Teorinė mechanika - teorija egzaminui

1.Statikos pagrindinės sąvokos ir aksiomos. Jėga – vadiname bet kokį poveikį, išjudinantį kūną arba keičiantį jo greitį. Jėga – tai mechaninės kūnų sąveikos matas. Ją apibūdina 3 parametrai: didumas, veikimo taškas ir veikimo kryptis. Jėga matuojama dinamometru, Niutonais. Jėgos veikimo pridėties taškas – tai kūno taškas, kuriame sutelktas jėgos veikimas. Iš to matome, kad jėga yra vektorius. Jėgos veikimo tiese vadinama tiesė, kurioje yra jėgos vektorius. Jėgų sistema – tai kūną veikiančių jėgų visuma. Laisvas kūnas – tai kūnas, kuriam kiti kūnai netrukdo pasislinkti erdvėje bet kuria linkme. Ekvivalentiškomis vadinamos tokios jėgų sistemos, kurias pakeitus viena kita, nepasikeičia jų veikiamo kūno būsena. Jėgų sistema vadinama pusiausvyra (atsverta), jei jos veikiamas laisvas kūnas yra ramybės būsenoje arba slenka tiesiaeigiškai ir tolygiai. Atstojamoji – tai jėga, ekvivalentiška veikiančių jėgų sistemai. Atsveriančiąja vadinama tokio paties didumo jėga kaip ir atstojamoji, veikianti toje pačioje tiesėje, bet priešinga kryptimi. Sutelktąja vadinama jėga, kuri veikia kūno tašką. Jėgos, kurios veikia tam tikrą paviršiaus ar tūrio dalį, vadinamos išskirstytomis jėgomis. Kūnų sistema vadinama visuma kūnų, kurių kiekvieno pusiausvyra ir judėjimas priklauso nuo kitų tos pačios sistemos kūnų pusiausvyros ir judėjimo. Jėgos, kuriomis vienos sistemos kūnus veikia tai sistemai nepriklausantys kūnai, vadinamas išorinėmis jėgomis, o jėgos, kuriomis tos pačios sistemos kūnai veikia vienas kitą, - vidinėmis jėgomis. Pirmoji aksioma. Dvi standų kūną veikiančios jėgos atsiveria tik tada, kai jos yra vienodo didumo ir veikia vienoje tiesėje priešingomis kryptimis. Antroji aksioma. Pridėjus prie sistemos arba iš jos atėmus pusiausvyrą jėgų sistemą, jėgų sistemos poveikis standžiam kūnui nepasikeičia. Trečioji aksioma (geometrinės jėgų sudėties taisyklė). Tašką A veikiančių dviejų jėgų AB(vekt.)P1 ir AC(vekt.) P2 poveikis ekvivalentiškas poveikiui vienos jėgos AD(vekt.)R, kuri yra sudaryto iš sudedamų jėgų lygiagretainio ACDB įstrižainė. Jėga R yra jėgų P1 ir P2 atstojamoji. Jėgų sudėtis pagal trečiąją aksiomą vadinama vektorine arba geometrine sudėtimi: R P1+ P2. Ketvirtoji aksioma (akcijos-reakcijos dėsnis). Poveikis (akcija) visada lygus atoveikiui (reakcijai), t.y. dviejų kūnų poveikiai vienas kitam yra vienodo didumo ir priešingai nukreipti. Iš šios aksiomos išplaukia, kad kūnų sistemą veikiančios vidinės jėgos yra pusiausvyros. Penktoji aksioma. Jėgų sistemos veikiamo deformuojamo kūno pusiausvyra nesutriks, jeigu kūnas pasidarys standus. Šeštoji aksioma (inercijos dėsnis). Materialus taškas nejuda arba juda tolygiai ir tiesiaeigiškai, kol veikiančios jėgos nepriverčia jo pakeisti šią būseną. 2. Ryšiai ir jų reakcijos. Laisvas - tai toks kūnas, kuris gali pasislinkti bet kuria kryptimi ir pasisukti apie bet kurią ašį (lėktuvas). Kūnas, kurio pusiausvyros padėtis ar judėjimas yra apriboti, vadinamas suvaržytu, o padėties ar judėjmo apribojimai – ryšiais. Jėga, kuria kūna veikia ryšį, vadinama poveikio arba aktyviąja jėga. Iš poveikio-atoveikio aksiomos matome, kad ryšys veikia kūna tokio pat didumo, tik priešingos krypties atoveikio (reakcijos) jėga. Reakcijos jėgos priklauso nuo ryšių pobūdžio ir kūną veikiančių aktyviųjų jėgų. Reakcijos jėgos kryptis visada priešinga tai krypčiai, kuria ryšys neleidžia pajudėti kūnui. Jeigu ryšys kūnui neleidžia tuo pačiu metu pajudėti keliomis kryptimis, reakcijos kryptis nežinoma. Tada, norint rasti reakcijos jėgą, reikia išspręsti statikos uždavinį. Reakcijos jėgų nustatymas – vienas pagrindinių uždavinių. 1)Glotnus paviršius – paviršius, tarp kurio elementų nėra trinties. Reakcija visada būna po reakcijos, paviršiaus normalės kryptimi.2) Glotni briauna. 3)Lankstus ryšys. Jo reakcija visada veikia išilgai jo ryšiui. 4)Cilindrinis šarnyras. 5)Rutulinis šarnyras. 6) Šarnyrinis strypas. 3.Jėgos projekcija į ašį ir į plokštumą. Jėgos projekcija į ašį vadinamas skaliarinis dydis, lygus atkarpos, esančios tarp jėgos pradžios ir galo projekcijai į tą ašį ilgiui, paimtam su atitinkamu ženklu. Jėgos P projekciją ašyje Ox galima rasti iš trikampio ABC: Px Pcos. Iš šios formulės matyti, kad jėgos projekcija ašyje lygi jėgos didumo ir kampo tarp ašies teigiamosios krypties ir jėgos krypties kosinuso sandaugai: paveiksle: Px Pcos-Pcos. Pagal pirmąją formulę, galima apskaičiuoti jėgos projekcijas Px OB ir Py OC BA dekarto stačiamanpėje koord. sistemoje (II pav). Px  Pcos, Py  Psin. Iš čia randame P modulį: P(Px2+Py2) 4. jėgų sudėtis ir pusiausvyros sąlygos. Analizinis jėgų sudėties būdas: vektorių sumos projekcija į kurią nors ašį yra lygi sudedamų vektorių projekcijų į tą pačią ašį algebrinei sumai (I pav.). RP1+P2+P3 Pusiausvyros sąlygos. Susikertančiomis vadinamos tokios jėgos, kurių veikimo tiesės kertasi viename taške. Plokščioji, viename taške susikertančių jėgų sistema ekvivalentiška vienai jėgai – atstojamajai, veikiančiai tų jėgų susikirtimo taške. Atstojamosios jėgos projekcija bet kurioje ašyje lygi sudedamų jėgų projekcijų toje ašyje algebrinei sumai. Jeigu viename taške susikertančių jėgų sistema yra pusiausvyra, tai visų jėgų projekcijų koordinačių ašyse sumos lygios 0. jeigu nežinomųjų sk. lygus pusiausvyros lygčių skaičiui, jėgų sistema vadinama statiškai išsprendžiama. Jei nežinomųjų dydžių yra daugiau negu pusiausvyros lygčių, sistema vadinama statiškai neišsprendžiama. Geometrinė pusiausvyros sąlyga (II pav): Analizinė pusiausvyros sąlyga:  Px 0  Px 0  Py 0  Px 0 plokščiai  Px 0 sistemai erdvinei sistemai. 5. trijų jėgų teorema. Jeigu 3 vienoje plokštumoje veikiančios nelygiagrečios jėgos yra pusiausvyros, tai jų veikimo tiesės susikerta viename taške. Trijų jėgų teoremos tenkinimas yra būtina, bat nepakankama plokščiosios trijų jėgų sistemos pusiausvyros sąlyga. Trys jėgos, kurių veikimo tiesės susikerta viename taške, gali ir nebūti pusiausvyros. 6. Jėgos momentas. Varinjono teorema. Jėgos momentas centro atžvilgiu yra algebrinis dydis, lygus jėgos didumo ir peties sandaugai: M0 P*h. Petys – trumpiausias atstumas nuo taško iki centro. Jei sukama prieš laikrodžio rodykle, tai momentas teigiamas. 1) Jėgos momentas centro 0 atžvilgiu lygus 0 tada, kai ašies centras yra jėgų veikimo tiesėje. 2) Jėgos momentas nepasikeičia perkėlus jėgą į kitą tos jėgos veikimo tašką. 3) Jėgos P momento didumas gali būti išreikštas dvigubu ploto trikampiu, kurio viršūnės yra momento centras ir vektorius P pradinis A bei galinis C taškai. Varinjono teorema. Atstojamosios jėgos momentas kurio nors taško atžvilgiu lygus sudedamų jėgų momentų to taško atžvilgiu algebrinei sumai. 7. Lygiagrečių jėgų sudėtis. Kaip matome paveiksle, kad sudėdami vienos krypties jėgas, gauname tos pačios krypties atstojamąją; priešingų krypčių lygiagrečių jėgų atstojamosios kryptys sutampa su didesniosios sudedamosios jėgos kryptimi. Taigi iš paveikslo matome, kad sudedamųjų dviejų tos pačios krypties lygiagrečių jėgų atstojamoji veikia tarp sudedamųjų jėgų; sudedamųjų dviejų priešingų krypčių lygiagrečių jėgų atstojamoji veikia sudedamųjų jėgų išorėje už didesniosios sudedamosios jėgos. 8. Jėgų pora ir jos momentas. Rasti dviejų vienodo didumo veikiančių lygiagrečiose tiesėse, priešingų krypčių tiesėse, atstojamosios rasti negalima. Taigi šitokia dviejų jėgų P ir P’ sistema vadinama jėgų pora. pp’. Atstumas tarp poros jėgų veikimo tiesių vadinamas petimi. O plokštuma, kurioje veikia tos poros jėgos, vadinama – poros plokštuma. P(d+x)-p’x PdM(poros momentas). Poros momentas nepriklauso nuo momentų centro padėties ir lygus poros jėgos didumo ir jėgos sandaugai. 9. Plokščiosios lygiagrečių jėgų sistemos pusiausvyros sąlygos. P1, P2, P3,..., Pn 1) Jėgos skirtingų dydžių: R P1- P1, P2 || P1, P2 > P1 . jėgos vienodo didumo, bet priešingų krypčių: P2 || P1 , P2 - P1 . 3) Lygiagečios, vienodo didumo, priešingos jėgos veikia vienoje tiesėje. Plokščioji lygiagrečių jėgų sistema yra pusiausvyra, jei visoje visų jėgų projekcijų nestatmenoje jiems ašyje suma lygi 0 ir visų jėgų momento laisvai pasirinkto taško atžvilgiu suma lygi nuliui. 10.Jėgų porų ekvivalentiškumas. Ekvivalentiškomis vadinamos poros, kurių poveikis kūnui yra vienodas. Teorema: jei poros, kurių momentai yra vienodo didumo ir tokio pat ženklo, tai jos vienodai veikia kūnus. MPd – momentas lygus jėgos ir peties sandaugai. Išvados: jėgų poros veikimas į standų kūną nepasikeis, jei porą perkelsime jos veikimo plokštumoje iš vienos vietos į kitą. Jėgų poros veikimas į standų kūną nepasikeis, jei, nekeisdami momento, pakeisime poros petį ir poros jėgos didumą. 11. Plokščioji porų sistema, pusiausvyros sąlygos. Porų momentai: M1, M2, M3 . nekeisdami porų momentų, pakeiskime visų porų jėgų didumus taip, kad visų porų pečiai būtų vienodi ir lygūs l. Visas poras perkelkime į vieną vietą, sutapdindami jų pečius, tada gausime vienoje tiesėje veikiančias jėgų sistemas(pav). MRd(P1- P2 – P3 )d; MMi pastaroji formulė rodo, kad atstojamosios poros momentas lygus sudedamų porų momentų algebrinei sumai. Jėgos R ir R’ sudaro taip vadinamą atstojamąją porą. Jei plokščioji porų sistema yra pusiausvyra, tai M0. Taigi būtina plokščiosios porų sistemos pusiausvyros sąlyga yra tokia: Mi0. Ši lygtis ne tik būtina, bet ir pakankama plokščiosios porų sistemos pusiausvyros sąlyga. Jei porų momentai tenkina šią lygybę, tai porų sistema yra atsverta. 12.Išskirstyti krūviai. q-išskirstyto krūvio intensyvumas. [N/m] – 2D. 3D[N/m2]. 1. q=const; AB=l; Q=ql. 2. Q=1/2qmaxl. 3. dQ=q*dx Ilgio dx sijos ruožtelį veikia jėga, kurios didumas dQ=qdx. Visą siją veikia jėga- Jėga Q yra tos pačios krypties, kaip ir krūvio intensyvumas q. . Tai . Jei q=const. Tai tada gauname, kad Q=ql ir xc=1/2. 13.Plokščiosios bet kaip išdėstytų jėgų sistemos pusiausvyros sąlygos. Kūnų sistema vadinama visuma tokių kūnų, kurių judėjimas ir pusiausvyra yra tarpusavyje priklausomi. Ryšiai, jungiantys kūnus i sistemą, vadinami vidiniais. Ryšiai, kuriais kunų sistema pritvirtinama prie atramų ar kitų sistemai nepriklausančių kūnų, vadinami išoriniais. Kūnų sistemos pusiausvyra tiriama, remiantis akcijos- reakcijos aksioma. Iš šios aksiomos matyti, kad vidinės jėgos, kuriomis kūnai veikia vienas kitą, yra vienodo didumo ir veikia ta pačia tiese priešingomis kryptimis Iš čia darome išvadą, kad visų vidinių jėgų geometrinė suma ir šių jėgų bet kurio centro atžvilgiu suma lygi nuliui. Taigi, sudarydami jėgų, veikiančių kūnų sistemą, pusiausvyros lygtis, kūnų sistemą galime laikyti vienu standžiu kūnu ir atsižvelgti tik į aktyviąsias jėgas bei išorinių ryšių reakcijas. Tačiau tokių lygčių gali nepakakti visoms statiškai išsprendžiamos sistemos išorinėms ryšių reakcijoms rasti. Šiuo atveju reikia sudaryti jėgų, veikiančių pavienius sistemos kūnus, pusiausvyros lygtis.Tose lygtyse atsižvelgiama į visas kūną veikiančias jėgas. 1.Kūnų sistemą laikome vienu kūnu. 2.Kūnų sistemą skaidome į atskirus kūnus. 14.Puasono teorema. :jėgos poveikis standžiam kūnui nepasikeis, jei, perkeldami jėga iš vieno taško į kitą, prie kūno pridėsime porą, kurios momentas lygus perkeliamos jėgos momentui naujo veikimo taško atžvilgiu. Įrodyma. Sakykime, kad taške A veikia jėga P. Laisvai pasirinktame taške B pridėkime tokio pat didumo kaip jėga P ir su ja lygiagrečias dvi atsisveriančias jėgas P’ ir –P’. Jėgų P ir -P’ porą jos veikimo plokštumoje galime perkelti į bet kurią vietą. Tada taške B lieka tokio pat didumo ir krypties kaip ir P jėga P’. Jėgą P’ galime laikyti jėga P, perkelta iš taško A į tašką B. Poros (P, -P’) momentas M lygus jėgos P momentui taško B atžvilgiu: M=Mb(P)=Pd; čia d-atstumas nuo taško B iki jėgos P. 15.Plokščiosios jėgų sistemos redukcija, pusiausvyros sąlygos. Viename taške susikertančios jėgos yra ekvivalentiškos arba vienai jėgai, arba yra pusiausvyros. Plokščioji jėgų P1, P2, ..., Pn sistema bendruoju atveju yra ekvivalentiška jėgai ir porai. Jėgų sistemos pakeitimas jėga ir pora vadinamas jėgų sistemos redukcija. Redukuodami jėgų sistemą, visas jėgas, remdamiesi Puasono teorema, perkeliame į laisvai pasirinktą koordinačių pradžią O, vadinamą redukcijos centru. Perkėlę visas jėgas į tašką O, gausime susikertančių jėgų P’1, P’2, ..., P’n sistemą ir porų sistemą, kurių momentai yra M1, M2, ..., Mn. Jeigu plokščioji jėgų sistema yra pusiausvyra, visų jėgų projekcijų koordinačių ašyse sumos lygios nuliui ir visų jėgų momentų laisvai pasirinkto taško atžvilgiu suma lygi nuliui. Pusiausvyros sąlygos: ΣMA=0, ΣMB=0, ΣMC=0. 16.Plokščiosios jėgų sistemos reakcijos jėgų skaičiavimo rezultatų tikrinimas ir įvertinimas. P1, P2, ..., Pn, ΣPx=0, ΣPy=0, ΣM0=0, ΣMA=0, ΣM(teigiamų)+ΣM(neigiamų)=0=Δ;Δ-nesąryšis; paklaida Patikrinimas: Įvertinimas: δ2m-3 statiškai išsprendžiama; 3.)s R2 , tai jėga R veikia ta pačia kryptimi kaip ir jėga R1. Šiuo atveju jėgų P1,P2,...,Pn, sistema ekvivalentiška jėgai R. Jeigu R1 R2 ir šios jėgos veikia skirtingose tiesėse (žr.pav), jėgų P1,P2,...,Pn, sistema ekvivalentiška porai. Jeigu jėgos R1 R2 ir veikia vienoje tiesėje, nagrinėjama jėgų sistema yra atsverta. Atstojamosios jėgos projekcija ašyje lygi sudedeamųjų jėgų projekcijų algebrinei sumai. Pasirinkę Oz ašį, galime apskaičiuoti atstojamosios R projekciją: R  Pz. Tarkime, x,y – jėgos P veikimo taško koordinatės, o xc ir yc – atstojamosios veikimo taško koordinatės. Tuomet: xcPx /R, ycPy /R. Momento vektoriaus projekcijos lygios jėgų P1,P2,...,Pn momentų koordinačių ašių atžvilgiu sumoms: MxPx, MyPy . jeigu jėgų P1,P2,...,Pn projekcijų ašyje Oz suma lygi 0 ir šių jėgų momentų ašių Ox ir Oy atžvilgiu sumos lygios 0, tai jėgų sistema yra atsverta. Taigi erdvinės lygiagrečių jėgų sistemos pusiausvyros sąlygos atrodo taip: Pz0, Mx0, My0. 24.Erdvinė bet kaip išdėstytų jėgų sistema ir jos pusiausvyros sąlygos. Bet kaip erdvėje išdėstytų jėgų sistema yra atsverta, jei suminė jėga ir suminis momentas lygūs 0. todėl galime sudaryti šias bet kaip erdvėje išdėstytų jėgų pusiausvyros lygtis: Px0, Mx0, Py0, My0, Pz0, Mx0 (I lygtys). Vadinasi, priėjome išvadą, kad erdvinė jėgų sistema yra atsverta, jai visų jėgų projekcijų koordinačių ašyse ir visų jėgų momentų koordinačių ašių atžvilgiu sumos lygios 0. kaip žinome, erdvinė jėgų sistema ekvivalentiška redukcijos centre susikertančioms kėgoms, kurias atstoja suminė jėga R, ir poroms, kurias atstoja suminis momentas M0. kai R0 ir M00, bet kap erdvėje išdėstytos jėgos yra atsisvėrusios. Norėdami įsitikinti, kad I lygtys išreiškia bat kaip erdvėje išdėstytų jėgų būtinas pusiausvyros sąlygas, tarkime, kad jėgų sistema ekvivalentiška nulinei jėgai ir įrodykime, kad tada R0 ir M00. Sakykime, poros (P,P’) momentas yra ir M0. sudėję jėgą P’ su sumine jėga R, bet kaip erdvėje išdėstytas jėgas pakeičiame jėgomis P ir Q. ( pav). Kadangi jėgų sistema yra atsverta, tai jėgos P ir Q turi būti vienodo didumo, veikti vienoje tiesėje, priešingomis kryptimis, t.y. P-Q.Šitaip gali būti tik tada, kai jėga P eina per redukcijos centrą O. Tačiau tokiu atveju poros (P,P’) momentas lygus 0, t.y. M00. Kadangi Q+P0 ir QR+P’, tai R+P’+P0. Tačiau P-P, todėl R0. 25.Erdvinės jėgų sistemos redukcija. Jėgų P1, P2, ..., Pn sistemą galima pakeisti laisvai pasirinktame taške (redukcijos centre) veikiančiomis jėgomis P’1, P’2 ..., P’n ir momentų vektoriais M0(P1), M0(P2), ..., M0(Pn). Erdvinė susikertančių jėgų sistema ekvivalentiška vienai jėgai- sistemos P’1, P’2, ..., P’n atstojamajai, kurią vadiname bet kaip išdėstytų jėgų P’1, P’2, ..., P’n sumine jėga. Kadangi jėgos jėgos P ir P’ yra vienodo didumo ir tos pačios krypties, tai suminės jėgos R projekcijos koordinačių ašyse gali būti apskaičiuotos, pasinaudojus formulėmis: Rx=ΣPx, Ry=ΣPy, Rz=ΣPz;;; ; Nei suminė jėga, nei suminės jėgos ir suminio momento skaliarinė sandauga nepriklauso nuo redukcijos centro padėties. Skaičiuodami bet kaip erdvėje išdėstytų jėgų suminė jėgą ir suminį momentą, susiduriame su tokiais atvejais. 1.Irs uminė jėga, ir suminis momentas lygus nuliui: R=0, M0=0. Šiuo atveju jėgos P1, P2, ..., Pn yra atsisveriančios. 2.Suminis momentas lygus nuliui, suminė jėga nelygi nuliui: R≠0, M0=0. Šiuo atveju suminė jėga yra jėgų P1, P2, ..., Pn atstojamoji. Ji veikia redukcijos center O. 3.Suminė jėga P1, P2, ..., Pn lygi nuliui, suminis momentas nelygus nuliui: R=0, M0≠0. Šiuo atveju jėgų sistema ekvivalentiška porai. Poros momentas lygus suminiaim momentui. 4.Suminė jėga ir suminis momentas M0 nelygūs nuliui ir vienas kitam statmeni. Šiuo atveju jėgos P1, P2, ..., Pn turi atstojamąją, kuri yra tokio pat didumo ir tokios pat krypties kaip suminė jėga. 5.Suminė jėga R ir suminis momentas M0 nelygūs nuliui ir yra lygiagretūs. 6.Suminė jėga R ir suminis momentas M0 nelygūs nuliui ir nėra vienas kitam nei statmeni, nei lygiagretūs. 26.Svorio centras. Taškas, per kurį eina kūno svorio jėga, esant bet kokiai kūno padėčiai, vadinamas kųno svorio centru. Kūno svorio centro coordinates galima nustatyti iš formulių: ; ; . Pžymėję svorio jėgą raide G, kūno svorio centro coordinates apskaičiuosime iš formulių: ; ; ; čia G-kūno svoris; Gi-kūno dalelės svoris; xi,yi,zi- jėgos Gi veikimo taško koordinatės. Kūno daleles gali veikti ir kitokios lygiagrečios jėgos: magnetinės jėgos, visuotinės traukos jėgos, judančių kūnų inercijos jėgos ir t.t., kurios, kaip ir svorio jėgos, yra proporcingos kūnų dalelių masėms, todėl dinamikoje vietoj kūno svorio centro sąvokos dar vartojama kūno masės centro sąvoka. Jei vienalytis kūnas turi simetrijos plokštumą, jo svorio centras yra toje plokštumoje. Jei vienalytis kūnas turi simetrijos ašį, jo svorio centras yra toje ašyje. Jei vienalytis kūnas turi simetrijos centrą, tai šis centras yra ir jo svorio centras. Pirmoji teorema. Sukdami plokščią figūrą apie ašį, esančią figūros plokštumoje ir nekertančią jos, gausime sukimosi kūną, kurio tūris bus lygus figūros plotui, padaugintam iš kelio, kurį nueina figūros svorio centras. Antroji teorema. Sukdami plokščią kreivę apie ašį, esančią kreivės plokštumoje ir nekertančią jos gausime sukimosi paviršių, kurio plotas bus lygus kreivės ilgiui, padaugintam iš kelio, kurį nueina kreivės svorio centras. Kūno svorio centrų nustatymo būdai:1.Simetrijos. 2.Skaidymo. 3.Papildymo. 4.Integravimo. 27.Kunu svorio centru nustatymo budai. Taskas, per kuri eina kuno svorio jega, esant bet kokiai kuno padeciai, vadinamas kuno svorio centru. Kuno svorio centro koordinates galima nustatyti is formuliu. Pazymeje svorio jega raide G, kuno svorio centro koordinates apskaiciuosime is formuliu xc=(ΣGixi)/G; yc=(ΣGiyi)/G; zc=(ΣGizi)/G; cia G – kuno svoris; Gi – kuno daleles svoris; xi,yi,zi – jegos Gi veikimo tasko koordinates. Visi kunai turi

Daugiau informacijos...

★ Klientai rekomenduoja

Šį rašto darbą rekomenduoja mūsų klientai. Ką tai reiškia?

Mūsų svetainėje pateikiama dešimtys tūkstančių skirtingų rašto darbų, kuriuos įkėlė daugybė moksleivių ir studentų su skirtingais gabumais. Būtent šis rašto darbas yra patikrintas specialistų ir rekomenduojamas kitų klientų, kurie po atsisiuntimo įvertino šį mokslo darbą teigiamai. Todėl galite būti tikri, kad šis pasirinkimas geriausias!