Elektrostatikos teorija egzaminui

23. Elektrostatinis laukas aplinkoje su dielektrikais. Dielektrikų poliarizacija ir jos molekulinis aiškinimas Dielektrikuose nėra laisvųjų krūvininkų, galinčių veikiant laukui judėti makroskopiniais atstumais. Dielektriką sudarančios molekulės yra neutralios, tačiau sudarytos iš elektringųjų dalelių - protonų ir elektronų, įeinančių į atomų struktūras. Dielektrike sudarius elektrinį lauką atsiranda jėgų, veikiančių teigiamuosius krūvius lauko kryptimi, o neigiamuosius - prieš lauko kryptį. Šioms jėgoms veikiant molekulės šiek tiek pakinta, nes į jų sudėtį įeinančios elektringosios dalelės truputį paslenka, dėl to molekulių teigiamų ir neigiamų krūvių centrai nebesutampa. Sakoma, kad molekulės tampa dipoliais. Paprasčiausias yra taškinis dipolis, kurį sudaro du lygių modulių, bet priešingų ženklų taškiniai krūviai +q ir -q, atstumas tarp kurių yra l (30 pav.). l vadinamas dipolio petimi. Pagrindinė dipolio charakteristika yra jo elektrinis dipolinis momentas pql. Jo SI vienetas yra 1 C1m1 Cm. Sutarta atstumą tarp krūvių l laikyti vektoriumi, kurio kryptis yra nuo neigiamo krūvio į teigiamą (30 pav.). Tada elektrinio dipolinio momento vektorius (1.79) Išoriniame vienalyčiame elektriniame lauke esantį dipolį veikia jėgų pora, kurios momento modulis o vektorius (1.80) Čia  - kampas tarp vektorių ir (31 pav.). Momentui veikiant dipolis stengiasi pasisukti taip, kad jo dipolinis momentas būtų lygiagretus su išorinio lauko stiprio vektoriumi . Yra dviejų rūšių dielektrikai. Vienų dielektrikų molekulės nėra dipoliai kol nėra išorinio elektrinio lauko (tai nepoliniai dielektrikai), o kitų dielektrikų molekulės esti dipoliai ir be išorinio lauko (tai poliniai dielektrikai). Nepoliniam dielektrikui patekus į elektrinį lauką, molekulės tampa dipoliais, kurių dipoliniai momentai orientuoti lauko kryptimi (32 pav., a). Esant poliniam dielektrikui laukas stengiasi orientuoti jo molekulių dipolinius momentus lygiagrečiai su lauku. Tam trukdo šiluminis judėjimas, todėl pasiekiama tik dalinė (paprastai visai nedidelė) orientacija (32 pav., b, kuriame dėl vaizdumo orientacijos laipsnis labai padidintas). Ir vienu, ir kitu atvejais teigiamieji krūviai šiek tiek paslenka lauko kryptimi, o neigiamieji – prieš lauką. Šis vyksmas vadinamas dielektrikų poliarizacija. 24. Elektrinio dipolio kuriamas laukas Ankstesniame paragrafe nagrinėjome, kaip elektrinį dipolį veikia išorinis elektrinis laukas. Tačiau ir pats dipolis kuria savo elektrinį lauką. Jį skaičiuosime pasinaudodami sąryšiu tarp elektrinio lauko stiprio ir potencialo gradiento (1.48). Plokščiojoje stačiakampėje koordinačių sistemoje dipolio neigiamąjį krūvį sutapdinkime su koordinačių sistemos pradžia, o teigiamasis krūvis tegu bus x ašyje, l atstumu nuo koordinačių sistemos pradžios (33 pav.). Dipolio lauką skaičiuosime laisvai pasirinktame taške A(x,y), esančiame toli nuo dipolio, t. y., kai atstumai nuo taško A iki krūvių q ir +q r ir r+ daug didesni už dipolio ilgį l: r+>>l, r>>l. (1.81) (1.81) matematiškai išreiškia dipolinį artutinumą. (Braižant 33 pav. dipolinio artutinumo nesilaikyta.) Taško A potencialas (1.82) Galiojant dipoliniam artutinumui (1.81), rr+lcos, r+rr2, o r – atstumas tarp taško A ir bet kurio dipolio taško, pavyzdžiui, krūvio q. Tuo atveju Taigi (1.83) (1.84) Nustatę lygiagrečiąją su dipoliu lauko stiprio dedamąją Ex ir statmenąją Ey, galime lengvai apskaičiuoti dipolio kuriamo lauko stiprio modulį: Atlikę pošaknyje matematinius veiksmus gauname: (1.85) Atkreipkime dėmesį, kad dipolio kuriamo lauko stipris atvirkščiai proporcingas atstumo kubui. 25. Poliarizuotumas. Poliarizacijos įtaka elektriniam laukui. Susietieji krūviai Dielektriko poliarizacijos laipsnį apibūdina poliarizuotumas, kuris apibrėžiamas kaip dielektriko tūrio vieneto dipolinis momentas. Poliarizuotame dielektrike išskirkime bet kokį tūrį V. To tūrio dipolinį momentą sudaro visų jame telpančių molekulių dipolinių momentų vektorinė suma. Poliarizuotumo vektorius (1.86) Poliarizuotumo SI vienetas yra 1 Cm/1 m31 C/m2 ir sutampa su paviršinio krūvio tanki  SI vienetu. Akivaizdu, kad jei molekulių skaičiaus tankį pažymėsime n, poliarizuotumą galėsime ir taip išreikšti: (1.87) Nepolinio dielektriko atveju čia yra kiekvienos molekulės įgytas dipolinis momentas, o polinio dielektriko atveju – tokios pat absoliutinės vertės, bet skirtingų krypčių erdvėje dipolinių momentų vidutinis dipolinis momentas. Kaip matyti iš 32 pav., dielektrikui poliarizuojantis atsiranda paviršiniai krūviai, kurie vadinami susietaisiais krūviais. (Susietieji krūviai kartais vadinami poliarizaciniais krūviais). Jų paviršinį tankį žymėsime s. O tūryje esant vienalyčiams dielektrikams krūvių nesusidaro, nes dipoliai vienas į kitą atsukti priešingų ženklų krūviais. Nevienalyčiuose dielektrikuose be paviršinių susidaro ir tūriniai susietieji krūviai. Susietieji paviršiniai krūviai sukuria savo elektrinį lauką , nukreiptą prieš išorinį lauką (34 pav.). Dėl to laukas dielektrike susilpnėja, nes , o modulis EdEEs. Nustatysime sąryšį tarp susietųjų krūvių paviršinio tankio s ir poliarizuotumo P. Tarkime, kad dielektrikas yra pasvirosios prizmės formos, o išorinis elektrinis laukas E nukreiptas lygiagrečiai su jos viršutiniu ir apatiniu pagrindais (35 pav.). Viso dielektriko dipolinis momentas psSL, prizmės tūris VShSLcos, o poliarizuotumas Iš čia nustatome, kad (1.88) Taigi, susietųjų krūvių paviršinis tankis lygus poliarizuotumo vektoriaus statmenajai paviršiui dedamajai. Kai elektrinis laukas esti statmenas dielektriko paviršiui, (t. y. 0), tada sP. Nevienalyčiuose dielektrikuose be paviršinių susietųjų krūvių atsiranda dar ir tūriniai susietieji krūviai. Jų tūrinį tankį pažymėkime t. Tegu stačiakampėje koordinačių sistemoje (36 pav.) poliarizuotumo vektoriaus dedamosios yra Px, Py, Pz. Panagrinėkime dielektriko tūrio elementą dVdxdydz. Nepoliarizuotame dielektrike tas tūris buvo neutralus, nes jame nebuvo dipolių (nepoliniame dielektrike) arba tie dipoliai buvo netvarkingai orientuoti. Dielektrikui poliarizuojantis dalis krūvio išeis (arba įeis) per tūrio elemento sieneles. Paprastumo dėlei tarkime, kad juda tik teigiamieji krūviai. Apskaičiuosime,koks krūvis įeis per abi statmenas x ašiai sieneles. Per kairiąją sienelę, kurios plotas dydz, įėjęs krūvis lygus qnlxdydzPx(x)dydz, o per dešiniąją sienelę išėjęs krūvis lygus atitinkamai Px(x+dx)dydz. Tačiau Matome, kad per abi statmenas x ašiai sieneles išėjęs teigiamasis krūvis yra (1.89) Panašiai apskaičiuotume ir per kitas y ir z ašims statmenas sienelių poras išėjusį krūvį. Per visas sieneles išėjęs teigiamasis krūvis lygus (1.90) Išėjus teigiamam krūviui tūrio elemente dV atsirado neigiamas krūvis tdV. Sulyginę jį su (1.90), galutinai nustatome, kad (1.91) 26. Elektrinis jautris. Dielektrinė skvarba Dielektrikai poliarizuojasi veikiant elektriniam laukui. Todėl natūralu manyti (tą patvirtina ir eksperimentai), kad poliarizuotumas yra proporcingas elektrinio lauko dielektrike stipriui: P~Ed. Proporcingumo faktorius  vadinamas elektriniu jautriu. Tam, kad  dimensija būtų lygi vienetui, sąryšis tarp P ir Ed užrašomas taip: (1.92) Dielektrinėms savybėms apibūdinti dažniau naudojamas ir kitas faktorius, vadinamas dielektrine skvarba. Panagrinėkime, kokį poveikį kondensatoriaus talpai daro dielektrikas. Jei plokščiojo kondensatoriaus krūvis q, o tarp plokštelių yra vakuumas (37 pav. a), jo talpa pagal (1.59) (1.93) Esant tarp plokštelių dielektrikui (37 pav., b), talpa (1.94) Akivaizdu, kad C > C0, nes Ed 2, pirmasis dielektrikas, siekdamas užimti kuo didesnį tūrį, spaus antrąjį tam tikra jėga F. Norėdami apskaičiuoti tą jėgą, tarkime, kad jai veikiant dielektrikų skiriamasis paviršius paslinko mažu nuotoliu dx. Šio proceso metu jėgos F atliktas darbas turi būti lygus kondensatoriaus energijos pokyčiui su minuso ženklu: Pradinė kondensatoriaus energija Čia S – kondensatoriaus plokštelės plotas, o slinktis D, kaip matyti iš (1.131), lygi laisvųjų krūvių paviršiniam tankiui ir yra ta pati abiejuose dielektrikuose, nes q nekinta. Energija paslinkus dielektrikų skiriamajam paviršiui Energijos pokytis o jėga Matome, kad ši jėga proporcinga dielektrikus skiriančiųjų paviršių plotui ir nukreipta į mažesnės dielektrinės skvarbos dielektriką. Ji gniuždo mažesnės dielektrinės skvarbos dielektriką ir tempia didesnės dielektrinės skvarbos dielektriką. Šiai jėgai veikiant dielektrikai deformuojasi, o ta deformacija vadinama elektrostrikcija. Tos jėgos sąlygojamas mechaninis įtempimas (1.132) Kaip matyti iš (1.132), mechaninis įtempimas lygus elektrostatinės energijos tūrinių tankių besiliečiančiuose dielektrikuose skirtumui. Tokias pat jėgos bei įtempimo išraiškas gautume, jei išnagrinėtume atvejį, kai dielektrikų skiriamasis paviršius statmenas kondensatoriaus plokštelėms. Taigi kokios formos bebūtų dielektrikas, veikiant elektriniam laukui, jis bus visomis kryptimis gniuždomas, jei bus apsuptas didesnės dielektrinės skvarbos dielektriko ir tempiamas, jei apsuptas mažesnės skvarbos dielektriko. Atkreipsime dėmesį, kad dielektriką veikianti paviršinė jėga proporcinga D2, o tuo pačiu ir elektrinio lauko stiprio kvadratui, nes DEd. Taigi šios jėgos kryptis nepakinta pakitus elektrinio lauko krypčiai. Ta pati jos kryptis išlieka ir kintamame elektriniame lauke. 2 skyrius DIELEKTRIKAI 1. Vietinis (lokalinis) laukas ir jo skirtingumas nuo išorinio lauko Išoriniame elektriniame lauke atsidūręs dielektrikas poliarizuojasi ir pats tampa elektrinio lauko šaltiniu. Todėl lauko stipris dielektrike Ed skiriasi nuo išorinio lauko stiprio E. Išskirkime dielektrike vieną jo molekulę ir panagrinėkime, kokiai jėgai veikiant ji įgyja dipolinį momentą. Nepolinio dielektriko molekulė, kai jos neveikia joks elektrinis laukas, yra neutrali, nors joje yra teigiamųjų (atomų branduoliai) ir neigiamųjų (aplink branduolius skriejantys elektronai) krūvių. Tų krūvių išsidėstymo pobūdis priklauso nuo molekulę sudarančių atomų išsidėstymo ir kiekvienai medžiagai gali būti skirtingas. Nenagrinėdami konkrečių molekulių, čia priimsime paprasčiausią molekulės modelį: tarsime, kad molekulė susideda iš dviejų vienodų rutulių, kuriuose teigiamieji ir neigiamieji krūviai yra vienodai pasiskirstę visame jų tūryje. Tų krūvių tūrinius tankius pažymėkime + ir . Nesant išorinio lauko, tų rutulių centrai sutampa, molekulė yra neutrali ir jokio lauko nesukuria (48 pav., a). Patekus molekulei į išorinį elektrinį lauką, jo veikiami tie molekulę sudarantys rutuliai paslenka (48 pav., b), molekulė įgyja dipolinį momentą ir pati kuria tam tikrą lauką Em. Paslinkti krūvius verčianti jėga proporcinga lauko, kuris lygus lauko stiprio dielektrike Ed ir molekulės kuriamo lauko Em, skirtumui. (Prisiminkime, kad skaičiuojant jėgą būtina atimti tų krūvių, kuriuos veikiančią jėgą skaičiuojame, kuriamą lauką). Tas laukas vadinamas vietiniu (lokaliniu) lauku. Vietinio lauko stiprį pažymėję E, užrašysime: (2.1) Apskaičiuosime molekulės kuriamą lauką Em. Tam tikslui iš pradžių apskaičiuosime tolydžiai įelektrinto rutulio, kurio tūrinis krūvio tankis , sukurtą lauką rutulio viduje, r atstumu nuo jo centro. Pagal Gauso dėsnį r spindulio sferiniam paviršiui (48 pav., c): Pritaikome tai poliarizuotai molekulei. Pasirinkę joje bet kokį tašką A, apskaičiuojame tame taške teigiamai ir neigiamai įelektrintų rutulių kuriamų laukų stiprius, kurių vektorinė suma lygi Em: Čia l – atstumas tarp neigiamo ir teigiamo rutulių centrų O ir O+ (dipolio petys). Šią Em išraišką galime pertvarkyti taip, kad į ją įeitų poliarizuotumas P. Pagal (1.79) molekulės dipolinis momentas o poliarizuotumas pagal (1.86) Taigi molekulės kuriamas laukas (2.2) o vietinis laukas (2.3) Kaip matyti iš (2.2), vietinis laukas E yra stipresnis už lauką dielektrike Ed. 2. Nepoliniai dielektrikai Pirmuoju artutinumu galima manyti, kad molekulės įgyjamas dipolinis momentas proporcingas molekulę veikiančiam vietiniam laukui E: (2.4) Proporcingumo koeficientas  vadinamas molekuliniu elektriniu jautriu. Jo SI vienetą galime nustatyti iš (2.4) išreiškę  ir įrašę kitų dydžių vienetus: Dėl labai stiprių savųjų vidinių elektrinių laukų molekulėje molekulinis elektrinis jautris nelabai priklauso nuo temperatūros ir medžiagos tankio. Pagal (1.87) poliarizuotumas Įrašykime čia Ed, išreiškę jį iš (1.102): Pastaroji lygybė, ją pertvarkius, gali būti užrašyta taip: (2.5) (2.5) sąryšis vadinamas Klauzijaus ir Mosočio (R. E. Clausius, O. F. Mosotti) lygtimi. Ją patvirtina ir eksperimentai. Be to, ji rodo, kad nepolinių dielektrikų dielektrinė skvarba  nepriklauso nuo temperatūros, jei neatsižvelgiama į gana silpną n ir  priklausomybę nuo temperatūros. Tą irgi patvirtina eksperimentai. 3. Poliniai dielektrikai ir jų elektrinio jautrio priklausomybė nuo temperatūros Polinių dielektrikų molekulės turi dipolinius momentus ir nesant išorinio elektrinio lauko. Jei laukas yra, jis stengiasi orientuoti molekules taip, kad jų dipoliniai momentai būtų nukreipti lauko kryptimi, nes tada energija esti mažiausia (žr. (1.124)). Tam trukdo šiluminis judėjimas. Tarp šių dviejų procesų nusistovi tam tikra pusiausvyra. Tegu molekulių skaičiaus tankis yra n. Tada pagal Bolcmano pasiskirstymą skaičius tūrio vienete molekulių, sudarančių kampą  su lauko kryptimi, ir esančių erdviniame kampe d, atitinkančiame kampą d (49 pav.) Pagal erdvinio kampo apibrėžtį (49 pav. plotas dS užbrūkšniuotas). Čia A2A0 – naujas proporcingumo daugiklis. Šių dipolių sukuriamas poliarizuotumas Visą poliarizuotumą surasime integruodami: Konstantą A nustatysime iš sąlygos Iš čia Taigi Šiuos du integralus apskaičiuosime atskirai. o pastarąjį integralą tik ką apskaičiavome. Įrašę šias integralų išraiškas gauname, kad poliarizuotumas Čia (2.6) vadinama Lanževeno (P. Langevin) funkcija. Jos diagrama pateikiama 50 pav. Stiprėjant laukui, kai pE>>kT, ji artėja prie soties. Tada galima sakyti, kad visi dipoliniai momentai jau esti orientuoti lauko kryptimi. Tačiau molekulių dipoliniai momentai būna apie 1030 Cm didumo, o kT41021 J, tad norint pasiekti sotį reikia gana stiprių laukų, dažniausiai viršijančių dielektriko pramušimo įtampą. Todėl sprendžiant daugumą praktiškai svarbių uždavinių esti tenkinama sąlyga pE

Daugiau informacijos...

★ Klientai rekomenduoja

Šį rašto darbą rekomenduoja mūsų klientai. Ką tai reiškia?

Mūsų svetainėje pateikiama dešimtys tūkstančių skirtingų rašto darbų, kuriuos įkėlė daugybė moksleivių ir studentų su skirtingais gabumais. Būtent šis rašto darbas yra patikrintas specialistų ir rekomenduojamas kitų klientų, kurie po atsisiuntimo įvertino šį mokslo darbą teigiamai. Todėl galite būti tikri, kad šis pasirinkimas geriausias!