Vienmatė bangos lygtis. Lorenco transformacijos

Vienmatė bangos lygtis. Lorenco transformacijos Panagrinėsime kaip elgėsi vienmatė bangos lygtis atlikus tiesinį koordinačių pakeitimą. Kaip jau minėta, ši lygtis susieta su dvimačiu metriniu tenzoriumi . Aplinka, kurioje sklinda vienmate lygtimi aprašomos bangos nekonkretizuojame. Tai gali būti skysčio paviršiuje sklindančios bangos, garso bangos vamzdyje, muzikos instrumento stygomis sklindančios bangos ir t.t. Atlikž pakeitimus x2=x1, vot=x2 bangos lygtį užrašome taip . Atliekame tiesinį koordinačių pakeitimą . Jeigu turime , tai Iš čia Iš gautų sąryšių matyti, kad bangos lygties pavidalas nepasikeis, jeigu a2-b2=1, d2-c2=1 ir ac-bd=0. Tada koordinačių sistemose x1,x2 ir u1,u2 turėsime tas pačias bangos lygtis . Tegu koordinačių sistemoje x1x2 turime . Pažiūrėsime kokias sąlygas turi tenkinti tiesinio pakeitimo koeficientai a b c ir d, kad būtų tenkinama lygybė . Turime Akivaizdu, kad lygybė bus kai a2-c2=1, d2-b2=1, ab-cd=0. Sandaugą s2 panagrinėsime naudodami metrinį tenzorių A21. Turime Vektoriaus ilgis nepasikeis, jei padauginsime atitinkamus dauginamuosius iš vienetinės matricos. Tegu tai bus matrica Matrica-eilutė ir matrica-stulpelis atitinka tą patį vektorių, todėl jie turi keistis vienodai, atliekant kintamųjų transformaciją. Atsižvelgiant į tai s2 užrašome taip Iš čia turime Gautos išraiškos rodo, kad vienodus vektorius turėsime tuomet, kai c=b, t.y. transformacijos matrica bus simetrinė. Reikalaujama, kad ir metrinis tenzorius būtų nepakitžs. Įskaičius c=b, tai ekvivalentiška tokiai lygybei Sudauginž matricas gauname Iš čia matyti, kad turi būti tenkinama lygybė a=d. Tokiu būdu s2 nesikeis tuomet, kai bus atliekamas tiesinis pakeitimas ir a bei b bus susieti sąryšiu a2-b2=1. Priešingu atveju, dydis s2 bus padauginamas iš daugiklio . Lengva patikrinti, kad esant tokioms sąlygoms bangos lygtis bei sandauga nepasikeis atlikus kintamųjų pakeitimą. Žinoma, kad mechanikos dėsniai nekinta atlikus Galilėjaus transformacijas. Laikant, kad , kur vo - bangos greitis, šios transformacijos užrašomos taip kur . Akivaizdu, kad Galilėjaus transformacijų negalima tiesiogiai taikyti net mechaniniams banginiams procesams. Bangos lygtis nėra invariantiška Galilėjaus transformacijų atžvilgiu! Panagrinėsime, kaip reikia pakeisti šias transformacijas, kad nekistų bangos lygtis bei intervalas . Suskaičiuojame Pažymėjž Iš Galilėjaus transformacijų Gautas x1 ir x2 išraiškas įstatome į u1 ir u2. Gauname Pažymėjus matome, kad tenkinama lygybė a2-b2=1. Vadinasi, naudojant gautas tiesines transformacijas nesikeičia intervalas Perrašysime gautas transformacijas naudodami kintamuosius u1=x’, u2=vot’, x1=x, x2=vot, =v/vo. Elektromagnetiniam laukui bangos sklidimo greitis vo lygus šviesos greičiui c, o gautos lygybės yra vadinamos Lorenco transformacijomis. Lorencas šias transformacijas gavo naudodamas visiškai kitus samprotavimus. Jas gaunant viena iš svarbiausių prielaidų buvo, kad šviesos greitis c yra pastovus. Mūsų išvedime šviesos greitis visiškai nebuvo naudojamas, jo vietoje gali būti bet kokios bangos greitis. Kai greitis v

Daugiau informacijos...

★ Klientai rekomenduoja

Šį rašto darbą rekomenduoja mūsų klientai. Ką tai reiškia?

Mūsų svetainėje pateikiama dešimtys tūkstančių skirtingų rašto darbų, kuriuos įkėlė daugybė moksleivių ir studentų su skirtingais gabumais. Būtent šis rašto darbas yra patikrintas specialistų ir rekomenduojamas kitų klientų, kurie po atsisiuntimo įvertino šį mokslo darbą teigiamai. Todėl galite būti tikri, kad šis pasirinkimas geriausias!