Statistinė hipotezė

Statistinė hipotezė Bet koks tvirtinimas apie atsitiktinio dydžio pasiskirstymo formą ar apie pasiskirstymo parametrų reikšmes vadinamas statistine hipoteze. Pvz. Teiginiai: 1. kviečio grūdo masė pasiskirsčiusi pagal Normalųjį tikimybių pasiskirstymo dėsnį. 2. vidutiniai detalių, pagamintų skirtingomis staklėmis matmenys sutampa, yra statistinės hipotezės. Pradinę hipotezę paprastai vadiname nuline arba pagrindine hipoteze ir žymime H. Konkuruojančiąja hipoteze arba alternatyva, vadiname hipotezę H, priešingą nulinei. Hipotezę, kuri nusakoma viena parametro reikšme, vadiname paprastąja. Praktikoje dažniausiai susiduriame su sudėtingomis hipotezėmis, pvz. H: a>. Turime imtį x1, x2, …, xn, gautą stebint atsitiktinį dydį. Reikia patikrinti hipotezę H, kai alternatyva yra H. Statistiniais metodais tikrindami hipotezės H teisingumą, galime padaryti dviejų rūšių klaidas. Pirmosios rūšies klaidą padarome tada, kai atmetame hipotezę H, kai ji yra teisinga. Jei priimame hipotezę H, nors ji yra klaidinga padarome antros rūšies klaidą. Hipotezė Teisinga Klaidinga Atmetama Pirmos rūšies klaida Teisingas sprendimas Priimama Teisingas sprendimas Antros rūšies klaida Taisyklę, pagal kurią iš imties duomenų darome išvadą apie hipotezės teisingumą ar klaidingumą, vadiname statistiniu kriterijumi arba tiesiog kriterijumi. Paprastai hipotezę tikriname taip: parenkame specialią imties elementų funkciją KK(x1, x2, …, xn), kurią vadiname statistika. Statistika K priklauso nuo imties elementų, todėl ji yra atsitiktinis dydis, kurio pasiskirstymas paprastai būna artimas kuriam nors žinomam pasiskirstymo dėsniui. Parinkę atitinkamą statistiką, jos reikšmių aibę R dalome į dvi dalis R ir R. Hipotezę H tikriname pagal taisyklę: jeigu iš imties apskaičiuota statistikos K reikšmė patenka į sritį R, tai hipotezę atmetame, t.y. laikome, kad ji neteisinga. Šią sritį R vadiname kritine sritimi. Jeigu statistikos K reikšmė patenka į sritį RR- R, tai sakome, kad stebėjimo duomenys neprieštarauja tikrinamajai hipotezei H. Sritį R vadiname hipotezės galiojimo sritimi. Pirmos rūšies klaidos tikimybė  lygi tikimybei įvykio, kuris reiškia, kad statistikos reikšmė pateko į kritinę sritį R, nors hipotezė H. yra teisinga Antros rūšies klaidos tikimybė  lygi tikimybei įvykio, kuris reiškia, kad statistikos reikšmė nepateko į kritinę sritį R, nors hipotezė H. yra klaidinga, t.y. yra teisinga alternatyva: Kriterijus hipotezei H. patikrinti tuo geresnis, kuo mažesnės abiejų rūšių klaidų tikimybės. Tačiau minimizuoti abiejų klaidų tikimybes neįmanoma. Darome taip: pasirenkame teigiamą skaičių > (paprastai artimą nuliui 0.05, 0.01 ir panašiai) ir laikydami, kad nulinė hipotezė teisinga, taikome tą kriterijų, kuriam pirmos rūšies klaidos tikimybė lygi , o antros rūšies klaidos tikimybė mažiausia. Skaičių  vadiname reikšmingumo lygmeniu. Geriausias kriterijus su reikšmingumo lygmeniu  yra toks, kuriam patenkintos sąlygos Statistika K yra vienmatis atsitiktinis dydis, todėl kritinė sritis ir galiojimo sritis yra intervalai. Taškus, kurie kritinę sritį skiria nuo hipotezės galiojimo srities vadiname kritiniais taškais. Kritinė sritis gali būti vienpusė: dešinioji ir kairioji bei dvipusė. Todėl ir kriterijus skirstome į vienpusius ir dvipusius. Dešinioji kritinė sritis: Kairioji kritinė sritis: Dvipusė kritinė sritis nusakoma dviem nelygybėmis: ir Sakysime, kad hipotezė H. yra klaidinga, o teisinga alternatyvi hipotezė H1., jei kriterijaus reikšmė tenkina bent vieną iš aukščiau įvestų nelygybių. Tikimybė atmesti klaidingą hipotezę vadinama kriterijaus galingumu. Pažymėję raide  antrosios rūšies klaidos tikimybę, o kriterijaus galingumą w1, galime užrašyti w1-. Kuo mažesnė antros rūšies klaidos tikimybė, tuo didesnis kriterijaus galingumas. Pasirinkus reikšmingumo lygmenį , kritinę sritį reikia konstruoti taip, kad kriterijaus galingumas būtų maksimalus. Tokį kriterijų vadiname tolygiai galingiausiu. Hipotezių apie vidurio reikšmes tikrinimas Stebime atsitiktinį dydį XN(a,) 1. Dispersija 2 žinoma. H0 : a= a0, H1 : a a0 Naudojama statistika Kritinė sritis: z>zp ir zzp arba z a0 , tai kritinė sritis z>z. 2. Dispersija nežinoma ir turime jos įvertį s2. H0 : a= a0, H1 : a a0 , statistika t pasiskirsčiusi pagal Stjudento dėsnį su n-1 laisvės laipsniu. Kritinė sritis nusakoma nelygybėmis t >tp Vidurkių palyginimo hipotezės Tegul stebėjome atsitiktinį dydį XN(a,)du kartus Turime dvi imtis, atitinkami tūriai n1 ir n2 , gauname du vidurkių įverčius: x1 ir x2. Klausimas: ar gavome atsitiktinį nuokrypį, ar pasikeitė eksperimento sąlygos. Tikrinsime bendresnę hipotezę. H0 : a1-a2= a0, H1 : a1- a2  a0 1. Dispersijos žinomos: 12, 22 . Tada naudojama statistika , (1) Kritinė sritis nusakoma nelygybėmis z zp 2. Dispersijos nežinomos, bet žinomas santykis 12/ 22 k. Vidurkių lygybės hipotezė šiuo atveju tikrinama naudojant statistiką , kuri pasiskirsčiusi pagal Stjudento dėsnį su n1  n -  laisvės laipsnių. Jeigu dispersijų santykis nežinomas, tai naudojama statistika (1), tik tikrosios dispersijos keičiamos jų įverčiais. Hipotezių apie dispersijos reikšmes tikrinimas Stebime atsitiktinį dydį XN(a,). Turime tūrio n imtį. 1. Vidurkis žinomas. H0 : 1 = 0, H1 : 1  0 Šios hipotezės tikrinimui naudojama statistika Kritinė sritis nusakoma nelygybėmis ir . Čia naudojami 2 -pasiskirstymo su n laisvės laipsnių kvantiliai. 2. Vidurkis nežinomas. Šiuo atveju naudojama statistika ir kritinė sritis: ir . Skirtumas tik laisvės laipsnių skaičiumi, šiuo atveju naudojami 2 -pasiskirstymo su n-1 laisvės laipsnių kvantiliai. Dviejų normaliųjų dydžių dispersijų palyginimas Šis uždavinys iškyla, kai reikia palyginti prietaisų, instrumentų tikslumą, matavimo metodų tikslumą. Aišku, kad geresnis tas prietaisas, kuris duoda mažesnę dispersiją. Tegu stebime du atsitiktinius dydžius X ir Y, turime dvi imtis, kurių tūriai yra n1 ir n2 , gauname dispersijų įverčius s1 ir s2. Kyla klausimas, ar šių dydžių dispersijos skiriasi reikšmingai ar gavome tik atsitiktines paklaidas. Šia laikme, kad viduriai lygūs. Pasirenkame reikšmingumo lygmenį . H0 : 1 = 2, H1 : 1  2 Tegu s1 > s2. Šios hipotezės tikrinimui naudojama statistika . Statistika F pasiskirsčiusi pagal Fišerio dėsnį su n1 -1 ir n2 - 1 laisvės laipsnių. Kritinė sritis yra ir Mažos imtys Pillai ir Buenaventura metodas dispersijų palyginimui. Tegu R1 ir R2 yra atitinkamų imčių pločiai. Naudojama statistika . Lordo metodas vidurkių palyginimui. Tegu n=n1=n2=3). , u statistikos pasiskirstymas yra artimas Stjudento pasiskirstymui. Diksono metodas keliems vidurkiams lyginti Tegu turime kelias imtis ir gavome vidurkių įverčius, išdėstome juos didėjimo tvarka , jei norime tirti ar mažiausias skiriasi ir mažėjimo tvarka, jei norime nustatyti, ar didžiausias skiriasi. Naudojama statistika , kurios reikšmės duodamos lentelėse. Neparametrinės hipotezės Neparametrinių hipotezių tipai: 1. Suderinamumo hipotezės: paprasta hipotezė H: F(x)F0(x) aba sudėtinga H: F(x)F0 2. Nepriklausomumo hipotezės: stebime du atsitiktinius dydžius H; F(x1,x2) F1(x) F2(x). 3. Atsitiktinumo hipotezės: tūrio n imtis yra atsitiktinė. 4. Dviejų imčių homogeniškumo. 5. K – imčių homogeniškumo. Neparametrinių hipotezių tikrinimo metodus galima suskirstyti į dvi grupes: 1. Keitimas parametrine hipoteze, 2. Su pasiskirstymu nesusijusių kriterijų taikymas. Daugelyje praktinių uždavinių tikslus stebimo atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnis yra nežinomas. Turime imtį x1, x2, …., xn, gautą stebint atsitiktinį dydį X. Reikia patikrinti hipotezę, kad stebimas atsitiktinis dydis pasiskirstęs pagal tikimybių pasiskirstymo dėsnį F(x,), - pasiskirstymo parametras, paprastai jis yra nežinomas. H0: X F(x,). Turime suderinamumo hipotezę.  suderinamumo kriterijus. Tai vienas iš dažniausiai taikomų neparametrinės statistikos kriterijų. Jis geras tuo, kad leidžia patikrinti hipotezę apie bet kokį pasiskirstymo dėsnį, netgi nežinant jo parametrų. Pagl šį kriterijų hipotezės tikrinamos taip: Stebėjimo duomenys sugrupuojami tam tikrais intervalais (ti-1, ti), i0,1,2,..,k Suskaičiuojame imties elementus, patekusius į kiekvieną intervalą ni ir santykinius dažnius ni/n. Žinodami pasiskirstymo funkciją F(x, ), galime rasti atsitiktino dydžio reikšmės patekimo į I-tąjį intervalą tikimybę piF(ti, )- F(ti-1, ).  kriterijus paremtas tuo, kad esant teisingai hipotezei H0, santykinis dažnis ni/n labai mažai skiriasi nuo tikimybės pi. Kadangi pasiskirstymo funkcija priklauso nuo parametrų 1, 2,…, l, tai ir tikimybės pipi(1, 2,…, l) yra šių parametrų f-jos. Naudodamiesi imties duomenimis iš lygčių , I 1,2,…,l (*) randame parametrų įverčius. Dviejų parametrų atveju turime Turėdami parametrų įverčius, gauname tikimybių įverčius Jei hipotezė teisinga, tai natūralu, kad skirtumai yra maži. Tuo remiantis ir sudaroma statistika (**) Kai hipotezė H0 teisinga, tai atsitiktinis dydis  iš (**) pasiskirstęs pagal  dėsnį su (k-l-1) laisvės laipsnių, kur k yra intervalų skaičius, l yra nežinomų parametrų skaičius. Jeigu hipotezė neteisinga, tai skirtumai bus dideli ir todėl pasirinkus reikšmingumo lygmenį , hipotezei H0 patikrinti kritinė sritis bus  kriterijaus trūkumai: 1. Jo taikymui reikalinga pakankamai didelis imties tūris n>100. 2. Stebėjimo duomenis reikia grupuoti, o tai subjektyvu. 3. Sunku rasti parametrų įverčius sprendžiant (*) sistemą. Kartais žymiai lengviau rasti parametrų įverčius kitais metodais, pvz. maksimalaus tikėtinumo, tačiau tada  pasiskirstymas nėra tiksliai  Šių trūkumų neturi modifikuotas  kriterijus. Kolmogorovo kriterijus Stebėdami tolydųjį atsitiktinį dydį gavome variacinę eilutę x1

Daugiau informacijos...

★ Klientai rekomenduoja

Šį rašto darbą rekomenduoja mūsų klientai. Ką tai reiškia?

Mūsų svetainėje pateikiama dešimtys tūkstančių skirtingų rašto darbų, kuriuos įkėlė daugybė moksleivių ir studentų su skirtingais gabumais. Būtent šis rašto darbas yra patikrintas specialistų ir rekomenduojamas kitų klientų, kurie po atsisiuntimo įvertino šį mokslo darbą teigiamai. Todėl galite būti tikri, kad šis pasirinkimas geriausias!