Diferencialinių lygčių sprendimas. Uždaviniai su sprendimais

atskirtaisiais kintamaisiais
 
 
 
 
0
2
2
1
1  dy
yM
yN
dx
xN
xM
.
2. Tada:
 
 
 
   dy
yM
yN
dx
xN
xM
2
2
1
1 .
3. Sprendinį, jei įmanoma, užrašome išreikštine funkcija  C,xfy  .
4. Patikriname, ar nėra ypatingųjų sprendinių:     012 xNyM
1. Išspręskite diferencialinę lygtį
22 2xyxy  .
Sprendimas.
Duotą lygtį su atskiriamaisiais kintamaisiais pertvarkome:
 yxy  22
,
 yx
dx
dy
 22 ,  dx
dxyxdy )2(2  ,  0)2(:  y
dxx
y
dy 2
2


.
Gauname lygtį su atskirtaisiais kintamaisiais, todėl galime integruoti abi puses:
 
dxx
y
dy 2
2
.
Suintegravę turime:
1
3
3
1
2ln Cxy  .
Išsireiškę y2 gauname bendrąjį diferencialinės lygties integralą:
3
3
1
2
x
Cey  ; čia 1C
eC  .
Bendrąjį diferencialinės lygties sprendinį turėsime iš bendrojo integralo išsireiškę funkciją y:
2
3
3
1

x
Cey .
Sprendimo eigoje dalijome abi lygties puses iš 02 y . Ištirkime lygties y + 2 = 0 šaknis. Įrašę
šios lygties šaknį y = 2 į duotąją diferencialinę lygtį, matome, kad ji lygčiai tinka. Vadinasi, y = 2
taip pat yra duotosios diferencialinės lygties sprendinys. Kadangi jis gaunamas iš bendrojo
sprendinio, imant C = 0, tai nėra ypatingasis sprendinys.
Atsakymas: .2
3
3
1

x
Cey
2. Išspręskite diferencialinę lygtį   055  xdydxyy .
Sprendimas.
Pirmiausiai atskirkime kintamuosius:
  xdydxyy 55  . | :   05  yy
Gausime:
P130B002 Matematika 2 ` Uždaviniai su sprendimais
2
  x
dx
yy
dy

 5
5
.
Dabar, integruodami šios lygties abi puses, gauname, kad
 
   


x
dx
dy
yy
yy
5
5
, t.y.  
 x
dx
y
dy
y
dy
5
,
Cxyy lnlnln5ln  .
Sutvarkę reiškinį bei sulyginę kairėje ir dešinėje lygties pusėse esančių logaritmo funkcijų
argumentus gauname:
 Cx
y
y
ln
5
ln 




 
,
Cx
y
y

 5
.
Iš paskutiniosios išraiškos randame bendrąjį sprendinį:
Cx
y


1
5
.
Ištirkime lygties y (y – 5) = 0 šaknis. Įrašę šios lygties šaknis y = 0 ir y = 5 į duotąją diferencialinę
lygtį, matome, kad jos lygčiai tinka. Vadinasi, y = 0 ir y = 5 taip pat yra duotosios diferencialinės
lygties sprendiniai, kurių antrasis gaunamas iš bendrojo sprendinio, imant C = 0. Kadangi y = 0 iš
bendrojo sprendinio negauname, tai jis yra duotosios diferencialinės lygties ypatingasis
sprendinys.
Atsakymas:
Cx
y


1
5
, y = 0.
3. Išspręskite diferencialinę lygtį...

Daugiau informacijos...

★ Klientai rekomenduoja

Šį rašto darbą rekomenduoja mūsų klientai. Ką tai reiškia?

Mūsų svetainėje pateikiama dešimtys tūkstančių skirtingų rašto darbų, kuriuos įkėlė daugybė moksleivių ir studentų su skirtingais gabumais. Būtent šis rašto darbas yra patikrintas specialistų ir rekomenduojamas kitų klientų, kurie po atsisiuntimo įvertino šį mokslo darbą teigiamai. Todėl galite būti tikri, kad šis pasirinkimas geriausias!