Diskrečioji matematika - aibės

§ 1 Aibės nusakymo būdai. Poaibis. Aibių lygybė Aibė – pirminė sąvoka. Ir ji nėra apibrėžiama panaudojant matematines sąvokas. Visuma objektų, jungiamų pagal vieną arba kelias taisykles vadinama aibe. Žymėjimas: A, B, C, ... A1, A2, A3, ... - aibės • Objektai, sudarantys aibę, vadinami jos elementais Žymėjimas: a, b, c, ... a1, a2, a3, ... -aibės elementai Jeigu objektas yra aibės elementas, žymime: a A:aA Jeigu objektas nėra aibės elementas, žymime a A:aA arba aA • Baigtinė aibė – aibė, turinti baigtinį skaičių elementų; • Begalinė aibė – aibė, turinti be galo daug skaičių elemtų; • Tuščioji aibė – aibė, neturinti nei vieno elemento (Žym.:Ø) Aibės nusakymo būdai: 1. Išvardyti aibės elementus: A={1, 2, 3, a, b, *, >}; B={1,1; 1,2; 3} 2. Panaudojant charakteringąją savybe: A={x|P(x)} Pavyzdys: (I) B={y|yN, 2y7} 2y7 y3,5 Ats.: B={1, 2, 3} (II) C={t|t, -2t+35} = {t|tZ, -10t4}={-10, -9, ..., 2, 3, 4} -2t+35 -5t2 | *2 -10t4 Aibė apibrėžta (nusakyta), jei žinomi jos elementai. Poaibis: Apibrėžimas 1: Jei kiekvienas aibės A elementas priklauso aibei B, tai aibė A vadinama aibės B poaibiu. Žymėjimas: AB - neįeina (nėra aibės B poaibis) Pavyzdys: A={1, 2, a, b, 3}, B={2, b, 3}, C={2, b, 3} BA, BC, AC, AA, BB, CC Pastaba: • Pati aibė A ir tuščioji aibė yra tos aibės poaibis A ir Ø, ØA, AA • Ø, A vadinami netikriniai aibės A poaibiai Pavyzdys: A={1, 2, 3, a, b} A1={1, 2, 3}, A2={3, a, b}, A3={a, b, 1} A1, A2 ir A3 yra tikriniai A poaibiai Ø, {1, 2, 3, a, b} – yra netikriniai aibės A poaibiai • n(A) – aibės A elementų skaičius A={1, 2, 3, a} n(A)=4 n(C)=1 n(N) – neapibrėžta B={1, Ø} n(B)=2 n(Ø)=0 C={ Ø} T.1 Jei aibė A turi m elementų, tai ji turi 2m poaibių • P(A) – aibės A poaibių aibė Jei n(A)=m, tai n(P(A))=2m Pavyzdys: (I) A={a, b} 22=4 P(A)={ Ø, {a, b}, {a}, {b}} n(P(A))=4 (II) A={1, 2, b} n(A)=3 23=8 P(A)={ Ø, {1, 2, b}, {1, 2}, {2, b}, {1, b}, {1}, {2}, {b}} n(P(A))=8 (III) B={ Ø} n(B)=1 21=2 P(A)={ Ø, { Ø}} Aibių lygybė: Apibrėžimas 2: Aibės, sudarytos iš tų pačių elementų yra lygios Žymėjimas: A=B Pavyzdys: A{1, 2, 3} B{2, 3, 1} C{2, Ø, 3} (I) A=B, AC, nes 1C (II) CD n(C)=2 n(D)=3 Apibrėžimas 3: Jei aibė AC ir BA, tai A=B • Aibių geometrinis vaizdavimas Paveikslėlis.................................................................................................................................................. § 2 Operacijos su aibėmis Apibrėžimas 1: A ir B B sąjunga vadinama aibe, sudaryta iš elementų, kurie priklauso aibei A arba priklauso aibei B. Žymėjimas: AB AB={x|xA arba xB} Geometrinis vaizas: - sąjunga Pavyzdys: A={a, b, c, 1, 2}, B{3, 4, a, b}, C={4, 3, d} AB={a, b, c, 1, 2, 3, 4} BC={3, 4, a, b, d} Apibrėžimas 2: Aibių A1, A2, A3, ..., Am sąjunga vadiname aibe, sudarytą iš elementų, kurie priklauso aibėm A1 arba A2, arba, ..., arba Am Žymėjimas: A1A2A3...Am=={t|tA1, arba tA2, arba, ..., arba tAm Savybės: 1. AB=A 2. A Ø=A 3. AB=BA – komutityvumo savybė 4. A(BC)=(AB)C – asociatyvumo savybė 5. jei AB, tai AB=B Pavyzdys: A={t|tR, 0t4}, B={a|aR, -ra2}, C={b|bR, -3b1} Rasti: 1. AB=[-2; 4] = {y|yR, -2y4} 2. BC=(-3; 2] 3. ABC=(-3; 4] Apibrėžimas 3: Aibės A ir B sankirta yra aibė, sudaryta elementų, kurie priklauso aibei A ir aibei B Žymėjimas: AB={x|xA ir xB} Geometrinis vaizdas: - sankirta Pavyzdys: A={a, b, Ø }, B={ Ø, b, c}, C={c, d, 1, 2} AB={b, Ø } BC={c} AC={ Ø } Apibrėžimas 4: Aibės A1, A2, A3, ..., Am sankirta vadiname aibe, sudarytą iš elementų, kurie priklauso aibėms A1 ir A2, ir A3 ir ... ir Am Žymėjimas: A1A2A3 ... Am=={t|tA1 ir tA2 ir ... ir tAm} Savybės: 1. AA=A 2. A Ø=Ø 3. AB=BA 4. A(BC)=(AB) C 5. jei AB, tai AB=A Pavyzdys: A={t|tR, 0t4}, B={a|aR, -2a2}, C={b|bR, -3b1} AB=[0; 2] BC=[-2; 1] ABC=[0; 1] • Susikertančios aibės, tai aibės, turinčios bendrų sprendinių A(a1, a2, ..., ai-1, ai-2, ..., an)(A(a1, a2, ..., ai-1, 0, ai+1, ..., an) Pavyzdys: A(P1) - 00 A(1)=10 A(0) - 00 Ats.: fiktyvi 00 A(P1)=00 1000 Ats.: esminis 10 Apibrėžimas 5: Aibių A ir B skirtumas yra aibė, sudaryta iš elementų, kurie priklauso aibei A, bet nepriklauso aibei B Žymėjimas: A\B A\B={t|tA ir tB} Geometrinis vaizdas: Pavyzdys: (I) A={a, b, c, 1, 2} B={a, b, 3, 4} A\B={c, 1, 2} B\A={3, 4} Savybės: 1. jei aibė Aaibei B, tai A\B=B\A 2. A\(BC)=(A\B)(A\C) 3. A\(BC)=(A\B) (A\C) Paveikslėlis..................................................................................................................................................... Apibrėžimas 6: Aibių A ir B simetrinis skirtumas yra (A\B)(B\A) Žymėjimas: AB Geometrinis vaizdas: Paveikslėlis..................................................................................................................................................... Apibrėžimas 7: Aibių A ir B Dekarto sandauga yra aibių porų, kurių pirmoji koordinatė priklauso aibei A, o antroji – aibei B Žymėjimas: AB (a, b) – pora AB={(a, b)|aA ir bB} Pora (a, b) = (c, d), jei a=c, b=d (2, 3)=(3, 2) (a, b)(1, 2) Pavyzdys: (I) A={a, b, c}, B={1, 2} Rasti: AB AB={(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2)} (III) A=[1, 5], B=(2, 4) AB= Paveikslėlis..................................................................................................................................................... Savybės: 1. ABBA 2. A(BC)(AB) C Sutvarkytos eilutės (a1, a2, a3, ..., an) ir (b1, b2, b3, ..., bn) yra lygios tik tada ir tada, kai jos viendo ilgio ir atitinkamos koordinatės yra lygios. Jei n=mai=bi, i=, tai (a1, a2, a3, ..., an)=( b1, b2, b3, ..., bn) Pavyzdys: (1, 1, 2)(1, 2, 1) (1, 2) (1, 2, 1, 2) Apibrėžimas 8: Aibių A1, A2, A3, ..., An Dekarto sandauga yra aibė sutvarkytų eilučių, kurių pirmoji koordinatė priklauso aibei A1, antroji – A2 ir t.t. ir yra n ilgio. Žymėjimas: A1A2A3...An A1A2A3...An={( a1, a2, a3, ..., an)|a1A1 ir a2A2 ir... ir anAn} Pavyzdys: A={a, b, c} B={1, 2}, C={*} Rasti: ABC ABC={(a, 1, *), (a, 2, *), (b, 2, *), (b, 1, *), (b, 2, *), c, 1, *), (c, 2, /*)} T.1 Aibių elementų skaičius n(A1A2...An)=n(A1)n(A2) ...n(An) Apibrėžimas 9: Aibės An vadinamos aibe, lygia aibės A Dekarto sandaugai iš savęs n kartų Žymėjimas: An =AA...A A3=AAA Pavyzdys: A={1, 2} Rasti: A3 A3={(1, 1, 2), (1, 2, 1), (1, 1, 1), (2, 1, 1), ..., (2, 2, 2)} (viso 8) n(A3)=n(A) n(A) n(A)=222=8 § 3 Aibės išskaidymas. Aibės galia Apibrėžimas 1: Aibė, kurios elementai tra aibės, vadinamos klase A={ Ø, {1, 2, 3, 4, a, b}, {1, 2, 3} – klasė Tarkime, kad aibė {A1, A2, ..., An)={Ai|i=, AiA Ai – tikriniai poaibiai Aibės išskaidymas Apibrėžimas 2: Klasė {A1, A2, ..., An} vadinama aibės A išskaidymu, jei: 1. Bet kokie du skirtingi poaibiai neturi bendrų elementų. AiAj= Ø, ij, i, j=1, 2, ..., n 2. A1A2...An=A Jei tenkina, tai vadinama aibės skaidymu 1. Jei klasė {A1, A2, ..., An} tenkina pirmą sąlygą ir netenkina antrosios, ji vadinama disjungtu 2. Jie klasė {A1, A2, ..., An} netenkina pirmosios, bet tenkina antrąją, ji vadinama aibės danga Pavyzdys: (I) A={1, 2, 3, a, b, c, d} A1={2, 3, a}, A2={1, b, c}, A3={d} A1A2= Ø ar klasė sudaryta iš aibių A1, A2, A3 yra išskaidymas? A1A3= Ø A1A2A3={2, 3, a, 1, b, c, d}=A A2A3= Ø Išvada: yra išskaidymas (II) A1={1, 2}, A2={a, b}, A3={d} A1={1, 2, 3}, A2={3, c, d}, A3={a, b, 1} {A1, A2, A3} – disjungtas 1. A1A2= Ø 1. A1A2={3}Ø + A1A3= Ø - A1A3=… A2A3= Ø A2A3=… Aibės galia Apibrėžimas 3: Baigtinės aibės galia sutampa su jos elementų skaičiumi n(A), |A| Pavyzdys: A={1, 2, a, b}, B={a, {a, b}, b}, C={ Ø, {a, b, 1}, D={ Ø } Rasti: aibių galią n(A)=(A)=4 (B)=3 (D)=1 (C)=2 n(Ø)=0 T.1 Jei aibė {A1, A2, ..., An} yra aibės A išskaidymas, tai jos galia {A1, A2, ..., An}=n(A) § 4 Funkcija: surjekcija, injekcija, bijekcija, kompozicija Funkcija yra A  B 1. Turi kiekvienas aibės A elementas turėti vieną vaizdą Paveikslėlis..................................................................................................................................................... 1. A:A  B funkcija Paveikslėlis..................................................................................................................................................... A – funkcijos apibrėžimas B – realiųjų skaičių sritis A(A)  B § 5 Teiginio sąvoka. Sudėtinis teiginys. Loginė opercija Teiginio sąvoka Apibrėžimas 1: Sakinys, kuris yra teisingas arba klaidingas, vadinamas teiginiu Žymėjimas: A, B, C, D – didžiosiomis lotyniškomis raidėmis ar A1, A2, A3, ... T (1) - teisingas teiginys K (0) - klaidingas teiginys Pavyzdys: 1. 2+2=4 | yra - 1 2. 2>3 | yra - 0 3. 1+3= | yra - 1 4. Šiauliai LR sostinė | yra - 0 5. Venta – ilgiauisa LR upė | yra - 0 6. Trikampio kampų suma lygi 1800 | yra - 1 7. x+2=10 | nėra 8. 2+3 | nėra 9. Rytoj nebus DM paskaitų | nėra 10. Greičiau rašyk | nėra Teiginių logika (TL) nenagrinėja (nesigilina), kodėl vienas ar kitas paprastasis teiginys yra teisingas ar klaidingas. Į tuos klausimus atsako kiti gamtos mokslai. Teiginiai skirstomi į paprastuosius ir sudėtinius Apibrėžimas 2: Teiginys, kurio negalima išskaidyti į jokius kitus teiginius, vadinamas paprastuoju. Paprastasis teiginys užrašomas tiesioginiu vientisiniu sakiniu Sudėtinis teiginys Apibrėžimas 3: Teiginys, kurį galima išskaidyti į keletą paprastųjų teiginių, vadinamas sudėtiniu. Sudėtiniai teiginiai užrašomi tiesioginiais sudėtiniais sakiniais Skatinamieji, liepiamieji, klausiamieji sakiniai nėra laikomi teiginiais Loginė operacija Apibrėžimas 4: Veiksmas, kurio metu iš paprastųjų teiginių panaudojant jungtukus sudaromas sudėtinis teiginys, vadinamas logine operacija § 6 Teiginių loginės operacijos Apibrėžimas 1: Teiginio A neigimas yra teiginys (skaitoma: ne A arba netiesa, kad A), kuris yraq klaidingas, kai A teisingas, ir atvirkščiai Teisingumo reikšmių lentelė: (TR) 1 0 0 1 Pavyzdys: A – 2+2=4 | 1 - 2+24 | 0 B – 2>3 | 0 - 23 | 1 T.1 = - dvigubo neigimo taisyklė Apibrėžimas 2: Teiginių A ir B konjunkcija yra teiginys AB (skaitoma: A ir B), kuris yra teisingas, kai abu teiginiai A ir B yra teisingi TR lentelė: A B AB AB AB AB 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 Pavyzdys: A – 1112=12321 | 1 AB - 1112=12321 ir 28 | nėra 2. x+2

Daugiau informacijos...

★ Klientai rekomenduoja

Šį rašto darbą rekomenduoja mūsų klientai. Ką tai reiškia?

Mūsų svetainėje pateikiama dešimtys tūkstančių skirtingų rašto darbų, kuriuos įkėlė daugybė moksleivių ir studentų su skirtingais gabumais. Būtent šis rašto darbas yra patikrintas specialistų ir rekomenduojamas kitų klientų, kurie po atsisiuntimo įvertino šį mokslo darbą teigiamai. Todėl galite būti tikri, kad šis pasirinkimas geriausias!