Tikimybių teorija. Įvykiai ir tikimybės

 3. Tikimybių teorija 3.1 Įvykiai ir jų tikimybės. Sąlyginė tikimybė. Pilnosios tikimybės formulė. Bejeso formulės. Bernulio teorema. Bandymu(eksperimentu) vadinamas tam tikrų sąlygų komplekso realizavimas. Kiekvienas bandymo rezultatas vadinamas įvykiu. Elementarųjį įvykį žymime raide w. Šių įvykių visumą vadiname elementariųjų įvykių erdve ir žymime raide . Elementarieji įvykiai – neskaidomi ir kartu pasirodyti negali. Elementariųjų įvykių erdvė  gali būti baigtinė (lošimo kauliuko akučių iškritimas), suskaičiuojama(moneta metama tol, kol iškris herbas), arba dar galingesnė – nesuskaičiuojama (lempos veikimo laikas). • Atsitiktiniai įvykiai. Veiksmai su atsitiktiniais įvykiais Vykstant bandymui, vieni įvykiai gali įvykti, kiti gali ir neįvykti. Toks įvykis yra vadinamas atsitiktiniu. Atsitiktinius įvykius žymime raidėmis A, B, C, ...(dažnai su indeksais). Kadangi atsitiktiniai įvykiai yra aibės, tai įvykių veiksmai sutampa su aibių veiksmais. Įvykių sąryšį ir jų veiksmus geometriškai vaizduosime vadinamosiomis Veno diagramomis. 1. Įvykis A yra įvykio B dalis arba atskiras atvejis, jei kiekvienas elementarusis įvykis, priklausantis A, priklausys ir B. AB 3.1 pav. 2. Du įvykius vadiname lygiais, jei juos sudarančios elementariųjų įvykių aibės yra lygios. A=B 3. Dviejų įvykių A ir B sankirta (sandauga) vadiname įvykį, sudarytą iš visų elementariųjų įvykių, priklausančių abiem įvykiams A ir B. AB 3.2 pav. 4. Dviejų įvykių A ir B sąjunga vadiname įvykį, sudarytą iš visų elementariųjų įvykių, priklausančių bent vienam iš įvykių A ir B. AB 3.3 pav. 5. Dviejų įvykių A ir B skirtumu vadiname įvykį, sudarytą iš visų elementariųjų įvykių, priklausančių A , bet nepriklausančių B. A|B arba A-B 3.4 pav. 6. Įvykius A ir B vadiname nesutaikomais, jei jų sankirta negalimas įvykis, t.y. jie negali įvykti kartu: AB= • Tikimybių apibrėžimai Statistinis tikimybės apibrėžimas Įvykio pasirodymo galimybės matą (tikimybę) nusakome empirinius būdu. Fiksuojame sąlygų kompleksą K ir kartojame eksperimentą, registruodami kiekvieną kartą, ar įvykis A įvyko, ar neįvyko. Įvykio A pasirodymų skaičiaus k(A) bei eksperimentų skaičiaus n santykį vadinsime įvykio pasirodymo santykiniu dažniu. Jį žymėsime raide W: Pakartokime s kartų seriją, sudarytą iš n eksperimentų, kurių metu stebime įvykį A. Gauname tokius santykinius įvykio A dažnius: Įvykio tikimybe vadiname skaičių P, apie kurį telkiasi įvykio santykiniai dažniai, kai eksperimentų skaičius serijose yra didelis. Tai statistinis tikimybės apibrėžimas. Jis tikimybę įvertina empiriniu, t.y. eksperimentiniu, būdu. Praktikoje tikimybės apytiksle reikšme, kai eksperimentų skaičius didelis, imamas santykinis dažnis W(A) arba artimas jam skaičius. Klasikinis metodas Klasikiniame apibrėžime visi elementarieji įvykiai wi sudarantys , vadinami visais galimais atvejais, o tie įvykiai wi, kurie sudaro įvykį A, - įvykiui A palankiais atvejais. Vadinasi, . • Tikimybių apskaičiavimo pavyzdžiai Junginiai be pasikartojimų Gretiniai(be pasikartojimų) vadinami tokie elementų junginiai, kurie skiriasi vienas nuo kito arba pačiais elementais, arba jų tvarka: . Deriniai(be pasikartojimų) vadinami tokie elementų junginiai, kurie vienas nuo kito skiriasi bent vienu elementu: . Kėliniai(be pasikartojimų) vadinami tokie elementų junginiai, kurie vienas nuo kito skiriasi tik elementų tvarka: . • Sąlyginės tikimybės. Įvykių tikimybių daugybos teorema Dažnai tenka nagrinėti susijusius įvykius A ir B, kai įvykio B tikimybė priklauso nuo to, ar įvykis A įvyko, ar neįvyko. Įvykio A sąlygine tikimybe, kai įvyko įvykis B, vadiname įvykių A ir B sankirtos bei įvykio B tikimybių santykį: , kai P(B)0. Iš sąlyginės tikimybės apibrėžimo išplaukia svarbi tikimybių daugybos teorema. Teorema. Dviejų įvykių sankirtos tikimybė lygi vieno įvykio tikimybei, padaugintai iš kito įvykio sąlyginės tikimybės: P(AB)=P(A) P(B\A)= P(B) P(A\B). • Pilnosios tikimybės formulė. Bejeso teorema. Teorema. Pilnosios tikimybės formulė. Jei įvykiai H1, H2, ... , Hn sudaro pilnąją įvykių grupę, tai bet kurio įvykio A tikimybė , kai P(Hi)0, . Įvykiai H1, H2, ... , Hn vadinami hipotezėmis. 3.5 pav. Teorema. Bejeso teorema. Jei galioja pilnosios tikimybės formulės sąlygos, tai , kai P(A)0, . • Nepriklausomieji įvykiai. Bernulio teorema Tai, kai vieno įvykio pasirodymas nepriklauso nuo kito įvykio pasirodymo. Pavyzdys: Du kartus metama simetriška moneta. Įvykiai: A - herbas atvirto metant pirmą kartą; B – herbas atvirto metant antrą kartą, yra nepriklausomi, nes antrą kartą metant monetą visiškai nesvarbu kas buvo atvirtę metant pirmą kartą. Įvykiai A ir B vadinami nepriklausomais, jei tų įvykių sankirtos tikimybė lygi tų įvykių tikimybių sandaugai: P(AB)=P(A) P(B), o taip pat ir sąjungos tikimybė yra lygi tų įvykių tikimybių sumai: P(AB)=P(A)+ P(B). Keletas elementarių teiginių: Teorema. Bet kuris įvykis A ir negalimas įvykis  yra nepriklausomieji. Teorema. Bet kuris įvykis A ir būtinasis įvykis  yra nepriklausomieji. Teorema. Jei įvykiai A ir B yra nepriklausomieji, tai nepriklausomieji bus ir įvykiai ir B, A ir , ir . Apibendrinsime nepriklausomumo sąvoką, imdami didesnį skaičių įvykių. Įvykius A1, A2, ... , An vadiname nepriklausomaisiais, jei P(A1A2 ... An)=P(A1)  P(A2)  ...  P(An). Kartais įvykiai gali būti kas du priklausomi, tačiau nepriklausomi trys, arba atvirkščiai trise yra priklausomi, o kas du nepriklausomi. • Nepriklausomi eksperimentai. Bernulio formulė. Jei įvykiai, atitinkantys vieną eksperimentą, nepriklauso nuo įvykių, atitinkančių kitą eksperimentą, tai juos vadiname nepriklausomais eksperimentais. Nepriklausomi eksperimentai, kurių kiekvieno metu gali įvykti tik A arba jam priešingas, vadinami Bernulio eksperimentais. Praktikoje tai reiškia, jog eksperimentai, turintys dvi baigtis, atliekant nepakitusiomis sąlygomis. Visuose Bernulio eksperimentuose P(A)=p yra ta pati. Nekinta ir tikimybė P()=1 - p=q. Sakykime, atlikome n Bernulio eksperimentų. Tikimybes P(A)=p ir P()=q žinome. Kokia tikimybė, kad įvykis A įvyks k kartų? Šią tikimybę žymėsime Pn(k). XVII a. Antrojoje pusėje šveicarų matematikas J.Bernulis tikimybėms Pn(k) skaičiuoti išvedė formulę, kuri istoriškai buvo pirmasis rimtas tikimybinis modelis nepriklausomųjų eksperimentų schemoje. Teorema. Bernulio formulė. Jeigu atlikus n nepriklausomų bandymų įvykio A įvykimo tikimybė kiekviename bandyme vienoda ir lygi p, tai tikimybė, kad įvykis A įvyks lygiai k kartų, yra: Pn(k)=, k=. Labai greitai Pn(x=k) reikšmes galite paskaičiuoti programa Excel . Funkcija BINOMDIST (k,n,p,0) 3.6 pav. Bernulio formule išreikštos tikimybės vadinamos binominiu pasiskirstymo dėsniu. Dažnai tenka ieškoti tikimybės, kad atlikus n nepriklausomų bandymų įvykis a pasirodė ne mažiau kaip k1 ir ne daugiau kaip k2 kartų: Pasinaudodami Bernulio formule, galime rasti patikimiausią ( labiausiai tikėtiną) įvykio A pasirodymo skaičių atlikus n bandymų. Jis žymimas k0, o jo pasirodymo tikimybė P(k0) ne mažesnė negu visų kitų galimų rezultatų tikimybės, t.y. Pn(k0) Pn(k). k0 reikšmė gaunama iš nelygybių np – q  k0  np + p. Kadangi k0 - sveikasis skaičius, o intervalo [np-q; np+p] ilgis vienetas, tai galimi du variantai. Jei intervalo galai yra trupmenos, tai gausime vieną k0 reikšmę, o jei jie sveikieji skaičiai, tai bus dvi k0 reikšmes – intervalo galuose. Pavyzdys Nagrinėjamame technologiniame procese 95% produkcijos yra aukščiausios rūšies. Atsitiktinai paimti 8 gaminiai. Kokia tikimybė, kad : a) Penki yra aukščiausios rūšies; b) Daugiau nei 5 yra aukščiausios rūčies. Sprendimas a) p=0,95 q=1-0,95=0,05 BINOMDIST(5;8;0.95;0) 0,0054. 3.7 pav. b) Daugiau nei 5 yra aukščiausios rūšies: Atlikdami veiksmus galite taikyti formulių kopijavimą (3.8 ir 3.9 pav.) 3.8 pav. 3.9 pav. 3.2 Atsitiktiniai dydžiai. Dydžių pasiskirstymas, tankio funkcija. Atsitiktinių dydžių vidurkis, dispersija, jų savybės. Skirstiniai. • Atsitiktiniai dydžiai. Atsitiktiniu dydžiu vadinamas dydis, kuris bandymo metu gali įgauti tik vieną iš anksto nežinomą skaitinę reikšmę iš galimų reikšmių aibės. Vadinasi, t.y. funkcija . Kiekvienas šių dydžių atsitiktinėmis aplinkybėmis gali įgyti vienokią ar kitokią (mums iš anksto nežinomą) reikšmę. Atsitiktinio dydžio skirstinys – tai atsitiktinio dydžio įgyjamos reikšmės ir jų įgyjimo tikimybės. Atsitiktiniai dydžiai gali būti diskretieji ir tolydieji. Atsitiktinis dydis vadinamas diskrečiuoju, jeigu jo įgyjamų reikšmių aibė yra baigtinė arba skaičioji, o jeigu begalinė arba nusakoma intervalu, tai tolydžiuoju. • Diskretieji atsitiktiniai dydžiai Atsitiktinis dydis vadinamas diskrečiuoju, jeigu jo įgyjamų reikšmių aibė yra baigtinė arba skaičioji. Diskretųjį, kaip ir kiekvieną atsitiktinį, dydį visiškai apibūdina jo pasiskirstymo funkcija. Diskrečiojo atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsniu vadiname visumą porų (xi, pi), čia xi – galimos reikšmės, o pi - tikimybės, su kuriomis tos reikšmės įgyjamos. Be to,  pi=1. Pasiskirstymo dėsnis gali būti aprašomas lentele, grafiškai arba analiziškai. Pasiskirstymo dėsnį patogiausia užrašyti lentele: 3.1 lentelė xi x1 x2 x3 … xn pi p1 p2 p3 ... pn čia x1, x2, ... xn atsitiktinio dydžio X įgyjamos reikšmės, o p1, p2, ... , pn tikimybės su kuriomis šios reikšmės yra įgyjamos. Pasiskirstymo funkcija ir jos savybės Norint nusakyti atsitiktinį dydį, nepakanka žinoti jo įgyjamų reikšmių aibę. Reikia apibūdinti, kaip dažnai tas atsitiktinis dydis gali įgyti šias reikšmes, t.y. kaip tikimybės yra pasiskirsčiusios pagal įgyjamas reikšmes. Atsitiktinio dydžio X pasiskirstymo funkcija F vadinama tikimybė, jog X

Daugiau informacijos...

★ Klientai rekomenduoja

Šį rašto darbą rekomenduoja mūsų klientai. Ką tai reiškia?

Mūsų svetainėje pateikiama dešimtys tūkstančių skirtingų rašto darbų, kuriuos įkėlė daugybė moksleivių ir studentų su skirtingais gabumais. Būtent šis rašto darbas yra patikrintas specialistų ir rekomenduojamas kitų klientų, kurie po atsisiuntimo įvertino šį mokslo darbą teigiamai. Todėl galite būti tikri, kad šis pasirinkimas geriausias!