, susitarta, kad teigiamoji kreivės apėjimo kryptis bus ta, kuria taškas judėdamas kreive, kairėje pusėje turi kreivės ribojamą sritį. Tarkime, kad turime glodžią orientuotą kreivę , kurios taškuose yra apibrėžtos dvi tolydžios f-jos P(x,y) ir Q(x,y). Taškais kreivę padaliname į n dalių: . Tarkime, kad dalinio lanko ilgis lygus . Pažymime: ;. Kiekviename daliniame lanke laisvai pasirenkame po tašką . Sudarome integralinę sumą: . Apibrėžimas: Baigtinė integralinės sumos riba, kai , nepriklausanti nuo orientuotos kreivės L padalinimo į dalis būdo ir taškų pasirinkimo, yra vadinama antrojo tipo kreiviniu integrali kreive ir žymima . Kai , tai gauname kreivinį integralą . Kai , gauname toki kreivinį integralą . Apibrėždami pirmojo tipo kreivinį integralą f-jos reikšmę taške dauginame iš dalinio lanko ilgio . Kadangi dalinio lanko ilgis nepriklauso nuo orientuotos kreivės krypties, tai lanko krypties pakeitimas neturi jokios įtakos pirmojo tipo kreivinio integralo reikšmei. Apibrėždami pirmojo tipo kreivinį integralą, f-jos reikšmę taške dauginame iš dalinio lanko projekcijų ir . Kai pakeičiame kreivės kryptį, tuo pačiu pakeičiame ir dalinio lanko projekcijų ženklus. Todėl . Apskaičiavimas: Nagrinėsime integralą . Tarkime, kad kreivės L lanko AB parametrinės lygtys yra , . Lanko pradžia pradžios tašką A atitinka parametro t reikšmė , lanko galo tašką B atitinka . Be to, tegul f-jos x(t), y(t) ir jų išvestinės , yra tolydžios atkarpoje , o f-ja P(x,y) yra tolydi kreivės L taškuose. Sudarome integralinę sumą, kuri atitinka nagrinėjamą integralą: . Pritaikę Lagranžo teoremą, gauname ;. Tašką pasirenkame taip, kad galiotų lygybės: , . Tada gauname . Pastaroji suma (dešinėje lygybės pusėje) yra tolydžios f-jos integralinė suma. Todėl, priėję prie ribos, kai , gauname . Jei yra tolydžios atkarpoje , f-jos P(x,y) ir Q(x,y) yra tolydžios kreivės L taškuose, tai . Kai tiesė L yra išreikšta lygtimi , o judėjimą iš taško A į tašką B atitinka x kitimas nuo a iki b, tai . 17.Kintamos jėgos darbo apskaičiavimas Tarkime, kad materialusis taškas juda kreive L, veikiamas kintamos jėgos - . Apskaičiuosime šios jėgos atliktą darbą. Kreivės lanką L padaliname į n dalinių lankų . Kiekviename lanke pasirenkame po tašką . Tarkime, kad kiekviename daliniame lanke jėga yra pastovi ir lygi , o materialusis taškas juda ne lanku , bet atkarpa . Tada materialaus taško poslinkis bus lygus . Kadangi darbas yra lygus jėgos ir poslinkio vektorių skaliarinei sandaugai, tai jėgos atliktas darbas bus apytiksliai lygus: , perėję prie ribos, kai , gauname: 18.Išvesti Gryno formulę Tarkime, kad sritis D, kurią apriboja uždara kreivė L, yra taisyklingoji. Teorema: Tarkime, kad srityje D, kurią apriboja uždara kreivė L, yra apibrėžtos tolydžios f-jos P(x,y), Q(x,y), turinčios tolydžias dalines išvestines ,, tada ir kreivė L yra apeinama teigiamąja kryptimi. Įrodymas: Tarkime, kad duota sritis D. Apskaičiuojame dvilypį integralą pakeisdami jį kartotiniu. = . Pirmasis integralas yra gaunamas iš kreivinio integralo , kai integruojame kreivę l, kurios lygtis yra . Kadangi yra lanko AEB lygtis, tai . Analogiškai gauname, kad antrasis integralas lygus . Iš šių lygybių gauname . Lankai AEB ir BCA sudaro kontūrą L, todėl kreivinių integralų suma lygi kreiviniam integralui kontūru L. Lankais AEB ir BCA yra judama neigiamąja kreivės L apėjimo kryptimi. Integravimo kryptį pakeitę teigiamąja kreivės L apėjimo kryptimi, gausime . 19.Antrojo tipo kreivinio integralo nepriklausomo nuo integravimo kelio sąlygos (įrodyti dvi teoremas: 1 teorema apie integralą uždaruoju kontūru; 2 teorema apie dalinių išvestinių lygybę). 1 teorema: Antrojo tipo kreivinis integralas nepriklauso nuo integravimo kelio tada ir tik tada, kai integralas bet kokiu uždaru kontūru L, esančiu srityje D, yra lygus nuliui. Įrodymas: Tarkime, kad kreivinis integralas nepriklauso nuo integravimo kelio, o priklausom tik nuo lanko pradžios ir galo taškų A ir B. Tada . Iš pastarosios lygybės gauname, kad . Iš čia gauname, kad . Kadangi lankai ACB ir BEA sudaro uždarą kontūrą L, tai . Dabar tarkime, kad kreivinis integralas bet kokiu uždaro kontūru L yra lygus 0, t.y. . Tarkime, kad kontūrą L sudaro lankai ACB ir BEA. Tada . Iš čia gauname, kad integralas . Gauname, kad , o tai reiškia, kad integralas nepriklauso nuo integravimo kelio. 2 teorema: Tarkime, kad funkcijos P(x,y), Q(x,y) ir jų dalines išvestinės ir yra tolydžios vienajungėje srityje D. Integralas bet kuriuo uždaruoju kontūru L, esančiu srityje D, lygus 0 tada ir tik tada, kai visuose srities D taškuose teisinga lygybė . Įrodymas: tarkime, kad integralas bet kuriuo uždaruoju kontūru L, ribojančiu sritį D* yra lygus 0. tada taikydami Gryno formulę gauname: . Įrodysime, kad , su visais x ir y iš srities D. Šią lygybę įrodysime prieštaravimo metodu. Tarkime, kad bent viename srities D taške M. Apibrėžtumo dėlei tarkime, kad . Kadangi dalinės išvestinės yra lygios, tai ši lygybė yra teisinga ne tik taške M, bet ir tam tikroje to taško M aplinkoje . Tarkime, kad aplinką apriboja uždara kreivė . Tada iš dvilypio integralo savybių gauname: . Pastaroji nelygybė prieštarauja prielaidai, kad integralas bet kuriuo uždaru kontūru , ribojančiu sritį lygus 0. t.y. gavome prieštaravimą tam kad . Darome prielaidą, jog bent viename taške M yra neteisinga vadinasi, visuose srities D taškuose. 20.Pirmos eilės diferencialinių lygčių bendrosios sąvokos. Koši uždavinys. Sprendinio egzistavimo ir vienaties teoremos formuluotė Diferencialine lygtimi vadinama lygtis, kuri turi nepriklausomą kintamąjį x, ieškomą f-ją y bei jos dalines išvestines ,. . Jei ieškoma f-ja y yra vieno kintamojo x f-ja, tai lygtis vadinama paprastąja. Apibrėžimas: Diferencialinės lygties eilė yra vadinama aukščiausios eilės išvestinės, įeinančios į lygtį, eilė. Apibrėžimas: Diferencialinės lygties sprendiniu arba integralu vadinama f-ja , tenkinanti šią lygtį. Kiekvieną lygties sprendinį atitinka tam tikra kreivė, kuri vadinama integraline kreive. Pirmos eilės diferencialinė lygtis apibrėžiama taip: . Tokia lygtis turi be galo daug sprendinių. Iš sprendinių aibės norėdami išskirti kurį nors vieną pareikalausime, kad jį atitinkanti integralinė kreivė eitų per tašką , .t.y., kad būtų tenkinama sąlyga: . Ši sąlyga vadinama pradine sąlyga. Apibrėžimas: diferencialinės lygties bendruoju sprendiniu vadinama f-ja , priklausanti nuo konstantos C ir tenkinanti šias sąlygas: 1. su bet kokia C reikšme ji tenkina diferencialinę lygtį; 2. kad ir kokia būtų pradinė sąlyga , visada egzistuoja tokia konstantos C reikšmė , su kuria f-ja tenkina tą pradinę sąlygą. Kartais bendrasis sprendinys yra apibrėžiamas tokiu pavidalu . Toks sprendinys yra vadinamas bendruoju diferencialinės lygties integralu. Apibrėžimas: Atskiruoju lygties sprendiniu yra vadinamas sprendinys, kuris gaunamas iš bendrojo sprendinio fiksuojant konstantos C reikšmę . Apibrėžimas: Lygties sprendinys , kurio negalima gauti iš bendrojo sprendinio nė su viena konstantos C reikšme, yra vadinamas ypatinguoju sprendiniu. Apibrėžimas: Uždavinys, reikalaujantis rasti lygties sprendinį, vadinamas Koši uždaviniu. Teorema (Koši uždavinio sprendinio egzistavimo ir vienaties teorema): tarkime, kad f-ja ir jos išvestinė yra tolydžios srityje D, kuriai priklauso taškas . Tuomet egzistuoja taško aplinka, kurioje egzistuoja vienintelis lygties sprendinys , tenkinantis pradines sąlygas . Geometriškai tai reiškia, kad yra vienintelė f-ja , kurios grafikas eina per tašką . Kai teoremos sąlygos yra neišpildytos, per tašką gali eiti ne viena, o kelios integralinės kreivės. 21.Pirmos eilės diferencialinės lygtys su atskirais kintamaisiais ir jų sprendimas arba yra vadinama lygtimi su atskirais kintamaisiais. Padalinę abi lygties puses iš gauname lygtį su atskirais kintamaisiais: . Šios lygties bendrasis integralas (bendrasis sprendinys) yra . Dalindami abi puses iš reiškinio laikome, kad jis yra nelygus 0. Jei yra lygčių , realieji sprendiniai, tai taip pat bus diferencialinės lygties sprendiniais. Jei šie sprendiniai negaunami iš bendrojo sprendinio tai juos užrašome papildomai. 22.Homogeninės diferencialinės lygtys ir jų sprendimas Apibrėžimas: Lygtis yra vadinama homogenine jeigu , . Tarkime, kad lygtis yra homogeninė. Pažymėję gauname, kad . Pažymėję gausime ,. Atsižvelgę į šiuos pažymėjimus iš homogeninės lygties gausime lygtį su atskirais kintamaisiais . . Tarę, kad atskiriame kintamuosius ir integruojame abi lygties puses. . Jei , tai įrašę u išraišką gauname homogeninės lygties bendrąjį sprendinį 23.Pirmos eilės tiesinės homogeninės diferencialinės lygtys ir jų sprendimas. Bernulio lygtis Apibrėžimas: Pirmos eilės tiesine diferencialine lygtimi (1) yra tolydžios tam tikrame intervale. Kintamojo keitimo (Bernulio) metodas Lygtis sprendžiama naudojant keitinį , ura f-jos turinčios tolydžias išvestines. Įrašę y išraišką į pirmą lygtį gauname . F-ja u parenkame taip, kad . Pastaroji lygtis yra su atskirais kintamaisiais ir ją išsprendę gauname ;; ; . Įrašę f-jos u išraišką į pirmąją lygtį gauname ; . Suintegravę abi lygybės puses gauname . Įrašę f-jų u ir v išraiškas gauname pirmosios lygties bendrąjį sprendinį Bernulio lygtis: Apibrėžimas: Bernulio diferencialine lygtimi vadiname lygtį . Kai gauname pirmos eilės tiesinę lygtį. Kai gauname lygtį su atskirais kintamaisiais. Abi lygties puses daliname iš : . Įvedę naują kintamąjį gauname ; ; ; . Šią Bernulio lygtį suvedame į pirmos eilės tiesinę lygtį, todėl Bernulio lygtį galime spręsti naudodami keitinį . Kai taip pat yra Bernulio lygties sprendinys. 24.Antros eilės tiesinės diferencialinių lygčių bendrosios sąvokos. Sprendinių tiesines priklausomybės ir nepriklausomybės apibrėžimai. Vronskio determinantas. Įrodyti teoremas apie sprendinių tiesinę priklausomybę, panaudojant Vronskio determinantą Apibrėžimas: n-tosios eilės diferencialine lygtimi vadiname lygtį . N-tosios eilės lygties bendrasis sprendinys priklauso nuo n konstantų ir turi tokią išraišką . - n kartų diferencijuojama f-ja. Suformuluosime Koši uždavinį: ieškomas lygties sprendinys y tenkinantis pradines sąlygas , , ,... Vronskio determinantas: Tarkime, kad f-jos , yra diferencijuojamos intervale (a,b). Determinantas yra vadinamas Vronskio determinantu. Sprendinių tiesinės nepriklausomybės teoremos: 1 Teorema: Jei , yra tiesiškai priklausomos intervale (a,b), tai , Įrodymas: kadangi , tiesiškai priklausomos , tai , iš čia gauname 2 Teorema: Jei lygties (1) atskirieji sprendiniai , yra tiesiškai nepriklausomi intervale (a,b), tai . Įrodymas: Tarkime, kad , yra pirmos lygties sprendiniai tiesiškai nepriklausomi intervale (a,b). Teoremą įrodysime prieštaravimo metodu. Tarsime, kad bent viename intervalo (a,b) taške . Sudarome lygčių sistemą . Šios sistemos determinantas yra lygus Vronskio determinantui taške , t.y. jis lygus nuliui. Tai reiškia, kad egzistuoja sprendinys , ir bent vienas iš skaičių , yra nelygus nuliui. Sudarome pirmosios lygties atskirąjį sprendinį . Šis sprendinys tenkina pradines sąlygas ir . . Akivaizdu, kad f-ja , tenkina pirmąją lygtį ir tas pačias pradines sąlygas ir . Tačiau pirmoji lygtis gali turėti tik vieną sprendinį, tenkinantį duotąsias sąlygas, todėl atskirieji sprendiniai ir sutampa.. Kadangi bent vienas iš skaičių , yra nelygus nuliui, tai iš pastarosios lygybės išplaukia, kad ir yra tiesiškai priklausomi. Gavome prieštaravimą teoremos sąlygai, kad ir yra tiesiškai nepriklausomi, todėl padaryta prielaida taške yra neteisinga. Vadinasi kiekviename taške . 3 Teorema: Jei Vronskio determinantas sudarytas iš (1) lygties atskirųjų sprendinių , yra nelygus nuliui bent viename intervalo (a,b) taške , tai jis nelygus nuliui kiekviename to intervalo taške. Įrodymas: Kadangi taške , tai ir yra tiesiškai nepriklausomi intervale (a,b). Taip yra todėl, kad jeigu jie būtų tiesiškai priklausomi, tai intervale (a,b) ir taške . Tai prieštarautų teoremos sąlygai. Kadangi ir yra tiesiškai nepriklausomi, tai iš antros teoremos gauname, kad su visais iš intervalo (a,b). 4 Teorema: (1) lygties atskirieji sprendiniai , yra tiesiškai nepriklausomi tada ir tik tada, kai intervale (a,b). Įrodymas: Būtinumas: Iš antros teoremos išplaukia, kad jei , yra tiesiškai nepriklausomi, tai intervale (a,b). Pakankamumas: Tarkime, kad intervale (a,b). Jei , būtų tiesiškai priklausomi, tai . Kadangi tai prieštarauja padarytai prielaidai tai , - tiesiškai nepriklausomi. 5 Teorema: Tarkime, kad ir sudaro (1) lygties fundamentaliųjų sprendinių sistemą. Tada ir yra tiesiškai nepriklausomi. Įrodymas: Teoremos teiginys išplaukia iš to, kad ir sprendinių fundamentalumas ir tiesinis nepriklausomumas yra apibrėžiami ta pačia sąlyga . 25.Teorema apie antros eilės tiesinės homogeninės diferencialinės lygties bendrojo sprendinio struktūrą formuluotė ir įrodymas. Teorema: jei , sudaro lygties (2) fundamentaliųjų sprendinių sistemą, tai lygties bendrasis sprendinys yra lygus: ; - konstantos. Įrodymas: iš pradžių įrodysime, kad tenkina (2) lygtį. Kadangi ir yra atskirieji antrosios eilės sprendiniai, tai ; . Atsižvelgę į šias lygybes bei įrašę y išraišką į (2) lygtį gauname Įrodysime, kad y tenkina (2) lygtį. Tarkime, kad duotos pradinės sąlygos . Atsižvelgę į pradines sąlygas ir bendrojo sprendinio y išraišką gauname lygčių sistemą . Šią sistemą sprendžiame nežinomųjų ir atžvilgiu. Šios sistemos koeficientų determinantas yra lygus Vronskio determinantui taške iš intervalo (a,b). Kadangi ir sudaro fundamentaliųjų sprendinių sistemą, tai šis determinantas nelygus nuliui. Tai reiškia, kad lygčių sistema turi vienintelį sprendinį ir . Įrašę šias konstantų reikšmes į bendrąjį sprendinį gauname atskirąjį sprendinį , tenkinantį duotąsias pradines sąlygas. O tai reiškia, kad yra bendrasis (2) lygties sprendinys. 26.Teorema apie antros eilės tiesinės nehomogeninės lygties bendrojo sprendinio struktūrą formuluotė ir įrodymas. Nagrinėsime lygtį (1), - tolydžios tam tikrame intervale (a,b) f-jos. 1 teorema: (1) lygties bendrasis sprendinys lygus (1)-ąją lygtį atitinkančios homogeninės lygties bendrojo sprendinio ir (1)-os lygties atskirojo sprendinio sumai, t.y. . Atsižvelgę į pradines sąlygas, gauname lygčių sistemą . Lygčių sistemos determinantas , nes ir yra tiesiškai nepriklausomi homogeninės lygties sprendiniai. Todėl sistema turi vienintelį sprendinį ir . F-ja tenkina duotąsias pradines sąlygas. Vadinasi Įrodymas: Iš pradžių įrodome, kad tenkina (1) lygtį. Įrašę y išraišką į (1) lygtį, gauname: . Tarkime, kad duota pradinė sąlyga: ir . Homogeninės lygties bendrą sprendinį pažymime taip: . Tada yra bendrasis (1) lygties sprendinys. 27.Antros eilės tiesinių nehomogeninių lygčių sprendimas konstantų variavimo metodu (Lagranžo metodas) (1). Šios lygties bendrasis sprendinys yra . - (1)-ą lygtį atitinkančios homogeninės lygties bendrasis sprendinys, Y – atskirasis (1)-os lygties sprendinys. Tarkime, kad , tada tariame, kad . Rasime f-jas ir . Tariame, kad . F-jas ir parenkame, taip kad . Tada ; . F-jos y ir jos išvestinių išraiškas statome į (1) lygtį: . Suintegravę kairėje pusėje esantį reiškinį, gausime: . Kadangi ir yra homogeninės lygties sprendiniai, gauname: . Atsižvelgę į pastarąją lygybę ir anksčiau padarytą prielaida, gauname lygčių sistemą. Šią sistemą sprendžiame nežinomųjų ir atžvilgiu. Šios sistemos determinantas , sudarytas iš tiesiškai nepriklausomų homogeninės lygties sprendinių , yra nelygus 0, todėl sistema turi vienintelį sprendinį , . Iš čia gauname, kad , . Tai reiškia, kad , o (1)-os lygties bendrasis sprendinys: 28.Antros eilės tiesinių homogeninių lygčių su pastoviais koeficientais sprendimas (trys atvejai su įrodymais) Nagrinėsime lygtį: (1). Norėdami rasti šios lygties bendrąjį sprendinį, turime rasti du tiesiškai nepriklausomus lygties sprendinius ir . Tada šios lygties bendrasis sprendinys lygus: . Tarkine, kad (1)-os lygties atskirasis sprendinys turi tokią išraišką: , - const. Tada , , įrašome y ir jo išvestinių išraiškas į (1) lygtį. Gauname: . Iškeliame . Kadangi , tai f-ja bus (1) lygties sprendinys tik tada, kai galios lygybė: . Pastaroji lygtis yra vadinama (1) lygties charakteringąja lygtimi. Charakteringosios lygties šaknis pažymėkime ir ir nagrinėkime 3 atvejus: 1. yra realios skirtingos šaknys. Šiuo atveju gauname du atskiruosius sprendinius , . Kadangi , todėl ir yra tiesiškai nepriklausomi ir (1) lygties bendrasis sprendinys perrašomas taip: . 2. . Šiuo atveju gauname tik vieną atskirąjį sprendinį . Tiesiškai nepriklausomą atskirąjį sprendinį ieškome taikydami formulę . Gauname . Kadangi , tai pagal Vieto teoremą . Gauname . Kadangi tai ir yra tiesiškai nepriklausomi ir (1) lygties bendrasis sprendinys lygus: . 3. Tarkime, kad charakteringosios lygties šaknys yra kompleksiniai skaičiai, tai yra . Tada (1) lygties atskirieji sprendiniai tokie: ir . Taikydami formulę gauname ir . Kadangi kompleksinės f-jos ir yra (1) lygties sprendiniai, tai šių f-jų realiosios ir menamosios dalys taip pat yra (1) lygties sprendiniai. Tai gauname du tiesiškai nepriklausomus (1) lygties sprendinius ; . Todėl (1) lygties bendrasis sprendinys lygus:

Daugiau informacijos...

★ Klientai rekomenduoja

Šį rašto darbą rekomenduoja mūsų klientai. Ką tai reiškia?

Mūsų svetainėje pateikiama dešimtys tūkstančių skirtingų rašto darbų, kuriuos įkėlė daugybė moksleivių ir studentų su skirtingais gabumais. Būtent šis rašto darbas yra patikrintas specialistų ir rekomenduojamas kitų klientų, kurie po atsisiuntimo įvertino šį mokslo darbą teigiamai. Todėl galite būti tikri, kad šis pasirinkimas geriausias!