Ekonometrija - funkcijų tyrimas, ekstremumai

1 laboratorinis darbas Funkcijų tyrimas, ekstremumai 1. Panaudodami funkcijų tyrimo schemą, ištirkite ir grafiškai pavaizduokite šios funkcijos savybes. y=x3 – 3x2 + 8, kur 1, 3 ir 8 – jūsų studijų knygelės trys paskutinieji skaičiai. Jei bent vienas iš jų 0, pakeiskite jį 9. 2. Panaudodami Excel, sudarykite reikšmių lenteles: šios funkcijos, jos pirmos eilės išvestinės ir antros eilės išvestinės. 3. Nubrėžkite funkcijos, pirmos ir antros eilės išvestinių grafikus. Panaudokite keletą Excel grafikų braižymo tipų: linijines, stulpelines, kombinuotas diagramas. 4. Aprašykite šios funkcijos savybes pagal funkcijų tyrimo schemą. Fukcijų tyrimo schema: 1) Nustatome funkcijos apibrėžimo sritį D(y). 2) Nustatome ar funkcija yra f(x) yra lyginė, nelyginė. 3) Išsiaiškiname, ar funkcija yra periodinė. 4) Randame, jeigu tai įmanoma, funkcijos grafiko susikirtimo su koordinačių ašimis (Ox ir Oy) taškus. 5) Randame funkcijos pastovaus ženklo intervalus. 6) Randame funkcijos išvestinę ir kritinius taškus. 7) Randame funkcijos monotoniškumo intervalus (didėjimo ir mažėjimo intervalus). 8) Randame ekstremumo taškus ir funkcijos reikšmes tuose taškuose. 9) Braižome funkcijos grafiką 1.1. užduotis Fukcijų tyrimo schema: y= x3-3x2+8 y’= 3x2-6x y‘‘= 6x-6 1) Funkcijos apibrėžimo sritis D(y)=R, visa realiųjų skaičių aibė, (-∞;+∞); 2) F(x) = x3-3x2+8 F(-x) = (-x) 3–3(-x) 2 + 8 = - x3-3x2+8, nei lyginė, nei nelyginė 3) Funkcija neperiodonė 4) Funkcija kerta 0x ašį, kai y=0, funkcija kirs 0x ašį, kai x~-1,5, t.y. (~ -1,5;0); Funkcija kerta 0y ašį, kai x=0, šiame taške y=8, tai funkcija kirs 0y ašį (0;8); 5) Funkcija y teigiama, kai x priklauso intervalui (~ -1,5; +∞); Funkcija y neigiama, kai x priklauso intervalui (-∞;~ -1,5); 6) y’= 3x2-6x 3x2-6x=0 3x(x-2)=0 3x=0 x-2=0 x=0 x=2 0 ir 2 kritiniai taškai 7) f-ja mažėja [0;2]; f-ja didėja [-∞;0] ir [2; +∞] 8) xmin=2; xmax=0 F(0) = 8; f(2)= 4 9) 1 lentelė 1 pav. Įmonės grafikas 2 laboratorinis darbas Ribinė analizė Uždavinių tipai: 1. Ribinės sąnaudos 2. Ribinės pajamos 3. Pelno maksimizavimas 4. Elastingumas 1. Ribinės sąnaudos. ◦ Sąnaudų priklausomybė nuo gamybos apimties : C=C(X) ◦ Jeigu gamybos apimtis padidėja , tai sąnaudos didesniam produkcijos kiekiui pagaminti yra : ◦ Sąnaudų padidėjimas išreiškiamas: ◦ Santykinis sąnaudų padidėjimas: . Tai dydis, kuriuo kinta sąnaudos, padidinus produkcijos apimtį vienu vienetu. ◦ Ribinės sąnaudos – tai = C’(X) ◦ Jeigu produkcijos apimtis X, tuomet apskaičiavę ribines sąnaudas šiame taške X, gausime dydį, kuriuo pasikeis sekančio produkcijos vieneto pagaminimo sąnaudos. Pvz. Jei gamybos apimtis 5 vnt., tuomet ribinės sąnaudos C‘(5) – tai sąnaudų padidėjimas šeštajam produkcijos vienetui pagaminti. 1 Užduotis: Remiantis šiomis prielaidomis, apskaičiuokite ribines sąnaudas gamybos apimčiai nuo X=1 iki 20. Sudarykite reikšmių lentelę trims kintamiesiems : Gamybos apimtis X, Gamybos sąnaudos C(X) ir Ribinės sąnaudos C‘(X). Nubraižykite funkcijų C ir C‘ grafikus. Sugalvokite verslo srities situaciją, pvz. turizmo, farmacijos ar kitos verslo šakos įmonės pavyzdžiu ir paaiškinkite, kaip kinta ribinės sąnaudos, kintant gamybos apimčiai. Aprašykite gamybos sąnaudų funkcijos kitimo ypatybes, raskite šios funkcijos minimalias ir maksimalias reikšmes. Atlikite šią užduotį trims funkcijų variantams: a) laipsninei funkcijai C(X)=x5+14*x2+8, kur , 5- raidžių skaičius jūsų varde, 14- raidžių skaičius jūsų pavardėje, o 8- studijų knygelės paskutinis skaičius (jei nulis- pakeiskite į 9) b) logaritminei funkcijai C(X)=14*log5X (atkreipkite dėmesį, kad 5>0, 5≠1, o log5X=1/X*ln5) c) rodiklinei funkcijai C(X)=5x (5>0, o (5x)’=5x*ln5) 2. Ribinės pajamos Analogiškas uždavinys sprendžiamas, analizuojant pajamų kitimo dėsningumus. Jeigu R(X) – pajamos, kai gamybos apimtis X, tuomet ribinėmis pajamomis vadinamas įmonės bendrųjų pajamų pokytis, uždirbamas, pardavus dar vieną produkcijos vienetą. Dažnai pajamų kitimas įvertinamas pagal kainos funkciją P(X): R(X)= X*P(X) 2 užduotis: Sudarykite reikšmių lentelę (kai X kinta nuo 1 iki 20) pajamų kitimo funkcijai R(X)=X5+(14-1)*X4, kur 5- raidžių skaičius jūsų varde, 14- raidžių skaičius jūsų pavardėje, o 8- studijų knygelės paskutinis skaičius (jei nulis- pakeiskite į 9). Gretimuose stulpeliuose apskaičiuokite ribinių pajamų reikšmes R‘(X). Nubraižykite šių funkcijų grafikus. Tos pačios verslo situacijos pavyzdžiu paaiškinkite ribinių pajamų, kai X=19, R‘(19) prasmę. 3. Pelno maksimizavimas. 3 užduotis: Pagal 1 paskaitos skaidrių užduotį (skaidrę nr. 7, failas EKO_Tema1) sudarykite visų nurodytų kintaųjų reikšmių lentelę ir grafikus, kai X kinta nuo 1 iki 20. 4. Elastingumas Išvestinė- tai funkcijos kitimo greitis. Tačiau šis dydis ne visada tinka ekonominei analizei, nes priklauso nuo matavimo vienetų. Todėl uždaviniams, kuriuose patogesnė analizė procentiniam funkcijų kitimui tirti, naudojama elastingumo sąvoka. Analizuojama, kokiu procentu pakinta priklausomas kintamasis, kai nepriklausomas kintamasis pakinta vienu procentu. Jei nepriklausomo kintamojo pokytis žymimas , o priklausomo , tai elastingumas- jų santykis, žymimas Elastingumo reikšmė, apskaičiuota pasirinkus X reikšmę reiškia, kad X pakitus 1%, Y pakis procentų. Elastingumas ekonominei analizei naudojamas absoliutiniu dydžiu. 4 užduotis: Paklausos priklausomybės nuo pasiūlos funkcija: Q(R) =5*R/(R+14), kur 5- raidžių skaičius jūsų varde, 14- raidžių skaičius jūsų pavardėje Apskaičiuokite εR(Q)=R/Q*dQ/dR ir nubrėžkite paklausos, pasiūlos ir elastingumo funkcijų grafikus. (dalmens išvestinės formulė : ) 2.1. užduotis Ribinės sąnaudos a) Laipsninė funkcija: 2 lentelė 2 pav. Laipsninė funkcija Iš laipsninės funkcijos grafiko matyti, jeigu mes norime pagaminti kuo daugiau gaminių (t.y. padidinti produkcijos apimtis), tuo brangiau mums kainuos kiekvieno naujo gaminio pagaminimas, todėl galime teigti, jog gamybinės sąnaudos, kuo toliau, tuo labiau didės. Tačiau tuo pat metu papildomai pagamintų produktų kiekis didės lėtėjančiai, nes kiekvienam papildomai pagamintam produktui atiteks vis didesnė papildomų sąnaudų dalis. Gamybos sąnaudų funkcija didės greitėdama, ši funkcija didžiausią reikšmę pasieks esant didžiausiai gamybos apimčiai, nes ji yra didėjanti ir monotoniška. Tarkime, tai įmonė gaminanti batus. Jeigu ši įmonė nuspręstų padidinti, kurio nors veiksnio sąnaudas, kai kitos sąnaudos yra pastovios, tai tokioje situacijoje įmonė greitai pasieks gamybos apimties didinimo ribą. Kai įmonės gamybos apimtis yra nuo 0 iki 23, tai mes galime matyti iš grafiko, gamybos sąnaudos visiškai nekinta. Tačiau, kai įmonė, nusprendžia padidinti gamybos apimtis nuo 23 iki 33, tai gamybos sąnaudos pradeda sparčiai didėti. Šiai įmonei, gaminančiai batus, labiau apsimoka gaminti ir parduoti savo produkciją, kai trumpalaikėje strategijoje gamybos apimtis sutampa su gamybos sąnaudomis. Todėl tokiu atveju nesusidaro jokių papildomų išlaidų įsigyti sąnaudom. Tačiau jeigu įmonė padidintų gamybos apimtį, tada gamybos sąnaudos sparčiai pakiltų. b) Logaritminė funkcija: 3 lentelė 3 pav. Logaritmonė funkcija Iš logaritminės funkcijos grafiko matome, kad gamybos pradžioje ribinės sąnaudos viršija gamybos sąnaudas, tai reiškia, jog kiekvieno naujo produkto pagaminimas kainuoja daugiau nei prieš tai buvusio. Tačiau didinant gamybos apimtis, gamybos sąnaudos kuo toliau tuo labiau mažėja, nes kiekvienam papildomam gaminiui tenka mažesnė gamybos sąnaudų dalis, nei prieš tai buvusiam. Tarkime tai yra kaimo turizmas. Verslo pradžioje ribinės išlaidos viršija ribines sąnaudas, todėl kad visas savo lėšas reikia investuoti į viešbučio statymą, įvairių pramogų rengimą ir pan. Tačiau, kai kaimo turizmo įmonė jau pradės veikti ir klientai pradės naudotis teikiamomis paslaugomis, ši įmonė jau turės gamybos sąnaudų, kurias galės panaudoti savo paslaugų teikimui. Tačiau verslo pradžioje esantis nedidelis klientų skaičius dar nepadengia visų gamybos sąnaudų, todėl su mažu klientų skaičiumi verslas gali būti nuostolingas. Bet laikui bėgant klientų atsiranda vis daugiau ir daugiau ir verslui investuoti pinigai, pamažu ima atsipirkinėti, klientai apmoka gamybines sąnaudas. Todėl galime teigti, jok kiekvienas naujas klientas, padeda teikti pelną verslo turizmo savininkams. c) Rodiklinė funkcija: 4 lentelė 4 pav. Rodiklinė funkcija Iš rodiklinės funkcijos matyti, kad pasiekus tam tikrą gamybos apimtį, kiekvieno papildomo produkto pagaminimas, turės tokias pačias gamybos sąnaudas, kaip pateikiant rinkai visiškai naują produktą. Tarkime, kad tai automobilių servisas, teikiantis įvairias paslaugas, automobilių turėtojams. Iš rodiklinės funkcijos grafiko matyti, kol nekinta gamybos apimtis, tol nesikeičia gamybos sąnaudos. Todėl galime teigti, kad automobilių servisui apsimoka teigti daug įvairių paslaugų. Tačiau, jeigu atsitinka taip, kad sutrinka kurios nors paslaugos teikimas, įmonė norėdama panaikinti šį trūkumą, imasi spartinti kitas savo teikiamas paslaugas. Šiuo atveju didėja gamybos apimtis, bet tuo pačiu kyla ribinės sąnaudos, kurios viršija gamybos sąnaudas. Ir galime teigti, jog tai yra nuostolinga, nes servise nėra teikiama šitiek paslaugų, kad būtų galima padengti sąnaudas. 2.2. užduotis Ribinės pajamos 5 lentelė 5 pav. Ribinės pajamos Tarkime, kad įmonė gamina baldus. Iš ribinių pajamų grafiko matyti, kai gamybos apimtis yra 20 vienetų, tai įmonei gaminančiai baldus neapsimoka gaminti, nes ribinės pajamos mažesnės už bendrąsias ir jos nebeuždirba pardavus dar vieną produkcijos vienetą. R(x) nuo 19 yra ribinės pajamos, kad galima būtų pagaminti 20 vienetą. 2.3. užduotis Pelno maksimizavimas 6 lentelė 6 pav. Pelno maksimizavimas Įmonės pelnas yra maksimizuojamas, kai gamybos apimtis yra 10 vienetų ir gaunamos pajamos bus 1400 Lt. Pelno maksimizavimo sąlyga: C'(X)=R'(X). 2.4. užduotis Elastingumas 7 lentelė 7 pav. Elastingumas Iš elastingumo grafiko galime matyti, kad paklausa yra neelastinga. Visų mokesčių kaina padidėja ir visa mokesčių našta tenka vartotojams. Paklausos kreivė yra gulsčia, o pasiūlos kylanti, tai reiškia, kad mokesčių naštą neš gamintojai. Pasiūla viršija paklausą, tai reiškia, kad gali susidaryti prekių perteklius, todėl reikia imtis įvairių priemonių, kad didėtų paklausa. 3 laboratorinis darbas Skaitmeninis lygčių sprendimas Taikomi metodai: 1. Atkarpos dalinimo pusiau metodas 2. Stygų (kirstinių) metodas 3. Niutono metodas 4. Excel parametrų paieška Užduotis: Raskite šios lygties apytiksles šaknis visais trimis metodais ir pasitelkiant Excel: C(X)=X5-14*X2+8 5- raidžių skaičius jūsų varde, 14- raidžių skaičius jūsų pavardėje, o 8- studijų knygelės paskutinis skaičius (jei nulis- pakeiskite į 9) Paieškos tikslumas ε=0,01 1. Atkarpos dalinimo pusiau metodas: Sudarykite reikšmių lentelę (X_vid- intervalo vidurio taškas (formulė (x1+x2)/2 , paskutiniuose dviejuose langeliuose naudokite loginę funkciją IF , kurios rezultatas išvedamas tekstu „taip“ arba „ne“. Intervalo pradžios ir pabaigos taškus kiekvienoje eilutėje parinkite patys, priklausomai nuo f(x1)*f(x2) 0,01, o pagal sąlyga turi būti e0,01, o pagal sąlyga turi būti e1, intervalo kraštams apskaičiuoti sudarykite „if“ funkciją (pagal (2) formulę: 3. Veiksmus atlikite tol, kol |. 4. Nurodykite kokią gavote apytikslę funkcijos lokalaus minimumo reikšmę, kokia argumento reikšmė tame taške 5. Pavaizduokite grafike a,b,x1,x2 reikšmių kitimą, abcisių ašimi imdami stulpelį n. Pakomentuokite gautus rezultatus. 6. Paruoškite išsamų darbo aprašymą Word aplinkoje. 4.1. užduotis f(x) =5*x^2-5*ln(x) 17 lentelė 13 pav. Grafikas 18 lentelė AUKSINIO PJŪVIO METODAS: KOEFICIENTAI: k 0,236068 e-tikslumas 0,001 19 lentelė 14 pav. “Aukso pjūvio“ grafikas f(x) =5*x^2-5*ln(x), kur a=5; c=8; b=min, (5;8), t.y. b=5.Taškas x vadinamas atkarpos [a,b] “aukso pjūvio” tašku, jei (b-a)/ (b-x)= (b-x)/(x-a). Šis santykis lygus “aukso pjūvio” koeficientui k. K = 5^(0.5)-2 ( duota sąlygoje). Turime intervalo galus, kuriuos įrašome į lentelę kaip A ir B; Pagal žemiau pateiktas formules randame x1 ir x2: ;; X1 ir X2 reikšmes statome į funkciją ir apskaičiuojame F(X1) ir F(x2). E apskaičiuojame pagal formulę e=a-b, ir tikriname ar gautas rezultatas atitinka norimą tikslumą, t.y. ar e

Daugiau informacijos...

★ Klientai rekomenduoja

Šį rašto darbą rekomenduoja mūsų klientai. Ką tai reiškia?

Mūsų svetainėje pateikiama dešimtys tūkstančių skirtingų rašto darbų, kuriuos įkėlė daugybė moksleivių ir studentų su skirtingais gabumais. Būtent šis rašto darbas yra patikrintas specialistų ir rekomenduojamas kitų klientų, kurie po atsisiuntimo įvertino šį mokslo darbą teigiamai. Todėl galite būti tikri, kad šis pasirinkimas geriausias!