Interpoliavimo principai

 • Interpoliavimas • Principai • Interpoliavimas - tai nežinomų reikšmių nustatymas • pagal žinomas kaimynines reikšmes • x • z • z3 • z2 • z1 • ?z’0 • ?z0 • x0 • x1 • x’0 • x3 • x2 • Logiška manyti, kadangi taškas x’0 yra atstumo tarp x2 ir x3 • viduryje, tai ir jo z’0 reikšmė bus ½(z2+z3), o z0 bus artimesnė • z1 nei z2, kadangi x0 arčiau x1 nei x2. • Lotyniškai inter reiškia tarp, tarpe, o polire – suderinti • Interpoliavimas • Principai • Pasirinkta interpoliavimo schema gali nulemti rezultatą, • interpoliavimo schema priklauso nuo žinių ir prielaidų, daromų apie • nagrinėjamo reiškinio erdvines savybes • Įvairių interpoliavimo schemų įtaka gaunamiems rezultatams • Interpoliavimas • Principai • Bendriausiu atveju taško reikšmės interpoliavimo formulė yra: • čia: z - bet kuriame taške su koordinatėmis x0 ir y0 apskaičiuoto • taško reikšmė; • wi - duomenų taško reikšmės svertas; • zi – reikšmė duomenų taške i, kurio koordinatės xi ir yi. • n – interpoliavimo procese naudojamų duomenų taškų • skaičius, n=1, 2, …n. • Interpoliavimas • Principai • INTERPOLIAVIMO SCHEMOS: • Deterministinės: • Polinomai • SPLINE • Atstumo • Statistinės: • KRIGING • Pagal paieškos tipą: • Kintamo analizės lango dydžio, bet pastovaus pradinių • duomenų skaičiaus; • Pastovaus analizės lango dydžio, bet kintančio pradinių • duomenų skaičiaus. • z0 • z’0 • t1 • x0 • x’0 • y0 • y’0 • X • Y • Dviejų pakopų interpoliavimas pagal netaisyklingai • išdėstytus duomenų taškus • Interpoliavimas • Principai • Globalios ir lokalios interpoliavimo schemos • Interpoliavimas • Interpoliavimo algoritmai • TYSENO POLIGONAI • Nesant kitos informacijos geriausia taškui suteikti reikšmę, • matavimais nustatytą arčiausiai • dmin yra minimalus atstumas tarp bet kokio taško (x0,y0) ir duomenų taškų • Interpoliavimas • Interpoliavimo algoritmai • POLINOMINĖ INTERPOLIACIJA: • Pagrindinė polinominės interpoliacijos formulė: • ci yra polinomo koeficientai, o v – polinomo laipsnis. • Pirmo laipsnio polinomo išraiška: • • Jei operuojame duomenimis, turinčiais x ir y koordinates, bendroji • formulė įgauna pavidalą: •  •  •  •  •  •  • v • i • j • i • j • ij • y • x • c • x • f • 0 • 0 • ) • ( •  • o atitinkamai pirmo ir antro laipsnio polinomų • Interpoliavimas • Interpoliavimo algoritmai • POLINOMINĖ INTERPOLIACIJA: • a) Įvairaus laipsnio polinomai; b) Dvimačiai (x,y) • pirmo ir trečio laipsnio polinomai • Interpoliavimas • Interpoliavimo algoritmai • INTERPOLAVIMAS ATSKIROSE ZONOSE • x1 • x5 • x6 • x7 • x8 • x9 • x2 • x3 • x4 • f’(x) • Interpoliavimas • Interpoliavimo algoritmai • TIESINĖ INTERPOLIACIJA • xL • xL+1 • f’(x) • f(L) • f(L+1) • Tiesinė interpoliacija – tai zoninė pirmo laipsnio polinomo • interpoliacija, kur jungtys tarp gretimų zonų sutampa su • duomenų taško padėtimi • Interpoliavimo formulė zonoje [xL;xL+1] yra: • Interpoliavimas • Interpoliavimo algoritmai • KUBINĖ (3-ČIO LAIPSNIO POLINOMO) • INTERPOLIACIJA • x1 • x3 • x2 • x4 • x5 • x6 • 1 • 2 • 1 • 3 • 2 • 3 • Siekiant išvengti staigių šuolių tarp zonų, interpoliavimo rezultatui • formuoti galime tenaudoti tik centrines kreivių dalis arba apskaičiuoti • persidengiančių kreivių vidurkius • Interpoliavimas • Interpoliavimo algoritmai • KUBINĖ (3-ČIO LAIPSNIO POLINOMO) • INTERPOLIACIJA • Interpoliavimas • Interpoliavimo algoritmai • SLENKANTIS VIDURKIS • d • Apskaičiuojamas vidurkis pagal m duomenų taškų, kurie atribojami • apskritimo su spinduliu d. Ši reikšmė suteikiama apskritimo centro • taškui. Po apskritimas pastumiamas atstumu x, surandamas vidurkis • pagal jau kitus taškus ir t.t. • Interpoliavimas • Interpoliavimo algoritmai • SLENKANTIS SVERTINIS VIDURKIS, • ATVIRKŠČIAI PROPORCINGO ATSTUMO • SCHEMOS • Interpoliavime svarbesni tie duomenų taškai, kurie yra arčiau • vertinamo taško • čia: m- duomenų taškų skaičius analizuojamame lange • Dažniausia naudojamos svertų funkcijos: • Svarbu parinkti tokią svertų funkciją, kad wk taptų lygus 0, kai pasiekiamos • analizės lango ribos (d0): • d • d0 • w • a • b • c • Pagrindiniai slenkančio vidurkio shemų minusai palyginus su anksčiau nagrinėtomis schemomis šie: ▪ Analizės lange nėra leidžiami nuolydžio pokyčiai, ▪ priešingai nei 3-čio laipsnio polinomo schemose; ▪ Turi būti pasirenkamas analizės lango dydis. Per ▪ mažas lango dydis gali įtakoti, kad liks plotų, kuriems ▪ reikšmės interpoliuotos nebus, per didelis sumažina ▪ atvirkščiai proporcingą taško svertui atstumo įtaką; ▪ Svertų funkcijų pasirinkimas sunkiai reglamentuojamas. • • Interpoliavimas • Interpoliavimo algoritmai • SLENKANTIS SVERTINIS VIDURKIS, • ATVIRKŠČIAI PROPORCINGO ATSTUMO • SCHEMOS • Interpoliavimas • Interpoliavimo algoritmai • STATISTINIAI INTERPOLIAVIMO METODAI • Deterministinės interpoliavimo schemos turi šiuos trūkumus: ▪ Nėra atsižvelgiama į duomenų erdvinės koreliacijos ▪ ypatybes. Į atstumą žvelgiama ne iš statistinių pozicijų, ▪ jis traktuojamas kaip geometrinis atstumas. ▪ Deterministiniai metodai neleidžia įvertinti ▪ interpoliavimo patikimumo. • Statistiniai interpoliavimo metodai pirmiausia pradėti • taikyti geologijoje bei kalnakasyboje, tačiau teorinį • pagrindą – pusvariacijos ir koreliogramų analizę – • pasiūlė miškininkystės srityje dirbę mokslininkai – • A. Langsaeter (1926) ir B. Matern (1947). • STATISTINIAI INTERPOLIAVIMO METODAI • Pagrindinis autokoreliacijos matas geostatistikoje yra Morano I • statistika: • Pagrindinis interpoliavimo principas yra prielaida, • kad rodiklių reikšmės artimesnės esant mažesniems • atstumui tarp jų padėties (Pirmas Toblerio geografijos dėsnis) • Erdvinė koreliacija • čia wij - erdvinių svertų matrica, charakterizuojanti objekto aplinką. • Kaip ir įprastinis koreliacijos koeficientas, I=1 reiškia maksimalią • teigiamą koreliaciją, I=-1 – maksimalią neigiamą koreliaciją ir • I=0 – koreliacijos nebūvimą. • STATISTINIAI INTERPOLIAVIMO METODAI • Morano I statistika gali būti apskaičiuojama visiems galimiems • atstumams (paprastai atstumų intervalams) tarp konkretaus • nagrinėjamo objekto taškų reikšmių. • Koreliograma parodo ar koreliacijos koeficientas priklauso nuo • atstumo tarp taškų. Jei TAIP, tai yra prasmės bandyti interpoliuoti • paviršių naudojant statistinius metodus • Interpoliavimas • Interpoliavimo algoritmai • STATISTINIAI INTERPOLIAVIMO METODAI • Kitas erdvinės autokoreliacijos įvertinimo būdas - taip vadinamas • pusvariacijos (semi-variance) metodas. Pusvariacija yra objektų • (taškai, gręžiniai bandiniams paimti ir pan.) erdvinės tarpusavio • priklausomybės matas, išreiškiamas: • čia: m – taškų porų skaičius atstume h; • Z(xi) – rodiklio reikšmė taške i; • Z(xi+h) – rodiklio reikšmė atstumu h nuo i. • • Interpoliavimas • Interpoliavimo algoritmai • STATISTINIAI INTERPOLIAVIMO METODAI • Slenkstis yra ta pusvariacijos reikšmė, kurią pasiekus • pusvariograma nebekyla, o slenksčio nuotoliu čia suprantmas • tas atstumas tarp taškų, kuriam esant pasiekiamas slenkstis. • Rodiklių reikšmės nebekoreliuoja, kai atstumai tarp taškų • didesni už slenksčio nuotolį. • h • h0 • haa • hab • c1a • c0a • c1b • b • a • Hipotetinės pusvariogramos: a – smėlio procentas dirvoje, b – • gruntinio vandens gylis. ha - slenksčio nuotolis, c1 – slenkstis, • c0 – atsitiktinė pusvariacija • Interpoliavimas • Interpoliavimo algoritmai • STATISTINIAI INTERPOLIAVIMO METODAI • Slenksčio nuotolio reikšmė svarbi projektuojant atrankos schemą • detalioms reiškinio studijoms. Duomenų taškai turi būti išdėstomi • ne toliau kaip 2/3 ha vienas nuo kito. Jei naudojame slenkančio • vidurkio ar panašias interpoliavimo schemas, slenksčio nuotolis • gali būti naudojamas nustatyti analizės lango dydžiui. Slenkstis, • arba slenksčio reikšmė gali būti suprantama kaip duomenų • rinkinio stochastinės dispersijos dydis. Ji lygi erdvinė pusvariacija • (c1-c0 intervalas) plius c0 (atsitiktinė pusvariacija, jei tokia • egzistuoja). • Kai kuriais atvejais pusvariogramose negalima • išskirti slenksčio • Interpoliavimas • Interpoliavimo algoritmai • STATISTINIAI INTERPOLIAVIMO METODAI • Pusvariacija gali būti nelygi 0 esant h=0, t.y. gali egzistuoti tam • tikra atsitiktinė pusvariacija. To priežastis: ▪ Visuose reiškinio matavimuose sutinkamas tam ▪ tikras “triukšmo” komponentas. • Sakykime, jei matuojame iškritusių kritulių kiekį, tai net • pakankamai arti esančiuose davikliuose gali būti užfiksuojami • skirtumai, įtakoti vėjo turbulencijos debesyse ir kelyje link žemės • paviršiaus. Dirvos drėgnumas gali įvairuoti ir dėl skirtingo • biologinio poveikio (daugiau sliekų urvų, šaknų ir pan.). ▪ Įvairios matavimų paklaidos. ▪ Laiko įtaka. • Dažnai rodiklis gali natūraliai kisti ir gali būti neįmanoma visus • matavimus atlikti vienu momentu. • Praktiškai yra labai sunku užfiksuoti atsitiktinę pusvariaciją. • Tam turi būti parenkami duomenų taškai, išdėstyti labai arti • vienas nuo kito. • Interpoliavimas • Interpoliavimo algoritmai • STATISTINIAI INTERPOLIAVIMO METODAI • Kai kuriais atvejais nėra nagrinėjamo reiškinio • reikšmių erdvinės priklausomybės, c1-c0=0. • Tai rodo, kad negalima naudoti statistinius reiškinio • interpoliavimo metodus • Reiškinio anizotropija • Interpoliavimas • Interpoliavimo algoritmai • STATISTINIAI INTERPOLIAVIMO METODAI ▪ KRIGING interpoliavimas • Metodą sukūrė Pietų Afrikos kalnakasybos inžinierius • D.G. Krige. (Beje, tai buvo jo magistro darbas!!!). Kriging • algoritmas minimizuoja interpoliavimo klaidų dispersiją, • interpoliuotų reikšmių sisteminę paklaidą stengiasi gauti lygią 0 • ir svertų skaičiavime naudoja paprasčiausią tiesės funkciją. ▪ Jis grindžiamas svertinio slenkančio vidurkio funkcija • Interpoliavimas • Interpoliavimo algoritmai • STATISTINIAI INTERPOLIAVIMO METODAI ▪ Pagrindinis Kriging skiriamasis bruožas nuo ▪ deterministinių interpoliavimo schemų tas, ▪ kad svertai nustatomi iš sumodeliuotos ▪ pusvariogramos • Pusvariacijai modeliuoti naudojamos įvairios funkcijos – sferos, • eksponentinė, tiesės, Gauss ir kt. Dažniausia rekomenduojama sferos • lygtis • kai 0

Daugiau informacijos...

★ Klientai rekomenduoja

Šį rašto darbą rekomenduoja mūsų klientai. Ką tai reiškia?

Mūsų svetainėje pateikiama dešimtys tūkstančių skirtingų rašto darbų, kuriuos įkėlė daugybė moksleivių ir studentų su skirtingais gabumais. Būtent šis rašto darbas yra patikrintas specialistų ir rekomenduojamas kitų klientų, kurie po atsisiuntimo įvertino šį mokslo darbą teigiamai. Todėl galite būti tikri, kad šis pasirinkimas geriausias!