Ekonometrija - tai ekonomikos teorijos ir matematinės statistikos junginys

1.1 Trumpas įvadas Ekonometrija - tai ekonomikos teorijos ir matematinės statistikos junginys. Ekonometrijos, kaip mokslo šakos atsiradimas siejamas su norvegų ekonomisto ir matematiko Ragnaro Frišo darbų paskelbimu, kuriuose 1926 m. pirmą kartą paminėtas ir pats “ekonometrijos” terminas. 1930 m susibūrė ekonometrijos draugija, o 1933 m. sausį pradėtas leisti mokslinis žurnalas “Econometrica”, kuris yra leidžiamas iki šiol. Ekonometrijos apibrėžimai yra gana įvairūs, pradedant nuo labai plačių, įtraukiančių įvairiausius ekonominius matematinius metodus, iki gana siaurų, kai apsiribojama keliais matematinės statistikos metodais. Ekonometrija - tai atskira disciplina , kuri apjungia ekonomikos teoriją ir statistinius metodus, siekiant suteikti skaitinius įvertinimus ekonominiams procesams. Dažniausiai ekonometrijos vadovėlių turinį sudaro du metodai: regresinė analizė ir laiko eilučių tyrimo metodai. Šiame paskaitų konspekte yra pateikiami regresinės analizės taikymo verslo vadyboje pagrinai. 1,1 Regresinės analizės samprata Kiekvieną ekonominį reiškinį veikia bent keli veiksniai. Pvz. obuolių kainai ūkininkų turguje turės įtakos, obuolių auginimo ir sandėliavimo kaštai, importuojamų obuolių kainos, kitų vaisių, kurie gal būti obuolių pakaitalais, pvz. kriaušių, kainos. Atsitiktiniai veiksniai, tokie, kaip oro sąlygos taip pat turės įtakos obuolių derliui. Priimant sprendimus dažnai neužtenka vien tik išvardinti nagrinėjamą verslo situaciją sąlygojančius veiksnius, bet reikia jų poveikį įvertinti kiekybiškai. Šiam tikslui yra naudojama regresinė analizė, kurios pagalba veiksnių įtaką nagrinėjamam ekonominiam reiškiniui galima užrašyti matematinės lygties pagalba. Regresinė analizė yra statistinis metodas, kai naudojant matematines procedūras, gaunama lygtis arba jų sistema, įvertinanti vieno ar daugiau veiksnių įtaką nagrinėjamas reiškiniui. Turint matematinę priklausomybės lygtį, galima: 1. Matematiškai aprašyti nagrinėjamo reiškinio priklausomybę nuo jį sąlygojančių veiksnių. Konkreti regresijos ryšio matematinė lygtis leidžia gauti ekonominės analizės išvadoms naudingus rodiklius: ryšio ženklą ir įtakos pobūdį, nagrinėjamo reiškinio elastingumą kiekvienam iš veiksnių arba visų veiksnių poveikiui bendrai, veiksnių pakeičiamumo santykius 2. ustatyti nagrinėjamą situaciją veikiančius ir nedarančius jai esminio poveikio veiksnius; 3. Prognozuoti nagrinėjamo reiškinio variantus 4. Modeliuoti įvairias verslo situacijų alternatyvas ir lyginti jas tarpusavyje. Šiam konspekte nagrinėjami tik vienos lygties regresiniai modeliai. Gauta matematinė lygtis yra vadinama regresiniu modeliu, kurio bendras pavidalas atrodo taip: 1.1.1. kur Y – nagrinėjamas ekonominis reiškinys, išreikštas tamtikru rodukliu (pvz. Pardavimų apimtys, kaina) X1,..., Xk – jį sąlygojantys veiksniai , kurie yra sunumeruoti nuo 1 ikri k. Bendru atveju įtakojantį veiksnį žymėsime kur j ε - modelio paklaida. Vienos lygties regresinis modelis susideda iš dviejų dalių: sisteminės ir atsitiktinės. Sisteminė dalis lygtyje 1.11 yra o atsitiktinė Svarbu įsidėmėti, kad regresinė analizė taikoma ekonominių reiškinių analizei, kuriuose veiksnių tarpusavio ryšiai yra tikimybiniai ir netaikoma esant griežtai determinuotam veiksnių sąryšiui. Veiksnys Y ir X ryšys yra tikimybinis, kai esant tai pačiai X veiksnio reikšmei, Y gali įgauti nevienodas reikšmes. Pvz. dažniausiai produktų kainų ir kaštų ryšys yra tikimybinis. Ūkininkas prekiaujantis turguje gali parduoti savo išaugintus obuolius, kurių auginimo ir sandėliavimo kaštai vienodi, skirtingomis kainomis net ir tą pačią prekybos dieną. Todėl obuolių kaina turi tikimybinį pobūdį ir todėl yra atsitiktinis dydis. Prognozuojant pramogų centrų plėtrą, regresinė analizė padės išsiaiškinti paslaugų paklausą, t.y., kiek vidutiniškai įvairios gyventojų grupės pvz., studentai, šeimos su vaikais ar kokio nors miesto gyventojai ir t.t. išleidžia pramogoms pinigų, jeigu jų pajamos yra 500 ar 1000 litų per mėnesį. Sąryšis tarp gyventojų pajamų ir išlaidų pramogoms irgi yra tikimybinis, nes du gyventojai turintys vienodas pajamas išleis skirtingas sumas pramogoms, o be to skirsis ir to paties gyventojo išlaidos pramogoms skirtingais mėnesiais. Tyrinėtojas gali tik vidutiniškai pasakyti, kiek pinigų per mėnesį išleis gyventojų grupė. Regresinė analizė nebus reikalinga, jeigu žinosime, visų gyventojų mėnesio išlaidas pramogoms prognozuojamu periodu, kurios bus visais periodais vienodos. Šiuo atveju atsakymą gausime susumavę visų gyventojų išlaidas. Tačiau tokios informacijos nėra ir vargu ar gali būti. Apibrėžiant regresijos sampratą naudojome sąvokas "nagrinėjama verslo situacija arba ekonominis reiškinys ir jį sąlygojantys veiksniai. Toliau pereisime prie trumpesnių ir griežtesnių terminų. Priklausomas kintamasis - tai kairėje regresijos lygties pusėje esantis kintamasis (yi lygtyje 1.1.1), kurio vidutinių reikšmių pokyčius stengiamasi paaiškinti kitų - dešinėje lygties pusėje esančių kintamųjų pokyčiais. Nepriklausomi kintamieji (Xj) - tai dešinėje lygties pusėje esantys kintamieji, kurie veikia priklausomąjį kintamąjį () Nepriklausomųjų kintamųjų reikšmės gali laisvai kisti, t.y. jų neįtakoja priklausomojo kintamojo reikšmės. Regresinis modelis gali būti porinis arba dauginis. Porinis regresinis modelis yra tokia matematinė lygtis, kurioje vertinamas dviejų kintamųjų ryšys, t.y., kai regresijos lygtyje vertinamas tik vieno nepriklausomojo kintamaojo X įtaka priklausomam kintamajam. Dauginis regresinis modelis tai priklausomybės lygtis, kurioje nepriklausomų kintamųjų yra daugiau nei vienas. Tokio modelio pagalba galima tirti daugelio veiksnių bendrą įtaką nagrinėjamam reiškiniui. Bendrą įtaką suformuoja visų veiksnių poveikių suma. Atskiro veiksnio įtaka yra vadinama daline ir nustatoma, darant prielaidą, kad kitų nepriklausomų kintamųjų reikšmės yra pastovios. Tiesinis ir netiesinis regresinis modelis Pats paprasčiausias ekonometrinis modelis – tai porinis tiesinis regresinis modelis, kurio matematinė išraiška yra pateikta apačioje: Kaip matome šis modelis susideda iš trijų komponentų: kintamųjų Y ir X; koeficientų ; ir paklaidos Tiesiškumas arba netiesiškumas gali būti visų trijų komponentų atžvilgiu, Pateikta ___lygtis yra tiesinė kintamųjų, koeficientų bei paklaidos atžvilgiu. Žemiau pateikiami netiesinių modelių pvz. netiesiškumas kintamųjų atžvilgiu netiesiškumas koeficientų atžvilgiu Regresinio modelio koeficientai, parametrai ir įverčiai Kaip buvo minėta, regresinio modelio tikslas yra kiekybiškai įvertinti pasirinktų veiksnių įtaką nagrinėjamam reiškiniui. Šią įtaką atspindi regresinio modelio koeficientai, kurie yra apskaičiuojami modelio sudarymo eigoje. Šie koeficientai gali būti dviejų tipų: parametrai arba įverčiai. Parametrai, tai tikrieji sąryšio koeficientai, kurie yra žymimi graikiškomis raidėmis . Tikrosios parametrų reikšmės labai dažnai nėra žinomos ir negali būti tiksliai nustatytos, nes visada esama ribojančių objektyvių ir subjektyvių kliūčių, su kuriomis susiduria analitikas sudarydamas regresinę lygtį. Prie objektyvių kliūčių galima priskirti faktą, kad dažnai neįmanoma, o neretai ir netikslinga įtraukti visus nagrinėjamą reiškinį veikiančius veiksnius, tarp kurių dalis yra nežinomi arba kiekybiškai neišmatuojami (pvz. gyventojų skoniai arba vienos ar kitos prekės vertinimo kriterijai). Be to, tenka reikalingus analizei duomenis pakeisti statistinėse ataskaitose fiksuojamais mažiau tiksliais duomenimis ir apsiriboti, tik tam tikra jų imtimi. Prie subjektyvių kliūčių priskirtini tyrėjo padaryti netikslumai parenkant veiksnius, nustatant priklausomybės matematinę išraišką, klaidas suvedant informaciją ir kt. Todėl ekonometrijoje yra sakoma, kad skaičiuojant regresines lygties koeficientus gaunami nagrinėjamų duomenų pagrindų apskaičiuoti įverčiai, o ne tikrosios parametrų reikšmės. Siekiant pabrėžti, kada yra kalbama apie tikrąsias parametrų reikšmes, o kada apie parametrų įverčius, parametrams ir įverčiams yra naudojami skirtingi žymėjimai. Tikrąsias parametrų reikšmes žymime graikiškomis , , o jų įverčius lotyniškomis raidėmis: b ir e. Regresinio modelio sudarymo etapai ir žingsniai . Galima skirti tris regresinio modelio sudarymo etapus 1. Ekonominis 2. Statistinis 3. Ekonometrinės analizės Kiekviename etape atliekami tam tikri žingsniai ir daromos atitinkamos išvados. Regresinio modelio etapus papildžius žingsniais regresinio modelio sudarymo procedūra atrodo taip: 1 etapas: EKONOMINIS Pirmas žingsnis: Ekonominės problemos formulavimas. Analizuojamas verslo situacijos esminė problema ir tikslas. Sudaromas galomai įtakojančių veisknių sąrašas. Rezultatas: Įvardinamas nagrinėjamas reiškinys ir jį įtakojantys veiksniai, kurie yra būsimo modelio kintamieji. Antras žingsnis: Ekonominių hipotezių iškėlimas Analizuojamas kiekvieno iš veiksnių sąveikos su nagrinėjamu reiškiniu, kryptis ir pobūdis. Rezultatas: Užduodami reikalavimai matematinei modelio išraiškai Trečias žingsnis: Duomenų rinkimas Rezultatas: Sudaromos nagrinėjamą reiškinį ir įtakojančius veiksnius apibūdinančios duomenų lentelės. 2 etapas: STATISTINIS Ketvirtas žingsnis: Grafinė duomenų analizė. Braižomos linijinės bei sklaidos diagramos Rezultatas: Nagrinėjamo reiškinio priklausomybės nuo atskirų veiksnių grafikai. Tai svarbi informacija modelio matematinės formos parinkimui Penktas žingsnis: Modelio matematinės išraiškos užrašymas Rezultatas: Užrašoma matematinė modelio lygtis (lygtys) Šeštas žingsnis: Parametrų įverčių skaičiavimas Excel skaičiuokle arba kitomis specialiomis programomis modelio koeficientai Rezultatas. Užrašomas modelis su skaitiniais koeficientais Septintas žingsnis: Veiksnių statistinio reikšmingumo analizė Taikomos hipotezių tikrinimo procedūros. Rezultatas. Atsakoma į klausimą, kurie veiksniai statistiškai reikšmingai veikia nagrinėjamą reiškinį. o kurių įtaka nėra statistiškai reikšminga Aštuntas žingsnis: Viso modelio patikimumo tikrinimas Tikrinamas modelio determinuotumas ir klasikinių modelio prielaidų tenkinimas Rezultatas. Atsakoma į klausimą ar modelis sudarytas korektiškai ir jį galima taikyti ekonominei analizei ir prognozavimui. 3 etapas EKONOMETRINĖS ANALIZĖS Devintas žingsnis: analizei taikomos apskaičiuotos modelio rodiklių skaitinės reikšmės Rezultatas. Modelio pagalba daromos ekonominės išvados, kurių negalima būtų gauti, betarpiško stebėjimo ar kitu būdu. Dešimtas žingsnis: Ekonominių scenarijų kūrimas, prognozavimas. Tolesnė paskaitų konspekto medžiaga bus pateikiama nuo pirmojo iki dešimtojo žingsnio nuosekliai. Todėl dėstona medžiaga sudalinta pagal etapus ir žingsnius. Pateikiamas pavyzdys, kurio pagrindu bus aiškinamas kiekvieno žingsnio turinys. Visi žingsniai pradedami nuo jų tikslo ir paskirties, po to pateikiant ekonometrinę teoriją, bei Excel skaičiuoklės komandas. Žingsnio aprašymas baigiamas skaičiavimo rezultatų išaiškinimu ir įžvalgomis. 2. Ekonominis regresinio modelio sudarymo etapas. Kepyklėlės „Grūdas prie grūdo“ pardavimų vadybininkas, planuodamas ateities pardavimo problemas ir investicijų pagrįstumą turi numatyti būsimas duonos pardavimo kainas. Išnagrinėjęs mėnesines finansines ataskaitas nuo 2009 metų suvokė, kad būtina tam tikra analizės sistema ir procedūra. Prisiminęs ekonometrijos kursą bakalauro studijoje nusprendė įvertinti kokią įtaką kepamos ruginės duonos kainai turės brangstančios duonos kepimo sąnaudos. Pradėjo nuo regresinio modelio sudarymo pirmojo žingsnio Pirmas žingsnis: Nagrinėjamos verslo situacijos detalizavimas. Veiksnių įvardinimas Vadybininkas, nusprendė nustatyti pagrindinių duonos kepimo sąnaudų: rugių, cukraus, elektros energijos ir dyzelino kainų bei darbuotojų algų poveikį kepamos ruginės duonos kainai. Pirmiausia įtraukė pagrindines juodos duonos žaliavas: rugiius ir cukrų, Dyzelino kaina buvo pasirinkta kaip veiksnys, nuo kurio priklauso pagrindinės transportavimo išlaidos, susijusios su pagamintos produkcijos ir žaliavų, reikalingų produkcijos gamybai, pervežimu. Tuo tarpu elektros energija bei darbo jėga yra naudojama gaminant produkciją, todėl jų kaina (darbo jėgos kaina – vidutinis darbo užmokestis) įeina į gamybos kaštus ir veikia galutinio produkto kainą. 2009 m. rugsėjį padidintas PVM tarifas taip pat turėjo pakelti duonos kainą. Taigi vadybininko tikslas sudaryti regresinį modelį, kuris parodys, kokį poveikį turės kiekvienas iš šių veiksnių duonos kainai. Pirmojo žingsnio rezultatas: Įvardinti modelio kintamieji: priklausomas kintamasis yduonos kaina –tai nagrinėjamas reiškinys – ruginės duonos kaina, nepriklausomi kintamieji: duonos kepimo produktų: rugių (xrugių kaina ) ir cukraus (xcukraus kaiana ), kaina bei energetinių: resursų kainos: elektra (xelektros kaina ), dyzelinas (xdyzelino kaina ), taip pat, darbo užmokestis (xdarb užm ). Antrasis žingsnis: Ekonominių hipotezių iškėlimas. Kiekvieno iš išvardintų veiksnių kainos padidėjimas (kitiems veiksniams nekintant) didina duonos savikainą, o tai neišvengiamai turi atsiliepti ir duonos kainai. Bet kurio vieno iš šešių nepriklausomų veiksnių reikšmės sumažėjimas (kitiems veiksniams nekintant) mažina duonos sąnaudų vertę , o tai , taip pat, gali atsilieti gamybos kaštams, bet nebūtinai duonos kainai, nes ne visuomet ji yra mažinama, jeigu pirkėjų perkamoji galia ir paklausa nėra sumažėjusi. Tačiau duonos kainos reakcijos jautrumas arba elastingumas į veiksnių kainos kitimą gali skirtis. Tikėtina, kad rugių kainai pakilus, proporcingai augs ir duonos kaina, nes tai yra pagrindinė duonos žaliava. Tačiau degalų arba elektros kainos augimas gali turėti ir silpnėjantį poveikį duonos kainai, jeigu kepyklėlė pradės naudoti kurui ir energijai taupesnes mašinas ir technologijas. Apibendrinant galima pasakyti, kad visų veiksnių kainų padidėjimas iššaukia ir duonos kainos padidėjimą. Schematiškai galima pavaizduoti šiuos sąryšius tarp veiksnių tokiu būdu X1↑→Y↑ ; X2 ↑→Y↑; X3 ↑→Y↑; X4 ↑→Y↑; X5 ↑→Y↑; X6↑→Y↑ Rodyklės rodo, kap keičiasi duonos kaina, didėjant sąnaudų kainoms. Jeigu rodyklės yra tos pačios krypties, tuomet, įvertinus modelį, prie šio kintamojo turėtų būti teigiamas koeficientas, Jeigu rodyklių kryptis yra priešinga, tuomet modelyje bus neigiamas koeficientas jeigu nėra panaudota atvirkštinė kita mažėjanti funkcija. Trečias žingsnis – tai duomenų rinkimas. Regresiniai modeliai yra sudaromi naudojant dviejų tipų duomenis: laiko arba skerspjūvio duomenis, t.y., to paties veiksnio praeities faktinius duomenis arba dabarties skirtingų objektų pvz., skirtingų kepyklų, skirtingų rajonų arba miestų ir kt. duomenis. Šiuose modeliuose nėra būtina, kad visų kintamieji: Y ir X1 , X2 , ...X6 , būtų matuojami vienodais matais. Pavyzdyje apie duonos kainą surinkti tokie duomenys: duonos kaina, išreikšta litais už kg.; dyzelino kaina, išreikšta litais už litrą; -rugių kaina, išreikšta litais už toną; elektros energijos kaina, išreikšta centais už kilovatvalandę; vidutinis darbo užmokestis, išreikštas litais per mėnesį, tokiose ekonominėse veiklose kaip žemės ūkis, maisto produktų gamyba, didmeninė ir mažmeninė prekyba; cukraus kaina, išreikšta litais už kilogramą. Įsidėmėtina, kad regresinėje analizėje labai svarbų žinoti kintamųjų matavimo vienetus, kurie gali būti labai skirtingi, kaip yra pateiktame pavyzdyje. Duomenų lentelė atrodo taip: 1.Lentelė. Duonos kainos priklausomybės modelio duomenys Metai/Mėnuo Duonos kaina, Lt/kg Dyzelino kaina, Lt/ltr Rugių kaina, Lt/t Elektros kaina, ct/kWh Vid. Darbo Užmokestis, Lt/mėn. Cukraus kaina, Lt/kg 2009/03 4,50 3,22 238,87 23,54 1884,43 3,18 2009/04 4,51 3,12 244,12 23,54 1884,43 3,21 ir toliau Duomenys paimti iš : http://www.stat.gov.lt/lt/ bei http://www.lesto.lt/ Iš viso į tyrimą buvo įtraukti 36 stebėjimai. Duonos kainos buvo fiksuojamos nuo 2009 m. kovo mėn. iki 2012 m. vasario mėn. imtinai. Kadangi praktiškai nepriklausomų veiksnių reikšmės negali įtakoti to paties mėnesio priklausomo veiksnio reikšmę, buvo fiksuojama kaip vieno mėnesio nepriklausomi veiksniai įtakos priklausomą veiksnį po dviejų mėnesių, pvz.: kaip 2009 m. balandžio mėn. dyzelino, rugių, elektros, darbo jėgos ir cukraus kainos įtakos 2009 m. birželio mėn. duonos kainą. Nagrinėjamą verslo situaciją gali veikti ne vien tik veiksniai, kuriuos galima išreikšti kiekybiniais matais, bet ir kokybiniai veiksniai, pvz., krizės paveikio duonos, kainai, PVM mokesčio tarifo pakitimai. Kokybinius veiksnius į regresinį modelį galima įtraukti pasinaudojant fiktyviais (arba pseudo) kintamaisiais. Pateiktame pavyzdyje galima būtų traukti tokius kokybinius kintamuosius: PVM mokesčio tarifo pasikeitimas nuo 18 iki 21proc. 2008 metų krizės poveikis, bei sezoniškumo įtaka rugių arba duonos kainai. Pateiktame pavyzdyje aosiribota tik vieno fiktyvaus kintamojo: PVM mokesčio tarifo pakeitimo poveikio duonos kainai vertinimu. Šis veiksnys –tai poslinkio fiktyvuss kintamasis – kurių įtaka pasireiškia tiesiogiai nagrinėjamam reiškiniui. Pavyzdyje keliama hipotezė, kad padidintas pridėtinės vertės mokestis gali pakelti parduodamo produkto kainą. Todėl į modelį įtrauktas kintamasis D,- PVM pakeitimas, kuris įgauna reikšmes D1=0 iki 2009 spalio mėnesio, t.y., kai buvo 19 proc. PVM tarifas, o. nuo 2009 lapkričio mėn, D1=1 kai įsigaliojo 21 proc. tarifas . Regresinio modelio ekonominio ekonominis etapas baigiamas sudarius duomenų lentelę. Nagrinėjamo tyrimo duomenų lentelė yra pateikta ( žr. lentelę priede 1) 2. STATISTINIS EKONOMETRINIO modelio sudarymo etapas. Ketvirtas žingsnis: Grafinė duomenų analizė Pieš pradedant skaičiuoti regresinio modelio statistikas, patartina nubraižyti priklausomojo kintamojo reikšmių išsibarstymo diagramą ir grafiškai pavaizduoti kintamųjų tarpusavio sąryšius. Tai leidžia daryti preliminarias išvadas apie kintamųjų tarpusavio ryšio matematinės priklausomybės formą. Žinia, kad paprasčiausia nubrėžti grafiką dvimatėje erdvėje, kai priklausomas kintamasis yra susietas tik su vienu nepriklausomu kintamuoju. Diagromose vertikalioje ašyje atidedamos priklausomojo kintamojo, o horizontalioje ašyje įtakojančių veiksnių reikšmės. Jeigu nagrinėjamas reiškinys priklauso nuo kelių kintamųjų, tuomet rekomenduotina nubrėžti priklausomojo kintamojo grafikus su kiekybiniais nepriklausomais kintamaisiais Šiuo atveju, dvimačių diagramų būtų tiek, kiek yra nepriklausomų kiekybinių kintamųjų. Pavyzdyje apie duonos kainos priklausomybę turime penkis veiksnius, žemiau pateikiama priklausomojo kintamojo ir penkios sklaidos diagramos. 1.pav. Duonos kainos kitimas 2 pav. Duonos kainos priklausomybė nuo dizelino kainos 3.pav. Duonos kainos priklausomybė nuo rugių kainos 4 pav. Duonos kainos priklausomybė elektros kainos Atlikta grafinė duomenų analizė leidžia pastebėti tokias įžvalgas: • 1 paveiksle matomas duonos kainos augimas viso laikotarpio metu. Visgi kainos didėjimo tendencijoje galima išskirti 2010-06 iki 2011-06 laikotarpį, kai duonos kaina augo gana sparčiai. Kiti du periodai: 2009/03 - 2010-09 ir 2011/09-2012/02 stabilios kainos laikotarpiai. • 2 pav. pavaizduotoje diagramoje, stebime gana plačią duonos kainų sklaidą, esant dyzelino kainai intervale nuo 3Lt. iki 3,50Lt. o, kai kaina artėja prie 4 Lt. Ir ją viršija, tuomet stebimas didėjančios dyzelino kainos poveikis duonos kainai. • 3 pav. matome priklausomybę tarp duonos ir rugių kainos. Kuo didesnė rugių kaina, tuo aukščiau kyla ir duonos kaina. • 4. diagramoje pavaizduota elektros kainos įtaka duonos kainai. Iš diagramos matyti, kad nagrinėjamu laikotarpiu buvo tik trys elektros kilovatvalandės tarifai: 22,18 ct/kW; 23,54ct/kW ir 29,31ct/kw. Esant trečiajam elektros tarifui, stebimos labai įvairios duonos kainos. Tokia situacija leidžia spėti, kad elektros kainos pokyčiai neturės labai reikšmingos įtakos duonos kainos kitimui. • 5 diagramoje pateikiama duonos kainos priklausomybė nuo darbo užmokesčio kitimo. Šioje diagramoje nėra lengva įžvelgti akivaizdžios priklausomybės. Penktas žingsnis: Matematinės modelio formos parinkimas Įvairių matematinių išraiškų panaudojimas regresiniuose modeliuose labai praplečia ekonometrinio modeliavimo taikymo galimybes, tačiau sukelia tyrėjui klausimų, o kokią būtent formą parinkti analizuojamai verslo situacijai tirti. Atsakyti į šį klausimą gali padėti, iškeltos antrame žingsnyje hipotezės apie veiksnių sąryšį, skaidos diagramos bei determinuotumo rodikliai, apie kuriuos bus kalbama kitame skyrelyje. Norint sudaryti log-log modelį pateiktame pavyzdyje pradžioje reikėtų atlikti duomenų pakeitimus, kaip parodyta lentelėje, t.y., visus pradinius duomenis pakeisti jų logaritmais. Lentelėje apačioje pateikiami visi 1 lentelės duomenys, bet ne absoliučia, o logaritmine forma, 2 .Lentelė. Duonos kainos priklausomybės nuo sąnaudų kainų logaritmuoti duomenys Metai/Mėnuo Ln (Duonos kaina, Lt/kg) Ln(Dyzelino kaina, Lt/ltr) Ln(Rugių kaina, Lt/t) Ln(Elektros kaina, ct/kWh) Ln(Vid. Darbo Užmokestis, Lt/mėn). 2009/03 1,50 1,25 5,48 3,16 7,54 2009/04 1,51 1,25 5,50 3,16 7,54 Atlikus grafinę analizę galima pereiti prie modelio matematinės formulės užrašymo. Esminei reikalavimai matematinei formai yra pateikti antrame žingsnyje formuluojant veiksnių sąryšio hipotezes, pagal kurias veiksnių poveikis yra tiesioginis, t.y., veiksnio kainai didėjant, duonos kaina taip pat didėja, tačiau šis didėjimas gali būti ir lėtėjančiais tempais. Todėl galime manyti, kad teisingas gali būti tiesinis arba logaritminis ryšys. Šiam teiginiui neprieštarauja ir nubraižytos diagramos . Fiktyvūs kintamieji modelyje gali būti įtraukiami tik teisine forma, nes matematiškai nėra įmanoma apskaičiuoti logaritminės arba atvirkštinės funkcijo, kai yra nulinės stebėjimų reikšmės. Todėl duonos kainos pavyzdyje fiktyvus kintamasis PVM tarifas yra įtrauktas į modelį tiesine forma. Baigdamas grafinę analizę tyrėjas gali pasirinkti ne vieną, o kelias modelio alternatyvas. Kepyklėlės pavyzdyje pasirinktos modelio dvi alternatyvas: pirmoji TS- tiesinis modelis ir antroji LN –logaritminis modelis: Abiejų modelių matematinė išraiška pateikta TS –tiesinis modelis Yduonos kaina =β0 + β1Xdyz kaina +β2Xrugių kaina +β3Xelek kaina +β4Xdarbu užm + β5DPVM + ε LN –logaritminis modelis ln(Yduonos kaina )=β0 + β1ln(Xdyz kaina) +β2(Xrugių kaina) +β3 (Xelek kaina) +β4ln(Xdarbu užm ) + β5DPVM + ε Šeštas žingsnis: Parametrų įverčių skaičiavimas Pagrindinis regresinės analizės uždavinys - teisingai įvertinti regresijos lygties koeficientus, kurie ir yra veiksnių sąryšio matai. Mes vartojame žodį "įvertinti", o ne "surasti" arba "apskaičiuoti" kadangi labai dažnai apskaičiuoti tikrąsias koeficientų reikšmes yra neįmanoma. Regresinės lygties koeficientai yra vadinami parametrais arba parametrų įverčiais Atlikus šį žingsnį penktame žingsnyje užrašytas modelio matematines lygtis užrašysime su koeficientais, kurie turės skaitines reikšmes. Regresinei analizei atlikti reikia turėti kuo daugiau stebėjimų. Taip didėja tikimybė taikant tinkamą regresijos parametrų įverčių radimo metodą nustatyti tikriesiems parametrams artimas įverčių reikšmes. Kai regresija paaiškina visą faktinių priklausomojo kintamojo reikšmių išsibarstymą apie vidurkį, determinacijos koeficientas įgyja vieneto reikšmę (R2=1). Kuo mažesnę stebėjimų nuokrypių nuo vidurkio dalį regresinis ryšys paaiškina, tuo determinacijos koeficiento reikšmė artimesnė nuliui (visiško nepaaiškinimo atveju R20). Taigi determinacijos koeficiento reikšmė gali būti tarp 0 ir 1.Kuo arčiau vieneto yra determinacijos koeficiento reikšmė, tuo nepriklausomi kintamieji stipriau įtakoja priklausomą kintamąjį . Pvz. determinacijos koeficiento reikšmė R2=0,75, rodo, kad 75 proc. priklausomojo kintamojo pokyčių sąlygoja nepriklausomų veiksnių kitimas. Tiesinės regresijos atveju determinacijos koeficiento kvadratinė šaknis lygi koreliacijos koeficientui (R2 = r). Netiesinio ryšio atveju ši lygybė negalioja. Determinacijos koeficientas dažnai naudojamas, norint parinkti tinkamiausią regresijos lygtį. Tačiau jis turi vieną trūkumą - daugėjant regresijoje nepriklausomų veiksnių skaičiui, determinacijos koeficientas visuomet didėja. Nesvarbu, ar naujai įtrauktas veiksnys yra statistiškai reikšmingas, ar ne.Norint išvengti šio trūkumo, yra skaičiuojamas koreguotas determinacijos koeficientas. Šis koeficientas žymimas ir skaičiuojamas pagal formulę: (R2 = r). Netiesinio ryšio atveju ši lygybė negalioja. Determinacijos koeficientas dažnai naudojamas, norint parinkti tinkamiausią regresijos lygtį. Tačiau jis turi vieną trūkumą - daugėjant regresijoje nepriklausomų veiksnių skaičiui, determinacijos koeficientas visuomet didėja. Nesvarbu, ar naujai įtrauktas veiksnys yra statistiškai reikšmingas, ar ne.Norint išvengti šio trūkumo, yra skaičiuojamas koreguotas determinacijos koeficientas. Šis koeficientas žymimas ir skaičiuojamas pagal formulę: kur n – stebėjimų skaičius, k – regresijos nepriklausomų kintamųjų skaičius. Todėl koreguotas determinacijos koeficientas yra taikomas patikrinti ar papildomai įtraukus veiksnį į regresinį modelio jo determinuotumas padidėjo, t.y., ar naujos lygties yra didesnis už pradinės lygties. Pavyzdyje apie duonos kainų priklausomybę yra tokie determinacijos rodikliai Abiejų modelių determinuotumo rodikliai yra aukšti. t.y.,R2 =0,97 reikšmė rodo, kad 97 proc. visų duonos kainų svyravimų apie vidutinę nagrinėjamo periodo reikšmę galima paaiškinti įtrauktų veiksnių: rugių ir dyzelino kainų bei darbo užmokesio kitimu. Dauginės koreliacijos koeficientas yra labai artimas vienetui, o tai patvirtina išvadą apie stiprų sąryšį. Koreguotą determinacijos koeficientą galima buvo panaudoti atmetant regresijoje nereikšmingus veiksnius. Pateiktame kainos priklausomybės pavyzdyje yra akivaizdu, kad TS- tiesinis ir LS logaritminis modeliai yra gerai determinuoti. Tačiau praktikoje dažnai apskaičiavus modelį, pasitaiko determinacijos koeficiento reikšmės 0,5 arba 0,33. Kyla klausimas, kokią išvadą turėtų daryti tyrėjas apie tokį modelio determinuotumą. Išvados gali būti skirtingos Jeigu modelyje yra įtraukta mažai stebėjimų, tuomet tokio determinuotumo, žinoma, nepakanka, o jeigu stebėjimų daug, tuomet tokio determinuotumo gali ir pakakti. Konkretų atsakymą į šį klausimą galima gauti atlikus regresijos bendrojo statistinio reikšmingumo testą, Visa reikiamus regresijos statistinio reikšmingumo tikrinimui reikalingus rodiklius galima matyti Excel –Regression skaičiavimų išklotinės (priedai 4,5) antroje lentelėje ANOVA ANOVA   Df-laisvės laipsniai SS-kvadratinių nuokrypių sumos MS (Stulpelis SS/df-laisvės laipsnių) F – apskaičiuota Reikšmingumo lygmuo F Regression (E) 3 2,409 0,803 225,772 0,000 Residual ( R) 32 0,114 0,004 Total (T) 35 2,523       Determinacijos koeficientas yra apskaičiuojamas iš SS stulpelio duomenų R2=ESS/TSS2,409/2,523=0,955, o FapskaičiuotaEMS/RMS=0.804/0.004225.772 Regresijos statistinio reikšmingumo hipotezei patikrinti atliekami tokie žigsniai: 1. žingsnis. Tikriname hipotezę, ar regresinis ryšys yra statistiškai reikšmingas: H0: visi parametrai j =0, prie kintamųjų (mūsų pavyzdyje turime 3 nepriklausomus kintamuosius xrugių kaina, xdyzelino kaina ir xdarbo užm ) yra statisiškai nereikšmingi HA: bent vienas iš parametrų j, nėra lygus 0 (regresija statistiškai reikšminga) 2 žingsnis Apskaičiuojame pagal formulę statistikos Fapskaičiuota reikšmę, ir laisvės laipsnius :k=3 ir n-k-1=36-3-1=32 laisvės laipsniai: 3 žingsnis Fapskaičiuota reikšmę lyginame su 5 proc. (=0,05) reikmingumo teorine F3,32 =2,92 reikšme iš F-skirstinio lentelių (žr. priedus8). Matome, kad Fapskaičiuota =225,772> F3,32= 2,92 4 žingsnis Išvada. Su 95% pasikliovimo lygmeniu atmetame nulinę hipotezę ir priimame alternatyvią hipotezę, kad bent vienas veiksnys reikšmingai įtakoja duonos kainą, t.y., modelis yra statistiškai reikšmingas Septintas žingsnis: Veiksnių statistinio reikšmingumo analizė Šeštame žingsnyje suskaičiuoti regresinio modelio koeficientai vadinami taškiniais parametrų įverčiais. Jeigu apskaičiuoti įverčiai yra patikimi ir tenkina regresijos klasikines prielaidas, t.y., jie turi būtinas įverčių savybes –yra tiesiniai, nepaslinkti, suderinti ir efektyvūs. Modelio sudarytojas prieš taikydamas šiuos koeficientus verslo situacijos analizei BŪTINAI turi įsitikinti įverčių patikimumu, nes Excel skaičiuoklė visuomet pateiks įverčių skaitines reikšmes. Įverčių patikimumo tikrinimas apima tokias procedūras:1) įverčių statistinio reikšmingumo patikrinimas, apskaičiuojant koeficientų paklaidas, sudarant pasikliautinus intervalus ir patikrinant veiksnių statistinio reikšmingumo hipotezes. 2) Patikrinti veiksnių koreliuotumo galimybę, t.y., (penktoji klasikinė regresijos prielaida). 1. Excel skaičiuoklės išklotinėje (žr. priedus 2) yra pateikiamos įverčių standartinių paklaidų bei intervalinių įverčių apatinio ir viršutinio rėžių reikšmės . TS –tiesinio modelio įverčių skaičiavimo rezultatai (Excel išklotinė)   Koeficientai Standartinė paklaida t Stat P-reišmė Apatinis rėžis 95% Viršutinis rėžis 95% Laisvasis narys 0,418 0,802 0,521 0,606 -1,222 2,059 Dyzelino kaina, Lt/ltr 0,065 0,092 0,702 0,488 -0,123 0,252 Rugiai, Lt/t 0,001 0,000 6,265 0,000 0,0006 0,0012 Elektros kaina, ct/kWh 0,005 0,008 0,630 0,533 -0,011 0,021 Vid. Darbo Užmokestis, Lt/mėn. 0,001 0,000 3,546 0,001 0,001 0,002 Cukraus kaina, Lt/kg 0,231 0,065 3,543 0,001 0,097 0,364 PVM pakeitimas 0,011 0,032 0,359 0,722 -0,053 0,076 Pateiktoje lentelėje yra apskaičiuotos koeficientų reikšmės, pateiktos stulpelyje Koeficientai, jų standartinės paklaidos ir pasikliautini intervalai. Pastarieji parodo, kad 95 proc. tikimybę galima teigti, kad tikroji pz. laisvojo nario β0 parametro reikšmė yra intervale [-1,222; 2,059], o parametro prie rugių kainos , kurio įvertis brugių kaina= 0,001 pasikliautinas intervalas yra gerokai siauresnis [0,0006;0,0012]. Kuo mažesnė standartinė paklaida to paties koeficiento, tuo bus tikslesni įverčiai ir siauresni pasikliautini intervalai. Šioje dalyje prasminga turėti griežtesnį kriterijų, kurio pagalba galima būtų tiksliau atsakyti į klausimą, kokią įtaką daro konkretus veiksnys duonos kainai. Tokiu kriterijumi gali būti hipotezių tikrinimo procedūra. Veiksnių reikšmingumo tikrinimo pavyzdys Kiekvienos regresinės analizės metu būtina patikrinti parametrų įverčių reikšmingumą. Pavyzdyje apie rugių kainos priklausomybę patikrinsime, kurių veiksnių kainų pokyčiai daro poveikį duonos kainą, o kurie neturi reikšmingos įtakos. Taigi, tikrinsime modelio koeficientų statistinio reikšmingumo hipotezę. 1. žingsnis. Tikrinama parametrų lygybės nuliui hipotezė H0: j=0, (parametras prie nepriklausomojo kintamojo xj yra lygus 0, t.y., konkretaus veiksnio kainos pokyčiai nedaro statistiškai reikšmingo poveikio duonos kainai) HA: j0. (parametras prie nepriklausomojo kintamojo x nelygus 0 t.y., xj nėra lygus 0, t.y., konkretaus veiksnio kainos pokyčiai daro statistiškai reikšmingą poveikį duonos kainai 2 žingsnis Apskaičiuojama t-stjudento testo statistikos visiens koeficientams.: tb0 apskaičiuotair t.t. Šios statistikos yra pateiktos Excel išklotinėe pateiktoje lentelėje viršuje ir priede 2 lentelės stulpelyje t-stat. 3 žingsnis Visų koeficientų tapskaičiuota - reikšmė lyginama su t/2,n-k-1 teorine reikšme. Iš t pasiskirstymo lentelių (žr. priedas 7 ) randame t0.05/2;29 = 2,045 (laisvės laipsnių skaičius: n-k-1=36 -6-1=29), ir /2=0,05/2=0.025 Palyginę apskaičiuotą t reikšmę su teorine t0.025,29, matome, kad tapskaičiuota =0,521 yra mažesnė už t0.025,29 =2,045, o kintamojo rugių kaina tapskaičiuota =6,265> t0.025,29=2,045 4 žingsnis Išvada. Su 95% tikimybe atmetama nulinė hipotezė H0: j=0 trims kintamiesiems: rugių kainai, darbo užmokesčiui ir cukraus kainai ir priimama alternatyvi hipotezė HA: 10, kuri reiškia, kad šių veiksnių kainų pokyčiai statistiškai reikšmingai veikia duonos kainą. Kitų gi kintamųjų: dyzelino, elektros kainų kitimas ir PVM mokesčio tarifo pakeitimo koeficientams atmesti H0 j=0 hipotezės, kad jų poveikis yra statistiškai nereikšmingas, negalime, nes tapskaičiuotos statistikos modulis yra mažesnis už t0.05/2;29 = 2,045. Analogiškai tikriname ir laisvojo nario statistinį reikšmingumą, kurio t_statistika yra mažesnė už t0.05/2;29 = 2,045. Vadinasi ir laisvasis narys nėra statistiškai reikšmingas. Kai yra daroma išvada, kad priklausomas kintamasis arba laisvasis narys yra statistikai nereikšmingas, tuomet iš naujo reikia skaičiuoti regresijos lygtį be to nepriklausomo kintamojo arba laisvojo nario. Įsidėmėtina, jog išmetus iš regresijos lygties nereikšmingą veiksnį, likusių nepriklausomų kintamųjų parametrų įverčiai ir standartinės paklaidos keičiasi, todėl turi būti iš naujo įvertinti parametrai ir patikrintas jų reikšmingumas. Atlikus statistinio veiksnių reikšmingumo testus ir suradus, kad modelyje yra nereikšmingų kintamųjų, reikia išsiaiškinti nereikšmingumo priežastis ir koreguoti modelį. Kintamieji gali būti statistiškai nereikšmingi dėl šių priežasčių: 1) Veiksniai iš tiesų nedaro įtakos nagrinėjamas reiškiniui. Jeigu tai yra tiesa, tuomet ši statistinė išvada yra dėsninga, kuri suteikia mums svarbios informacijos, kad parinktas veiksnys reikšmingos įtakos nagrinėjamam reiškiniui neturi. 2) Tyrimui surinkta per mažai duomenų ir dėl laisvės laipsnių trūkumo, gaunamos didelės įverčių paklaidos. Šiuo atveju reikėtų papildyti duomenų eilutes naujais stebėjimais. Vertėtų prisiminti ekonometrijoje taikomą „Nykščio taisyklę“ kuri sako, kad, norint išvengti kintamųjų nereikšmingumo dėl per mažo laisvės laipsnių skaičiaus, į modelį įtrauktų stebėjimų skaičius bent 6 kartus turi būti didesnis už nepriklausomų kintamųjų skaičių. 3) Tam tikri veiksniai netenkina interkoreliacijos klasikinės prielaidos, todėl gavome modelį su nereikšmingais kintamaisiais. Kaip patikrinti šią prielaidą, bus paaiškinta žemiau. 4) Neteisingai parinkta modelio matematinė forma. Šiuo atveju galima pabandyti kintamąjį įtraukti į modelį kita forma, pvz. logaritmine arba kvadratine. Suskaičiavus regresinį modelį ir pastebėjus, kad yra statistiškai nereikšmingų veiksnių, vertėtų patikrinti penktąją klasikinę regresijos prielaidą, apie nepriklausomų kintamųjų multikolinearumą. Septintame žingsnyje patikrinę veiksnių statistinio reikšmingumo hipotezes radome, duonos kainai statistiškai reikšmingą įtaką daro rugių kaina, darbo užmokestis ir cukraus kaina, o dyzelino, elektros kainų kitimas, PVM mokesčio tarifo pakeitimas ir laisvasis narys yra statistikškai nereikšmingi veiksniai. Gavus tokius rezultatus verta patikrinti ar veiksnių nereikšmingumas nėra atsiradęs dėl multikolinearumo. Šiuo tikslu suskaičiuojame porinių koreliacijų matricą Excel skaičiuoklės pagalba Apačioje pateikiama porinių koreliacijų koeficientų lentelė Pagrindinėje lentelės įstrižainėje matome koreliacijos koeficientus lygius vienetui, t.y., visišką duomenų sutapimą, ir tai yra dėsninga, nes tai ryšis tarp to paties kintamojo duomenų. Paryškintame lentelės stulpelyje yra pateikiami porinės koreliacijos koeficientai tarp Y ir visų X, t.y., duonos kainos ir įtrauktų X veiksnių. DU koeficientai šiame stulpelyje yra artimi 1 ir rodo stiprų sąryšį tarp duonos kainos ir dyzelino bei rugių kainos, kiti šio stulpelio rodo vidutinį ryšio stiprumą. Pirmame stulpelyje esantys koeficientai nesukelia multikolinearumo problemos. Blogai yra tuomet, kai likusioje, be pažymėto stulpelio, matricos dalyje yra didesnių negu |0,8| koreliacijos koeficientų reikšmių. Tokios koeficientų reikšmės yra tarp dviejų porų kintamųjų: dyzelino bei rugių kainų susikirtime(0,89) ir cukraus bei dizelino (0,87) Taigi dyzelino, rugių ir cukraus kainos turi labai panašias kitimo tendencijas, todėl skaičiuojant koeficientus MKM metodu jų reikšmės gali būti paslinktos t.y., nutolusios nuo tikrųjų parametro reikšmių. Rugių ir dizelino kainų pokyčiai yra svarbūs tyrime todėl abu kintamuosius tikslinga išsaugoti modelyje. Problemą išspręsime pakeisdami dyzelino duomenis į dirbtinį kintamąjį, kuris įgauna tik tris reikšmes 3,5; 4,0; 4,5 Lt/ltr. t.y., dizelino kainoms iki 3,5 Lt, suteikiama reikšmė 3,5 Lt.; kainoms, didesnėms už 3,5 bet mažesnėms už 4,0 Lt priskiriama 4,0 Lt. reikšmė, o kainoms didesnėms už 4 Lt. bet mažesnėms už 4,5 Lt priskiriama kaina 4,5 Lt. Padarius tokį pakeitimą, koreliaciją tarp dyzelino ir rugių kainų sumažėjo iki 0,72. Todėl tolesniuose skaičiavimuose dyzelino kaina bus įtraukta dirbtiniu pavidalu. Tačiau toks dyzelino kainos pakeitimas neišsprendė interkoreliacijos problemos tarp cukraus ir dyzelino kainų. Kadangi cukraus duonos sudėtyje yra labai mažai, o transportavimo kaštai gana žymus, tai atsiradusią stiprią koreliaciją tarp šių veiksnių galima eliminuoti, atsisakant vieno iš veiksnių. Šiuo atveju –cukraus kainos. Todėl tolesnėje tyrimo eigoje cukraus kintamojo į modelį nebeįtrauksime. Atlikus šiuos pakeitimus galima teigti, kad sudarytas modelis tenkina penktąją klasikinę regresinio modelio prielaidą apie multikolinearumo nebuvimą. Statišktiškai nereikšmingų veiksnių atsisakymas Išsprendus multikolinearumo problemą, suskaičiuojame naują regresijos lygtį su pakeistais dyzelino duomenimis ir be kintamojo cukraus kaina. Žemiau pateikiama naujos regresijos duomenų lentelė   Koefiientai Standarinės paklaidos t Stat P-reikšmė Viršutinis 95% Apatinisr 95% Intercept 0,483 0,896 0,539 0,594 -1,346 2,312 Rugiai, Lt/t 0,001 0,000 8,120 0,000 0,001 0,001 Vid. Darbo Užmokestis, Lt/mėn. 0,001 0,000 3,055 0,005 0,000 0,002 PVM pakeitimas 0,005 0,035 0,142 0,888 -0,066 0,076 Elektros kaina, ct/kWh 0,003 0,007 0,527 0,602 -0,010 0,017 Dyzelino kainos dirbt dydis 0,269 0,044 6,118 0,000 0,179 0,358 Pakeistame modelyje vis dar lieka du statistiškai nereikšmingi veiksniai: PVM tarifo pakeitimas ir elektros kaina tstat=0,527 bei laisvasis narys b0. tstat=0,539 Labai realu, kad pirmieji du kintamieji labai silpnai veika 1 kg. duonos kainą. Todėl tikėtina, kad šis statistinis nereikšminumas atspindi faktą, kad nei PVM pakeitimas nei elektros kainų didėjimas duonos kainai reikšmingos įtakos neturėjo. Įprasta, kad regresiniame modelyje neturėtų būti statistiškai nereikšmingų veiksnių, todėl xelektros tarif ir DPVM kintamuosius reikėtų pašalinti iš modelio. Kai yra daroma išvada, kad priklausomas kintamasis arba laisvasis narys yra statistikai nereikšmingi, tuomet iš naujo reikia skaičiuoti regresijos lygtį be nereikšmingo nepriklausomo kintamojo arba laisvojo nario. Įsidėmėtina, jog išmetus iš regresijos lygties nereikšmingą veiksnį, likusių nepriklausomų kintamųjų parametrų įverčiai ir standartinės paklaidos keičiasi, todėl turi būti iš naujo įvertinti parametrai ir patikrintas jų reikšmingumas. Paprastai nereikšmingi kintamieji yra šalinami po vieną, pradedant nuo to veiksnio, kurio tapskaičiuot statistika moduliu yra mažiausia. Mūsų pavyzdyje fiktyvaus kintamojo PVM mokesčio pakeitimų statistika yra mažiausia. Todėl apskaičiuojame dar vieną modelį be kintamojo xPVM Atlikti skaičiavimai parodė, kad išmetus veiksnį xPVM ir perskaičiavus regresiją, elektros kainos reikšmingumas nepasikeitė ir naujame modelyje, todėl atsisakome ir kintamojo elektros kainos ir liekame prie modelio su trimis kintamaisiais: rugių kaina, dyzelino kaina ir darbo užmokesčio kitimas. Pašalinus du veiksnius, modelyje liko nereikšmingas laisvasis narys b0. Galima suskaičiuoti modelį ir be laisvojo nario. Norint tai padaryti Excel skaičiuoklėje, išsikvietus Data Analysis _ Regression, reikėtų uždėti varnele ties Constant is Zero. Visgi, nereikėtų skubėti atsisakyti laisvojo nario, nes jo buvimas modelyje užtikrina antrosios klasikinės regresijos prielaidos tenkinimą, kuri reikalauja, kad modelio paklaidų vidurkis turi būti lygus nuliui. Jeigu modelyje yra laisvasis narys, tuomet modelio paklaidų vidurkis visuomet bus lygus nuliui. Aprašytus veiksmus veiksmus galima atlikti su logaritmuotais duomenimis Apibendrinant septintojo žingsnio rezultatus, galima užrašyti galutines regresijos lygtis su reikšmingais kintamaisiais: TS Yduonos kaina = 0,921+ 0,001Xrugių kaina +0,001Xdarb užm +0,26XDyzelinas+ e LN ln(Yduon kaia )= -2,971β0 + +0,081(Xrugių kaina) +0,496 ln(Xdarbu užm)+,0219ln(Xdyz_kaina) +e Duonos kainų priklausomybės tyrime turime du modelius: TS ir LN ir kiekviename iš jų po šešis koeficientus, kuriuos reikia apskaičiuoti taikant MKM. Šiam tikslui labai patogu naudotis Microsoft Excel skaičiuokle duomenų analizės Data Analysis moduliu. Prieš kviesdami Data Analysis turime sutvarkyti duomenų lentelę, kurioje pirmame stulpelyje būtų surašyti priklausomojo kintamojo y stebėjimai. Greta lentelėje stulpeliais, nepaliekant tuščių langelių, stulpelių ir eilučių turi būti surašyti įtakojančių veiksnių x stebėjimų duomenys. (priedai 1) Atlikę visas Excel komandas galima surašyti du pasirinktus regresinius modelius su skaitinėmis reikšmėmis. TS Yduonos kaina = 0,4180+0,065+Xdyz kaina +0,001Xrugių kaina +0,005Xelek kaina +0,001Xdarbu užm +0,231XCukrus+0,011DPVM+ ε LN ln(Yduon kaia )= -2,311β0 + 0,022ln(Xdyz_kaina +0,09(Xrugių kaina) +-0,03 ln(Xelek kaina) +0,419 ln(Xdarbu užm )+ 0,189 lnXCukrus +0,010DPVM+ ε Aštuntas žingsnis. Modelio patikimumo tikrinimas Paklaidų analizė. Ryšio determinuotumo samprata Įvertinti atskirus regresijos parametrus, nustatyti jų reikšmingumą yra tik pradinis regresinės analizės etapas. Toliau reikia nagrinėti, kokia dalimi regresinė funkcija paaiškina priklausomojo kintamojo reikšmių išsibarstymą apie vidurkį. Kuo regresinė lygtis tiksliau aprašo priklausomojo kintamojo pokyčius, tuo ryšys yra labiau determinuotas. Ryšio determinuotumas nustatomas tarpusavyje lyginant regresija ir vidurkiu paaiškinamą stebėjimų išsibarstymą (žr. pav. apačioje) - kuo didesnę stebėjimo nuokrypio nuo vidurkio dalį paaiškina regresija, tuo regresinis ryšys yra geriau determinuotas. Regresija paaiškinta ir nepaaiškinta stebėjimo dalis Nagrinėjant atskirą stebėjimą galima matyti, jog jo reikšmės nuokrypis nuo vidurkio suskyla į dvi dalis: Bendras Regresija Nepaaiškinta nuokrypis paaiškinta dalis dalis kur,– i-tojo stebėjimo apskaičiuota pagal regresijos lygtį reikšmė y stebėjimų vidurkis, yi –faktinė priklausomojo kintamojo i-ojo stebėjimo reikšmė. Pakėlus kvadratu visus tris viršuje esančios lygybės narius bei susumavus visų stebėjimų reikšmes gauname tokią lygybę: Bendrieji svyravimai regresija paaiškinta nepaaiškinta dalis (TSS) dalis (ESS) (RSS) Regresijos ryšio determinuotumas skaičiuojamas, lyginant regresija paaiškintos dalies ir bendrų svyravimų santykiu: kur ( yi -y)2 faktinių yi reikšmių nuokrypių nuo vidurkio kvadratų suma, ( -y)2 pagal regresijos lygtį apskaičiuotų reikšmių nuokrypių nuo vidurkio kvadratų suma. Šis rodiklis yra vadinamas determinacijos koeficientu, jis parodo, kurią dalį priklausomojo kintamojo svyravimų apie vidurkį , galima paaiškinti į regresiją įtrauktų kintamųjų svyravimais. Kai regresija paaiškina visą faktinių priklausomojo kintamojo reikšmių išsibarstymą apie vidurkį, determinacijos koeficientas įgyja vieneto reikšmę (R2=1). Kuo mažesnę stebėjimų nuokrypių nuo vidurkio dalį regresinis ryšys paaiškina, tuo determinacijos koeficiento reikšmė artimesnė nuliui (visiško nepaaiškinimo atveju R20). Taigi determinacijos koeficiento reikšmė gali būti tarp 0 ir 1.Kuo arčiau vieneto yra determinacijos koeficiento reikšmė, tuo nepriklausomi kintamieji stipriau įtakoja priklausomą kintamąjį . Pvz. determinacijos koeficiento reikšmė R2=0,75, rodo, kad 75 proc. priklausomojo kintamojo pokyčių sąlygoja nepriklausomų veiksnių kitimas. Tiesinės regresijos atveju determinacijos koeficiento kvadratinė šaknis lygi koreliacijos koeficientui (R2 = r). Netiesinio ryšio atveju ši lygybė negalioja. Determinacijos koeficientas dažnai naudojamas, norint parinkti tinkamiausią regresijos lygtį. Tačiau jis turi vieną trūkumą - daugėjant regresijoje nepriklausomų veiksnių skaičiui, determinacijos koeficientas visuomet didėja. Nesvarbu, ar naujai įtrauktas veiksnys yra statistiškai reikšmingas, ar ne.Norint išvengti šio trūkumo, yra skaičiuojamas koreguotas determinacijos koeficientas. Šis koeficientas žymimas ir skaičiuojamas pagal formulę: (R2 = r). Netiesinio ryšio atveju ši lygybė negalioja. Determinacijos koeficientas dažnai naudojamas, norint parinkti tinkamiausią regresijos lygtį. Tačiau jis turi vieną trūkumą - daugėjant regresijoje nepriklausomų veiksnių skaičiui, determinacijos koeficientas visuomet didėja. Nesvarbu, ar naujai įtrauktas veiksnys yra statistiškai reikšmingas, ar ne.Norint išvengti šio trūkumo, yra skaičiuojamas koreguotas determinacijos koeficientas. Šis koeficientas žymimas ir skaičiuojamas pagal formulę: kur n – stebėjimų skaičius, k – regresijos nepriklausomų kintamųjų skaičius. Todėl koreguotas determinacijos koeficientas yra taikomas patikrinti ar papildomai įtraukus veiksnį į regresinį modelio jo determinuotumas padidėjo, t.y., ar naujos lygties yra didesnis už pradinės lygties. Pavyzdyje apie duonos kainų priklausomybę yra tokie determinacijos rodikliai Abiejų modelių determinuotumo rodikliai yra aukšti. t.y.,R2 =0,97 reikšmė rodo, kad 97 proc. visų duonos kainų svyravimų apie vidutinę nagrinėjamo periodo reikšmę galima paaiškinti įtrauktų veiksnių: rugių ir dyzelino kainų bei darbo užmokesio kitimu. Dauginės koreliacijos koeficientas yra labai artimas vienetui, o tai patvirtina išvadą apie stiprų sąryšį. Koreguotą determinacijos koeficientą galima buvo panaudoti atmetant regresijoje nereikšmingus veiksnius. Pateiktame kainos priklausomybės pavyzdyje yra akivaizdu, kad TS- tiesinis ir LS logaritminis modeliai yra gerai determinuoti. Tačiau praktikoje dažnai apskaičiavus modelį, pasitaiko determinacijos koeficiento reikšmės 0,5 arba 0,33. Kyla klausimas, kokią išvadą turėtų daryti tyrėjas apie tokį modelio determinuotumą. Išvados gali būti skirtingos Jeigu modelyje yra įtraukta mažai stebėjimų, tuomet tokio determinuotumo, žinoma, nepakanka, o jeigu stebėjimų daug, tuomet tokio determinuotumo gali ir pakakti. Konkretų atsakymą į šį klausimą galima gauti atlikus regresijos bendrojo statistinio reikšmingumo testą, Visa reikiamus regresijos statistinio reikšmingumo tikrinimui reikalingus rodiklius galima matyti Excel –Regression skaičiavimų išklotinės (priedai 4,5) antroje lentelėje ANOVA ANOVA   Df-laisvės laipsniai SS-kvadratinių nuokrypių sumos MS (Stulpelis SS/df-laisvės laipsnių) F – apskaičiuota Reikšmingumo lygmuo F Regression (E) 3 2,409 0,803 225,772 0,000 Residual ( R) 32 0,114 0,004 Total (T) 35 2,523       Determinacijos koeficientas yra apskaičiuojamas iš SS stulpelio duomenų R2=ESS/TSS2,409/2,523=0,955, o FapskaičiuotaEMS/RMS=0.804/0.004225.772 Regresijos statistinio reikšmingumo hipotezei patikrinti atliekami tokie žigsniai: 1. žingsnis. Tikriname hipotezę, ar regresinis ryšys yra statistiškai reikšmingas: H0: visi parametrai j =0, prie kintamųjų (mūsų pavyzdyje turime 3 nepriklausomus kintamuosius xrugių kaina, xdyzelino kaina ir xdarbo užm ) yra statisiškai nereikšmingi HA: bent vienas iš parametrų j, nėra lygus 0 (regresija statistiškai reikšminga) 2 žingsnis Apskaičiuojame pagal formulę statistikos Fapskaičiuota reikšmę, ir laisvės laipsnius :k=3 ir n-k-1=36-3-1=32 laisvės laipsniai: 3 žingsnis Fapskaičiuota reikšmę lyginame su 5 proc. (=0,05) reikmingumo teorine F3,32 =2,92 reikšme iš F-skirstinio lentelių (žr. priedus8). Matome, kad Fapskaičiuota =225,772> F3,32= 2,92 4 žingsnis Išvada. Su 95% pasikliovimo lygmeniu atmetame nulinę hipotezę ir priimame alternatyvią hipotezę, kad bent vienas veiksnys reikšmingai įtakoja duonos kainą, t.y., modelis yra statistiškai reikšmingas Prisimename, kad regresinį modelį sudaro regresijos lygtis – tai sisteminė modelio dalis ir paklaidos -atsitiktinė modelio dalis. t.y., Yi =f(X1; X2; …X1k) + ɛi Sisteminė dalis Atsitiktinė dalis Kaip ir buvo minėta, adekvatus ir patikimas modelis bus tuomet, kai modelyje dominuos sisteminė dalis, t.y., kai ji bus statistiškai reikšminga. Taip pat modelyje yra labai svarbu patikrinti ir modelio paklaidas. Sudarytas modelis bus adekvatus ir patikimas tuomet, kai o paklaidos bus atsitiktinis dydis, kurio kitimas nepriklauso nuo jokių dėsningumų. Kitais žodžiais tariant modelio paklaidos turi tenkinti klasikines modelio prielaidas, kurios yra nurodytos konspekto 19psl.o, šioje lentelėje pateikiamos tik tos, kurios susijusios su modelio paklaidomis. Prielaida Prielaidos simbolinė išraiška II. Paklaidų vidurkis lygus nuliui (nulinis vidurkis) E(i) = 0 III. Paklaidos neautokoreliuoja (likučių ne autokoreliacijos) , t.y, paklaidos tarpusavyje nėra susijusios ir nestebimi sklaidos dėsningumai. Cov(i j) = 0, i,j / ij IV. Paklaidų dispersija yra pastovi (ne heteroskedastiškumas) Didėjant nepriklausomų kintamųjų reikšmėms, priklausomojo kintamojo sklaidos intervalas išlieka pastovus. 2(i) = konstanta VI. Paklaidos pasiskirsčiusios pagal normalųjį skirstinį (normalumas). i ~ N (0, 2) II prielaida yra visuomet tenkinama, jeigu į modelį yra įtrauktas laisvasis narys β0. Šio nario įtraukimas į modelį užtikrina, kad bus tenkinama II modelio prielaida. Todėl atradus, kad regresijos lygtyje nereikšmingas laisvasis narys, būtina įsitinti, ar jį pašalinus, bus tenkinama II prielaida. Tai galima padaryti, suskaičiavus EXCEL skaičiuokle regresinį modelį ir apskaičiavus išklotinės 4 lentelėje pateiktų paklaidų vidurkį. Jeigu modelyje be laisvojo nario paklaidų vidurkio reikšmė nėra lygi 0, tuomet verta palikti modelyje laisvąjį narį, nors jis statistiškai ir nėra reikšmingas. III prielaida reikalauja, kad paklaidos nebūtų koreliuotos, t.y., nepriklausytų vienos nuo kitų. Šios prielaidos netenkinimas nurodo, kad paklaidos nėra atsitiktinis dydis, o jose galima įžvelgti dėsningumus, o tai reiškia, kad modelis nėra sudarytas adekvačiai ir jo paklaidose atsispindi sisteminės dalies elementas. Autokoreliacijos tikrinimas duonos kainos modelyje Pirmiausia patikrinsime ar egzistuoja paklaidų autokoreliacija Durbin Watson testu. Šiam tikslui mums reikia turėti modelio paklaidas. Jos yra pateikiamos EXCEL_Regression išklotinės ketvirtoje lentelėje RESIDUALS OUTPUT. Pateiktoje lentelėje apačioje trys pirmieji stulpeliai – tai tiesinio modelio Residuals Output išklotinės fragmentas. Autokoreliacijos tikrinimas DW -testu Ženklų kriterijus Stebėjimo nr. Y-apskaičiuota Duonos kaina, Lt/kg Paklaidos ei (Residuals) vėluojančios paklaidos ei-1 (ei -e i-1)^2 (ei )^2   Paklaidos ei (Residuals) Ženklai 1 4,4288 0,0712   0,0712 + 2 4,4346 0,0754 0,0712 0,0000 0,0057   0,0754 + 3 4,4065 0,0735 0,0754 0,0000 0,0054   0,0735 + 4 4,4201 -0,0201 0,0735 0,0088 0,0004   -0,0201 - 5 4,4163 -0,0863 -0,0201 0,0044 0,0075   -0,0863 - 6 4,4018 -0,0918 -0,0863 0,0000 0,0084   -0,0918 - 7 4,4042 -0,0442 -0,0918 0,0023 0,0020   -0,0442 - 8 4,3660 -0,0260 -0,0442 0,0003 0,0007   -0,0260 - 9 4,3461 0,0339 -0,0260 0,0036 0,0012   0,0339 + 10 4,3226 -0,0026 0,0339 0,0013 0,0000   -0,0026 - 11 4,3458 -0,0058 -0,0026 0,0000 0,0000   -0,0058 - 12 4,3568 -0,0268 -0,0058 0,0004 0,0007   -0,0268 - 13 4,2788 -0,0088 -0,0268 0,0003 0,0001   -0,0088 - 14 4,2984 -0,0084 -0,0088 0,0000 0,0001   -0,0084 - 15 4,3022 0,0678 -0,0084 0,0058 0,0046   0,0678 + 16 4,3295 0,0305 0,0678 0,0014 0,0009   0,0305 + 17 4,3344 -0,0544 0,0305 0,0072 0,0030   -0,0544 - 18 4,3384 0,0216 -0,0544 0,0058 0,0005   0,0216 + 19 4,4533 -0,0133 0,0216 0,0012 0,0002   -0,0133 - 20 4,5346 -0,0046 -0,0133 0,0001 0,0000   -0,0046 - 21 4,5932 -0,0632 -0,0046 0,0034 0,0040   -0,0632 - 22 4,5974 0,0226 -0,0632 0,0074 0,0005   0,0226 + 23 4,6077 0,0523 0,0226 0,0009 0,0027   0,0523 + 24 4,8126 -0,0626 0,0523 0,0132 0,0039   -0,0626 - 25 4,8742 -0,1142 -0,0626 0,0027 0,0130   -0,1142 - 26 4,9314 -0,0814 -0,1142 0,0011 0,0066   -0,0814 - 27 4,8981 0,0719 -0,0814 0,0235 0,0052   0,0719 + 28 4,8792 0,1208 0,0719 0,0024 0,0146   0,1208 + 29 4,8342 0,1058 0,1208 0,0002 0,0112   0,1058 + 30 4,9549 -0,0249 0,1058 0,0171 0,0006   -0,0249 - 31 4,9483 0,0117 -0,0249 0,0013 0,0001   0,0117 + 32 4,9316 -0,0516 0,0117 0,0040 0,0027   -0,0516 - 33 4,9358 0,0242 -0,0516 0,0057 0,0006   0,0242 + 34 4,9757 0,0043 0,0242 0,0004 0,0000   0,0043 + 35 4,9687 0,0313 0,0043 0,0007 0,0010   0,0313 + 36 4,9675 -0,0275 0,0313 0,0035 0,0008   -0,0275 - Suma 0,1305 0,1087 DW-d 0,1305/0,1087 dL 1,098 dU 1,442 Išvada apie autokoreliaciją : Rezultatas neapibržtas Atliekamas DW testas. Pirmas žingsnis: Formuluojamos hipotezės: H0: autokoreliacijos nėra. H1: autokoreliacija yra. Antras žingsnis: Skaičiuojama DW-d statistika pagal formulę Šiam tikslui reikia turėti modelio paklaidas ei ir vėluojančias vienu periodu paklaidas ei-1. Paklaidos ei yra pateikiamos trečiajame lentelės stulpelyje. Vėluojančios paklaidos , tai tos pačios paklaidos tik paslinktos viena eilute žemiau, kaip parodyta ketvirtajame lentelės stulpelyje. Tuomet yra skaičiuojamas DW-d statistikos skaitikliui reikalingos paklaidų ir vėluojančių paklaidų skirtumo kvadratų reikšmės, t.y., (ei- ei-1)2 reikšmės, kurios pateiktos penktajame lentelės stulpelyje. Apskaičiavus reikšmes, jos susumuojamos ir gaunama formulės skaitiklyje esanti suma lygi 0,1305. Po to skaičiuojama vardiklyje esanti paklaidų kvadratų reikšmė, pradedant nuo antrosios paklaidos reikšmės. Šios reikšmės yra pateiktos lentelės šeštajame stulpelyje. Taip pat suskaičiuojama jų suma, kurios reikšmė yra 0,1087. Tuomet belieka pirmąją sumą padalinti iš antrosios ir gauname DW –d reikšmę 1,199817. Trečias žingsnis: Palyginti apskaičiuotą DW-d statistikos reikšmę su teorinėmis d reikšmėmis, kurios yra pateikiamos specialiose lentelėse. Tokia lentelė yra pateikta dėstytojos tinklalapyje (V.Karpuskiene rubrikoje KVST ) Kritines reikšmes rasime tokiu būdu: Pirmame DW statistinių lentelių stulpelyje yra nurodoma, kiek sudarytame modelyje yra įtraukta stebėjimų. Mūsų pavyzdyje yra n36 stebėjimai. Tuomet eilutėje surandame k=3. Šis skaičius k parodo, kiek yra į modelį įtraukta nepriklausomų kintamųjų. Mūsų pavyzdyje yra 3 kintamieji : rugiai, dyzelinas ir darbo užmokestis. Eilutės su 36 stebėjimais ir stulpelių ksusikirtime randame dL ir du reikšmes . Jos yra lygios dL ir dU Apskaičiuota statistika d gali įgauti reikšmes nuo iš intervalo nuo 0 iki 4, kuris padalintas į: • Autokoreliacijos nėra arba H0 neatmetama , kai dU  d  4 - du,.t.y., 1,442d 2,558 • Autokoreliacija yra, kai d  dL (teigiama autokoreliacija) arba d  4 - dL (neigiama autokoreliacija). Šiuo atveju hipotezė H0 yra atmetama.  • Šiame teste gali būti dvi neapibrėžtumo sritys, dL  d  dU arba 4- dU  d  4 - dL, kuriose griežto atsakymo apie paklaidų autokoreliacija nėra. Mūsų pavyzdyje apskaičiuota d reikšmė patenka į neapibrėžtumo intervalą: 1,098 d  1,442. Todėl išvada , kad DW testas tiksliai atsakyti apie autokoreliacija negali. Kai gaunamas neapibrėžtas atsakymas, tuomet verta atlikti Ženklų sekų testą. Ženklų sekų kriterijus. Šiam kriterijui reikalinga Residual Output lentelė, kurioje būtų paklaidų reikšmės. Šalia paklaidų reikia surašyti ženklus: jei paklaida > 0, tai “+”, ir jei paklaida

Daugiau informacijos...

★ Klientai rekomenduoja

Šį rašto darbą rekomenduoja mūsų klientai. Ką tai reiškia?

Mūsų svetainėje pateikiama dešimtys tūkstančių skirtingų rašto darbų, kuriuos įkėlė daugybė moksleivių ir studentų su skirtingais gabumais. Būtent šis rašto darbas yra patikrintas specialistų ir rekomenduojamas kitų klientų, kurie po atsisiuntimo įvertino šį mokslo darbą teigiamai. Todėl galite būti tikri, kad šis pasirinkimas geriausias!