Taikomosios matematikos teorija

SKALIARINIS LAUKAS. Jei taško M padėtį srityje D apibūdina skaliarinė funkcija, tai sakoma, kad srityje D apibrėžtas skaliarinis laukas, kurį žymėsime u=u(M).Skaliarinį lauką vadiname stacionariuoju, jei jis nepriklauso nuo laiko t, o priklauso tik nuo taško M padėties erdvėje, t.y. u=u(M). Priešingu atveju, t.y., jei u=u(M,t) lauką vadiname nestacionarijiu. Skaliarinį lauką vadiname plokščiuoju, jei jis apibrėžtas dviejų kintamųjų funkcija u=u(x,y). Lyktimi u=u(x,y,z) {arba v=v(x,y)} apibreziama geometrine tasku vieta vadiname lygio pavirsiumi {arba lygio kreive}– skaliarinio lauko geometrine prasme. Kryptinė isvestinė. skaliarinio lauko funkcijos u kitimo greitį taške M, pereinant nuo šio lauko taško prie kito jo taško M1 pasirinktąja kryptimi l>0: l>0=l>/ |l>|=(cosα,cosβ,cosγ). α β γ– kampai, tarp krypties l> ir koordinačių ašių Ox, Oy ir Oz. Δl=|MM1>|, Δu=u(M1)–u(M). Santykis apibrėžia skaliarinio lauko vidutinį kitimo spartumą kryptimi l>0. ∂u/∂l=(∂u/∂x)*cosα +∂u/∂y)* cosβ +(∂u/∂z)* cosγ. Jei l>=a1i>+a2j>+a2k>, tai cosα=a1/|l>| cosβ= a2/|l>|; cosγ= a3/|l>|; |l>|=sqrt(a12+a22+a32). Jeigu krypties vektorius l>0 sutampa su kuriuo nors ortų i>,j>,k>, tai skaliarines funkc u kriptine isvestine sutampa su atitinkama daline isvestine ∂u/∂x, ∂u/∂y arba ∂u/∂z. Gradientas. gradu=u= =(∂u/∂x)i>+(∂u/∂y)j>+(∂u/∂z)k> Skaliarinio lauko u gradientu taške M(x,y,z) vadiname vektorių gradu|M= =(∂u/∂x|Mi>+∂u/∂y)|Mj> +(∂u/∂z)|Mk>. Gradiento ir krypties vektorio orto l>0=l>/ |l>|= (cosα,cosβ,cosγ) skaliarine sandauga yra kriptine isvestyne– ∂u/∂l|M= gradu|M∙ l>0= |gradu|∙| l>0|cosφ. Savybes:1) gradu yra nukreiptas lygio pavirsiaus normales kriptimi. 2) kryptine isvestine ∂u/∂l yra gradiento projekcija i krypties vektoriu l>, |gradu|∙| l>0|cosφ=gradlφ. 3) gradu nukreiptas skaliarines funkc u(x,y,z) didejimo kriptimi. 4) gradiento modulis yra didziausias kryptines isvestines reiksme, t.y. max∂u/∂l=|grad u|= sqrt[(∂u/∂x)2+∂u/∂y)2+(∂u/∂z)2]. 5) grad c=0, 6)grad cu=c grad u, 7)grad(u1±u2)=grad u1±grad u2, 8)grad(u1*u2)= u1grad u2+ u2 grad u1. 9) grad f(u)=f’(u)grad u. VEKTORINIS LAUKAS. Pavirsini integrala S(a>,dS>= S(a>,n>0)dS vadiname vektorinio lauko a>(M) srautu per pavirsiu S jo normales n>0 kriptimi (cia dS>= n>0*dS; a>(M)=P(x,y,z)i>+ Q(x,y,z)j>+ R(x,y,z)k> =P(M)i>+Q(M)j>+R(M)k>. Pavirsinis integrls isreiskiamas: S(a>,n>0)dS= S(P(M)cosα+ +Q(M)cosβ+R(M)cosγ)ds= SPdydz+Qdxdz+Rdxdy. Vektorinį lauką a>=a>(M) vadiname tolydžiuoju vektoriniu lauku, kai funkcijos P, Q ir R ir jų pirmosios bei antrosios dalinės išvestinės kintamųjų x,y,z atžvilgiu yra tolydžiosios funkcijos nagrinėjamoje srityje. Vektorinį lauką vadinsime stacionariuoju, jei jis nepriklauso nuo laiko t, o priklauso tik nuo taško M padėties. Priešingu atveju, t.y. jei a>=a>(M,t) - laukas vadinamas nestacionariuoju. Vektorine kreive vadiname kreivę, kurios kiekviename taške liestinės kryptis sutampa su lauko vektoriaus kryptimi tame taške. Per kiekvieną vektorinio lauko tašką M(x, y, z) eina tik viena vektorinė kreivė. Vektorinių kreivių diferencialines lygtis: r>=xi>+yj>+zk>; dr>= dxi>+dyj>+dzk>; a>= axi>+ayj>+azk>, kadangi vektoriai dr>ir a> yra kolinearus, tai siu vektoriu projekcijos i koordinaciu asis turi buti proporcingos, dr>||a>, tai dx/ax=dy/ay; dy/ay=dz/az {φ1(x,y,z)=a, φ2(x1,y1,z1)=a. Jei laukas plokscias, tai z nera. Jei lauko taske yra ispildytaos sios difer likties sprendimo egzistavimo ir tolidumo salygos, tai per ta taska bus tik viena vektorine linija. taskas, kuriame nera ispildyta– ipatingas taskas, jame gali buti daug liniju. Vektorinio l. srautas. Prastme: Jei vektorinis laukas išreiškiamas vektoriumi a>=(P,Q,R),n>0=(cosα+cosβ+cosγ) ir ds>=(dydz;dzdx;dxdy), tai vektorinio lauko srautas pro orientuotą paviršių S jo normalės kryptimi: K= S(a>,n>0)dS= S(Pcosα+Qcosβ+Rcosγ)ds= SPdydz+Qdxdz+Rdxdy. dxdy=ds|cosγ, dzdx=ds|cosβ|, dydz=ds|cosα|. Vektorinio lauko skaiciavimas: 1budas: Projektuojam pavirsiu S i koordinaciu plokstuma. 1) pavirsius z=f(x,y) projekcija i plokstuma xOy yra Dxy. tai dS=dxdy/|cosγ|, S(a>,n>0)dS= D((a>,n>0)/cosγ)|dxdyz=f(x,y); |cosγ|=1/sqrt[1+(∂f/∂x)2+(∂f/∂y)2], nes n>0=±grad (z–f(x,y))/|grad (z–f(x,y))| jei kampas smailas, tai +. 2) x=f(y,z) projekcija i plokstuma (yOx) yda Dyz, tada S(a>,n>0)dS= D((a>,n>0)/cosα)|dydzx=f(y,z); |cosα|=1/sqrt[1+(∂f/∂y)2+(∂f/∂z)2]...4) Jei pavirsiu nusakytas F(x,y,z)=0, tada n>0= ±(grad F(x,y,z)) / |grad F(x,y,z)|. Jeigu galime, F(x,y,z)=0 isprendziame kurio nors kintamojo atzvilgiu ir pritaikome 1 2.. formules. SRAUTAS PER UZDARA PAV. gauso ir ostrogradskio formule: S(a>,n>0)dS=SPdydz+Qdxdz+Rdxdy= V(∂P/∂x+∂Q/∂y+∂R/∂z)* *dxdydz, cia S–orientuotas pavirsius, gaubiantis sriti V, o P=P(x,y,z), Q=Q(x,y,z), R=R(x,y,z), a=P(x,y,z)+ +Q(x,y,z)+ R(x,y,z). VEKTORINIO LAUKO DIVERGENCIJA. srauto S(a>,n>0)dS ir turio ΔV santikio riba, kai ΔV→0, (S→M– pavirsius traukiasi i taska), vadinamas vektorinio lauko a> divergencija div a>(M) taske M, t.y. div a>(M)= ΔV→0lim[S(a>,n>0)dS/ ΔV]. div a>– skaliarinis didis ir jis apibudina to vektorinio lauko intensyvuma nagrinejamame taske. 1) Jei vektr lauko a> taskuose div a>>0, tai siame taske prasideda vektorines linijos, tie taskai– saltiniu taskai. 2) Jei vektr lauko a> taskuose div a>=0, tai siame vektoriniame lauke nera nei saltiniu nei sankaupu. Toki lauka vadiname selenoidiniu. vektr lauko a>(M)=(P,Q,R) divergencija taske M(x,y,z) isreiskiamas div a>(M) =∂P/∂x+∂Q/∂y+∂R/∂z. Gauso ir Ostrogradskio formule divergencijai vektorine forma: S(a>,n>0)dS=vdiv a>dV Div savybes: 1) div a>=a>=∂ax/∂x+∂ay/∂x+∂az/∂x, div(a>±b>)=div a>±div b>, 2) div c>=0, 3)div(f(a>))=fdiv a>+ +(a>,grad f), 4) div(fc>)= =(c>,gradf), 5) divca>=c div a>, 6) div r>=3, cia spindulinis vektorius r>=(x,y,z), 7)div(f(r)r>) =3f(r)+ +rf‘(r). CIRKULIACIJA: L∫Pdx+Qdy+Rdz= L∫(a>,τ>0)dl vadiname vektoriau a> kreiviniu integrlu kreive L. Cia τ>0= τ>0(M)– kreives L liestines vektoraus ortas, dl– kreives L lanko diferencialas. Apibrezimas: Vektorines funkcijos a> kreivini integrala uzdaraja kreive L, C= ∫L(a>,dr>)=∫L Pdx+ +Qdy+Rdz – vadiname vektorinio lauko cirkuliacija. Darbas A: elementarus darbas dA=a>dτ>, A=∫LdA=∫L a>dτ>=∫L aτdl= =∫Laxdx+aydy+azdz. Jei L sutampa su lauko vektorine linija, tai A=∫L adl, o jei pries lauka, tai A= –∫L adl. Jei laukas yra potencialinis, tai cirkuliacija =0, potencialinis laukas, kai lauko linijos yra lygiagrecios (∂az/∂y=∂ay/∂z; ∂ax/∂z=∂az/∂x; ∂ay/∂x=∂ax/∂y –potenc l.). Skaiciavimas: 1. glodzia kreive L nusako parametrines lygtys x=x(t), y=y(t), z=z(t), t0≤t≤t1. tada: ∫L(a>,dr>)= t0∫t1(a>,dr>)= t0∫t1(P(x(t),y(t),z(t))* *x‘(t)+ Q(x(t),y(t),z(t))*y‘(t)+ R(x(t),y(t),z(t))*z‘(t))dt. 2. glodzia kreive L nusako likciu sistema {y=y(x), z=z(x), a≤x≤b. tada AB(a>,dr>)=ab(P(x,y(x),z(x))+ Q(x,y(x),z(x))*y‘(x)+ R(x,y(x),z(x))*z‘(x))dt. VEKTORINIO LAUKO ROTORIUS. Stokso teorema: kreives orientacija tokia, kad ziurint is isvestos pavirsiui normales galo, kontura L apejimas kreive vyksta pries laikrodzio krypti. Vektorinio lauko a>=(P,Q,R) rotoriumi (sukuriu) vadiname vektoriu rot a>= {stokso formule}(,a>) =|i> j> k>; ∂/∂x ∂/∂y ∂/∂z; P Q R|= (∂R/∂y – ∂Q/∂z)i>+ (∂P/∂z – ∂R/∂x)j>+ (∂Q/∂x – ∂P/∂y)k>=(∂az/∂y – ∂ay/∂z)i>+ (∂ax/∂z – ∂az/∂x)j>+ (∂ay/∂x – ∂ax/∂y)k>. Rotoriaus apskaiciuoto taske M kriptis nusako kripti, (ziurint is to tasko) kuriame lauko sukuringumas bus didziausias tame taske. to rotoriaus vektoriaus ilgis bus didziausias tame taske. To rotoriaus vektoriaus ilgis isreiskia sukuringumo laipsni. Naudojantis rotoriaus savoka, stokso formule galim uzrasiti vektorinei formoi: ∫L(a>,dr>)=s∫∫(rot a>,ds>), stokso vektorine forma teigia, kad vektor lauko a> cirkuliacija yra ligi to lauko rotoriaus srautui pro bet koki pavirsiu σ orientacija tokia kaip ir stokso teoremoi. Apibrezimas: rotoriaus projekcija į paviršiaus normalės kryptį lygi vektorinio lauko cirkuliacijos kreive L ir tos kreivės apriboto nykstamo ploto σ santykiui. Kai vektorius rot a> ir normales ortas n>0 bus kolinerūs, tai cirkuliacijos tankio reiksme bus maksimali ir ligi: |rot a>(M)|=max (σ→0)lim(∫L(a>,dr>)/σ). Fizikine rotoriaus prastme: vektorinio lauko a>(M) rotoriumi taske M vadiname vektoriu rot a>, kuris nukreiptas tame taske pavirsiaus S+ normales n>0 kryptimi ir kurio modulis apibreztas lygibe |rot a>(M)|=max (σ→0)lim(∫L(a>,dr>)/σ). Savybes: sakikim, kada>=(ax,ay,az) ir b>=(bx,by,bz)– vektorines funkcijos, c>– pastovus vektr, φ(x,y,z)– skaliarines funkcija, C–pastovus daugiklis. 1) rot c>=0; 2) rot(a>±b>)=rot a>± rot b>; 3) rot (ca>)=c rota>; 4) rot(φa>)=φrot a>+[gradφ x a>]. Antros eiles vektorines diferencialines operacijos: Taikant Hamiltono operatoriu skaliar laukui u=u(M) ir vektor laukui a>=a(M) gauname 1 eiles vektorines dif operacijas. u=grad u=(∂u/∂x)i>+(∂u/∂y)j>+(∂u/∂z)k>. a>=div a>=(∂ax/∂x)i>+ (∂ay/∂y)j>+(∂az/∂z)k>; x a>= rot a>=(∂az/∂y – ∂ay/∂z)i>+ (∂ax/∂z – ∂az/∂x)j>+ (∂ay/∂x – ∂ax/∂y)k>. Taikant Ham operatoriu skal ir vektor laukams du kartus gausim antros eiles dif operacijas: 1)skal lauk u→gard u{→div grad u=(u) arba →xrot grad u= x(u). 2)Vektor lauk a>{→div a>=a>→grad div a>=(a>) arba →x rot a>= x a>{→div rot a>=(x a>) arba →x rot rot a>=x(x a>; cia a) div gradu=(u)=2u=∂2u/∂x2+∂2u/∂y2+∂2u/∂z2=0 –laplaso liktis; b) rot gradu= x(u)=(x)u=0; c) div rot a>= (x a>)=0. Vektoriniai laukai: paprasciausi vektr laukai– tai kuriu kiekviename taske arba divergencija=0, arba rotorius=0, arba ir div ir rot=0. 1) Selenoidiniai (sukuriniai) laukai: ju kiekvienam taske div=0 (nera saltiniu ir sankaupos tasku). 2) Potencialinis vektr laukas. Jeigu visuose lauko taskuose rot=0. Bet kokio skaliar lauko gradientu vektorinis laukas yra potencialinis laukas. 3) Harmoniniai laukai– tai ir selenoidinis ir potencialinis laukas vienu metu. EILUTES.n=1∞an– skaiciu eilute. Apibrėžimas: Jei egzistuoja n-tuju daliniu sumu sekos Sn baigtine riba S=lim(n)Sn , tai ši riba vadinama eilutes suma ir sakome, kad eilute n=1∞an konv. Jei ši riba neegzistuoja arba yra begaline, tai eilute diverguoja. Savybes:1) Jei iš eilutes išmesim arba pridesim baigtini skaiciu nariu, tai ši operacija netures itakos eilutes konvergavimui. 2) Jeigu λ0, tai eilute n=1S∞ λan konverg tada ir tik tada, kai konverguos eilute n=1S∞an ir λ n=1S∞an= n=1S∞λan 5) Jeigu eilutes n=1S∞an ir n=1S∞bn konverg, tai konverg ir eilute n=1S∞(an±bn)= n=1S∞an ± n=1S∞bn; Butina eilutes konverg salyga: Jeigu n=1S∞an konverg, tai (n)lim an=0 bendrojo nario riba lygi nuliui. Irod: n=1S∞an konvr  (n®¥)lim Sn=0(n®¥)lim Sn–1=0Sn–Sn–1=an(n®¥)lim (Sn–Sn–1)=0 (n®¥)lim an=0. Isvada: Jei (n®¥)lim an=0, tai n=1S∞an gali ir konverg ir diverg; Jei (n®¥)lim an≠0 (but konverg salyg nepatenkint) tai n=1S∞an dkiverg. iskirtines eilutes: 1) n=1S∞1/nP, jei p>1 konverg, jei p≤0 diverg. Palyginimo pozims: turim n=1S∞an ir n=1S∞bn, tarkim a1

Daugiau informacijos...

★ Klientai rekomenduoja

Šį rašto darbą rekomenduoja mūsų klientai. Ką tai reiškia?

Mūsų svetainėje pateikiama dešimtys tūkstančių skirtingų rašto darbų, kuriuos įkėlė daugybė moksleivių ir studentų su skirtingais gabumais. Būtent šis rašto darbas yra patikrintas specialistų ir rekomenduojamas kitų klientų, kurie po atsisiuntimo įvertino šį mokslo darbą teigiamai. Todėl galite būti tikri, kad šis pasirinkimas geriausias!