Ekonominė matematika

 2. TIESINIAI EKONOMIKOS UŽDAVINIŲ MODELIAI Vienas iš svarbiausių ekonomikos uždavinių yra racionalaus ūkio organizavimas. Dėl ribotų resursų, technologinių galimybių tenka pasirinkti vieną ar kitą jų panaudojimo variantą. Nagrinėjant šią problemą matematiškai, sudaromi įvairūs ekonomikos modeliai, o jiems spręsti dažniausiai taikomi optimizavimo metodai. Ekonominės veiklos dalyvių interesai paprastai apibūdinami tikslo funkcija. Juk gamintojui rūpi gauti kuo didesnį pelną, vartotojui – pasiekti kuo didesnį pasirinkto prekių rinkinio naudingumą, pirkėjui – kuo pigiau nusipirkti rūpimą daiktų rinkinį. Organizuojant ūkinę veiklą, būtina atsižvelkti bent į svarbiausius apribojimus, kurie būna labai įvairūs. Pavyzdžiui, finansiniai: 1) bendros išlaidos prekėms ir paslaugoms turi būti ne didesnės negu pajamų suma; 2) prekių ir paslaugų kainos fiksuotos. Galimi technologiniai, normatyviniai ir kitokie apribojimai. Formalizuojant ekonominį uždavinį, apibrėžiami kintamieji dydžiai, sudaroma tikslo funkcija. Galimybių apribojimai išreiškiami lygtimis, nelygybėmis, įvairiomis tiesioginėmis sąlygomis. Visi įmanomi kintamųjų rinkiniai sudaro leistinąją aibę. Tuo būdu racionalios ūkinės veiklos matematinis uždavinys yra rasti leistinoje aibėje tokį kintamųjų rinkinį, su kuriuo tikslo funkcija įgyja optimalią (didžiausią arba mažiausią – priklausomai nuo uždavinio) reikšmę. Paprasčiausiais atvejais tikslo funkcija yra viena, o sudėtingesniuose uždaviniuose – visas jų rinkinys. Apsiribosime tik tiesiniais ekonomikos uždavinių modeliais. Tiesiškumas turi dvi labai svarbias savybes: adityvumo ir homogeniškumo. Jas galima apibūdinti taip: tarkime, kad u yra kurios nors prekės naudingumo indeksas, o x, x1 ir x2 yra tos prekės kiekiai. Tada 1) u(x1+x2)=u(x1)+u(x2) (adityvumas), 2) u(λx)= λu(x) su visais realiaisiais λ>0 (homogrniškumas). Tiesiniai ekonomikos uždaviniai pasižymi tuo, kad ir tikslo funkcijos, ir apribojimai juose išreiškiami tiesinėmis funkcijomis, tiesinėmis lygtimis bei nelygybėmis. Sprendžiant tiesinius ekonomikos modelius pakanka tiesinės ir vektorinės algebros žinių. TIESINĖS LYGTYS Tiesine lygtimi vadinama ši lygybė: a1x1+a2x2+…+anxn = b. Jos koeficientai a1,a2,…,an ,laisvasis narys b ir nežinomieji x1,x2,…,xn yra realieji skaičiai. Tiesinės lygties sprendiniu vadinamas sutvarkytas skaičių rinkinys a11+a22+…+ann=b. Nagrinėjant tiesinę lygtį, kartais svarbu ne tik rasti jos sprendinių aibę X, bet ir ištirti sprendinius taikomuoju aspektu. Sprendžiant lygtis labai svarbi ekvivalentumo sąvoka. Dvi tiesinės lygtys ir vadinamos ekvivalenčiomis, jeigu jų sprendinių aibės X’ ir X” sutampa, t.y. X’=X”. Išspręsti tiesinę lygtį, reiškia rasti jos sprendinių aibę X={(1;2;…;n):a11+a22+…+ann=b}. 3. TIESINIŲ LYGČIŲ SISTEMOS Iš tiesinių lygčių galima sudaryti jų sistemas. Bendrasis tiesinių lygčių pavidalas yra: Lygčių koeficientai pažymėti dviem indeksais. Pirmasis rodo lygties, o antrasis – nežinomojo numerį. Tiesinių lygčių sistemos sprendiniu vadinamas skaičių rinkinys =(1;2;…;n), kuris patenkina kiekvieną jos lygtį. Pagal šį apibrėžimą sistemos sprendinių aibė X yra visų jos lygčių sprendinių aibių sankirta. Dvi tiesinių lygčių sistemos vadinamos ekvivalenčiomis, jeigu jų sprendinių aibės sutampa. Aišku, kad ekvivalenčios lygčių sistemos turi vienodą nežinomųjų skaičių. Tuo tarpu lygčių skaičiai gali būti ir skirtingi. Pavyzdžiui, lygčių sistemos yra ekvivalenčios, nes ir pirmoji, ir antroji turi vienintelį sprendinį =(4;-1). Išspręsti tiesinių lygčių sistemą reiškia rasti jos sprendinių aibę X. sprendimo esmę sudaro pasirinktosios sistemos pakeitimas (vienu ar keliais žingsniais) ekvivalenčia jai sistema, kurios sprendinius nesunku apibūdinti. Išvardinkime veiksmus, atliekamus su pasirinktosios sistemos lygtimis, kurie nekeičia jos sprendinių aibės. Tai elementarieji pertvarkiai: 1) bet kurios lygties daugyba iš nelygaus nuliui skaičiaus; 2) bet kurios lygties sudėtis su kita lygtimi (naująją lygtį rašant vietoj vienos iš jų); 3) bet kurių lygčių sukeitimas vietomis; 4) tapatybės pašalinimas iš sistemos. Naudojant elementariuosius pertvarkius, iš dalies lygčių galima eliminuoti (pašalinti) pasirinktą nežinomąjį. Kartais patogu iš karto atlikti kelis elementariuosius pertvarkius. TIESINIŲ LYGČIŲ SPRENDIMAS GAUSO IR ŽORDANO METODU Gauso ir Žordano metodo pagrindą sudaro nuoseklus nežinomųjų eliminavimas naudojant elementariuosius tiesinių lygčių sistemos pertvarkius. Tikslas – pasirinktąją sistemą pakeisti tokia jai ekvivalenčia sistema, kurioje kiekvienas nežinomasis būtų tik vienoje lygtyje. Neretai tą tikslą pavyksta pasiekti tik iš dalies. Nagrinėsime tiesinių lygčių sistemą: Joje lygčių tiek, kiek nežinomųjų. Kad sistemoje iš tikrųjų būtų n nežinomųjų, tai bent vienas iš koeficientų prie kiekvieno nežinomojo turi būti nelygus nuliui. Kad paprasčiau būtų tarkime, kad Tada elementariaisiais pertvarkiais galima eliminuoti nežinomąjį x1 iš visų lygčių, pradedant antrąja. Tokiu būdu x1 lieka tik pirmojoje lygtyje. Paskui (jeigu įmanoma) eliminuijame kitus nežinomuosius. Paprasčiausiu atveju gausime šio pavidalo tiesinių lygčių sistemą: Aišku, kad koeficientai α11, α22,…, αnn nelygūs nuliui. Jos sprendinys būtų vienintelis nagrinėjamos tiesinių lygčių sistemos sprendinys. VEIKTORIŲ SĄVOKA Iš fizikos žinome, kad bet kurį kūną veikianti jėga apibūdinama dviem charakteristikomis: jėgos dydžiu ir jos veikimo kryptimi. Todėl jėga vadinama vektoriniu dydžiu. Kūno judėjimo greitis bei pagreitis taip pat vektoriniai dydžiai. Geometrijoje vektorius yra tiesės atkarpa su pažymėta kryptimi. Jos ilgis vadinamas vektoriaus moduliu. Matematinėje ekonomikoje dažniausia vartojami vektoriai, apibūdinti jų koordinatėmis (komponentėmis). Čia nėra esminio skirtumo tarp vektorių su viena, dviem ir didesniu koordinačių skaičiumi. Taigi vektorius – tai sutvarkytas skaičių a1,a2,…,an rinkinys arba (a1;a2;…;an). Jį sudarantys skaičiai vadinami vektoriaus komponentėmis (koordinatėmis). Siekiant pabrėžti vektoriaus komponenčių skaičių, naudojami pažyminiai: vienmatis, dvimatis, trimatis,…, k-matis, n-matis ir pan. Paprastai vektoriai žymimi viena raide, pvz.: a = , b = (b1; b2;…;bn), x = . VEIKSMAI SU VEKTORIAIS Pirmiausia apibrėšime tiesinius veiksmus su vektoriais. 1. Daugyba iš skaičiaus. Vektoriaus a=(a1; a2;…; an)T ir skaičiaus λ sandauga yra vektorius λa=(λa1; λa2;…; λan)T. 2. Sudėtis. Vektorių a=(a1; a2;…; an)T ir b=(b1; b2;…; bn)T suma yra vektorius a+b=(a1+b1; a2+b2;…;an+bn)T. 3. Atimtis. Vektorių a ir b skitrumas yra vektorius a–b=a+(–1)b. Aišku, kad abu vektoriai turi turėti tą patį komponenčių skaičių. Iš netiesinių veiksmų su vektoriais matematinėje ekonomikoje yra labai svarbi skaliarinė daugyba. Ji aibrėžiama taip: dviejų n-mačių vektorių a=(a1; a2;…; an)T ir b=(b1; b2;…; bn)T skaliarinė sandauga yra skaičius TIESINĖ VEKTORIŲ PRIKLAUSOMYBĖ Tiesiniai veiksmai su vektoriais taikomi naujiems vektoriams konstruoti. Naujieji vektoriai paprastai vadinami pasirinktųjų vektorių tiesiniais dariniais. Tiksliau, n-mačių vektorių tiesiniu dariniu vadinamas vektorius a=λ1a1+ λ2a2+…+ λkak= čia koeficientai λ1, λ2,…, λk – bet kurie realieji skaičiai. Tarkime, kad b=(b1; b2;…; bn)T yra kuris nors n-matis vektorius. Jį galima išreikšti vektorių sistemos a1,a2,…,ak tiesiniu dariniu. Pagal tiesinio darinio apibrėžimą lygybė ekvivalenti šiai lygybei: Aišku, kad ji teisinga tada ir tik tada, kai tiesinių lygčių sistema turi bent vieną sprendinį. MATRICOS SĄVOKA Formaliai matrica yra stačiakampė skaičių lentelė. Ją sudarantys skaičiai vadinami matricos elementais. Matricos žymė – skliausteliai: lenktiniai (…) arba […]. Dažniausiai naudojami lenktiniai. Matricų pavyzdžiai: Matricos taip pat žymimos raidėmis (dažniausia didžiosiomis). A = Pirmasis elemento indeksas rodo eilutę, o antrasis – stulpelį, kuriame yra šis elementas. Parašytoji matrica A turi m eilučių ir n stulpelių. Iš stulpelių galima sudaryti šiuos vektorius: o pačią matricą A glaustai parašyti taip: A = (a1,a2,…,an). Matricos A eilučių skaičius m ir stulpelių skaičius n apibrėžia jos matmenis m x n. Bet kuris matricos elementas žymimas aij. Siekiant kuo labiau suglaudinti matricos užrašą tiesiog rašoma A=(aij). Jeigu reikia, dar nurodomi jos matmenys. Kai kurioms matricoms taikomi specialūs pavadinimai: 1) Kvadratinė matrica. Matrica A=(aij) 2) vadinama kvadratine, jeigu jos eilučių skaičius sutampa su stulpelių skaičiumi. Dar ji vadinama n-tosios eilės matrica. 3) Vienetinė matrica. Tai kvadratinė matrica. E = 4) Nulinė matrica. Jos visi elementai lygūs nuliui. O = 5) Transponuota matrica. Transponavimą parodo viršutinis indeksas T. 2 IR 3 EILĖS DETERMINANTAI Kiekvienai kvadratinei matricai apibrėžiamas skaičius, kuris vadinamas jos determinantu. Jis žymimas det A, |A|, arba tiesiog Kai n=1, t.y. A= (a11), det A=a11. Antros eilės determinanto formulė tokia: Aukštesniųjų eilių determinantai apibrėžiami sudėtingesnėmis formulėmis. Jose naudojami matricos elementų minorai bei adjunktai. Matricos A elemento aij minoru (Mij) vadinamas matricos, gautos iš A, išbraukus joje i-tąją eilutę ir j-tąjį stulpelį, determinantas. Skaičius Aij = (–1)i+jMij vadinamas matricos A elemento aij adjunktu. ATVIRKŠTINĖ MATRICA Pasirinkime dvi matricas: ir jas sudauginkime. 1) AB= = 2) BA==. Taigi AB = Ba = E. Prisiminkime, kad realiųjų skaičių aibėje R bet kuriam nelygiam nuliui skaičiui a galima rasti vienintelį skaičių b, pasižymintį savybe a·b = b·a = 1. Skaičių b vadiname atvirkštiniu ir rašome b=a-1. Pagal analogiją matricą B, tenkinančią sąlygą AB=BA=E, Vadinsime atvirkštine matricai A. atvirkštinę matricą žymėsime A-1. Taigi B=A-1. iš apibrėžimo taip pat darome išvadą, kad matrica A yra atvirkštinė matricai B, t.y. A=B-1. 20. TIESINIŲ LYGČIŲ SPRENDIMAS ATVIRKŠTINIŲ MATRICŲ METODU Atvirkštinės matricos metodas taikomas tik kvadratinei tiesinių lygčių sistemai spręsti. Svarbi papildoma sąlyga: turi egzistuoti sistemos matricos atvirkštinė jos matrica A-1. Atvirkštinė matrica egzistuoja tik tada, kai det A≠0. ši sąlyga yra kvadratinės tiesinių lygčių sistemos sprendinio vienaties sąlyga. Tarkime, kad sistema yra suderinta ir det A≠0. ją parašysime matriciniu pavidalu Ax=b. Apskaičiuokime A-1. Pagal apibrėžimą A-1·A=E, o bet kuriam n-mačiui vektoriui x teisinga lygybė Ex=x. Todėl A-1·b=A-1(Ax)=(A-1A)x=Ex=x. Iš čia darome išvadą, kad x=A-1·b yra sistemos sprendinys. Todėl sprendžiant tiesines lygčių sistemas atvirkštinių matricų metodu, reikia: 1) Apskaičiuoti jos matricos detA 2) Kai detA≠0 apskaičiuoti jos A-1 3) Apskaičiuoti x=A-1·b. Jei detA=0, tai atvirkštinės matricos metodo tiesiogiai taikyti negalima, be to sistema gali būti nesuderinta. 21. TIESINĖS NELYGYBĖS Jeigu tiesinėje lygtyje a1x1+a2x2+…anxn=b lygybės ženklą = pakeistume vienu iš ženklų , ≥ , tai turėtume tiesinę nelygybę. Smulkiau aptarsime dvi: a1x1+a2x2+…anxn

Daugiau informacijos...

★ Klientai rekomenduoja

Šį rašto darbą rekomenduoja mūsų klientai. Ką tai reiškia?

Mūsų svetainėje pateikiama dešimtys tūkstančių skirtingų rašto darbų, kuriuos įkėlė daugybė moksleivių ir studentų su skirtingais gabumais. Būtent šis rašto darbas yra patikrintas specialistų ir rekomenduojamas kitų klientų, kurie po atsisiuntimo įvertino šį mokslo darbą teigiamai. Todėl galite būti tikri, kad šis pasirinkimas geriausias!