Vektorių ir funkcijų teorija

Dviejų vektorių skaliarinė sandauga, jos savybės ir reiškimas vektorių koordinatėmis. Dviejų vektorių skaliarinė sandauga, jos savybės ir reiškimas vektorių koordinatėmis. Kampu tarp dvejų vektorių vadinamas mažiausias kampas AOB tarp šių vektorių, kai vektorių pradžios perkeltos į bendrą tašką O. Žimejimas: a · b = |a| |b| cosPastaba: Kai  smailus a · b > 0 , nes cos >0 Kai  bukas a · b a x b = 0 (dvejų vektorių kolinearumo sąlyga) Reiškimas vektorių koordinatėmis. Tarkime, stačiakampėjė koordinačių sistemoje duoti du vektoriai : a=(ax;ay;az) ir b=(bx;by;bz). Iš vektorinės sandaugos savybių matyti, kad vektorius a ir b galima dauginti kaip daugianarius: a x b = (axi + ayj + azk) x (bxi + byj + bzk) Pertvarke ši reiškini gauname : a x b = (aybz – azby)i – (azbx + axbz)j + (axby - aybx)k Šią formulę galima išreikšti determinantu: axb=|i j k| |ax ay az| | bx by bz | 3. Mišrioji trijų vektorių sandauga, jos savybės ir reiškimas vektorių koordinatėmis. Apibr. Trijų vektorių a,b ir c mišriąja sandauga vadinamas skaičus,gautas skaleriškai padauginus vektorinę sandaugą a x b iš vektoriaus c. Savybės. Bet kuriems nenuliniams vektoriams a, b, c ir skaičiui teisingos šios savybės : 1) (a x b) c = 0 – būtina ir pakankama trijų vektorių komplanarumo sąlyga. 2) (a x b)·c > 0 , kai kampas tarp c ir u = a x b smailus 3) (a x b)·c 2c. |F1M|= (x+c)2+y2, |F2M|= (x-c)2+y2, (x+c)2+y2+(x-c)2+y2= 2a a(x-c)2+y2= a2-cx(a2-c2)x2+a2y2= a2(a2-c2) /*(a2-c2)=b*/ b2x2+a2y2=a2b2 x²/a²+y²/b²=1 Ekscentricitetas = c/aa tai F yra Oy ašyje 9. Hiperbolės apibrėžimas, lygties išvedimas ir brėžinys. Hiperbole vadinama aibė plokštumos taškų, kai kiekvieno aibės taško atstumų iki dviejų pastovių taškų skirtumas yra pastovus dydis, lygus 2a. Židiniai F1(-c;0) ir F2(c;0). Atstumas tarp jų 2c. |F1M| - |F2M|=2a. |F1M|= (x+c)2+y2, |F2M|= (x-c)2+y2, (x+c)2+y2-(x-c)2+y2= 2a a(x-c)2-y2= a2-cx (a2-c2)x2-a2y2= a2(a2-c2)/*(a2-c2)=b*/ b2x2-a2y2=a2b2  x²/a²-y²/b²=1 jei y²/b²-x²/a²=1, tai židiniai Oy ašyje. 10. Parabolės apoibrėžimas, lygties išvedimas ir brėžinys. Parabole vadinama aibė plokštumos taškų, vienodai nutolusių nuo duotojo taško ir duotosios tiesės. Duotas židinys F(p/2;0), p>0, duotoji tiesė DE- jos direktrisė, nuo jos iki F atstumas lygus p. Tada direktrisės lygtis x= -p/2. |FM|=|NM|. |FM|= sak (x-p/2)2 + y2, |NM|= |x+p/2|. Sulygindami jas ir pakeldami kvadratu gaunam (x-p/2) + y2= (x+p/2)2  x2-px+p4/4+y2= x2+px+p2/4 y2=2px Paaiškinimai: lnreiškia kad vektorius tik virš v NM reškia kad virš NM vektorius p/2 reiškia dalybą (kagi daugeu?)  viso reškinio šaknis, o ne to tik skaičiaus. 11. Polinė koordinačių sistema Analizinėje geometrijoje be Dekarto koodrinačių sistemos dažnai vartojama polinė koordinačių sistema. Ją sudaro plokštumos taškas O, vadinamas poliumi, ir nustatytos krypties tiesė OP, vadinama poline ašimi (3.17 pav.). Imkime bet kurį plokštumos tašką M, nesutampantį su poliumi O. Atstumą OM vadiname taško M poliniu spinduliu ir žymime raide ρ. Kampą POM vadiname poliniu kampu ir žymime raide φ. Kai taškas M priklauso spinduliui OP, polinis kampas laikomas lygiu nuliui. Taško O polinis spindulys lygus nuliui, o polinis kampas neapibrėžtas. Visiems kitiems plokštumos taškams priskiriama skaičių pora: polinis spindulys ρ ir polinis kampas φ. Atvirkščiai, kiekvieną skaičių porą (ρ,φ), ρ>0, 0≤φ≤2π, atitinka vienas plokštumos taškas M, kurio polinis spindulys lygus ρ, o polinis kampas yra φ. Skaičius ρ ir φ vadiname M polinėmis koordinatėmis ir žymime: M(ρ,φ). Galima pastebėti, kad, judant taškui M(ρ,φ) su pastoviu ρ ir besikeičiančiu kampu φ, taškas M brėš apskritimą su spinduliu ρ ir centru poliuje. Fiksuojant įvairias ρ reikšmes, turėsime koncentrinių apskritimų visumą (šeimą). Judant taškui M(ρ,φ) su pastoviu kampu φ ir besikeičiančiu ρ, taškas M brėš spindulį, sudarantį su poline ašimi kampą φ. Tuomet koncentriniai apskritimai su centru poliuje ir einantys iš poliaus spinduliai sudaro polinės koordinačių sistemos koordinatines linijas. Bendru atveju, taško M(ρ,φ) judėjimą kreive aprašo tam tikra kintamųjų ρ ir φ priklausomybė, kuri vadinama kreivės poline lygtimi. Rasime ryšį tarp taško M polinių ir stačiakampių (Dekarto) koordinačių. Imkime stačiakampę ir polinę koordinačių sistemas taip, kad polius sutaptų su stačiakampės koordinačių sistemos pradžia, o polinė ašis – su Ox ašimi (3.18 pav.). Žinodami taško M koordinates ρ ir φ polinėje koordinačių sistemoje, iš trikampio OAM randame taško M koordinates x ir y stačiakampėje koordinačių sistemoje: x = ρ*cos φ y = ρ*sin φ Ir atvirkščiai, iš lygybių surandame taško M polines koordinates ρ ir φ: ρ= shaknis ish x²+y² tgφ=y/x 12. Atvirkštinės funkcijos sąvoka. Atvirkštinės trigonometrinės funkcijos. Tarkime, kad atvaizdis f:D→E yra abipus vienareikšmiškas, tai reiški, kad kiekvieną y iš E () atitinka 1 elementas x iš D (). Taisyklė, kuri y priskiria elementą x, vadinama atvirkštine funkcija ir žymima . Kai norime gauti atvirkštinės funkcijos analizinę išraišką, lygtį , sprendžiame x atžvilgiu ir gauname . Funkcijų ir grafikai simetriški atžvilgiu. Teorema. Srityje D funkcija turi sau atvirkštinę tada ir tik tada, kai kiekvieną reikšmę šioje srityje ji įgyja tik vieną kartą. Atvirkštinės trigonometrinės funkcijos 1.Funkcija y=arcsin x D=[-1;1] E=[-π/2; π/2] sin(arcsinx)=x (x[-1;1]) arcsin(-x)=-arcsin(x) - nelyginė funkcija 2.Funkcija y=arccos x D=[-1;1] E=[0;π] sin(arccosx)=x (x[-1;1]) arccos(-x)= π -arccos(x) - nei lyginė, nei nelyginė 3.Funkcija y=arctgx D=[-∞;∞] E=[-π/2; π/2] sin(arctgx)=x (x[-1;1]) arctg(-x)= -arctg(x) – nelyginė 4.Funkcija y=arcctgx D=[-∞;∞] E=[0; π] sin(arcctgx)=x (x[-1;1]) arcctg(-x)= -arcctg(x) - funkcija nei lyginė, nei nelyginė 13. Parametrinės funkcijos lygtys. Apskritimo, elipsės ir cikloidės parametrinės lygtis. Tarkime, kad turime dvi kintamojo t funkcijas: x= φ(t) ir y=ψ(t), kai t priklauso [t1;t2]. Kiekvieną t reikšmę atitinka viena x ir y reikšmė. Nagrinėdami reikšmių porą (x;y) kaip plokštumos taško koordinates, gauname, kad kiekvieną t reikšmę atitinka tam tikras plokštumos taškas. Kintant kintamojo t reikšmėms, šis plokštumos taškas nubrėžia tam tikrą kreivę, todėl šios lygtys vadinamos parametrinėmis kreivės lygtymis, o kintamasis t – parametru. Jei iš pirmosios lygties galima kintamąjį t išreikšti t=Φ(t), tai įrašę jo išraiškąį antrąją lygtį, gauname išreikštinę funkciją y=Ψ(Φ(x)) (t.y. kintamojo eliminavimas). Apskritimas, kurio centras 0 ir spindulys R (4.7 pav.) nusakomas lygtimi:x²+y²=R². OM =R, tai x=Rcost, y=Rsint, 0=

Daugiau informacijos...

★ Klientai rekomenduoja

Šį rašto darbą rekomenduoja mūsų klientai. Ką tai reiškia?

Mūsų svetainėje pateikiama dešimtys tūkstančių skirtingų rašto darbų, kuriuos įkėlė daugybė moksleivių ir studentų su skirtingais gabumais. Būtent šis rašto darbas yra patikrintas specialistų ir rekomenduojamas kitų klientų, kurie po atsisiuntimo įvertino šį mokslo darbą teigiamai. Todėl galite būti tikri, kad šis pasirinkimas geriausias!