Rizikos teorija verslo sistemose

RIZIKOS TEORIJA VERSLO SISTEMOSE ĮVADAS Laisvosios rinkos sąlygomis verslas yra neišvengiamai susijęs su rizika, kurią sąlygoja įvairūs veiksniai, keičiantys verslo aplinką. Todėl verslui būdingas neapibrėžtumas, prognozuojamųjų rezultatų neužtikrintumas, bei rizikingi sprendiniai. Verslo riziką galima valdyti, tai yra naudoti įvairias priemones, užtikrinančias jos pašalinimą ar sumažinimą. Vienu iš tokių priemonių yra draudimas. Tačiau draudimas yra taip pat ir verslas, kuris neatsiejamai susijęs su rizika. Galima išskirti daug rizikos rūšių. Dėl jų įvairovės klausimai, susiję su jos struktūra, tampa labai komplikuoti. Todėl apsiribosime platesniu rizikos tyrimu tiktai draudimo versle. EKONOMINIŲ UŽDAVINIŲ SPRENDIMO MATEMATINIAI METODAI Ekonominiams uždaviniams spręsti taikomi šie matematiniai metodai: • tiesinis programavimas; • netiesinis programavimas; • dinaminis programavimas; • lošimų teorija; • statistinių sprendimų teorija. Visus šiuos metodus nagrinėja mokslas vadinamas operacijų tyrimu (arba kibernetika). Pagrindinis operacijų tyrimo uždavinys yra organizuoti veiksmų sistemą ir iš visų turimų variantų atrinkti optimalų, lyginant vieną variantą su kitu. Šie uždaviniai yra praktiniai, padiktuoti realaus gyvenimo. Tokio uždavinio pavyzdžiu gali būti taip vadinamas transporto uždavinys. Visi tokie ekonominiai praktiniai uždaviniai yra sprendžiami bandymų – klaidų metodu. Šis metodas pirmą kartą buvo panaudotas JAV ir D. Britanijoje Antrojo pasaulinio karo metais. Sprendžiant bet kokius ekonominius uždavinius, taip kaip ir visus praktinius uždavinius, pirmiausia reikia sudaryti matematinį modelį. Kitas žingsnis sudarius matematinį modelį – tinkamai parinkti optimalumo kriterijų. Tokių kriterijų siūloma labai daug ir labai įvairių, priklausomai nuo sprendžiamos problemos. Be to reikalingas ir efektyvumo rodiklis. Tai priklauso nuo to kokios sistemos nagrinėjamos, determinuotos ar stochastinės. Kadangi praktikoje visų priežasčių įvertinti negalima, tai dažniausiai susiduriama su stochastinėmis sistemomis, tuomet efektyvumo rodiklis yra tikimybė, praktikoj – statistinis dažnis. Taigi matematinis modelis gali būti užrašomas tokiu pavidalu: ),,( ξαxW – santykinis dažnis; W x – sprendinys; α – parametrai; ξ – atsitiktiniai faktoriai. Tada pagrindinis tikslas yra maksimizuoti W : . Wmax Kitokius uždavinius sprendžia lošimų teorija. Jai būdingas neapibrėžtumas, nes čia egzistuoja priešininkas, todėl lošimų teorija yra strategijų parinkimo teorija. 2 Strategija yra suprantama kaip taisyklių visuma, kurios yra priimamos priklausomai nuo situacijos. Čia taip pat ieškoma optimalios strategijos. Lošimų teorijoje ieškant optimalios strategijos į priešininką visada žiūrima kaip į labai protingą, kuris priima tik protingus sprendimus. Kiek kitokius uždavinius sprendžia statistinių sprendimų teorija, kuriai taip pat būdingas neapibrėžtumas. Tačiau čia nėra tokio priešininko kaip lošimų teorijoje. Čia veikia viskam abejinga realybė, kuri vadinama gamta. Ji nėra nei priešininkas, nei sąjungininkas, bet negalima nuspėti jos veiksmų. Pavyzdžiui: potvyniai, žemės drebėjimai... Kadangi negalima nuspėti jos veiksmų, tai be abejo susiduriama su rizika, tai yra su nuostoliais. Jei laikysime, kad mūsų strategija yra ijα , o iš tiesų yra jβ , tai rizika bus: ijjijr αβ −= Pagrindinis tikslas būtų minimizuoti šią riziką. Minimizavimo kriterijų taip pat yra daug. Vienas iš paprasčiausių yra Valdo kriterijus: ijji αminmax Kitas kriterijus yra Sevidžo, tai pesimizmo kriterijus: ijji rmaxmin Gurvico kriterijus, vadinamas pesimizmo – optimizmo kriterijumi: )max)1(min(max ijjijji αλαλ −+ λ – pesimizmo koeficientas, kinta intervale )1,0( . Išnagrinėkime pavyzdį: paprastas žaidimas su „gamta“. Tegul galimos strategijos yra , o visos prielaidos . iA jG iA jG 1G 2G 3G ijα 1A 20 30 15 15 2A 75 20 35 20 3A 25 80 25 25 4A 85 5 45 5 jβ 85 80 45 Taikant Valdo kriterijų yra optimali strategija. 3A Tą patį uždavinį išsprendus pagal Sevidžo kriterijų optimali strategija yra arba . Kiek sudėtingesnis yra Gurvico kriterijus. Kai 2A 3A 6.0=λ gauname, kad optimali strategija taip pat yra . 3A Tokio paprasto uždavinio dėka matome kokia strategija yra geriausia. 3 Be šių visų matematinių metodų dar taikomas eksperimento planavimas. Jis taikomas todėl, kad iš anksto parinktas sprendinys turi būti peržiūrėtas įvertinant naujai gautą informaciją. MATEMATINIO MODELIO SUDARYMAS Tiek lošimų teorijoje, tiek statistinių sprendimų teorijoje yra sudaromas toks matematinis modelis: A – veiksmų aibė { }a θ – būsenų aibė { }θ E – bandymų aibė { }e Z – sprendinių aibė { }z Toliau skaičiuojama naudingumo (naudos) funkcija: ),,,( zeaU θ ir sąlyginė tikimybė: ezPθ . Pavyzdžiui, sudarysime matematinį modelį ekonominiam uždaviniui: tikrinama mažų detalių kokybė. Iš 1000 atrenkamos 3. Pirmas žingsnis sudaryti veiksmų ir būsenų aibes: 1. A: partija priimama; 1a partija atmetama. 2a 2. (0; 3); (1; 3); (2; 3); (3; 3)-būsenų aibė. Šiuo atveju būsenų aibė parodo brokuotų detalių skaičių iš tikrinamų detalių skaičiaus. Toliau skaičiuojama naudingumo funkcija. Šio uždavinio sprendimo tikslas yra priimti sprendinį d, kuris yra d(z), kad būtų strategija (e, d). Rizika yra nagrinėjama statistinių sprendimų teorijoje. Čia taikomas Bejeso kriterijus, kuris yra pagrįstas Bejeso formule. Lošimų teorija ir statistinių sprendimų teorija tapo labai aktualios ekonomikoje pradėjus veikti laisvoms rinkos sąlygoms. Akivaizdu, kad rizika tai mokestis už pilnos informacijos neturėjimą. Rizika ekonomikoje – tai gaunami nuostoliai, todėl labai svarbu mokėti ją vertinti ir valdyti. Laisvos rinkos sąlygomis bet kurio verslo srityje susiduriama su rizika. Apsisaugojimui nuo jos taikomas draudimas. Draudimas tarsi pasiima dalį rizikos. Draudimas taip pat yra atskira verslo rūšis, kuri irgi yra susijusi su rizika ir tuo pačiu pati perskirsto riziką. DRAUDIMAS IR JO VYSTYMOSI RAIDA Draudimą nagrinėsime kaip vieną iš verslo rūšių. Jo šaknys siekia senovės Romos imperiją. Tada buvo paplitęs laivų ir krovinių draudimas. Draudimo kaip mokslo vystymąsi galima suskirstyti į atskirus etapus. Pirmas etapas iki XVIIa. pabaigos. Tuo metu pradėjo kurtis pirmosios draudimo kompanijos. Antras etapas nuo XVIIIa. iki XIXa. Ir trečias etapas nuo XIXa. Pirmoji draudimo kompanija buvo įkurta 1668 m. Paryžiuje. Vėliau 1720 m. Anglijoje ir 1765 m. Vokietijoje. Gyvybės draudimo kompanijos atsirado Anglijoje 1762 m., ten ir buvo sudarytos pirmosios mirtingumo lentelės. Draudimo teorinę bazę sudaro aktuarinė (draudimo), 4 ) finansinė matematika ir teisė. Aktuarinėje matematikoje pirmieji matematikai buvo tie patys kurie domėjosi lošimų teorija ir kūrė tikimybių teorijos pagrindus, tai Gausas, Laplasas, Muavras... Aktuarinė matematika Lietuvoje pradėta taikyti tik susidarius laisvos rinkos sąlygoms. Šiuo metu Lietuvoje yra apie 30 draudimo kompanijų. Gyvybės ir negyvybės draudimo kompanijos yra atskiros. Šioms draudimo rūšims yra skirtingi įstatiniai kapitalai. 1998 m. nutarimais reglamentuojamas kapitalas turi būti: • Negyvybės draudimui – 2 milijonai; • Gyvybės draudimo – 4 milijonai; • Kredito – 7 milijonai. Aktuarinėje matematikoje naudojami matematiniai lošimų terijos, statistinių spredimų teorijos, eksperimentų planavimo, matematinės statistikos ir atsitiktinių procesų modeliai. KLASIKINIS DRAUDIMO MATEMATINIS MODELIS Klasikinis draudimo matematinis modelis: SctutU −+=)( ) – draudimo kompanijos kapitalas momentu t; (tU u – pradinis kapitalas reglamentuotas įstatymais, determinuotas dydis; c – įmokos, determinuotas dydis; S – išmokos (nuostoliai), atsitiktinis dydis, priklausantis nuo rizikos matematinio modelio. Įmoka galėtu būti skaičiuojama pagal formulę: )(SEc = ; tačiau tokia įmoka netenkina, todėl pastaroji išraiška turi būti tikslinama: ()1( SEc θ+= ; θ – garantinis krūvis(saugumo garantas). DRAUDIMO EKONOMIKA. NAUDOS FUNKCIJA Bet kurioje verslo srityje susiduriama su rizika – nuostoliais, kurių niekas negali išvengti. Akivaizdu, kad tai būdinga tik laisvos rinkos sąlygomis. Verslą gelbėti nuo galimo bankroto gali tik draudimas, kuris prisiima dalį rizikos. Apdraudžiant turtą nuo nelaimingų atsitikimų labai svarbu nustatyti tą sumą, kuriai tas turtas draudžiamas ir kokias įmokas apsidraudęs turi mokėti. Čia išsiskiria dvi pozicijos: besidraudžiančiojo ir draudiko. Draudėjas nori mokėti kuo mažesnes įmokas ir gauti kuo didesnę sumą nelaimės atveju, o draudikas – atvirkščiai. Todėl čia susiduriama su problema, kuriai išspręsti naudojama naudos funkcija. Kiekvieno draudimo atveju sudaroma sutartis, perkamas polisas. Gyvybės draudimo atvejo poliso rūšių yra daugiau. Draudimo atveju, neįvykus nelaimei, pinigai nėra gražinami. 5 0 Praktikoje draudimo suma paprasčiausiai būtų galima nustatyti taip: apskaičiuojama kokia gali būti žala, iš surinktos statistikos skaičiuojamas nelaimingų atsitikimų dažnis, o sudauginus šiuos du dydžius būtų gaunama suma. Pavyzdžiui, turto vertė 10000 Lt, žalos tikimybė 0,1, tai draudimo suma lygi 1000 Lt. Tačiau, kai nelaimė neatsitinka – gerai, bet priešingu atveju 1000 Lt draudėjo netenkina. Tuo atveju nukentėjusysis linkęs draustis didesne suma ir mokėti daugiau įmokų. Todėl kyla klausimas – kokį polisą pirkti. Tokia problema kyla abiem pusėms. Tuo tikslu buvo įvesta naudos funkcija. Naudos funkcijos argumentas yra pinigai. Logiška reikalauti, kad naudos funkcijos reikšmės būtų didėjančios, nes didėjant pelnui didėja nauda (pasitenkinimas turimu kapitalu). Parenkant funkciją reikalingi tam tikri reikalavimai. Naudos funkcija žymima: ][ 0;1)( −∈wu , – pinigai. w Kad funkcija būtų didėjanti, pirma jos išvestinė turi būti didesnė už nulį, tai yra: )( >′ wu Kokia turi būti funkcija, tiesinė, rodiklinė, logaritminė – nustatyti sunkiau. Viena iš paprasčiausių naudos funkcijų yra tiesinė: bawwu +=)( . Jos grafinė interpretacija pateikta pirmame paveiksle. )(wu 1w 2w w -1 1 pav. Tiesinė naudos funkcija .0)( ;1)( 2 1 = −= wu wu Maksimalią draudimo sumą buvo pasiūlyta skaičiuoti pagal tokią išraišką: )()1()()( 122 wupwpuGwu −+=− ; čia p – tikimybė, kad įvyks nelaimingas atsitikimas. Įstačius reikšmes gaunama: )(wu 1)( 2 −=− pGwu . 6 Jeigu visi dydžiai būtų determinuoti, tai šios išraiškos pakaktų.Kadangi yra susiduriama su atsitiktiniais dydžiais, tai galima užrašyti: ))(()( XwuEGwu −=− . Čia E– vidurkis X– nuostoliai Jei paimtume tiesinę naudos funkciją, gautume: ))(()( bXwaEbGwa +−=+− ; bXaEawbaGaw +−=+− )( ; ) ) ) (XEG = Gauname, kad suma turi būti lygi nuostolių vidurkiui. Parinkus kitokią naudos funkciją gautume kitokius rezultatus. Mokslininkas Dženkinsas nustatė kokias sąlygas turi tenkinti naudos funkcija. Naudos funkcijos grafikas turi būti toks kaip pateiktas antrame paveiksle. u(w) )(µu w )(XE=µ 2 pav. Naudos funkcija Naudos funkcija turi būti žemiau liestinės. Liestinės lygtis: ; )(()(* µµµ −′+= wuuu )(()()( µµµ −′+≤ wuuwu . Parašytai nelygybei pritaikius Lagranžo teoremą gaunama antra sąlyga: . 0 0 )( ′ wu 0)( − ≤ = ., ;,0 dxkaidx dxkai Id Ši sutartis vadinama viršyto nuostolio draudimu. Ji būdinga turto draudimui. Draudžiama suma skaičiuojama taip: . ∫∫ −=−= x d x d dxxFdxxpdxG ))(1()()( 8 Visa tai apibendrina teorema: TEOREMA. Jei sprendimo priėmėjas (klientas): 1. turi sumos w turtą; 2. yra nelinkęs rizikuoti; 3. narsiai sutinka atsitiktinį nuostolį X; 4. išleis sumą G draudimui ( [ ] µ=≤− ≤ = ., ;,0 )( * * * dxkaidx dxkai XId čia yra lygties: *d ∫ =−− x d dxxpdxG 0)()( sprendinys. RIZIKOS MATEMATINIAI MODELIAI Išskiriamos dvi rizikos: • kolektyvinė; • individualioji. Individualios rizikos atveju susiduriama, kai kalbama apie atskiras sutartis, o su kolektyvine – kai nagrinėjamas visa sutarčių visuma, taip vadinamas portfelis. Rizika taip pat yra skirstoma pagal laikotarpį: • trumpalaikė – vienerių metų; • ilgalaikė – kelių metų. Kadangi rizika yra galimi nuostoliai – atsitiktiniai dydžiai – tai jų matematiniai modeliai aptariami žemiau. 1. Individualios rizikos trumpalaikis matematinis modelis. Šis modelis aprašomas nepriklausomų atsitiktinių dydžių suma: nXXXS +++= ...21 2. Trumpalaikis kolektyvinės rizikos matematinis modelis. Šis modelis aprašomas atsitiktinio skaičiaus atsitiktinių dydžių suma: NN XXXS +++= ...21 ; čia N – atsitiktinis dydis Paprastumo dėlei laikome, kad visi atsitiktiniai dydžiai yra nepriklausomi, o yra pasiskirstę vienodai. Šis modelis būdingas turto draudime. NXXX ,...,, 21 3. Ilgalaikis kolektyvinės rizikos matematinis modelis. 9 Modelis aprašomas atsitiktiniu procesu: )(21)( ... tNtN XXXS +++= ; N(t) – skaičių procesas N(t) 4 3 2 1 T1 T2 T3 T4 T5 t Intervalo ilgiai yra atsitiktiniai. Toliau plačiau nagrinėsime pirmuosius du modelius. INDIVIDUALIOS RIZIKOS MATEMATINIS MODELIS Problema yra įmokų nustatymas, tai yra nuostolių vidurkio skaičiavimas. Atsitiktinio dydžio antrasis centrinis momentas parodo kaip yra išsibarstęs dydis apie vidurkį, todėl skaičiuojant įmokas yra siūloma vertinti ir variacijos įtaką. Todėl kiekvienu atveju visų pirma yra skaičiuojami vidurkis ir variacija. Pirmas modelis yra išskiriamas gyvybės ir negyvybės draudimams. Tiek vieno, tiek kito draudimo atveju nelaimingi atsitikimai- mirtys yra atsitiktiniai įvykiai, o atlyginama žala gyvybės draudimo atveju, priešingai nei turto draudimo atveju, yra determinuotas dydis. Skaičiavimo supaprastinimui įvedamas indikatorius, vadinamas binominiu atsitiktiniu dydžiu. Jo skirstinys: iI = 0 1 P(I=i) p=1-q q q – tikimybės, kad įvyks nelaimingas atsitikimas 1. Gyvybės draudimo atveju nuostolis X išreiškiamas: ; bIX = b – determinuotas dydis. Skaičiuojamas nuostolių vidurkis: bqqqbIbEbIEXE =⋅+−⋅=== )1)1(0()()()( . Variacija: 10 ) ; ()()( 22 XEXEXVar −= ; qbXE 22 )( = . qpbqqbqbqbXVar 22222 )1()( =−=−= Pavyzdys. Draudimo kompanija per vienerius metus sudaro gyvybės draudimo sutartis dviem piniginiams vienetams: 1 ir 2. Mirties tikimybė – 0,02 ir 0,1. Sutarčių sudarytą 1800. Apskaičiuoti koks turi būti garantinis krūvis, kad kompanija padengtų nuostolius bent 85%. Laikysime, kad nuostoliai yra pasiskirstę pagal normalųjį skirstinį. Nagrinėsime normuotus atsitiktinius dydžius: 95.0 )( )( )( )( =⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ≤ − SVar SE SVar SESP θ . Iš lentelės 645.1 )( )( = SVar SEθ . Pirmiausia užpildoma lentelė: k kq kb kn kkk qb µ= kkkk Varpqb =2 1 0,02 1 500 0,02 0,0196 2 0,02 2 500 0,04 0,0784 3 0,10 1 300 0,10 0,0900 4 0,10 2 500 0,20 0,3660 . ∑∑ == =+++=== 4 1 1800 1 160500*20.0300*10.0500*04.0500*02.0)()( k kk j j nXESE µ Analogiškai skaičiuojama Var(S): 259)()( 1800 1 4 1 ∑ ∑ = = === j k kkj nVarXVarSVar . 645.1 259 160 = ⋅θ ; 17.0≈θ . Žymiai sudėtingiau vidurkį ir variaciją skaičiuoti negyvybės draudimo atveju, nes čia yra du atsitiktiniai dydžiai. 2. Turto draudimo atveju skaičiuodami taikysime sąlyginius vidurkius. BIX = ; ))(()( IBEEXE = . Pažymime: mIBE == )1( , tada mIIBE =)( , o mqmIEXE == )()( , vadinasi 11 . mqXE =)( Variacijai skaičiuoti naudojama formulė: ))(())(()()( IBVarEIBEVarBIVarxVar +== ; ; )()( 2 IVarmmIVar = qpqqIEIEIVar =−=−= 222 )()()( ; . qpmmIVar 2)( = Pažymime: 2)1( δ==IBVar , tai IIBVar 2)( δ= , o qIEIEIBVarE 222 )()())(( δδδ === , todėl . qqpmBIVarXVar 22)()( δ+== NEPRIKLAUSOMŲ ATSITIKTINIŲ DYDŽIŲ SUMOS SKIRSTINIAI Žinome, kad nepriklausomų atsitiktinių dydžių sumos tankio funkcija skaičiuojama taikant sąsūkos formulę. Diskrečiųjų dydžių sąsūkos formulė: ∑ ≤ =−=== Sy yYPysXPsSP )()()( ; – pasiskirstymo funkcija. ∑ ≤ =−= Sy XS yYPysFsF )()()( Tolydžiųjų dydžių: – tankio funkcija; ∫ −= s xXS dyypyspsp 0 )()()( – pasiskirstymo funkcija. ∫ −= s YXS dyypysFsF 0 )()()( Didėjant nepriklausomų atsitiktinių dydžių skaičiui, jų sumos skirstinys normalizuojasi. Didesniam dėmenų skaičiui taikoma centrinė ribinė teorema. Jei atsitiktiniai dydžiai X1, X2,..., Xn yra pasiskirstę vienodai ir yra nepriklausomi, tai yra jų vidurkiai ir dispersijos lygios, tai: )(...lim 21 xx n nmXXXP n n Φ=⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ === −+ −+ 1;10;0;)()( 1 1 Momentus generuojanti funkcija: rt r n ntn rn r N qe pqeCptM )1( )()( 0 1 − == ∑ ∞ = −+ . Puasono skirstinio atveju: λ== )()( NVarNE . Neigiamo binominio skirstinio atveju vidurkio ir variacijos skaičiavimas pateiktas žemiau. Skaičiuojama naudojant momentus generuojančią funkciją. 0 )1( )( = ′ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = t rt r qe pNE ; ; )1()1())1(( +−− −=′− rtrtrtr qeprqeqep p rqprqpqrqpNE rrrr ==−= +−+− )1()1()1()( ; 0 2 )1( )( = ″ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = t rt r qe pNE ; ))1)(1(1()1())1(( 11)1( ttrttrrtrt qeqerqeerqpqeprqe −+−+− −++−=′− pertvarkius, gauname: ( )rq p rqNE += 1)( 2 2 ; 2 22 )()()( p rqNENENVar =−= . Atsitiktinio skaičiaus atsitiktinių dydžių sumos skirstinys: ∑ ∞ = =⋅h 2. Nykstantis: Skaičiuojama tikimybė: )1)()(( =−+ tNdttNP , kuri reiškia, kad labai trumpu laiko tarpu išmokama viena išmoka. Ši tikimybė proporcinga dt ir priklauso nuo t, tai yra , ),( dttt + )(sN ts ≤∀ . Šiuo atveju: 01)()(lim 0 =⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ > ∆ −∆+ →∆ t tNttNP t 3. Diskretusis atvejis nagrinėja atsitiktinių dydžių skirstinius arba . ,..., 21 ww ,..., 21 TT Šiems metodams aprašysime Puasono procesą: 1. ! )()),()()(( k hetssNktNhtNP kh λλ− =≤∀=−+ ; 2. dttssNtNdttNP λ=≤∀=−+ )),(1)()(( ; 3. Jei atsitiktiniai dydžiai pasiskirstę pagal eksponentinį dėsnį, tada skaičių procesas pasiskirstęs pagal Puasono skirstinį: ,..., 21 ww h ii etssNtThwP λ− + =≤∀=> )),(;( 1 . Grafiškai tai pavaizduota ketvirtame paveiksle. 4 3 2 1 SN(t) X3 X2 X1 T1 T2 T3 T4 t T1 T2 T3 T4 t 24 4 pav. Sudėtinis procesas Analiziškai: ∑ ∞ = − =α . α 1)( =XE ; t tM X − = α α)( ; α θ α α r r )1(1 ++= − ; padauginame iš αα )( r− , gauname: ; atskliaudus gauname r atžvilgiu kvadratinę lygtį, kur r yra: ))(()(2 rrrr −++−= αθααα θ θα + == 1 ;0 rr , taigi θ θα + = 1 R . Jei momentus generuojanti funkcija yra: * )(1 )( r X S tqM ptM N ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = , tai tikslaus sprendinio negautume. Grįžtame prie pradinės lygties: ; 1)( =− rMe NS cr ; cr S erM N =)( . crrM NS =)(ln Žinome, kad momentus generuojanti funkcija: ... !3!2 1)( 3 3 2 21 ++++= tmtmtmtM X , o ... !2 )(ln 22 1 ++= ttmtM X δ 26 ... !2 )()()(ln 2 ++= tSVartSEtM N NX crrSVarrSE N N ≈+ !2 )()( 2 , padaliname ir r: crSVarSE N N ≈+ !2 )()( . Žinome, kad ; )()()( NEXESE N = )()()()()( 2 NVarXEXVarNESVar N += ; p qrNE * )( = ir 2 * )( p qrNVar = . Gauname: 1 * )( m p qrSE N = ; o )()( 2 12 * 2 12 * mm p qrm p qrSVar N −+= . 1 * )1( m p qrc θ+= Įstatę gauname: 1 * 2 12 * 2 12 * 1 * )1())(( !2 m p qrmm p qrm p qrrm p qr θ+≈−++ ; 1 2 12 2 1 1 )1())(( !2 mmm p mrm θ+≈−++ ; p mmm mmr 2 12 12 11)1(!2 +− −+ ⋅≈ θ ; p mmm mr 2 12 12 12 +− ≈ θ ; p mmm mR 2 12 12 12~ +− ≈ θ ; 1 1 2 2~ m p q m mR + ≈ θ . Tai nėra tikslus įvertis, tuo galima įsitikinti paėmus sudėtinį Puasono skirstinį. 1)( mSE N λ= ir 2)( mSVar N λ= , įstatome: 1 2 1 )1( 2 mmm λθλλ +=+ ; 1 2 2 mrm θ= ; 2 12 m mr θ = ; 27 2 12~ m mR θ = . Eksponentinio skirstinio atveju: α 1 1 =m ; 22 2 α =m , tada . αθ=R~ Tiksliau galima gauti skaičiuojant iteraciniu metodu. Toliau nagrinėsime diskretųjį atvejį. NN wwwS +++= ...21 ; wi – išmokų skaičius per i-tajį periodą. Tada galioja centrinė ribinė teorema. Šiuo atveju skirstinys yra normalusis ir: 2 22 )( δttm S etM N + = ; Kadangi , tai crrM SN =)( mrrrm )1( 2 22 θδ +=+ , padaliname iš r: mrm )1( 2 2 θδ +=+ ; θδ mr = 2 2 ; 2 2 δ θmR = . Kaip kinta R priklausomai nuo θ , buvo gauta: ; rer =++ )1(1 θ ))1(1ln( rr θ++= ; ))1(1ln( 1−++= nn rr θ ; ε

Daugiau informacijos...

★ Klientai rekomenduoja

Šį rašto darbą rekomenduoja mūsų klientai. Ką tai reiškia?

Mūsų svetainėje pateikiama dešimtys tūkstančių skirtingų rašto darbų, kuriuos įkėlė daugybė moksleivių ir studentų su skirtingais gabumais. Būtent šis rašto darbas yra patikrintas specialistų ir rekomenduojamas kitų klientų, kurie po atsisiuntimo įvertino šį mokslo darbą teigiamai. Todėl galite būti tikri, kad šis pasirinkimas geriausias!