Aritmetinės funkcijos

ĮVADAS Skaičių teorija, tai matematikos šaka, tirianti sveikųjų skaičių savybes. Jos vystymasis, įvairiose pasaulio vietose prasidėjo skirtingais laikotarpiais ir davė matematikos mokslui daugybę naujų uždavinių ir sprendimų metodų. Jau apie 600 metus prieš mūsų erą graikų matematikai Euklidas Aleksandrietis (Εΰκλείδης, 325 – 265 pr. m. e.), Pitagoras Samietis (Πυθαγόρας , 582 – 496pr. m. e.), Diofantas Aleksandrietis (Διόφαντος, apie 200/214 – 284/298 pr. m. e.) sprendė skaičių teorijos uždavinius. Šią matematikos šaką Europoje XVI ir XVII amžiuje pradėjo plėtoti F. Vietas (F. Viète, 1540 – 1603) ir ypač P. Ferma (P. de Fermat, 1601 – 1665). XVIII amžiuje į skaičių teorijos plėtojimą ypač svarbus buvo Oilerio (L. Euler, 1707 – 1783) ir Lagranžo (J. L. Lagrange, 1736 – 1813) įnašas. Oileris paskelbė keletą svarbių darbų, susijusių su analizine skaičių teorija. Jis, kartu su Lagranžu, naudodamas grandinines trupmenas išsprendė Pelo lygtį. XIX amžiaus pradžioje pirmąkart Europoje Ležandro (A. M. Legendre, 1752 – 1833) ir Gauso (C. F. Gauss, 1777 – 1855) knygose ši teorija buvo susisteminta. Gauso veikalas „Disquisitiones Arithmeticae“ (1801) gali būti laikomas šiuolaikinės skaičių teorijos pradžia. Skaičių teorijos taikymuose dažnai naudojamos natūraliojo argumento funkcijos, kitaip sakant, – kompleksinių skaičių sekos, kurios vadinamos aritmetinėmis funkcijomis. Darbe nagrinėtos dažniausiai naudojamos skaičių teorijoje aritmetinės funkcijos ir jų savybės. Yra pastebėta, kad aritmetinių funkcijų reikšmės natūraliųjų skaičių aibėje yra išsibarsčiusios be regimos tvarkos, tačiau tokių funkcijų reikšmių vidurkius galima apskaičiuoti gana tiksliai. Pagrindinis darbo tikslas – konkrečiais matematiniais skaičiavimais patvirtinti kai kurias aritmetinių funkcijų vidurkių teoremas. Visi skaičiavimai buvo atlikti su kompiuterinės algebros paketu Mathematica. Ši kompiuterinės matematikos sistema, kaip ir daugelis kitų, yra skirtos įvairių matematikos uždavinių sprendimui. Su šia sistema buvo susipažinta rašant bakalauro darbą „Matematika su Mathematica“, todėl matematinės temos, susijusios su aritmetinėmis funkcijomis, nagrinėjimas, naudojantis kompiuterinės algebros paketu Mathematica, suteikia progą dar plačiau išstudijuoti šios sistemos galimybes. Darbas sudarytas iš įvado, teorinės dalies, kurioje pateikta bendroji teorija susijusi su aritmetinėmis funkcijomis, praktinės dalies, kurioje nagrinėjamos kompiuterinės sistemos Mathematica galimybės tiriant aritmetines funkcijas. Pateikiami skaičiavimo rezultatai, o prieduose – ir pačios programos. 3 1. ARITMETINĖS FUNKCIJOS 1.1. Simboliai Ο ir ο Apibrėžimas. Sakykime, E⊂ℝ , taškas a yra ribinis aibės E taškas, f , g : E ℝ , ir ∃ M ∈ℝ+ : ∣ f ∣ M ∣g∣ taško a aplinkoje. Tada funkcija f yra vadinama aprėžta funkcijos g atžvilgiu taško a aplinkoje ir žymima: f =O g  , x a arba f x =Og x  , x  a . Užrašas skaitomas „funkcija f yra O didžioji nuo funkcijos g , kai x  a “. Jeigu f =O g  ir g=O f  , x a , tai tokios funkcijos yra vadinamos vienodai aprėžtomis funkcijomis, kai x  a . Sąryšio O savybės. 1. Sakykime, E⊂ℝ , f , g : E ℝ ir ∃ lim x a f g  x∈ℝ . Tada f =O g  , x a . Įrodymas. Tarkime, lim x a f g x =A . Kadangi lim x a ∣ f g ∣x =∣A∣, tai taško a aplinkoje ∣ f ∣ x∣A∣1∣g∣x  . 2. OO h=Oh , x a . Įrodymas. Sakykime f =O g  , g=O h , x a , t.y. ∃ M, L∈ℝ+ : ∣ f ∣M ∣g∣, ∣g∣ L∣h∣, taško a aplinkoje. Todėl ∣ f ∣ML∣h∣, toje aplinkoje. 3. O hOh=O h , x a . Įrodymas. Sakykime, f =O h , g=Oh , x a , t.y. ∃ M , L∈ℝ+: ∣ f ∣M ∣h∣, ∣g∣ L∣h∣, taško a aplinkoje. Tada ∣ f g∣∣ f ∣∣g∣M L∣h∣ toje aplinkoje. 4. Og 1⋅O g2=Og1⋅g2 , x a . Įrodymas. Sakykime, f i=O g i , x  a , i∈{1 ;2} , t.y. ∃ M i∈ℝ+: ∣ f i∣M i∣g i∣, i∈{1 ;2} , 4 taško a aplinkoje. Tada ∣ f 1⋅ f 2∣M 1⋅M 2∣g1⋅g2∣ toje aplinkoje. 5. c⋅O g =O g  , x  a , čia c∈ℝ – konstanta. Įrodymas. Sakykime, f =O g  , x a , t.y. ∃ M ∈ℝ+ : ∣ f ∣M ∣g∣ taško a aplinkoje. Imkime teigiamą skaičių c1∣c∣ . Tada ∣cf ∣∣c∣M ∣g∣c1 M ∣g∣ taško a aplinkoje. Apibrėžimas. Sakykime, E⊂ℝ , taškas a yra ribinis aibės E taškas, f , g : E ℝ , ir ∀ 0 ∃ 0 ∀ x∈U̇ E a ; : ∣ f ∣x    ∣g∣ x . Tada sakoma, kad funkcija f yra nykstama funkcijos g atžvilgiu, kai x  a , žymima f =o g  , x  a arba f x =o g x  , x a . Užrašas skaitomas „funkcija f yra o mažoji nuo funkcijos g , kai x a “. Sąryšio o savybės. 1. Jeigu f =o g  , x  a , tai f =O g  , x a . Įrodymas. Ši savybė išplaukia iš O ir o apibrėžimų. 2. o Oh=Ooh=o h , x  a . Įrodymas. Sakykime f =o g  , g=Oh , x a , t.y. ∃ M ∈ℝ+ : ∣g∣M∣h∣ taško a aplinkoje ir ∀ 0 ∃ 0 ∀ x∈U̇ E a ;: ∣ f ∣x    ∣g∣x  . Todėl ∀ x∈U̇ E a ;: ∣ f ∣ x   M⋅∣h∣ x , t.y. o O h=o h , x  a . Analogiškai įrodytume, kad O oh=o h , x  a . 3. o g og =og  , x a . Įrodymas. Ši savybė išplaukia iš apibrėžimo. 4. o g1⋅O g2=o g1⋅g 2 , x a . Įrodymas. Sakykime, f 1=o g1 , f 2=O g2 , x a , t.y. ∀ 0 ∃ 10 ∀ x∈U̇ E a ;1 : ∣ f 1∣x ∣g1∣x  , ir ∃ L∈ℝ+ ∃ 20 ∀ x∈U̇ E a ;2: ∣ f 2∣L∣g 2∣x  . Todėl 5 ∀ 0 ∃ =min {1 ,2} ∀ x∈U̇ Ea ; : ∣ f 1⋅f 2∣ x L∣g1⋅g 2∣x  , t.y. teisinga 4 savybė. 5. Jeigu f −g=o  f  , x a , tai f −g=o g  , x a . Įrodymas. Remiantis apibrėžimu, ∃ 0 ∀ x∈U̇ E a ;: ∣ f −g∣x 1 2 ∣ f ∣x , tai ∀ x∈U̇ E a ;: ∣ f ∣ x2∣g∣x , t.y. f =O g  , x a . Remiantis 2 savybe, f −g=o  f =oO g =o g  , x a . Apibrėžimas. Sakykime, E⊂ℝ , f , g : E ℝ , ir f −g=o  f  , x a . Tada funkcija f yra vadinama ekvivalenčia funkcijai g , kai x  a , ir žymima f ~g , x a arba f x  g x  , x  a . Ekvivalentumo sąryšio savybės. 1. f ~ f , x a . 2. Jeigu f ~g , x a , tai g~ f , x a . 3. Jeigu f ~g , g~h , x a , tai f ~h , x a . 4. Jeigu f ~g , x a ⇔∃ lim x a f g x=1 . 5. Jeigu f i~g i , x  a , i∈{1 ; 2}, tai f 1⋅f 2~g 1⋅g2 , x a . 6. Sakykime, f ~g , x a , ir h : E ℝ . Tada abi ribos lim x a  f⋅h x , lim x a g⋅hx  arba abi neegzistuoja, arba abi egzistuoja ir tuomet yra lygios. 6 1.2. Aritmetinės funkcijos apibrėžimas Funkcijos, kurių apibrėžimo sritis yra natūraliųjų skaičių aibė, vadinamos aritmetinėmis funkcijomis. Šių funkcijų savybės yra ne tik įdomios, bet ir naudojamos kitiems svarbiems skaičių teorijos uždaviniams spręsti. Žinant šias savybes aritmetinių funkcijų tyrinėjimas, tame tarpe ir jų reikšmių apskaičiavimas, pasidaro gerokai lengvesnis. Vieną tokią savybę ir panagrinėsime. Aritmetinė funkcija f n vadinama multiplikatyviąja, jeigu ji apibrėžta su sveikosiomis argumento reikšmėms ir 1. f 1=1 ; 2. f mn= f m f n , kai m , n=1. Apibrėžimas. Skaičiaus išraiška n= p1 1 p2 2... pk k , kurioje visi laipsnių pagrindai yra skirtingi pirminiai skaičiai, o rodikliai natūralieji skaičiai yra vadinama kanoniniu skaidiniu. Jei funkcija f n yra multiplikatyvi ir žinome skaičiaus n kanoninį skaidinį t.y., n= p1 1 p2 2... pk k , tai iš multiplikatyvumo apibrėžimo išplaukia, kad f n= f  p1 1 f  p2 2 f  p3 3 ... f  pr r  . Taigi, jei funkcija yra multiplikatyvi, užtenka žinoti jos reikšmes su pirminių skaičių laipsniais. Atitinkamai aritmetinė funkcija f n vadinama adityviąja, jei 1. f 1=1 ; 2. f mn = f m f n , kai m , n=1. Daugelis aritmetinių funkcijų elgiasi nedėsningai, todėl natūralu nagrinėti aritmetinių funkcijų reikšmių sumas, t.y. F N =∑ n=1 N f n , o ne pačias funkcijas. 7 1.3. Pagrindinės aritmetinės funkcijos 1.3.1. Funkcija r(n) Aritmetinė funkcija r n apibrėžiama kaip lygties x2 y2=n sveikųjų sprendinių skaičius. Sprendiniai, kurie vienas nuo kito skiriasi tvarka arba ženklu, laikomi skirtingais. Pavyzdžiui, r 1=4, nes 1=1202 ; 1=−1202 ; 1=0212 ; 1=02−12 . Šios aritmetinės funkcijos reikšmių sumą žymėsime RN : RN =∑ n=0 N r n , r 0=1 . Geometrinė RN  interpretacija būtų tokia. RN  – tai skaičius taškų su sveikosiomis koordinatėmis, esančių plokštumoje apribotoje apskritimu x2 y2N . Aritmetinės funkcijos reikšmių suma RN  apytiksliai lygi skritulio x2 y2N plotui. Šis teiginys išplaukia iš Gauso teoremos [11]. 1 teorema (Gauso). RN = N O N  . 1 pav. 8 Įrodymas. Plokštuma suskirstyta į kvadratus su kraštine 1. Joje nubrėžtas apskritimas x2 y2=N . Kiekvieno kvadrato kampe esantis taškas turi koordinates sudarytas iš sveikųjų skaičių. Tikrinsime ir spalvinsime kvadratėlius, kurių “pietvakarinis” kampas guli plokštumoje x2 y2N . Nuspalvinę visus tokius kvadratėlius matome, kad dalis apskritimo ploto nėra uždengta ir taip pat dalis nuspalvintų kvadratėlių dengia plotą esantį už apskritimo ribų (žr. 1 pav.). Kiekvieno kvadrato įstrižainė lygi 2 ir visi kvadratai esantys apskritimo x2 y2 N  22 viduje sudaro RN  , kuris RN  N 22 . (1) Tokiu pat principu visi šie kvadratai pilnai padengia mažesnįjį apskritimą su spinduliu  N − 2 , taip kad RN  N −22 , N 2 . (2) Remiantis (1) ir (2) nelygybe gauname: N −2 2N2 RN  N 22N2 RN = N O  N  . 1.3.2. Funkcija d(n) Aritmetinė funkcija d n apibrėžiama kaip sveikojo skaičiaus n natūraliųjų daliklių skaičius. 2 teorema. Funkcija d n yra multiplikatyvi. Įrodymas. Tarkime, kad m , n=1. Bet kurį skaičiaus m n daliklį k galima užrašyti sandauga k=k 1 k 2 , čia k 1/m , k 2/n . Skaičius m turi d m , skaičius n – d n skirtingų natūraliųjų daliklių. Parinkdami vis kitus skaičių m ir n daliklius, gausime d m⋅d n skirtingų k 1 k 2 pavidalo skaičių; čia k 1/m , k 2/n . Jie visi bus m n dalikliai. Taigi d mn=d m⋅d n . Žinodami skaičiaus n kanoninį skaidinį, nesunku apskaičiuoti d n . 3 teorema. Jeigu n= p1 1 p2 2... pk k , tai d n=1121... k1 . (3) Įrodymas. Iš d n multiplikatyvumo išplaukia, kad d  p1 1 p2 2 ... pk  k=d  p1 1d  p2 2 ... d  pk k . (4) 9 Skaičiaus p dalikliai yra tik šie p laipsniai: 1, p , p2 , ... , p−1 , p Tokiu būdu d  p=1 . Iš čia ir iš (4) lygybės gauname (3) formulę. Pavyzdžiui, rasime skaičiaus n=2800 daliklių skaičių. Kadangi n=2800 kanoninis skaidinys 2800=24⋅52⋅7, tai d 2800=412111=30. Pirminiai skaičiai p išsiskiria iš kitų natūraliųjų skaičių savybe d  p=2. Visų sudėtinių skaičių n daliklių skaičius d n2, o d 1=1. Aritmetinės funkcijos d n reikšmių suma žymima D  N  : D N =∑ n=1 N d n. Kai d n=∑ t /n 1= ∑ xy=n 1, tai gauname D N =∑ n=1 N d n= ∑ 1 nN ∑ xy=n 1 arba D  N = ∑ 1 xy N 1 . Funkcijos d n reikšmių vidurkiai intervale [1, N ] apibrėžti tokiomis teoremomis [11]. 4 teorema. D  N = N ln N O N . Iš 4 teoremos matome, kad funkcijos d n reikšmių vidurkis apytiksliai lygus ln N . 5 teorema (Dirichlė). D N = N ln N 2−1 N O  N  , kur =0,57721566... - Oilerio konstanta. 1.3.3. Funkcija σ(n) Dar viena aritmetinė funkcija, kuri apibrėžia visų skaičiaus n daliklių d a - ųjų laipsnių sumą. Ta suma žymima a n=∑ d / n d a , a=0, 1, 2, ... , ir 0n=d n , n=1n. 6 teorema. Funkcija a n yra multiplikatyvi. Įrodymas. Jeigu m , n=1, tai kiekvieną sandaugos m n daliklį d galima išreikšti sandauga d =d 1 d 2 , čia d 1/ m , d 2/ n. Įrašę tą d išraišką į funkciją a n , turime: a mn=∑ d 1 / m d 2 / n d 1 d 2 a=∑ d 1 / m ∑ d 2 /n d 1 a d 2 a=∑ d 1/ m d 1 a∑ d 2 / n d 2 a= am an . 10 Taigi, jei d 1 įgyja visų skaičiaus m daliklių reikšmes, d 2 – visų skaičiaus n daliklių reikšmes, tai sandauga d 1 d 2 įgyja visų sandaugos m n daliklių reikšmes. 7 teorema. Tegul n=∏ p/ n p kanoninis skaičiaus n1 skaidinys. Tada a n=∏ p /n p1⋅a−1 pa−1 . Įrodymas. Kadangi a n - multiplikatyvi funkcija, tai a= a p1 1 p2  2... pk k=a  p1 1a  p2 2 ... a pk k=∏ p /n a  p . Tačiau a  p=1 p p2... p−1a pa= p1a−1 pa−1 . Išvada. Kai a=1, pažymėję skaičiaus n=∏ p daliklių sumą 1n=n , turime n=∏ p/ n p1−1 p−1 . (5) Pavyzdžiui, rasime skaičiaus 24 daliklių kvadratų sumą. Kai a=2 : 2 24=23⋅3= 24⋅2−1 22−1 ⋅32⋅2−1 32−1 =85⋅10=850 . Su funkcija n susijusi sena tobulųjų skaičių problema. Apibrėžimas. Teigiamas skaičius N vadinamas tobuluoju skaičiumi, jeigu N =2N tai yra N lygus sumai visų savo daliklių, mažesnių už juos pačius. Pavyzdžiui, 6 ir 28 – tobulieji skaičiai, nes 6=123=6,  28=124714=28 . Apibrėžimas. Skaičiai, kurių išraiška 2n−1 vadinami Merseno skaičiais, o pirminiai, tokio pavidalo skaičiai vadinami pirminiais Merseno skaičiais. Ryšys tarp pirminių Merseno skaičių ir tobulųjų skaičių pateikiamas šiomis teoremomis. 8 teorema. Jeigu 2n1−1 yra pirminis skaičius, tai 2n2n1−1 – tobulasis skaičius. Įrodymas. Tegul N =2n 2n1−1=2n p , kur p – pirminis. Tada, remiantis (5) formule:  N =2n1−1 p1=2n1−12n1=2N , N – tobulasis skaičius. Kiekvieną Merseno pirminį skaičių atitinka vienas tobulasis skaičius, tai teigia sekanti teorema. 9 teorema (Oilerio). Kiekvienas lyginis tobulasis skaičius užrašomas tokia išraiška 2n p , kur p=2n1−1 – pirminis Merseno skaičius. Įrodymas. Tegul N =2n N ' – tobulasis skaičius, kur n1, ir N ' – nelyginis skaičius. 11 Tada  N =2 N =2n1 N ' . Kadangi  multiplikatyvi, tai  N =2 N = 2n1 N '  . Remiantis (5) formule: 2n=2n1−1 ⇒ 2n1−1 N ' =2n1 N ' . Taigi, 2n1−1 N ' . Jeigu mes teigsime, kad N '=2n1−1N ' ' , tai  N '=2n1 N ' ' , kur N ' ' N ' . Bet N ' N ' '=2n1 N ' ' =N '  . Taigi ir N ' ir N ' ' dalija N ' ir jų suma lygi N ' N ' '= N ' . Tai reiškia, kas skaičius N ' negali turėti kitų daliklių ir dėl to jis yra pirminis. Kadangi žinome, kad N '=2n1−1N ' ' , tai iš to seka, kad N '=2n1−1 , N ' '=1 . Teorema įrodyta. Neaišku ar lyginių tobulųjų skaičių aibė bus begalinė (t.y. pirminių skaičių aibė, kurių išraiška 2n−1 ) , taip pat nėra žinoma ar egzistuoja nelyginiai tobulieji skaičiai. 1973 m. nustatyta, kad tokie skaičiai, jeigu jie yra, turi būti didesni už 1050 . Aritmetinės funkcijos n , kai skaičiaus n daliklių laipsnis a=1 reikšmių suma žymima  N  :  N =∑ n=1 N n . Funkcijos n daliklių sumos vidurkis intervale [1, N ] yra [3]: 1 N ∑ n=1 N  n= 2 12 N O ln N  . 1.3.4. Funkcija φ(n) Aritmetinė funkcija n vadinama Oilerio funkcija ir ji lygi skaičiui natūraliųjų skaičių, ne didesnių už n ir tarpusavyje pirminių su n . Pavyzdžiui, 4=2, nes tik 1 ir 3 tarpusavyje pirminiai su n 4,1=1, 4,3=1 . Oilerio funkcija n yra multiplikatyvi. Įrodysime teoremą, kuria remdamiesi galėsime apskaičiuoti Oilerio funkcijos reikšmes, kai 12 argumentas yra pirminis skaičius arba jo laipsnis. 10 teorema. Jeigu p yra pirminio skaičiaus natūralusis laipsnis, tai  p= p1− 1 p  ,  p= p−1 . Įrodymas. Iš visų skaičių 1, 2, ... , p , p1, ... , p−1, p išbraukiame tuos, kurie turi bendrus daliklius su moduliu n= p . Modulio dalikliai yra tik p laipsniai. Taigi įrodymo pradžioje pateiktoje skaičių sekoje reikia išbraukti visus p kartotinius, nes tik jie turi bendrų daliklių su p . Tokių kartotinių yra [ p p ]= p−1 . Juos išbraukę, gauname p− p−1= p1− 1 p  skaičių, ne didesnių už p ir tarpusavyje pirminių su p . Antroji teoremos formulė gaunama, kai =1 . Pavyzdžiui, rasime 5 . Kadangi 5=51 , tai 51=511− 1 5 =4 . Skaičiai 1, 2, 3, 4 yra tarpusavyje pirminiai su 5, t.y. 5,1=1, 5,2=1, 5,3=1, 5,4=1 . Jeigu n nėra pirminio skaičiaus laipsnis, tai Oilerio funkcijos reikšmės apskaičiuojamos remiantis sekančia teorema. 11 teorema. Jeigu n= p1 1 p2 2... pk k , tai n=n 1− 1 p1 1− 1 p2 ... 1− 1 pk =n∏ p / n 1− 1 p  . Įrodymas. Remdamiesi 108 teorema ir funkcijos n multiplikatyvumu, gauname = p1 1 p2 2... pk k= p1 1 p2 2... pk  k . Teorema įrodyta. Iš Oilerio funkcijos apibrėžimo taip pat išplaukia, kad 1=1 . Pavyzdžiui, rasime 100 . Kadangi 100=22⋅52 , tai 100=100 1− 1 2 1− 1 5 =40. 13 12 teorema. ∑ d /n d =n . Įrodymas. Pritaikysime Oilerio funkcijai multiplikatyvumo tapatybę ∑ d / n f d =∏ p / n ∑ =0  f  p čia  – pirminio p laipsnio rodiklis skaičiaus n kanoniniame skaidinyje. Turime: ∑ =0  f  p=1 p ... p . Taikydami 10 teoremos formules, gauname ∑ =0   p=1 p−1 p2− p... p− p−1= p . Taigi, jei n=∏ p/ n p , tai ∏ p/ n ∑ =0   p=∏ p/ n p=n . Teorema įrodyta. Aritmetinės funkcijos n reikšmių suma žymima N  : N =∑ n=1 N n . Oilerio funkcijos reikšmių suma intervale [1, N ] didėja apibrėžta tvarka [11]. 13 teorema. N = 3 2 N 2ON ln N  . Padaliję pastarąją lygybę iš N gauname, kad funkcijos n vidurkis išreiškiamas formule: N  N = 3 2 N O ln N  . 1.3.5. Funkcija μ(n) Skaičių teorijoje svarbią vietą užima aritmetinė funkcija, kuri vadinama vokiečių geometro Miobiuso (A. F. Möbius, 1790 – 1868) vardu. Ji žymima n ir apibrėžiama šitaip. 14 1. 1=1 . 2. Jeigu n yra k skirtingų pirminių daugiklių sandauga, tai n=−1k . 3. Jeigu n skaidinyje yra daugiklis d =t 21, tai n=0 . Pavyzdžiui, 10=2⋅5=−12=1, 11=−11=−1 , 12=3⋅22=0 . 14 teorema. Teisingas reiškinys ∑ d /n d ={1, jeigu n=1 0, jeigu n1 Įrodymas. Tegul n=∏ i=1 m pi i – kanoninė skaičiaus n1 išraiška. Skaičiaus n dalikliai d , kuriems d ≠0, išreiškiami 1, p1 , p2 , ... pm , pi p j i≠ j , p i p j pk i≠ j≠k  , ... , p1 p2 ... pm . Tada ∑ d /n d =1∑ i  p i∑ i  j  pi p j... p1 p2 ... pm . Iš to seka, kad ∑ d /n d =1−m 1m 2−m 3  ...=1−1m=0 . 15 teorema (Miobiuso 1 – oji). Tegul f - aritmetinė funkcija ir g n≠∑ d / n f d  . Tada f n=∑ d /n d g  n d  . Įrodymas. Mes turime ∑ d / n d  g  n d =∑ d /n d ∑ d ' / n d f d ' =∑ dd '/ n d  f d ' =∑ d ' /n f d ' ∑ d / n d ' d  . Remiantis 14 teorema ∑ d /n d  g  n d = f n . Teisingas ir atvirkštinis teiginys: 16 teorema. Jeigu h n=∑ d / n d  f  n d =∑ d / n  n d  f d  , tai f n=∑ d /n hd  . 15 Įrodymas. Remiantis 14 teorema: ∑ d /n hd =∑ d / n h n d =∑ d /n ∑ d '/ n d  n dd '  f d ' =∑ dd ' /n  n dd '  f d '=∑ d '/ n f d ' ∑ d / n d '  n dd ' = f n Pagal 15 teoremą turime tokį sąryšį ∑ d /n d =n , n=∑ d / n d  n d =n∑ d / n d  d . Teorema įrodyta. Šios teoremos papildymas susijęs su Mangoldto funkcija, kuri turi tokią išraišką: n={ln p , jeigu n= pm , p − pirminis , m0, 0, jeigu n≠ pm . 17 teorema. ∑ d / n d =ln n . Įrodymas. Tegul n=∏ i=1 r pi i – skaičiaus n1 kanoninis skaidinys. Tada pagal  apibrėžimą turime ∑ d / n d =∑ i=1 r ∑ =1 1  pi =∑ i=1 r i ln p i=ln n . Teorema įrodyta. Apjungę Miobiuso pirmosios teoremos formulę ir 17 teoremą, gauname n=∑ d /n d  ln n d , ir iš 14 teoremos žinodami, kad ∑ d /n d =0, kai n1 ir ln 1=0 seka išvada, kad n=−∑ d / n d  ln d . 18 teorema (Miobiuso 2 – oji). Tegul funkcija f apibrėta visiems x1 ir g  x=∑ nx f  x n  . Tada kiekvienam x1 f x =∑ n x n g  x n  , ir atvirkščiai. Suma ∑ n x f interpretuojama kaip ∑ n=1 [ x ] f , o suma neturinti narių prilyginama 0 . Įrodymas. Remiantis funkcijos g apibrėžimu, kiekvienam x1 turime: 16 ∑ n x n g  x n =∑ n x n ∑ m x n f  x mn = ∑ 1mnx n f  x mn  . Grupuojant paskutinės sumos narius, kuriems m n=r , 1r x , gauname ∑ 1mn x n f  x mn = ∑ 1r x f  x r ∑ n / r n= f x  . Pirma teoremos dalis įrodyta. Norėdami įrodyti atvirkštinį teiginį, kiekvienam x1 teigsime, kad f x =∑ n x n g  n x  . Tada ∑ m x f  x m =∑ m x ∑ n x m n g  x mn = ∑ 1mn x ng  x mn  ir taip , kaip anksčiau buvo įrodyta, paskutinė suma gali būti užrašyta taip: ∑ 1r x g  x r ∑ n /r n=g x  . Dar vienas įdomus sąryšis tarp aritmetinių funkcijų n ir n. 19 teorema. ∑ d / n n d d =n . Aritmetinės funkcijos n reikšmių suma žymima M N : M N =∑ n=1 N n  . Funkcijos n daliklių sumos vidurkis intervale [1, N ] yra [1]: 1 N ∑ n=1 N n=O e−c ln N   . 17 2. ARITMETINIŲ FUNKCIJŲ ANALIZĖ SU KOMPIUTERINĖS MATEMATIKOS SISTEMA MATHEMATICA 2.1. Pagrindinės funkcijos Bendrieji darbo principai su kompiuterinės algebros sistema Mathematica buvo aprašyti baigiamajame bakalauro darbe „Matematika su Mathematica“. Šiame skyrelyje supažindinama tik su pagrindinėmis kompiuterinės sistemos funkcijomis, kurios leidžia tyrinėti aritmetines funkcijas. Mod[k,n] Skaičius k moduliu n (liekana skaičių k dalinant iš n) Skaičių k=18 padalijus iš n=5 gausime liekaną 3. Quotient[m,n] Sveikoji dalis skaičių m dalinant iš n Skaičių k=18 padalijus iš n=5 gauta sveikoji dalis bus 3. GCD[ n1 , n2 , ... ] Didžiausias bendras daliklis Skaičių 24, 15 didžiausias bendras daliklis yra 3. LCM[ n1 , n2 , ... ] Mažiausias bendras kartotinis Skaičių 10, 15 mažiausias bendras kartotinis yra 30. FactorInteger[n] Skaičiaus n kanoninis skaidinys Pavyzdžiui, skaičiaus 24 kanoninis skaidinys 24=2331 . Divisors[n] Skaičiaus n dalikliai Pavyzdžiui, skaičiaus n=10 dalikliai: 18 Prime[k] k – tasis pirminis skaičius Pavyzdžiui, k=5 - asis pirminis skaičius: PrimePi[x] Pirminių skaičių, kurie mažesni arba lygūs x, skaičius Pavyzdžiui, pirminių skaičių iki skaičiaus x=30 ir x=29 imtinai yra 10. PrimeQ[n] Išveda rezultatą True, jei n – pirminis ir False, jei n nėra pirminis Pavyzdžiui, skaičius n=29 yra pirminis, o n=30 – ne. Table[Prime[n], {n, k}] Sąrašas k pirminių skaičių PowerMod [a, b, n] Skaičiaus a pakelto laipsniu b liekana padalijus iš n Pavyzdžiui, 24≡2 mod 7 , taip pat galime skaičiuoti, kai laipsnis yra neigiamas 2−4≡4mod 7. 19 EulerPhi [n] Oilerio funkcija n , tai skaičius natūraliųjų skaičių, ne didesnių už n ir tarpusavyje pirminių su n Pavyzdžiui, pirminiams n , n=n−1 . MoebiusMu [n] Miobiuso funkcija n Pavyzdžiui, 10=1, 11=−1, 12=0 . DivisorSigma [k, n] Miobiuso funkcija n , tai skaičiaus n daliklių a - ųjų laipsnių suma Pavyzdžiui, skaičiaus n=10 dalikliai: kai k=0 , tai 10=102050100=4 kai k=2 , tai 10=122252102=1425100=130 Sudėtingesniems skaičių teorijos uždaviniams spręsti naudojamas specializuotas sistemos 20 Mathematica paketas. Norint dirbti su šio paketo funkcijomis, jį reikia išsikviesti. Iškvietimas užrašomas taip:

Daugiau informacijos...

★ Klientai rekomenduoja

Šį rašto darbą rekomenduoja mūsų klientai. Ką tai reiškia?

Mūsų svetainėje pateikiama dešimtys tūkstančių skirtingų rašto darbų, kuriuos įkėlė daugybė moksleivių ir studentų su skirtingais gabumais. Būtent šis rašto darbas yra patikrintas specialistų ir rekomenduojamas kitų klientų, kurie po atsisiuntimo įvertino šį mokslo darbą teigiamai. Todėl galite būti tikri, kad šis pasirinkimas geriausias!