Ekonometrija

Kauno technologijos universitetas ekonomikos katedra ekonometrijA Pratarmė Žmogus nuolatos ieško būdų, kaip išspręsti įvairias problemas, iškylančias jo poreikių netenkinančiomis, nepalankiomis sąlygomis. Savai­me suprantama, kad, atsižvelgdamas į turimus išteklius, jis siekia efektyvių sprendimų. Norėdamas priimti sprendimą, jis turi suformuluoti uždavinį, jį išspręsti ir gautą sprendinį realizuoti. Tai efektyviai atlikti, galima tik remiantis šiuolaikiniais mokslo laimėjimais, atskleidžiančiais naujus dėsningumus ir principus. Ypač tai aktualu socialiniams mokslams, kur kuriant įvairias teorijas, neįmanoma išsiversti be matematikos ir skaičiavimo technikos. Ekonominiams procesams tirti plačiai pasitelkiama klasikinė matema­tika: matematinė analizė, aibių teorija, matematinė statistika, grafų teorija ir t.t. Tačiau praktiniams ekonominiams uždaviniams spręsti (išteklių paskirstymo, atsargų valdymo, kalendorinio planavimo ir t.t.) buvo sukurtos ir specialios matematikos kaip mokslo šakos – matematinis programavimas, lošimų teorija, ekonometrija. Ekonometrija kaip tik ir nagrinėja ekonominių matematinių modelių sudarymo bei ekonominių procesų modeliavimo problemas. Savaime suprantama, kad šis modeliavimas atliekamas, iš galimų alternatyvų siekiant atrinkti efektyvų sprendinį. Vadovėlio tikslas – suteikti pradines žinias, reikalingas ekonominiam matematiniam modeliui sudarytu ir jį panaudoti verslo sistemos valdyme. Šis vadovėlis skirtas bakalaurams, magistrantams, doktorantams, specia­lizuojantiems ekonominio, vadybinio ir inžinerinio profilio studijas, taip pat šioje srityje dirbantiems darbuotojams, sprendžiantiems realius vadybos uždavinius. Pirmoje knygos dalyje pateikiamos bendros teorinės žinios, susijusios su modelio samprata ir abstrakčios sistemos struktūriniu modeliu. Pateikiama ekonometrijos kaip mokslo metodologija, atskleidžiami atskiri jų etapai ir turinys. Atskirai pateikiamas vienas plačiausiai ekonomikoje naudojamų modelių – regresinis modelis. Vienmačių ir daugiamačių modelių sudary­mo etapų ir skaičiavimo procedūrų suvokimą palengvins pateiktos struktūrinės schemos. Čia aptarti trumpalaikio ir ilgalaikio prognozavimo uždavinių sprendi­mo modeliai. Trumpalaikio prognozavimo modeliuose išnagrinėti stacionaraus, tiesinio ir sezoninio trendo modeliai. Ilgalaikei prognozei skirti tiesinės ir transformuotos tiesinės regresijos modeliai. Antroje dalyje pateikiamos žinios, susijusios su valdymo uždavinio samprata: tikslas, efektyvumo kriterijus, valdymo strategijos, jo formulavimas. Pasiūlyti daugiakriterinio uždavinio galimi sprendimo metodai. Kaip tipinis valdymo uždavinys išnagrinėtas gaminio optimalios pardavimo apimties nustatymo uždavinys. Daugelis plačiai paplitusių uždavinių suskirstyti į pagrindines tipines valdymo uždavinių klases: ekspertiniai įvertinimai, išteklių paskirstymas, kalendorinis planavimas, atsargų valdymas, įrengimų remontas ir pakei­timas, tinklinis planavimas, transporto uždaviniai, maršruto parinkimas, kontrolės valdymas ir konkurencijos uždaviniai. Trečioje vadovėlio dalyje išsamiai išnagrinėti tipiniai valdymo uždavinių modeliai. Masinio aptarnavimo uždaviniai – vieni iš plačiausiai paplitusių užda­vinių organizacinėse sistemose. Šeštame skyriuje pateikiamos pagrindinės masinio aptarnavimo sistemų teorijos sąvokos: paraiškų srautas, aptarnavimo mechanizmas, eilės disciplina. Išnagrinėtos tipinės sistemos: vienkanalė laukiančioji ir atsakančioji, daugiakanalė laukiančioji ir uždaroji sistema. Suformuluotas ir išspręstas optimalios aptarnavimo zonos nustatymo uždavinys. Grafų teorija plačiai taikoma įvairiems kombinatorikos uždaviniams spręsti. Suformuluoti ir išspręsti klasikiniai grafų teorijos uždaviniai: trumpiausio kelio, maksimalaus srauto, komivojažieriaus bei uždaviniai, pagrįsti nepriklausomųjų, dominuojančiųjų aibių išskyrimu ir grafų nudažymu. Atskirai išnagrinėtas sprendimo priėmimo uždavinys, nes jam būdingas nevienareikšmiškumas. Pateikti šio uždavinio sprendimo metodai apibrėžtomis, rizikos ir neapibrėžtomis sąlygomis. Paskutiniame skyriuje išnagrinėtas perspektyvus ekonominių procesų modeliavimo metodas – imitacinis modeliavimas. Šis metodas panaudotas maršrutui parinkti, masinio aptarnavimo sistemai modeliuoti ir kalendoriniams planams – grafikams sudaryti. 1. Ekonometrijos samprata 1.1. Matematinių metodų naudojimo ekonomikoje istorija Realaus pasaulio pažinimo procesas – tai ne kas kita, kaip žinių apie gamtą ir visuomenę tikslinimas. Šiame procese, naudojant tikslesnius tyrimo metodus, užfiksuojami nauji faktai, nustatomi principai ir dėsnin­gumai. Daugelyje fundamentalių gamtos mokslų, formuojant įvairias teorijas, neįmanoma išsiversti be matematikos. Be matematikos nuo seno neapsiėjo ir socialiniai mokslai: ekonomika, vadyba, sociologija ir kt. Ankstesniuose tyrimuose matematika paprastai naudota tik stebėjimų duomenims apdoroti ir sisteminti. Svarbia ekono­mikos tyrimo priemone matematika tapo tik sukūrus šiuolaikinę skaičia­vimo techniką. Vienas žymiausių ekonomistų, 1970 metų ekonomikos Nobelio premijos laureatas P. Samuelsonas taip vertina mate­matiką: “Matematika būtina ekonomikos mokslui atnaujinti. Matematikos kalba – vienintelė galima kalba pagrindiniams ekonomikos teorijos teiginiams išdėstyti...” Ekonominiams procesams tirti plačiai naudojama klasikinė mate­matika: matematinė analizė, aibių teorija, matematinė statistika, grafų teorija ir t.t. Tačiau praktiniams ekonominiams uždaviniams spręsti (ištekliams paskirstyti, planams-grafikams sudaryti, atsargoms valdyti ir t.t.) buvo sukurtos ir specialios matematikos kaip mokslo šakos – matematinis programavimas, lošimų teorija, masinio aptarnavimo sistemų teorija, aktuarijų teorija ir kt. Pabrėžtina, kad šiuo metu ne tiek svarbu kurti iš principo naujus metodus, kiek būtina efektyviai naudoti esamus. Ekonomikos mokslo kūrėjai savo tyrimuose naudojo įvairius kiekybinius metodus. Klasikinės politinės ekonomikos pradininkas anglas Viljamas Peti (1623 – 1687) knygoje „Politinė aritmetika” (1676) siūlo pereiti nuo sąvokų „geresnis, didesnis ir t.t.” prie minčių reiškimo skaičiais, svoriais, matais. Pirmąjį pasaulyje ūkio modelį sukūrė prancūzų mokslininkas Fransua Kenė (1694-1774). Jis 1756 m. paskelbė veikalą „Ekonominė lentelė”. Šiame darbe grafiniu, o po to analitiniu metodu išnagrinėtos pagrindinės reprodukcijos proceso stadijos. Ypač svarbi šio mokslo istorijai yra XIX a. pabaiga ir XX a. pradžia, kai ekonomikoje susiformavo klasikinė matematikos mokykla. Šios mokyklos įkūrėju laikomas prancūzų matematikas, filosofas, ekonomistas, istorikas Ogiustas Kurno (1801 – 1877), 1838 m. paskelbęs darbą “Turto teorijos matematinių principų tyrimas”. Šiuolaikinių teorinės ekonomikos matematinių tyrimų pradininku laikomas šveicarų ekonomistas L.Valrasas (1834-1910), sukūręs pirmąjį ekonominės pusiausvyros modelį. Matematiką naudojo ir kiti žymūs ekonomistai tai –V.Paretas (1848 – 1923), F.Edžvortas (1845 –1926), Dž.Keinsas (1883 – 1946). XX a. pradžioje pradėjo vystytis matematikos šaka – statistika. Beje, M.Stigleris rašo, kad pirmąją “empirinę” paklausos kreivę 1699 m. išspausdino Charles Davenant. Pirmasis šiuolaikinis statistinis paklausos tyrimas buvo atliktas italų statistiko R. Eninio 1907 m. Pirmasis terminą “regresija” panaudojo anglas F.Galtonas (1822 - 1911), kuris nagrinėjo vaikų ūgio priklausomybę nuo tėvų ūgio. Statistiniai metodai iškart buvo panaudoti trumpalaikei ekonominių procesų prognozei. JAV mokslininkas Viljamas Personas sudarė modelį “Harvardo barometras”. Tačiau šiuos modelius intensyviau kurti nustota dėl to, kad jie nepadėjo nuspėti didžiausios Vakarų pasaulio 1929–1932 m. krizės. Toliau tyrinėjant ekonominius procesus susiformavo nauja kryptis, apimanti ekonomikos teoriją, klasikinę matematiką ir statistiką; ji pava­dinta ekonometrija. Šis terminas, daugumos mokslininkų nuomone, pirmą kartą panaudotas norvegų ekonomisto matematiko Ragnaro Frišo (1895–1973). Tačiau oficialia ekonometrijos kaip mokslo susiformavimo data laikoma 1930 m., kai buvo sukurta tarptautinė ekonometrijos draugija. 1933m. sausį pirmą kartą išleistas žurnalas “Ekonometrija” (Econometric), jis leidžiamas ir dabar. Šios krypties mokslininkai ne kartą buvo Nobelio premijos laureatai (ši premija ekonomikos srityje įsteigta 1969 m.): R. Frišas (Norvegija), J. Triubergenas (Olandija), V. Leontjevas (JAV), D. Hiksas (Anglija), L. Kantorovičius (SSRS), T. Kupmansas (JAV). L. Kantorovičius 1939 m. suformulavo naują ekstrema­lių uždavinių klasę su apribojimais – nelygybėmis. Ši taikomosios matematikos sritis pavadinta tiesiniu programavimu. 1974 m. amerikietis D. Dancingas pasiūlė universalų tiesinio programavimo uždavinio sprendimo metodą – simplekso metodą. Septintame dešimtmetyje rusų akademikas V. Nemčinovas įvedė terminą “ekonominiai – matematiniai metodai”, kuriuo sąlyginai pavadino mokslinių disciplinų kompleksą, apimantį ekonomiką, matematiką ir kiber­netiką. Tai yra mokslas, nagrinėjantis ekonominių matematinių modelių naudojimą valdymo praktikoje, kai reikia priimti efektyvius sprendimus. Modeliavimas nėra XX amžiaus atradimas, juo naudojamasi seniai. Tai rodo ir toks istorinis pavyzdys. Šv. Povilo bažnyčioje Londone yra paminklinė lenta, kurios tekstas prasideda žodžiais: „Amžina pamoka nemokšiškam admiraliteto lordų užsispyrimui”. Tai susiję su tokiu įvykiu. Prieš nuleidžiant anglų karinį laivą “Keptein” į vandenį, inžinierius Ridas perspėjo admiraliteto lordus, kad, nuleistas į vandenį, laivas apvirs. Šis teiginys buvo pagrįstas laivo modelio tyrimo rezultatais. Tačiau lordai su šiuo metodu nebuvo susipažinę ir tyrimo rezultatais netikėjo. Nuleistas į vandenį, laivas apvirto. Sparčiai tobulėjant šiuolaikinei skaičiavimo technikai, ekonometrijos mokslas vystosi taip pat sparčiai ir vis plačiau naudojamas ekonominių procesų valdyme. 1.2. Modelio samprata Su išoriniu pasauliu susipažįstama dviem pagrindiniais metodais: indukcijos ir dedukcijos. Indukcija – tai loginis samprotavimas, kai nuo atskirų faktų, mažiau bendrų žinių einama prie bendresnių. Tačiau, kitaip negu dedukcija, visada sąlygojanti teisingą išvadą, indukcija iš teisingų prielaidų tepadaro tikėtiną išvadą, reikalaujančią tikslesnio įrodymo. Realiame pasaulyje dažniausiai tam tikrą objektų klasę sudarančių objektų skaičius būna labai didelis (net begalinis), todėl praktiškai jų visų neįmanoma ištirti ir apibendrinti. Šioje situacijoje kaip tik tuo metodu daromi indukciniai apibendrinimai – formuluojami dėsniai ar principai, ištyrus tik dalį objektų, kuriuos tas dėsnis ar principas apima. Dedukcija – tai išvadų gavimas iš prielaidų pagal logikos dėsnius ir taisykles. Bendrąja prasme – tai perėjimas nuo bendro prie atskira. Visuomet reikia prisiminti, kad dedukcija efektyvi tik tada, kai ji derinama su indukcija. Be šių paplitusių pažinimo metodų, įvairiems reiškiniams tirti pasitelkiamas eksperimentas, o šiuo metu ir modeliavimas, kaip populia­riausia jo atmaina. Žodis “modelis” kilęs iš lotyniško žodžio „modulus” – matas, dydis. Tačiau šis žodis taip pat susijęs ir su žodžiu „modus” – kopija, pavyzdys. Bene vaizdžiausiai modelių esmę yra išreiškęs belgų siurrealistas R. Margitas (1898 – 1967). Viename jo ankstyvosios kūrybos paveiksle yra nupiešta pypkė ir čia pat užrašyta „Tai ne pypkė”. Toks netikėtas sugre­tinimas veikia savotiškai: priverčia žiūrovą skirti tikrovę nuo jos atvaizdo. Taigi vienoks ar kitoks tikrovės pavaizdavimas nėra pati tikrovė – tai tik jos modelis. Nagrinėjant tam tikrą procesą, reikia atsiriboti nuo mažiau svarbių reiškinių ir nustatyti pagrindines tiriamojo proceso savybes. Šias savybes nustatyti ir padeda modelis, kuris yra tarpinė grandis tarp sudėtingos tikrovės ir abstrakčios mokslinės teorijos. Suformuluosime modelio sąvokos apibrėžimą. Modeliu vadiname objekto originalo dirbtinį ar realų atvaizdą, leidžiantį nagrinėti tam tikras originalo savybes. Čia tikslinga išskirti tam tikrus požymius: • modeliu gali būti bet kokios kilmės – dirbtinai sukurtas ar realus objektas; • modelis atitinka nagrinėjamąjį objektą, t.y. jis savo savybėmis yra “panašus” į objektą, bet kai kuriomis savybėmis skiriasi nuo jo; šios savybės atliekamam tyrimui turi būti nesvarbios; • modelis naudojamas įvairiuose pažinimo etapuose, todėl priklausomai nuo tyrimo tikslų gali būti keli skirtingi to paties objekto modeliai. Iš modelio apibrėžimo aišku, jog jis gali būti sudarytas pasitelkus įvairios kilmės priemones: žodiniai (verbaliniai); grafiniai (piešiniai, sche­mos, grafai, brėžiniai); rašytiniai tekstai; matematiniai; kūno kalbos modeliai (gestai, šokiai); fiziniai (maketai, manekenai) ir mišrūs. Savaime suprantama, kad didžiausias dėmesys bus skiriamas matema­tiniams modeliams. Modelio sudarymas – tai daug darbo reikalaujantis ir sudėtingas procesas, kurį sudaro trys etapai (1.1 pav.). Kiekvienas modelis sudaromas, atsižvelgiant į objekto tyrimo tikslą. Sudarant modelį, būtina iš aplinkinio pasaulio atrinkti tiriamajam objektui būdingus įėjimo kintamuosius X ir išėjimo kintamuosius Y. Veiksnių atrinkimo etape nustatoma, tarp kokių kintamųjų bus ieškomas priežasties – pasekmės ryšys Y=F (X ). Modelio tipo nustatymo etape parenkamas funkcijos F tipas. Apsisprendus dėl modelio tipo, pagal kontrolinės imties duomenis nustatomi nežinomi modelio parametrai. Kai sudarytasis modelis atitinka objektą suformuluoto tikslo požiūriu, laikoma, kad modelis adekvatus (tapatus) nagrinėjamam objektui. Kiekvienam konkrečiam modelio tipui yra nustatytos taisyklės, pagal kurias patikrina­mas modelio adekvatumas. Statistiniuose modeliuose tai dažniausiai vidutinė kvadratinė paklaida, kuri neturi viršyti leistinojo dydžio. Kai modelis adekvatus, laikoma, kad jį galima naudoti realiam objektui tirti – modeliuoti, priešingu atveju modelį būtina koreguoti. Modeliavimu vadinamas objekto tyrimas, naudojant sudarytus modelius. Modeliavimas praverčia tada, kai realaus objekto (žmogaus, kosminio laivo) tyrimas yra brangus ir nepatogus arba išvis neįmanomas. Be to, reikia turėti galvoje, kad pasitelkus modelius, galima keisti darbo režimus ir stebėti gaunamus rezultatus (lėktuvo tyrimas aerovamzdyje). Visus ekonominius – matematinius modelius suklasifikuoti ir sudėti į vieną schemą neįmanoma, nes yra daug požymių (pagal vartojimo paskirtį, matematinę teoriją, laiko įvertinimą ir t.t.), į kuriuos reikia atsižvelgti, parenkant klasifikavimo taisyklę. Iš pradžių aptarsime bendrus klasifikavimo požymius, galiojančius visiems matematiniams modeliams, o po to juos išnagrinėsime naudoja­mojo matematinio aparato požiūriu. Pagal atsitiktinumo nustatymo pobūdį modeliai gali būti į deter­minuoti arba stochastiniais. Determinuotuose modeliuose visi kintamieji, nusakantys modelio funkcionavimą, laikomi determinuotais, t.y. įgyjančiais tam tikras fiksuo­tąsias reikšmes. Jei modelio kintamieji esti tikimybinės kilmės ir juos nusako atsitiktiniai dydžiai, tai modeliai yra stochastiniai. Atsižvelgiant į laiko veiksnį, kurio aspektu nagrinėjamas objektas, visi modeliai skirstomi į statinius ir dinaminius. Didžioji dauguma praktiškai sprendžiamų uždavinių yra statiniai. Šiuose modeliuose tiek išėjimo, tiek įėjimo kintamieji yra fiksuoti tam tikram laiko tarpui. Dinaminiuose modeliuose kintamieji kinta laike. Praktiškai ekonominiai – matematiniai modeliai dažnai klasifikuojami į penkias grupes. Pirmajai grupei priskiriami funkciniai modeliai; jie taikomi tuo atveju, kai nagrinėjamos tiesioginės priklausomybės tarp priklausomų ir nepriklausomų kintamųjų. Antrajai grupei priskiriami balansiniai modeliai, aprašomi pasitelkus lygčių sistemą. Trečioji grupė – tai optimizaciniai modeliai; jų tikslas nustatyti maksimalią ar minimalią efektyvumo kriterijaus reikšmę. Ketvirtajai grupei priskiriami imitaciniai modeliai, o penktajai – kompleksiniai modeliai, kuriuos sudaro išvardytųjų modelių rinkiniai. Formuluojant matematinį modelį, reikia parinkti sprendimo metodą. Šį pasirinkimą apsprendžia į modelį įtrauktų veiksnių charakteristikos (atsitiktinumas, matiškumas ir t.t.), efektyvumo kriterijai ir apribojimai. Visi sprendimo metodai skirstomi į tris grupes: analitinius; skaitme­ninius; eksperimentinius. Vienkriteriniams determinuotiems modeliams taikant analitinius sprendimo metodus, apribojimai turi būti išreikšti griežtomis lygybėmis. Tuo tarpu situacijoms, kurios yra vadybos mokslo objektas, aprašti dažnai būtini nelygybių sistema suformuluoti apribojimai. Taikant skaitmeninius metodus, modelis taip pat turi būti suformu­luotas kaip lygčių sistema. Šiuo atveju apribojimai gali būti suformuluoti ir kaip nelygybės. Pasitelkus skaitmeninį metodą, sprendinys gaunamas atliekant skaičiavimų ciklą pagal sudarytą algoritmą. Skait­meniniai metodai yra iteracinės procedūros, kuriose kiekvieno žingsnio metu gautieji rezultatai palyginami su anksčiau gautaisiais, ir tokiu būdu parenkamas ge­riau­sias sprendinys. Šiuo atveju negalima teigti, jog nustatytas optimumas. Šių dviejų grupių metodai gali būti taikomi spręsti tik vienkriterinius uždavinius, kurie aprašomi vienu efektyvumo kriterijumi, o apribojimai pateikiami analitine forma. Dėl šių priežasčių klasikiniai optimizacijos ir matematinio programavimo metodai labai ribotai gali būti taikomi realiems vadybos uždaviniams sprensti, kadangi sunku juos suformuluoti taip, kad nekiltų prieštaravimų tarp apribojimų. Be to, šie metodai riboja sisteminės analizės galimybes, nes atskiri sistemos elementai nagrinėjami izoliuotai, įvertinant tik šio elemento atžvilgiu svarbiausius veiksnius. Jei matematinis modelis suformuluotas taip, kad negalima taikyti nei analitinių, nei skaitmeninių metodų, imamasi eksperimentinio tyrimo. Taikant šį metodą, ir efektyvumo kriterijus, ir apribojimai gali būti nurodyti algoritmo forma. Geriausias sprendinys randamas palaipsniui prie jo artėjant, analizuojant skaičiavimų pagal algoritmą, modeliuojantį sistemos veiklą, rezultatų aibę. 1.1 lentelė Modelių ir metodų taikymas įmonės veikloje Perspektyvinis planavimas + + + + Techninis gamybos ruošimas + + + + + + Gamybos valdymas + + + Operatyvinis reguliavimas + + + + + Pardavimai + + Tiekimas + + + + Pagalbinių gamybų valdymas + + + + + Kokybės valdymas + + + + Personalo valdymas + Kapitalinės statybos valdymas + + + Mokslo tiriamosios veiklos valdymas + + + + Veiklos sritys Metodai Išteklių paskirs­tymas Atsar­gų valdy­mas Įrengi­mų remon­tas ir keiti­mas Masinio aptarna­vimo uždavi­niai Kalen­dorinis plana­vimas Marš­rutų parin­kimas Derybų ir kon­kuren­cijos užda­viniai Imita- ciniai mode­liai Matematinis programavimas – tiesinis + + + – netiesinis + + – diskretinis + + + – dinaminis + + + – stochastinis + + + Diferencialinės lygtys + + + + Statistika + + + + Masinio aptarnavimo sistemų teorija + + + Žaidimų teorija + + Grafų teorija + + + + + Tvarkaraščių teorija + + + Matematinė logika + + + Dažnai griežtas matematinis formalizavimas neleidžia visapusiškai nagrinėti sudėtingų sistemų, tad pastaruoju metu efektyvių sprendinių ieškoma naudojant euristinius algoritmus. Euristiniai algoritmai – tai rinkinys taisyklių, nusakančių galimų sprendinių ir geriausio iš jų parinkimo procesus. Viena dažniausiai taikomų euristinių algoritmų formų yra imitacinis modeliavimas, taikomas modeliuose, įvertinančiuose neapibrėž­tumą, riziką bei daugiakriterinę optimizaciją. Atlikus operacijų tyrimo uždavinių analizę, 1.1 lentelėje pateikti šio tyrimo rezultatai. Šioje lentelėje, atskirose įmonės veiklos srityse, dažniau­siai naudojami metodai yra pažymėti “+” ženklu. 1.3. Struktūrinis sistemos modelis Realų pasaulį patogu nagrinėti, jei laikysime, kad jis sudarytas iš dviejų dalių: aplinkos ir sistemos. Tad bet kurią sistemą galima pavaizduoti schema, pateikta 1.2 paveiksle. Aplinka yra visa tai, kas nepriklauso nagrinėjamai sistemai. Paprastai aplinka veikia sistemą tam tikrais įėjimo kintamaisiais. Tarkime, yra žinoma įėjimo kintamųjų visuma X 1, X 2, ..., X n su savo galimų reikšmių aibėmis. Įėjimo kintamųjų reikšmių aibėje X panaudojame santykį R(Xi)=Ri (X 1,X 2,...,X n), kuris nustato ryšius tarp įėjimo kintamųjų. Reikšmės  X 1,  X 2,...,  Xn yra suderintos, jei atitinka santykius R (X i). Aibėje X suderintos įėjimo kintamųjų reikšmės sudaro tam tikrą suderintų reikšmių aibę  X. Kaip tokios sistemos pavyzdį, aptarsime audimo gamybą. Audimo gamyba yra sudėtinga sistema. Ją sudaro audimo staklės, audėjos, pameistriai, administracija, gamybiniai plotai, ventiliacijos sistema ir t.t. Aplinka yra visa tai, kas priklauso bendrovei, bet nepriklauso audimo gamybai: verpimo gamyba, apdaila, įmonės vadovybė, autoūkis ir t.t., taip pat kas ir nepriklauso bendrovei. Įėjimo kintamieji – verpalai, garas, elektros energija, darbo užmo­kestis, staklių našumas, aptarnavimo zona ir t.t. Kiekvienas šių įėjimo kintamųjų turi savo kitimo reikšmes, pavyzdžiui, audimo staklės gali būti STB – 2, STB – 4, rapyrinės, pneumatinės, hidraulinės ir t.t.; aptarnavimo zonos gali būti: 1 staklės, 2 staklės, 3 staklės, 4 staklės ir t.t. Tačiau įvedus santykį „R(X 1 ) – priklausyti audimo gamybai”, galimų staklių tipai yra STB – 2, STB – 4, rapyrinės. Šis santykis rodo, kokio tipo audimo staklės naudojamos būtent nagrinėjamoje audimo gamyboje. Kitas santykis nusako STB – 2 staklių aptarnavimo zoną, o konkrečiai gamyboje – R (X 2)=4 staklės. Santykis gali būti išreikštas ir analitine formule. Pavyzdžiui, „R (X 3)-audinio darbo imlumas” nustatomas taip: čia: D  – darbo imlumas; P–apdorojamosios produkcijos kiekis; N–staklių našumas; Z–aptarnavimo zona; –naudingo darbo laiko koeficientas. Šis santykis nusako, kad esant fiksuotam apdorojamos produkcijos kiekiui, staklių našumui, aptarnavimo zonai ir naudingo darbo laiko koeficientui, gaunamas fiksuotas darbo imlumas. Savo ruožtu sistema veikia aplinką išėjimo kintamaisiais Y, kurių visuma yra Y 1, Y 2, ...,Ym, R (Yj )=R (Y1, Y2,..., Ym ) ir . Nagrinėtame pavyzdyje Y gali būti išaustos medžiagos kiekis, plano įvykdymo procentas, sutaupytų žaliavų kiekis ir t.t. Nereikia pamiršti, kad kiekvieną sistemą galima išskaidyti į sude­damąsias dalis, kurias savo ruožtu galima nagrinėti kaip sistemą. Audimo gamyboje atskira sistema gali būti audimo staklės, remonto baras ir t.t. Tokių sistemų aplinka bus visai kita. Sistema, veikiama įėjimo kintamųjų, pereina į naują būseną C. Šią transformaciją nusako priklausomybė C =F (C 0 , X ), kur C 0 – pradinė sistemos būsena. Įėjimo kintamieji sąlygoja visų sistemos savybių kitimą, tarp jų – ir išėjimo kintamųjų. Šių kintamųjų reikšmės tam tikru laiko momentu t paprastai priklauso nuo įėjimo kintamųjų reikšmių kitimo intervale (- , t ), t.y. priklauso nuo įėjimo kintamųjų reikšmių kitimo visos priešistorijos. Norint apskaičiuoti sistemos išėjimo kintamuosius nagrinėjamuoju laiko momentu t ir ypač prognozuoti jų kitimą ateityje, turimų žinių tik apie įėjimo kintamųjų kitimą intervale (t0, t ), kur t 0 t, gali nepakakti. Tačiau šį uždavinį galima išspręsti, jei yra žinomos tam tikros sistemai būdingos vidinių kintamųjų reikšmės laiko momentu t 0, kurios vadinamos sistemos būsenomis. Be to, sprendžiant realių sistemų valdymo uždavinius, visuomet reikia nagrinėti sistemos elgesį, kai t  t 0. Tai reiškia, kad, žinant sistemos būseną nagrinėjamuoju laiko momentu t 0, galima daryti išvadas tik apie sistemos elgesį ateityje, tačiau negalima nustatyti sistemos būsenos C (t ), kai t  t 0. Tokie uždaviniai sprendžiami kriminalistikoje. Realioje audimo gamyboje kaip vidinis kintamasis – būsena gali būti gamybos planas augančiai, nes, norint prognozuoti, kaip bus įvykdytas gamybos planas mėnesio pabaigoje, pakanka žinoti, kaip įvykdytas tos dienos planas ir augantis planas. Objekto – audimo staklių – būsena yra sugedusių staklių skaičius tam tikru laiko momentu. Žinant sistemos būsenų transformacijos išraišką ir sistemos išėjimo kintamųjų formavimo išraišką Y= (C ), nesunku nustatyti transfor­maciją, kurią atlieka sistema su įėjimo kintamaisiais , ir ši funkcija vadinama sistemos funkcionavimo dėsniu. Kadangi paprastai daugelis realių sistemų yra atviros, t.y. sąveikauja su aplinka, tai sistemos struktūrinį modelį galima užrašyti formalia priklausomybe: ; (1.1) čia: Ix, Iy, I – santykių ir funkcijų aibė; C – būsenų aibė; As – tikslų aibė; T – laiko momentų aibė. Jei pažymėsime , tai . (1.2) Toks sistemos apibrėžimas turi ne tiek praktinę, kiek metodo­loginę prasmę, leidžia suprasti principines modelių klases. Jei T =, o tai reiškia, kad ir I =, tada gauname sistemą, kurios visos charakteristikos nekinta laike, nes nenagrinėjamas sistemos funkciona­vimas. Tokiu atveju struktūrinis modelis vadinamas sistemos struktūra S ’. Jei Ix =Iy =, tai sistemos struktūra nenagrinėjama, ir gaunamas sistemos modelis, kuris vadinamas sistemos funkciniu modeliu S ’’. Jei Iy =Iy =I =, tai gaunamas sistemos pragmatinis modelis, kuris parodo, kaip sistema atitinka jai keliamus reikalavimus S ’’’. Audimo staklėms S ’ – optimali aptarnavimo zona; S ’’ – kalendorinis darbo grafikas; S ’’’ – minimalios eksploatacinės išlaidos arba maksimalus įrengimų naudojimas. 1.4. Kas yra ekonometrija? Atsiradus šiuolaikinei skaičiavimo technikai, ekonomikos, finansų, vadybos ir kitų socialinių mokslų disciplinų tyrinėjimai vis labiau tampa kiekybiniais. Tad reikalingos žinios, įgalinančios išmatuoti ekonominius procesus, juos formalizuoti, sudaryti ekonominius matematinius modelius ir, naudojant juos, modeliuoti įvairias ekonominių – organizacinių sistemų situacijas, sprendžiant iškilusiais problemas. Viena pagrindinių disciplinų, kurios uždavinys – teikti šių žinių yra ekonometrija. Verčiant pažodžiui, ekonometrija yra ekonomikos matavi­mas. Tai labai platus apibrėžimas, kadangi daug kas ekonomikoje susiję su matavimu. Mes matuojame (įvertiname, nustatome) nacionalinio produkto apimtį, eksporto apimtis, kainų indeksus ir t.t. Tačiau ekonometrija yra statistinių ir ekonominių metodų panaudoji­mas ekonominių duomenų analizei, siekiant nustatyti ekonominės teorijos praktinį turinį. Ekonometrija gali būti apibrėžiama kaip socialinis mokslas, kuriame ekonomikos teorija, matematika ir matematinė statistika taikomi ekono­minių reiškinių analizei. Pagrindiniai ekonometrijos tikslai šie: • ekonomikos teorijos teiginių patikslinimas; • pasirinktų matematinių priklausomybių skaitmeninis įvertinimas; • ekonominių reiškinių prognozavimas. Trumpai palyginsime artimas ekonometrijai mokslo šakas. Ekonomikos teorijoje formuluojami teiginiai arba hipotezės, kurios dažniausiai iš prigimties yra kokybinės. Antai mikroekonomikos teorija teigia, kad, sumažinus prekės kainą, galima tikėtis, kad padidės šios prekės paklausa. Taigi ekonomikos teorija postuluoja neigiamą, arba atvirkštinį, ryšį tarp kainos ir reikalaujamo prekės kiekio. Tai yra žinoma kaip paklausos dėsnis. Bet pati teorija nepateikia jokio skaitmeninio matavimo metodo šio ryšio stiprumui nustatyti. Praktiškai nėra įmanoma pasakyti, kaip pasikeis pardavimų apimtis, pakitus prekės kainai. Tad ekonometrijos paskirtis kaip tik yra pateikti reikiamą skaitmeninį įvertinimą. Kitaip tariant, ekonometrija pateikia daugumos ekonomikos teorijos teiginių empirinę (pagrįstą stebėjimais arba eksperimentais) esmę. Matematinės ekonomikos pagrindinis interesas yra ekonomikos teoriją išreikšti matematine forma (modeliu) nereikalaujant empiriškai patikrinti teoriją. Ekonometrikas kaip tik ir naudoja matematinius modelius, siūlo­mus matematiko ekonomisto, ir jis juos pritaiko realiems procesams valdyti. Ekonominė statistika koncentruojasi prie ekonominių duomenų surin­kimo, apdorojimo ir vaizdavimo lentelių, grafikų ir diagramų pavidalu. Taip surinkti duomenys yra pradiniai ekonominio darbo duomenys. Ekono­metrikas, panašiai kaip ir metereorologas, dažnai priklauso nuo duomenų, kurie negali būti kontroliuojami tiesiogiai. Tad suvartojimo, kainų, santau­pų, investicijų ir panašūs duomenys iš prigimties nėra eksperi­mentiniai. Ekonometrikas ima duomenis, kokie jie yra. Be to, šie duomenys gali būti su matavimo paklaida arba su praleidimu, ir ekonometrikas gali būti priverstas parengti specialius analizės metodus, kurie panaikintų šiuos trūkumus. Pirmasis uždavinys, su kuriuo susiduria ekonometrikas, yra ekono­metrinio modelio sudarymas. Sudarant modelį, visuomet reikia prisi­minti tai, kad modelis yra supaprastintas realaus proceso atvaizdas. Pavyzdžiui, pasakymas, kad obuolių paklausa priklauso nuo jų kainos, yra supaprastintas, nes visi supranta, kad esama aibės kitų kintamųjų, kurie gali apspręsti obuolių kainą: sakykim, pirkėjų pajamos, apelsinų kainos didėjimas ar mažėjimas, kavos gėrimas vietoj obuolių sulčių ir pan.; net ir naftos kainos kitimas gali paveikti obuolių paklausą. Sudarant ekonometrinį modelį, galimi du skirtingi požiūriai: pradėti modelį konstruoti nuo paprastesnio ir palaipsniui daryti jį vis sudėtingesnį, arba sudaryti iš karto sudėtingą modelį ir jį prastinti, atsižvelgiant į gaunamus rezultatus. Šiuo metu teigiama, kad geresnis pirmasis kelias – verčiau kurti paprastą modelį ir prireikus jį daryti sudėtingesnį. Praktiškai į modelį įtraukiami tie kintamieji, kurie, manoma, yra naudingi siekiamiems tikslams, o visi likusieji priskiriami aibei, vadinamai „triukšmu”. Šių pastarųjų kintamųjų egzistavimas leidžia suformuluoti teiginį, kad visuomet esama stebėjimo paklaidų, ir jos pasiskirsčiusios pagal tam tikrus dėsnius. Ekonometriniuose modeliuose daroma prielaida, kad šis triukšmas yra „baltas triukšmas”, o jam būdinga tai, kad šios paklaidos skirtingais laiko momentais yra nepriklausomos ir pasiskirsčiusios pagal normalinį dėsnį su vidurkiu, lygiu 0, o dispersija  2. 1.5. Ekonometrijos metodologija Bet kuriame ekonometriniame tyrime išskiriami 4 žingsniai. A žingsnis. Parenkamas modelis, kuriuo bus bandoma aprašyti tyrinė­jamąjį reiškinį. B žingsnis. Modelį suformulavus, reikia įvertinti modelio parametrus. C žingsnis. Kai tik modelis įvertintas, remiantis tam tikrais kriterijais, reikia patikrinti šių įvertinimų reikšmingumą. D žingsnis. Paskutinis bet kurio ekonometrinio tyrimo žingsnis yra susijęs su modelio prognozavimo galios įvertinimu, t.y. įsitikinimu progno­zavimo nauda. Žingsniai A ir C yra svarbiausi, o B ir D yra techniniai; jie reikalauja teorinių ekonometrijos žinių. A žingsnis. Modelio formulavimas. Pirma ir visų svarbiausia, ką privalo padaryti ekonometrikas, prieš pradėdamas analizuoti priklausomybę tarp kintamųjų, – tai išreikšti šią priklausomybę matematine forma. Šiame etape reikia nustatyti: • išėjimo ir įėjimo kintamuosius, kuriuos dera įtraukti į modelį; • a priori teorinį įvaizdį apie priklausomybės parametrų ženklą ir pobūdį; tai padeda įvertinti modelio adekvatumą; • matematinę modelio formą (lygčių skaičius, tiesinė ar netiesinė forma ir t.t). Remdamasis įvairiais informacijos šaltiniais ekonometrikas turi sudaryti sąrašą kintamųjų, kurie galėtų turėti įtakos išėjimo kintamajam. Ekonomikos teorija nurodo pagrindinius veiksnius veikiančius išėjimo kintamąjį bet kuriuo konkrečiu atveju. Kintamieji, kurie įtraukiami arba išbraukiami iš funkcijos, turi būti išnagrinėti nulio atžvilgiu. Jei nusprendžiama išbraukti kintamąjį iš funkcijos, tai daroma prielaida, kad jo koeficientas šioje funkcijoje lygus 0, ir atvirkščiai. Žinoma, įvertinimų teisingumo tikrinimas gali parodyti, kad kai kurie kintamieji yra nereikšminiai, ir tuomet privaloma modifikuoti pradinę funkcijos išraišką. Taigi skaičius kintamųjų, kurie iš pradžių buvo įtraukti į modelį, priklauso nuo ekonominio reiškinio kilmės, tuo tarpu kintamųjų skaičius, kuris liks sudarytame modelyje, priklauso nuo ekonometrinių statistinių kriterijų. Labai dažnai ekonometrijos teorija negali tiksliai apibrėžti ekono­metrinės funkcijos matematinės formos. Šios formos parinkimui naudinga faktinius duomenis nubraižyti dvikoordinatėje diagramoje. Tokių nubrai­žytų diagramų analizė ne kartą padėjo nuspręsti, kurią matematinę funkcijos formą verta pasirinkti. Ekonometrikas, eksperimentuodamas įvairiomis formomis, atrenka tą, kuri yra patenkinama tam tikro kriterijaus atžvilgiu. Reikia pabrėžti, kad modelio formos pasirinkimas priklauso nuo tyrinėjamo reiškinio sudėtingumo, nuo modelio sudarymo tikslų, duomenų tinkamumo ir skaičiavimo galimybių. B žingsnis. Modelio įvertinimas. Suformulavus modelį, reikia gauti skaitmeninius modelio parametrų įvertinimus. Modelio įvertinimas yra grynai techninė procedūra, reikalau­janti žinių apie įvairius ekonometrinius metodus bei jų prielaidas. Šiame etape reikia: • surinkti statistinius duomenis apie įtrauktų į modelį kintamųjų reikšmes; • nustatyti priklausomybės identifikavimo sąlygas; • išspręsti kintamųjų agregavimo problemą; • nustatyti koreliacijos laipsnį tarp įėjimo kintamųjų; • parinkti tinkamas ekonometrijos priemones. Modelio įvertinimo duomenys gali būti surinkti naudojant laiko eilutes, momentinius stebėjimus, inžinerinius duomenis ir kokybinius duomenis. Pastarieji duomenys praverčia tada, kai kintamasis negali būti išmatuotas kiekybiškai (profesija, lytis, religija ir pan.). Tokie kokybiniai požymiai gali būti įvertinti, įvedus į priklausomybę fiktyvius kintamuosius, t.y. indeksus, kurie parenkami pagal tam tikrą susitarimą. Dažniausiai praktiškai naudojamos laiko eilutės ir momentiniai stebėjimai. Nustatant identifikavimo sąlygas, reikia pagrįsti vertinamųjų parame­trų teisingumą. Vertinant paklausos funkciją laiko eilutės duomenimis, gauname, kad šie duomenys parodys nupirktos prekės kiekį esant tam tikroms kainoms, o tuo pačiu metu ir parduotų prekių kiekį esant rinkos kainoms. Tad turint šiuos duomenis, svarbu yra žinoti ar vertinami paklausos funkcijos parametrai, ar tiekimo funkcijos parametrai. Agregavimo problemos atsiranda todėl, kad pasirinktuose modeliuose dažnai naudojami agreguoti kintamieji: • individualybių agregavimas (bendrosios pajamos yra individualių pajamų suma); • plataus vartojimo prekių agregavimas, remiantis indeksais arba atskirų grupių kainomis; • agregavimas laike; kai kada statistiniai šaltiniai pateikia ne to laikotarpio duomenis; • erdvinis agregavimas (miesto, regiono, šalies gamybos apimtis). Dauguma ekonominių kintamųjų yra koreliuoti ta prasme, kad jie gali kisti analogiškai įvairiose ekonominės veiklos fazėse. Pajamos, nedarbas, investicijos, eksportas, mokesčiai linkę didėti augimo laikotarpiu ir mažėti depresijos laikotarpiu. Jei koreliacijos laipsnis didelis, įvertinimo rezultatai gali būti gauti blogesni, nes sunku apskaičiuoti kiekvieno kintamojo įtaką. Parenkant ekonometrines priemones, reikia naudotis parametrų įverti­ni­mo metodais: mažiausių kvadratų, maksimalaus panašumo, modifikuo­tais mažiausių kvadratų metodais ir pan. Išsprendus šiuos pradinius etapo uždavinius yra įvertinami modelio parametrai. Žingsnis C. Įvertinimų patikrinimas. Gavus įvertinimus, reikia įsitikinti gautų rezultatų realumu. Patikri­nimo metu nustatoma, kurie parametrų įvertinimai yra teoriškai reikšmi­niai ir statistiškai patikimi. Čia remiamasi įvairiais kriterijais. Jie klasifi­kuojami į tris grupes: • ekonominis a priori kriterijus, kurį nusako ekonomikos teorija; • statistinis kriterijus, apibrėžiamas statistikos teorijos; • ekonometrinis kriterijus, apibrėžiamas ekonometrijos teorijos. Ekonominis a priori kriterijus randamas remiantis ekonominės teorijos principais; jis skirtas parametrų ženklui ir dydžiui nustatyti. Statistinis kriterijus nustato įvertintą statistinį modelio patikimumą. Praktiškai dažniausiai kaip kriterijus imamas determinacijos koeficientas ir standartinė paklaida. Ekonometrinis kriterijus padeda patikrinti, kurios panaudotos eko­nometrinės priemonės tinkamos, o kurios – ne. Tikrinant pagrindinę ekonometrinių tyrimų prielaidą apie nekoreliuotą atsitiktinį triukšmą, naudojamasi Durbino – Vatsono statistika. Jei ši prielaida smarkiai pažeista, standartinės parametrų paklaidos negali būti tinkami kriterijai, nustatant įvertinimų statistinį reikšmingumą. Žingsnis D. Modelio prognozavimo galios nustatymas. Prognozavimas yra vienas pagrindinių ekonometrinio tyrimo tikslų. Čia pirmiausia reikia įsitikinti, ar modelis ekonomiškai prasmingas, statistiškai ir ekonometriškai korektiškas tam tikram laikotarpiui, kuriam jis buvo sudarytas: mat jis jau gali būti netinkamas prognozavimui, nes realiame pasaulyje galėjo įvykti struktūriniai modelio parametrų pokyčiai. Baigiamasis bet kurio ekonometrinio tyrimo žingsnis – nustatyti gautų įvertinimų stabilumą, jų jautrumą amplitudžių pokyčiams. Vienas prognozavimo galios nustatymo būdų – pasiremti duomenimis, kurie nebuvo įtraukti į naudotus parametrų įvertinimo duomenis. Progno­zuojamoji reikšmė palyginama su faktiška išėjimo kintamojo reikšme. Gautas skirtumas patikrinamas ar jis yra statistiškai reikšmingas. Jei paaiškė­ja, kad šis skirtumas yra reikšmingas, priimama išvada, kad prognozavimo galia prasta. Kitas būdas būtų įtraukti papildomus duomenis į stebėjimo duomenis ir perskaičiuoti įvertinimus. Skirtumas tarp naujų ir ankstesnių įvertinimų taip pat tikrinamas ar jis yra statistiškai reikšmingas. Baigiant nagrinėti ekonometrijos metodologiją, tikslinga nustatyti pageidaujamas ekonometrinio modelio savybes: • teorinis patikimumas: modelis turi atitikti ekonomikos teorijos postulatus; • nepriklausomumas: modelis turi paaiškinti realaus pasaulio dėsningumus; • parametrų įvertinimo tikslumas; • prognozavimo galimybė. 1.6. Tipinės ekonomikos funkcijos 1.6.1. Kaštų funkcija Siekiant efektyviai naudoti turimus išteklius, gaminant produkciją ar teikiant paslaugas, reikia minimizuoti kaštus, o tai įmanoma atlikti, tik žinant kaštų funkciją. Paprastai kaštų funkcija apibrėžiama kaip kaštų (C) priklausomybė nuo gamybos apimties (Q), t.y. . (1.3) Realiame pasaulyje kaštai dažnai priklauso ne tik nuo gamybos apimties, bet ir nuo šią apimtį apibūdinančių papildomų įėjimo kintamųjų , kurių pavyzdžių gali būti šių kintamųjų vienetų kainos. Į tai atsižvelgus, kaštų funkciją galima užrašyti taip: . (1.4) Vertinant šios funkcijos parametrus, nevalia užmiršti, kad esama metodologinio skirtumo tarp trumpo ir ilgo laikotarpio kaštų funkcijų. Trumpo laikotarpio kaštų funkcijos įvertinimas. Šiuo atveju įvertini­mo rezultatai bus panaudoti kainodaros sprendimuose, nustatant ribinius kaštus. Įvertinimams nustatyti geriausiai tinka laiko eilutės, surinkus poros metų kiekvieno mėnesio įmonės duomenis. Renkant šiuos duomenis, laikoma, kad įmonė nekeičia savo kapitalo. Taip surinkti duomenys sąlygoja potencialią problemą. Gamybos apimtį įvertinus fiziniais vienetais, o kaštus - piniginiais vienetais, pastarieji gali būti iškreipti kainų infliacijos, kuri pasireiškia tuo, kad esant toms pačioms gamybos apimtims, kaštai bus didesni. Šį infliacijos efektą reikia eliminuoti – padalyti kaštų reikšmes iš atitinkamo laikotarpio kainų indekso. Ekonomikos teorijoje vertinami trijų tipų kaštai: bendrieji (TVC), vidutiniai (AVC) ir ribiniai (MC). Žinant nors vieno šių kaštų išraišką, nesunku įvertinti kitus kaštus. Be to, vidutiniams kintamiesiems kaštams keliamas papildomas reikalavimas – kad jie būtų aprašomi U formos kreive. Tad kaštų įvertinimą pradėsime nuo AVC kreivės įvertinimo. Tariame, kad AVC įvertinami tiesine funkcija: . (1.5) Norint, kad AVC būtų teigiami, a turi būti teigiamas. Jei , tai gauname didėjančią tiesę,  – mažėjančią tiesę ir, kai b =0 – hori­zontalią tiesę. Ši trumpa analizė rodo, kad AVC įvertinimui negalima naudoti tiesinių funkcijų, nes, gavę bet kokius koeficientų a ir b įverti­nimus, niekuomet negausime U formos kreivės, o tik tiesę. Sudėtingesnis atvejis yra kvadratinė priklausomybė, kuri užrašoma tokiu pavidalu: . (1.6) Savaime suprantama, kad a būtinai turi būti teigiamas. Kad ši kaštų funkcija būtų U formos, būtina ši sąlyga: ir . Regresinės analizės metodu įvertinus šios lygties koeficientus a, b, c ir patikrinus jų reikšmingumą, galima nustatyti ir kitas kaštų funkcijas: . (1.7) Atlikus matematinius pakeitimus, nustatomi ribiniai kaštai: . (1.8) Palyginę 1.6, 1.7, 1.8 funkcijų lygtis, matome, kad jose reikia įvertinti tuos pačius regresinės lygties koeficientus a, b, c, ir tai leidžia supaprastinti įvertinimo uždavinį: įvertinti ne tris funkcijas, o tik vieną. Norint nustatyti gamybos apimtį, minimizuojančią vidutinius kintamus kaštus, reikia prisiminti, kad šiame taške . Tada Taigi optimali gamybos apimtis . (1.9) Ilgo laikotarpio kaštų funkcijos įvertinimas. Šie kaštai nusako įmonės planavimo horizontą ir naudojami investicijų sprendimams. Šių kaštų įvertinimui imami momentinių stebėjimų duomenys, kuriuose tam tikrais laiko momentais įvertinamos įvairios to paties profilio skirtingų gamybos apimčių įmonės. Jei įmonės išsidėsčiusios geografiškai plačiai, gali būti kainų skirtumų. Šio efekto eliminavimui naudoti fiksuotus kainų indeksus nepatogu. Praktiškai ilgo laikotarpio funkcijoje įvertinamas darbo (W ) ir kapitalo (R ) kainos, ir tada bendroji kaštų funkcijos išraiška yra ši: . (1.10) Iš pirmo žvilgsnio atrodo, kad tai elementarus įvertinimo uždavinys, kuriame reikia pridėti papildomus kainų kintamuosius (1.11) ir papildomai įvertinti koeficientus d ir e. Tačiau ši išraiška `neatitinka kaštų funkcijai (1.10) keliamų reika­lavimų. Ši funkcija reikalauja, kad, padvigubėjus kainoms, esant pasto­vioms išteklių sunaudojimo normoms ir pastoviai gamybos apimčiai, kaštai padvigubėtų, t.y. . Tačiau 1.11 lygtis šios sąlygos netenkina, nes Aišku, kad . Tad turime pasitelkti alternatyvią ilgo laikotarpio kaštų funkcijos įvertinimo formą, kuria dažniausiai parenkama tiesinė logaritminė išraiška. Tad kaštų funkcija užrašoma taip: . (1.12) Padvigubėjus kintamųjų kainoms, gaminame: Jei tarsime, kad , tai reikalavimai kaštų funkcijai yra paten­kinti. Tada pradinėje funkcijos išraiškoje šį papildomą reikalavimą reikia įvertinti. Jei pažymėsime , tai . (1.13) Išlogaritmavę gauname: ; (1.14) Išvestą lygtį reikia pertvarkyti taip: . (1.15) Tai ir yra ilgo laikotarpio kaštų funkcijos įvertinimo lygtis. Ką daryti su įvertinta lygtimi? Kadangi ilgo laikotarpio kaštų funkcija naudojama investicijų valdyme, tad tikslinga įvertinti kaštų elastingumą gamybos apimties atžvilgiu. Šį elastingumą nusako koeficientas , ir visuomet svarbu patikrinti šio įvertinto koeficiento reikšmingumą. 1.6.2. Gamybos funkcija Kiekvienos įmonės veiklos efektyvumą nusako jos išėjimas – gamybos apimtis Q ir jos įėjimo kintamieji, kuriais dažniausiai yra kapitalas (K ) ir darbas (L ). Be to, reikia įvertinti tai, kad materialiniai ištekliai paverčiami produkcija ar paslau­gomis, naudojant tam tikrą fiksuotą technologiją (T ). Kiekvieną šių įėjimo kintamųjų kombinaciją atitinka tam tikras fiksuotas gamybos apimties lygis. Šią išėjimo – įėjimo kintamųjų priklausomybę kaip tik ir nusako gamybos funkcija, kuri apibrėžiama taip: . (1.16) Pažymėtina kad, nustatant šią funkciją, atsižvelgiama į kokybės standartus ir plano laiko apribojimus. Žinant šią funkciją, reikia parinkti tokias įėjimo kintamųjų reikšmes, kurios užtikrina maksimalią gamybos apimtį, siekiant minimalių bendrųjų kaštų arba maksimalaus pelno. Pirmieji šią funkciją 1928 m. panaudojo C.W. Kobas ir P.H. Duglas, aprašydami JAV gamybos apimtis nuo 1899 iki 1922 m. Jų vardu vadinama funkcija užrašoma taip: (1.17) čia a, b – funkcijos įvertinimo koeficientai. Konkreti įvertinta šios funkcijos lygtis buvo šio pavidalo: . (1.18) Kapitalo koeficientas 0,25 parodo, kad, padidėjus kapitalo įėjimui 1%, esant kitoms sąlygoms pastovioms, išėjimas padidėtų 0,25%. Analogiškai, pakitus darbo įėjimui 1%, išėjimas pakistų 0,75%. Pakitus ir kapitalo, ir darbo įėjimui 1%, išėjimas taip pat pakistų 1%. Kokios šios išvestos gamybos funkcijos savybės padaro ją populiarą, aprašant ekonominius reiškinius daugiau nei 65 metus? 1. Bendrasis išėjimas yra dviejų arba daugiau kintamųjų kitimo rezultatas. Tada bendruoju atveju Kobo-Duglaso funkciją galima užrašyti taip: . (1.19) Multiplikatyvinis šios funkcijos pobūdis nurodo tai, kad, įvertinant šią funkciją, reikia imti tik tuos kintamuosius, kurie negali įgyti nulinės reikšmės. 2. Išvesdami gamybos funkciją, Kobas ir Duglasas eksponenčių laipsnių sumą laikė esant yra lygią vienetui . Vėliau buvo įrodyta, kad ši suma nebūtinai turi būti lygi vienetui, ir bendruoju atveju gamybos funkcija užrašoma taip: . (1.20) Jei b+c =1, tai pajamos dėl gamybos masto padidėjimo yra pastovios, jei pajamos mažėja, jei  – pajamos didėja. Pakitus darbui ir kapitalui dydžiu S, išėjimas pakis dydžiu . Šio pokyčio ženklas priklausys nuo sumos (b+c) dydžio. 3. Kobo – Duglaso funkcija, užrašyta 1.20 lygtimi, yra netiesinė, ekspo­nentinė funkcija. Tačiau ji lengvai gali būti transformuota į tiesinę, dviejų kintamųjų funkciją, ją išlogaritmavus: . (1.21) Šios lygties koeficientų įvertinimui patogu naudoti standartines regresinės analizės priemones. 4. Ribinės išėjimo reikšmės gali būti nustatomos atskirai kiekvienam įėjimui. Ribinis išėjimo dydis, įvertinantis darbo pokytį, nustatomas taip: (1.22) Analogiškai ribinis išėjimo kintamojo dydis, įvertinantis kapitalo pokytį, nustatomas taip: . (1.23) 5. Išėjimo kintamojo elastingumą įėjimo kintamųjų atžvilgiu nusako Kobo – Duglaso funkcijos eksponenčių laipsniai. Išėjimo kintamojo elastingumas darbo atžvilgiu nustatomas taip: . Pažymėtina, kad  – ribinis dydis pagal darbą, o  – vidutinis dydis pagal darbą. Įvertinę 1.22, gauname: . (1.24) Analogiškai . (1.25) 6. Anksčiau aptartos teorinės gamybos funkcijos savybės išnagrinėtos, neatsižvelgus į technologijos pokyčius. Gana ilgo laikotarpio technologijos pažanga gali būti įvertinta, remiantis pirmąja Kobo – Duglaso savybe. Trumpai aptarsime kurioms verslo rūšims galima sudaryti gamybos funkciją ir kokius duomenis reikia surinkti šiai funkcijai įvertinti. Įmonei gaminant vieną produktą, nustatyti Q (bendrąjį išėjimo kintamąjį) santykinai nėra sunku, ir jis gali būti įvertintas fiziniais vienetais (kg, Lt, vnt., ...). Tačiau negalima pamiršti, kad per ilgą laiką gali pakisti produkto forma, įpakavimas, sudėtis ir t.t. Gaminant daug produktų, sunku atskirti kiekvieno produkto įėjimo kintamuosius, ir dažniausiai jų priskyrimui naudojamasi svertiniu metodu. Svarbiausią įėjimo kintamąjį – darbą geriausiai nusako dirbtos valandos. Tiesioginio darbo valandos paaiškėja iš ataskaitų. Jei jų nėra, kaip kintamąjį galima imti tiesioginių darbininkų skaičių. Esant nemažai netiesioginio darbo apimčiai, įvertinama pagal visų darbininkų skaičių. Svarbiausias sunaudotas medžiagas geriausia įvertinti fiziniais viene­tais, o kai to atlikti negalima, – vertine išraiška. Esant didelei medžiagų įvairo­vei, galimas procentinis įvertinimas. Energiją tikslinga matuoti fizi­niais dydžiais. Sunkiausia įvertinti kapitalą, nes vienareikšmiškai sunku nusakyti įmonės įrengimų, gamybos priemonių panaudojimo intensyvumą. Kai kada kapitalui įvertinti gamybos funkcijoje kaip indikatorius pasitelkiamas nusidėvėjimas. Tačiau reikia turėti galvoje tai, kad į atskiras kapitalo dedamąsias, sakysim į žemę, vertinant nusidėvėjimą, išvis neatsižvelgiama. Geriausias kapitalo matas yra fiksuotas turtas, tačiau pažymėtina, kad gamybos priemonių kainos yra laiko funkcijos –  priklauso nuo to, kada įsigytos, jos gali būti paveiktos kainų indeksų. Vertinant gamybos funkciją, svarbus yra duomenų surinkimo etapas. Jei duomenys gali būti renkami vienoje įmonėje tam tikru fiksuotu laiko intervalu, tai galima naudoti laiko eilučių metodą. Šiuo atveju būtina atsižvelgti į infliaciją, technologijos pokyčius ir ne visuomet efektyviausią gamybą, esant fiksuotai įėjimo kintamųjų kombinacijai. Momentinių stebėjimų metodu, duomenys surenkami tuo pačiu laikotarpiu skirtingose panašiose įmonėse. Tada, išvengiama infliacijos poveikio, tačiau gali išryškėti kainų skirtumas dėl geografinio išsidėstymo; išvengiama technologijos kitimo, tačiau atsiranda prielaida, kad stebimos įmonės yra ne tos pačios technologinės kokybės. 2. Regresijos modeliai 2.1. Regresijos modelio samprata Ekonomikos tyrimuose dažnai tenka nustatyti dviejų dydžių – Y, vadinamo išėjimo kintamuoju (pasekme), ir X, vadinamo įėjimo kinta­muoju (priežastimi), – tarpusavio ryšį. Pasaulyje esama nepaprastos įvairovės šių ryšių tipų, bet visus juos galima suskirstyti į dvi grupes: • funkcinius; • koreliacijos. Kiekvieną funkcinio ryšio įėjimo kintamojo reikšmę atitinka griežtai apibrėžta, fiksuota išėjimo kintamojo reikšmė. Žinant įmonės pajamas ir išlaidas, visuomet galima apskaičiuoti pelną. Funkcinė priklausomybė užrašoma taip: Y=F(X ). Koreliacijos ryšio įėjimo kintamojo kitimas veikia tik išėjimo kintamojo vidutines reikšmes. Kai yra šis ryšys, esant tai pačiai įėjimo kintamojo reikšmei, išėjimo kintamojo reikšmės gali būti skirtingos. Taip yra todėl, kad išėjimo kintamojo dydį, be įėjimo kintamojo, sąlygoja daugybė kitų veiksnių, kurių įtakos negalima išvengti (kartais jie gali būti nežinomi). Tad koreliacijos ryšys ryškėja tik per statistinius stebėjimus: formaliai jis užrašomas lygtimi:  , kur  – atsitiktinė dedamoji, įvertinanti ir X, ir Y atsitiktinį pobūdį. Jei  =0, tai X ir Y sieja funkcinis ryšys, o jei funkcija F (X) yra pastovi, tai X ir Y nepriklausomi. Kai yra koreliacijos ryšys, funkcija Y=F (X) vadinama regresijos lygtimi (modeliu), o jos koeficientai – regresijos koeficientais. Priklausomai nuo įėjimo kintamojo X matiškumo, skiriami vienmačiai regresijos modeliai, kai kintamųjų skaičius lygus vienam, ir daugiamačiai, kai kintamųjų skaičiaus yra daugiau nei vienetas. Regresinės lygties kintamųjų ryšio stiprumą nusako ryšio glaudumo rodikliai: • koreliacijos koeficientas r; • koreliacijos santykis R; • determinacijos koeficientas D. Kai y ir x sieja tiesinis ryšys, šio ryšio stiprumą nusako koreliacijos koeficientas, kuris nustatomas iš stebėjimo duomenų (xi, yi), pagal šią formulę: (2.1) čia:  –  įėjimo kintamojo reikšmių vidurkis;  –  išėjimo kintamojo reikšmių vidurkis; ;  –  įėjimo kintamojo dispersija;  –  išėjimo kintamojo dispersija. Šio koreliacijos koeficiento kitimo ribos . Jei r  0, regresijos funkcija didėja, o tai reiškia, kad, didėjant x, didėja ir y. Kai r  0, x didėjant, y mažėja. Kai , visi taškai sutampa su tiesės linija. Jei koreliacijos koeficientas r=0 arba artimas jam, tai dar nereiškia, kad kintamieji x ir y yra nepriklausomi ar menkai priklausomi: jie gali būti susieti ne tiesine, o priklausomybe. Jei tarp y ir x yra netiesinė koreliacija, ryšio stiprumą nusako koreliacijos santykis: ; (2.2) čia – išėjimo kintamojo reikšmė, apskaičiuota pagal regresijos lygtį. Akivaizdu, kad šis koeficientas įgyja reikšmes iš intervalo . Kuo koeficiento reikšmė artimesnė vienetui, tuo ryšys stipresnis. Kuo regresijos lygtis geriau aprašys stebėjimo duomenis, tuo skaitiklio narys bus mažesnis ir koeficientas didesnis. Ir tiesinės, ir netiesinės koreliacijos atveju apskaičiuojamas determina­cijos koeficientas: . (2.3) Jis rodo, kokią viso išėjimo kintamojo kitimo dalį nulemia įėjimo kintamojo kitimas, o (100-D ) – likę neįvertinti veiksniai. Regresiniuose modeliuose gali būti skaičiuojamos trys dispersijos: • liekamosios paklaidos • regresinės lygties • įvertinimo . Liekamosios paklaidos dispersija parodo, kiek nukrypsta faktiški stebėjimo duomenys nuo apskaičiuotųjų pagal regresijos lygtį: . (2.4) Kuo šios dispersijos reikšmė didesnė, tuo modelyje yra daugiau veikiančių y neįvertintų veiksnių. Regresijos lygties dispersija, parodo nukrypimą nuo vidurkio: . (2.5) Ir įvertinimo dispersija įvertina suminį dispersijų poveikį: . (2.6) Kadangi ryšio glaudumo rodikliai įvertinami pagal statistinius duome­nis, visuomet būtina patikrinti šių rodiklių reikšmingumą. Koreliacijos koeficiento reikšmingumas tikrinamas naudojant Stjuden­to kriterijų. Laikoma, kad koeficientas yra reikšminis, jei galioja ši nelygybė: .; (2.7) čia  – Stjudento kriterijaus (t) lentelinė reikšmė, esant nuro­dytajam patikimumui  ir n-m-1 laisvės laipsniams; m – regresijos lygtyje įvertinamų koeficientų skaičius. Lentelinė Stjudento kriterijaus reikšmė, kai patikimumas 0,05 ir laisvės laipsnis k = n-m-1, pateikta 2.1 lentelėje. 2.1 lentelė Stjudento kriterijaus reikšmė k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t 12,71 4,3 3,18 2,77 2,57 2,44 2,36 2,3 2,26 2,22 k 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 t 2,2 2,17 2,16 2,14 2,13 2,12 2,11 2,1 2,09 2,08 k 30 40 50 60 80 100 200 500 t 2,04 2,02 2,0 2,0 1,99 1,98 1,97 1,96 Koreliacijos koeficiento vidutinis kvadratinis nukrypimas, esant didelei stebėjimo duomenų aibei (n25), nustatomas taip: . (2.8) Esant mažai aibei: . (2.9) Koreliacijos santykio reikšmingumas tikrinamas pagal Fišerio kriterijų: ; (2.10) čia  – Fišerio kriterijaus (F ) lentelinė reikšmė, kai nurodytas patikimumas ir yra du laisvės laipsniai: k1=(m -1) ir k2=(n -m). 2.2. Vienmačių regresijos modelių sudarymas Regresijos modelių koeficientų įvertinimas paremtas mažiausių kvadratų metodu: . (2.11) Šios liekamosios paklaidos dispersijos minimizavimas leidžia geriausiai parinkti nežinomuosius regresijos lygties koeficientus. Kiekvienas sudaromas regresijos modelis apima tris etapus: • ryšio formos parinkimą; • kiekybinį regresijos lygties koeficientų įvertinimą; • ryšio glaudumo reikšmingumo nustatymą. Parenkant modelio tipą, pirmiausia reikėtų grafiškai pavaizduoti visus turimus stebėjimo duomenis ir nustatyti jų pasiskirstymą. Kuo glaudžiau taškai išsidėstę, tuo stipresnis x ir y ryšys. Kai taškai išsidėsto apskritime, galima teigti, kad koreliacijos ryšio nėra. Atliekant grafinę koreliacijos lauko, t.y. statistinių duomenų, analizę, atskiri taškai nejungiami kreive, tik pažymima jų vieta. Regresijos lygties koeficientai nustatomi, naudojant normalinių lygčių sistemą. Kadangi koeficientų skaičius kintamas, kiekvienam modelio tipui ši sistema yra skirtinga. Vienmačio regresijos modelio sudarymo struktūrinė schema pateikta 2.1 paveiksle. Šioje schemoje rodomi trys galimi regresijos modelio sudarymo keliai. 2.1 pav. Vienmačio regresijos modelio sudarymo struktūrinė schema Pasirinkus tiesinį regresijos modelį, galima iš karto skaičiuoti regre­sijos lygties koeficientus ir pagal Fišerio kriterijų patikrinti, ar gautoji lygtis reikšminė. Jei ši lygtis reikšminė, apskaičiuojamas determinacijos koefici­entas ir liekamosios paklaidos dispersija. Toks modelio sudarymo būdas tinka, kai iš tikrųjų žinoma, kad yra tiesinis regresijos ryšys. Šis kelias parodytas struktūrinėje schemoje punktyrais. Dalinis tiesinio modelio būdas leidžia anksčiau nustatyti tiesinio ryšio buvimą. Kai koreliacijos koeficientas nereikšminis, būtina nagrinėti kreivinės regresijos modelio tipus. Kreivinio modelio reikšmingumas tikrinamas pagal Fišerio kriterijų. Kartais gali būti sprendžiamas geriausio kreivinio modelio parinkimo uždavinys. Visi reikšminiai kreiviniai modeliai palyginami pagal liekamo­sios paklaidos dispersijos reikšmes. Atrenkamas tas modelis, kurio mažiausias. 2.3. Vienmatis tiesinės regresijos modelis Tiesinės regresijos modeliai dažniausiai naudojami, aprašant ekono­minius procesus. Klasikinis pavyzdys yra paklausos kreivė. Didėjant prekės kainai, pardavimų apimtys mažėja. Tiesinės regresijos modelio išraiška: ; (2.12) čia b – tiesinės regresijos lygties polinkis; a – tiesinės regresijos lygties kirtimas. Šioje lygtyje koeficientas gali įgyti bet kurias skaitines reikšmes. Šios lygties grafikai pavaizduoti 2.2 paveiksle. 2.2 pav. Tiesinės regresijos modelio grafikai Paveikslo grafikai vaizduoja bet kurias galimas x reikšmes. Ekono­miniai kintamieji dažniausiai įgyja tik teigiamas reikšmes, tad ekonominėje analizėje tikslinga nagrinėti tik viršutinį dešinį kvadratą. Bet kokią tiesę apibūdina du dydžiai, polinkis b, kuris rodo, kaip pakinta y, pakitus x, ir kirtimas a, t.y. y reikšmė, kai x=0. Bet kokios tiesės polinkis, t.y. santykis y pokyčio su x pokyčiu: . (2.13) Šis regresijos lygties koeficientas rodo, kiek y pasikeis, x pakitus vienu vienetu. Paprastai šis polinkis priklauso nuo x ir y matavimo vienetų. Tarkime, kad paklausos kreivė, kai kaina matuojama centais, yra . Šios kreivės polinkis b =2. Tai pačiai prekei kainą nustatant litais, paklausos kreivė bus y =2 - 0,02x ir b =0,02. Nors nagrinėjamas ekonominis reiškinys yra tas pats, polinkis bus ne tas pats. Šią „matavimo” problemą galima apeiti, regresijos lygtį sudarant standartizuotiems kintamiesiems. Žvaigždute pažymėtiems standartizuotiems dydžiams būdinga tai, kad jų vidurkis lygus 0, o jų dispersijos lygios vienetui. Kai b kinta, o a lieka pastovus, lygties grafikas sukasi apie kirtimą. Tai grafiškai pavaizduota 2.3 paveiksle. Didėjant polinkiui, kreivė tampa nuožulnesnė. Paklausos kreivės atveju kitimas – tai maksimali prekės kaina, už kurią nebus parduota nė viena prekė. Kintant regresijos lygties kirtimui, o polinkiui nekintant, grafikas pakyla ar nusileidžia lygiagrečiai kitiems grafikams (žr. 2.4 pav.). Tiesinės regresijos lygtyje yra du nežinomi koeficientai - a ir b; jie nustatomi iš normalinių lygčių sistemos: (2.15) Išsprendę šią lygčių sistemą gauname: ; (2.16) . (2.17) Norint patikrinti lygties reikšmingumą, pakanka patikrinti koeficiento b reikšmingumą, naudojant Stjudento kriterijų: ; (2.18) čia . Ir tiesinės, ir kreivinės regresijos lygties atveju reikšmingumas gali būti patikrintas naudojant ir Fišerio kriterijų: . (2.19) Pateiksime tiesinės regresijos modelio sudarymą konkrečiam uždaviniui. Uždavinys. Duomenys apie gaminio serijos dydį ir įpakavimo išlaidas pateikti 2.2 lentelėje. Sudaryti regresijos modelį. 2.2 lentelė Gaminio įpakavimo išlaidų duomenys Gaminio mato vnt. Gaminio įpakavimo išlaidų duomenys Serijos dydis tūkst.vnt. xi 2 2,5 3 5 6 6,5 7 7,5 Vieneto įpakavimo išlaidos ct yi 18,9 18,6 19,1 18,3 17,9 17,1 17,4 17 Sprendimas. Šių duomenų grafinis išsidėstymas pateiktas 2.5 paveiksle. 2.5 pav. Koreliacijos laukas Iš statistinių duomenų išsidėstymo darome prielaidą, kad yra tiesinis koreliacijos ryšys. Įvertiname statistines charakteristikas: Tuomet koreliacijos koeficientas bus: . Tai rodo, kad koreliacijos ryšys yra atvirkštinis, t.y. didėjant serijos dydžiui, įpakavimo išlaidos mažėja. Patikriname koreliacijos koeficiento reikšmingumą: =2,57 . Tad koreliacijos koeficientas yra reikšminis. Apskaičiuojame regresijos lygties koeficientus: Tad regresijos lygties išraiška yra . Koeficientas b rodo, kad, padidinus serijos dydį vienu tūkstančiu vienetų, produkcijos vieneto įpakavimo išlaidos sumažės dydžiu 0,34 cento. Patikriname koreliacijos koeficiento b reikšmingumą: Tad koeficientas b yra reikšminis, o kartu ir visa apskaičiuota tiesinės regresijos lygtis yra reikšminė. Determinacijos koeficientas . Tai rodo, kad tūkstančio vienetų įpakavimo išlaidos 82,8% prik­lauso nuo serijos dydžio, o 17,2% - nuo kitų neįvertintų reikšmių. 2.4. Vienmatis hiperbolinės regresijos modelis Kaip atskiras kreivinės vienmatės regresijos lygties atvejis aptartinas hiperbolinės regresijos modelis. Šis koreliacijos ryšys pasižymi tuo, kad, tolygiai x didėjant, y mažėja greitėjančiai. Tipinis pavyzdys yra vidutinių gaminio išlaidų priklausomybė nuo pardavimo apimties. Dažniausia hiperbolinės regresijos modelio išraiška: . (2.20) Hiperbolinės lygties parametrai a ir b nustatomi pagal normalinių lygčių sistemą: (2.21) Uždavinys. 2.3 lentelėje pateikti statistiniai duomenys. Sudaryti regresinį modelį. 2.3 lentelė Gaminio vieneto išlaidų statistiniai duomenys Pavadinimas Mato vnt. Žymėji­mas 1 2 3 4 5 6 7 8 Pardavimo apimtis vnt. xi 1 3 4 6 8 9 10 12 Vieneto išlaidos Lt yi 48 41 36,5 28 28,2 26,1 23,4 20 Apskaičiuo­tos vieneto išlaidos vnt. 50,94 33,07 30,8 28,6 27,49 27,11 26,79 26,37 Sprendimas. Nubraižome koreliacijos lauką (jis pateiktas 2.6 paveiksle). Iš statistikos duomenų išdėstymo darome prielaidą, kad yra hiperbolinis koreliacijos ryšys. Įvertiname statistikos charakteristikas: ; 2.6 pav. Koreliacijos laukas ; . Nustatome regresijos lygties koeficientus: Tada a =24,14; b=26,4. Hiperbolinė regresijos lygtis užrašoma taip: . Žinant pardavimų apimtis, galima apskaičiuoti reikšmes pagal pasirinktą regresijos modelį. Kai x =1, tada . Kitos reikšmės pateiktos 2.3 lentelėje. Koreliacijos santykis nustatomas taip: . Visos regresijos lygties reikšmingumas patikrinamas pagal Fišerio kriterijų: ; Kadangi 18,195,99, tai apskaičiuotoji regresijos lygtis yra reikšminė. Determinacijos koeficientas rodo, kad 75,21% vieneto išlaidų priklauso nuo pardavimo apimties. Liekamoji paklaidos dispersija . 2.5. Daugiamačio regresijos modelio samprata Vienmatės koreliacijos atveju nagrinėtas vieno išėjimo kintamojo - y ir vieno įėjimo kintamojo - x ryšys. Praktiškai pasitaiko daug uždavinių, kur reikia nustatyti y priklausomybę nuo p įėjimo kintamųjų (x1, x2 ,..., xp ). Kuo įėjimo kintamųjų daugiau, tuo modelį sudaryti darosi sunkiau, atsiranda papildomų tyrimo aspektų. Daugiamatį koreliacijos ryšį nusako šis modelis: . (2.22) Bendruoju atveju daugiamatės regresijos modelis užrašomas: . (2.23) Kai nagrinėjamas tik tiesinis koreliacijos ryšys (ekonominėje analizėje to visai pakanka), gauname daugiamatį tiesinį regresijos modelį: . (2.24) Nagrinėjant daugiamačius regresijos modelius, apskaičiuojami tiesinės koreliacijos koeficientai: (2.25) Tiesinės koreliacijos koeficientai vadinami poriniais koreliacijos koeficientais, jiems būdingas simetriškumas,. Porinių koreliacijos koeficientų reikšmingumas tikrinamas analogiškai kaip ir vienmatės regresijos atveju, pagal Stjudento kriterijų (2.7 formulė). Reikšminiai poriniai koreliacijos koeficientai užrašomi į koreliacijos koeficientų matricą R, kuri yra kvadratinė ir simetrinė: y x1 x2 . . . xp y 1 . . . x1 1 . . . x2 1 . . . . . . . . . . . . xp 1 Kai koreliacija daugiamatė, dviejų kintamųjų ryšį gali veikti ne tik jų tarpusavio sąveika, bet ir kiti kintamieji. Daliniai koreliacijos koeficientai kaip tik ir nustato ryšio stiprumą tarp dviejų kintamųjų, kai kitų veiksnių įtaka eliminuota. Gautąsias dalinių koreliacijos koeficientų reikšmes kartais galima paaiškinti, remiantis ekonominiais samprotavimais. Daliniai koreliacijos koeficientai nustatomi taip: ; (2.26) čia Rij, Rii, Rjj – matricos R elementų rij, rii, rjj algebriniai papildymai. Dalinių koreliacijos koeficientų reikšmingumas tikrinamas pagal Sjudento kriterijų: ; (2.27) čia m – įvertinamų koreliacijos koeficientų skaičius. Jei daliniai koreliacijos koeficientai nurodo glaudų tiesinį xi ir xj ryšį, tai vieno įėjimo toliau nebereikia nagrinėti. Daugiamatis koreliacijos koeficientas nustatomas taip: ; (2.28) čia - matricos R determinantas; R00 – r00-ojo elemento algebrinis papildymas. Šis koeficientas kinta nuo 0 iki 1. Kai r =0, tai tiesinė regresijos priklausomybė neegzistuoja. Esant dviem įėjimams, x1, x2 ( p=2), daugiamatis koreliacijos koefi­cientas nustatomas taip: . (2.29) Kai įėjimo kintamųjų skaičius p 3, derėtų remtis tokia daugiamačio koreliacijos koeficiento nustatymo formule: ; (2.30) čia  – standartizuoti regresijos koeficientai. Paprastai randami pagal tokią lygčių sistemą: (2.31) Daugiamačio koreliacijos koeficiento reikšmingumas tikrinamas pagal Fišerio kriterijų (2.10 formulė). Paprastai daugiamačiame tiesinės regresijos modelyje (2.24) reikia nustatyti ( p -1) regresijos koeficientą: ; koeficientai b1, b2,...bj. ., bp randami iš p lygčių sistemos, kur  j-oji lygtis nustatoma taip: (2.32) Atskirų apskaičiuotų regresijos koeficientų reikšmingumas tikrinamas pagal Stjudento kriterijų: . (2.33) Nereikšminiai bi atmetami. Koeficiento bi vidutinis nukrypimas: (2.34) ; Koeficientai cii randami iš stebėjimo matricos diagonalinių elementų. Liekamosios paklaidos, regresinės lygties bei įvertinimo paklaidos dispersijos apskaičiuojamos analogiškai kaip ir vienmatės regresijos. Visos apskaičiuotosios lygties reikšmingumas tikrinamas pagal Fišerio kriterijų (2.19 formulė). Daugiamačiame regresijos modelyje, analogiškai kaip ir vienmačiame, yra determinacijos koeficientas, kuris nustatomas pagal 2.3 formulę. Be bendrojo determinacijos koeficiento, yra daliniai determinacijos koeficientai D1, D2, ..., Dn, kurie rodo, kokią variacijos dalį nulemia ati­tinkami įėjimo kintamieji. 2.6. Daugiamatės regresijos lygties optimalaus dydžio nustatymas Atliekant konkrečius regresijos modelio parametrų įvertinimo skaičiavimus, nustatyta, kad lygties pagrindimui nepakanka vien žinoti daugiamatį koreliacijos koeficientą, bet reikia patikrinti pagal Stjudento kriterijų ir kiekvieno koeficiento reikšmingumą. Tokia skaičiavimo seka sudėtinga, nes, tik atlikęs visus sudėtingus skaičiavimus, gauname reg­resijos lygtį. Ar negalima ankstesniuose skaičiavimo etapuose patikrinti atskirų įėjimo kintamųjų reikšmingumą ir kartu sumažinti skaičiavimo apimtį? Šis uždavinys sprendžiamas Helvigo metodu, leidžiančiu nustatyti kiekvieno įėjimo kintamojo xj papildomą įnašą į skirtingų veiksnių kombinacijų išėjimo kintamojo pasikeitimą. Įėjimo kintamasis xj teikia daugiau informacijos apie y kitimą, pirma, jei jo koreliacijos koeficientas artimas vienetui ir, antra, jei jis mažiau koreliuotas su kitais įėjimo kintamaisiais. Įėjimo kintamojo xj teikiamos informacijos apimtį nusako dydis gj: . (2.35) Šiam dydžiui visuomet galioja . Dydis gj lygus 0 tada, kai xj yra išsamios informacijos apie y kitimą indikatorius. Ir gj =1, kai xj nesuteikia papildomos informacijos apie y kitimą. Įėjimo kintamojo xj teikiamos informacijos kiekis nustatomas taip: . (2.36) Suminis atskirų įėjimo kintamųjų kombinacijų informacijos kiekis nustatomas taip: ; (2.37) čia k – įėjimo kintamųjų kombinacijų eilės numeris. Dydis Hk kinta nuo 0 iki 1. Jei Hk artimas vienetui, tai k -oji įėjimo kintamųjų kombinacija teikia beveik išsamią informaciją apie y kitimą. Tuomet tinkamiausia tiesinės daugiamatės regresijos lygtis atrenkama taip: . (2.48) Šiuo metodu ir spręsime konkretų uždavinį. Uždavinys. Tarkime, kad yra žinoma koreliacijos matrica (žr. 2.4 len­telę), kurios visi poriniai koreliacijos koeficientai reikšminiai: 2.4 lentelė Koreliacijos matrica y x1 x2 x3 y 1 0,85 0,77 0,9 x1 1 0,43 0,79 x2 1 0,67 x3 1 Sprendimas. Norint rasti kiekvienos galimos regresijos lygties infor­ma­cijos kiekį, sudaromos visos galimos įėjimo kintamųjų kombinacijos: Apskaičiuojamas kiekvienos kombinacijos informacijos kiekis: Geriausia yra septintoji regresijos lygtis, apimanti visus tris įėjimus. 2.7. Daugiamatis tiesinės regresijos modelis Daugiamačio tiesinės regresijos modelio sudarymo struktūrinė schema pateikta 2.7 paveiksle. Uždavinys. Šį daugiamatį tiesinį modelį modelį sudarysime, spręsdami konkretų uždavinį, kurio statistiniai duomenys pateikti 2.5 lentelėje. 2.5 lentelė Statistiniai duomenys Eil. Nr. y x1 x2 x3 1 103 30 3 3 2 108 31 5 10 3 120 44 5 5 4 109 43 4 6 5 114 50 5 15 6 95 23 2 3 7 140 45 5 14 8 99 26 2 4 9 119 33 4 10 10 133 55 5 20 2.7 pav. Daugiamačio tiesinės regresijos modelio sudarymo struktūrinė schema Sprendimas. Remiantis šiais pradiniais duomenimis, apskaičiuojami statistikos įvertinimai: Apskaičiuojami poriniai koreliacijos koeficientai: ; ; ; ; Apskaičiuotų porinių koreliacijos koeficientų reikšmingumas patikrinamas, pasitelkus Stjudento kriterijų: . Patikrinamas mažiausio porinio koreliacijos koeficiento reikšmin­gumas: Tai rodo, kad visi poriniai koreliacijos koeficientai yra reikšminiai. Sudaroma koreliacijos koeficientų matrica: y x1 x2 x3 y 1 0,82 0,77 0,77 x1 1 0,8 0,78 x2 1 0,72 x3 1 Daliniai koreliacijos koeficientai apskaičiuojami tarp įėjimo kintamųjų xi ir xj, tad matricą R reikėtų pertvarkyti, išbraukiant y stulpelį ir y eilutę. Pertvarkyta matrica: x1 x2 x3 x1 1 0,8 0,78 x2 0,8 1 0,72 x 0,78 0,72 1 ; ; . Patikriname apskaičiuotų dalinių koreliacijos koeficientų reikšmin­gumą: . Kaip matyti, visi daliniai koreliacijos koeficientai yra nereikšminiai, o tai rodo, kad tarp įėjimo kintamųjų nėra glaudaus ryšio ir nė vieno jų išbraukti nereikia. Standartinių regresijos koeficientų apskaičiavimui sudaroma lygčių sistema: Išsprendę šią lygčių sistemą, gauname: Daugiamatės koreliacijos koeficientas nustatomas taip: . Šio koeficiento reikšmingumas patikrinamas pagal Fišerio kriterijų: Kaip matome, daugiamatis koreliacijos koeficientas yra reikšminis, ir verta apskaičiuoti daugiamatės tiesinės regresijos lygties koeficientus, kurie nustatomi iš lygčių sistemos: Išsprendę lygčių sistemą, gauname: Tada regresijos lygtis yra tokia: . Norint nustatyti visos lygties reikšmingumą, būtina apskaičiuoti paklaidų dispersiją. Skaičiuojame pagal regresijos lygties išėjimo reikšmes. Skaičiavimo duomenys pateikti 2.6 lentelėje. 2.6 lentelė Paklaidų apskaičiavimo duomenys yi 1 103 102,7 -11,3 127,7 0,3 0,1 2 108 113,4 -10,6 0,4 -5,4 29,2 3 120 117,2 3,2 10,2 2,8 7,8 4 109 114,7 0,7 0,5 -5,7 32,5 5 114 127,6 13,6 185 -13,6 185 6 95 96,1 -17,9 320,4 -1,1 1,2 7 140 124,1 10,1 102 15,9 252,8 8 99 98,5 -15,5 240,2 0,5 0,3 9 119 111,9 -2,1 4,4 7,1 50,4 10 133 13,9 19,9 396 -0,9 0,8  1386,8 560,1 Regresijos lygties paklaidos dispersija . Liekamosios paklaidos dispersija . Vertinimo paklaidos dispersija . Tada apskaičiuotos regresijos lygties reikšmingumas tikrinamas pagal Fišerio kriterijų: Kadangi faktiška Fišerio kriterijaus reikšmė didesnė už teorinę, tai apskaičiuotoji regresijos lygtis yra reikšminė. Bendras determinacijos koeficientas . Tai rodo, kad 73,96% y kitimo lemia, x1, x2, x3 kitimas. Lieka neįvertinta 26,04% y kitimo. 3. Ekonominių rodiklių prognozavimas 3.1. Prognozavimo uždavinio samprata Ekonominių rodiklių, ypač prekių paklausos prognozavimas yra neats­kiriama kiekvienos firmos ekonominės veiklos dalis. Prognozavimas – tai būsimos nagrinėjamojo proceso eigos nustatymas, atsižvelgiant į turimą praktinį patyrimą ir priimtas teorines prielaidas. Prognozavimo uždavinį galima spręsti dviem būdais: • sudarant ekonominio objekto matematinį priežasties – pasekmės modelį; • naudojant dinamines eilutes. Sprendžiant uždavinį pirmuoju būdu, reikia nustatyti, kurie veiksniai lemia prognozuojamo rodiklio kitimą. Tada pagal sudarytą matematinį modelį galima apskaičiuoti prognozuojamo ekonominio rodiklio reikšmę. Matematiniams modeliams sudaryti geriausiai tinka regresiniai modeliai. Pavyzdžiui, nagrinėjant prekės metinę paklausą (Y), įvertinami šie veiksniai: gyventojų skaičius (x1), jų pajamos (x2), prekės kokybė (x3) ir kaina (x4). Šių veiksnių įtaka paklausai parodyta 3.1 paveiksle. 3.1 pav. Prekės paklausos priklausomybė Sprendžiant uždavinį antruoju būdu, nenagrinėjamos ekonominio rodiklio funkcionavimo priežastys, o tik stebima, kaip šis rodiklis ilgainiui kinta, ir sudaroma dinaminė eilutė. Dinamine eilute vadinama statistinių dydžių seka, rodanti, kaip, laikui bėgant, kinta ekonominis rodiklis. Tiriant dinamines eilutes, tariama, kad yra žinomos eilutės reikšmės laiko momentais t1 

Daugiau informacijos...

★ Klientai rekomenduoja

Šį rašto darbą rekomenduoja mūsų klientai. Ką tai reiškia?

Mūsų svetainėje pateikiama dešimtys tūkstančių skirtingų rašto darbų, kuriuos įkėlė daugybė moksleivių ir studentų su skirtingais gabumais. Būtent šis rašto darbas yra patikrintas specialistų ir rekomenduojamas kitų klientų, kurie po atsisiuntimo įvertino šį mokslo darbą teigiamai. Todėl galite būti tikri, kad šis pasirinkimas geriausias!