Parrondo paradoksas

 Parrondo paradoksas Vilniaus universitetas Matematikos ir informatikos fakultetas Finansų ir draudimo matematika Statistika su kompiuteriu Parengė: Eglė Kapustinskaitė Tomas Ušinskas Reda Markevičiūtė 2006 metai Parrondo paradoksas Įvadas Pradėkime nuo istorijos “senos kaip pasaulis”. Matematika turbūt prasidėjo nuo pirmųjų pirklių. Ir jau tada jie susidūrė su strategijos problema. Įsivaizduokime tokią situaciją: pardavėjas žino, kad praras pinigus individualiuose pardavimuose, tačiau kažkaip juos suderinus galimas pelnas. Lieka tik klausimas “kaip”? Naujieji ispanų fiziko Juan Parrondo paskaičiavimai šioje ir panašiose situacijose sužavi ne tik matematikus, bet ir pateikia daugybę atsakymų investavimo strategijos klausimais. Taigi, viską supaprastinus, mes tiesiog turime du žaidimus, kurie bus pralošti žaidžiant juos atskirai, bet teisingai juos sukombinavus galima laukti ir laimėjimo. Kad viskas būtų dar aiškiau, pažvelkime į konkretų pavyzdį. • Susivokimui (žaidimas 1) Įsivaizduokime, kad mes stovime ant laiptelio 0 ilgų laiptų viduryje, kurie yra sunumeruoti į vieną (1,2,...500) ir į kitą pusę(-1,-2,...-500). Norima lipti aukštyn, bet prieš žengiant yra metama moneta: skaičius - aukštyn, herbas – žemyn. Tarkime, jūsų moneta nėra simetriška, tai yra tikimybė, kad iškris skaičius, yra 0,495, na o herbas – 0,505. Čia mes turime ne tik pakankamai nuobodų, bet ir “kvepiantį” pralaimėjimu žaidimą. Aišku, kad ilgainiui mėtant monetą galų gale mes atsidursime laiptų apačioje. • Sudėtingesnis žaidimas (žaidimas 2) Čia turime dvi monetas. Abi jos yra asimetriškos (vienos tikimybė išmesti skaičių yra 0,095, herbą - 0,905, kitos skaičių - 0,745, na o herbą – 0,255). Kaip ir žaidime 1 išmetus skaičių judama į viršų, o herbą – judama apačion. Buvo sugalvota tokia sistema: jeigu stovima ant laiptelio, kurio skaičius dalinasi iš trijų, yra metama blogoji moneta (skaičius 0,095, herbas 0,905), Priešingu atveju - antroji moneta. • Abu žaidimai veda į pralaimėjimą Tai nėra taip akivaizdu kaip pirmajame žaidime, bet žaidimas 2 jus taip pat ves prie laiptų apačios, kadangi laiptelių numeriai, kurie dalinasi iš trijų, pasirodys dažniau nei 1/3 viso laiko, o tai reiškia, kad ir blogoji moneta bus naudojama dažniau nei 1/3 viso žaidimo laiko. Šis žaidimas yra pralaimimas, jeigu vietoje 3 daliklį rinktumėmės 2. Nors su visais dalikliais didesniais už tris susikonstruotų žaidimas, nešantis sėkmę. Keisčiausias dalykas yra tas, kad Parrondo paradoksas teigia, jog tinkamai suderinus šiuos du žaidimus (1 ir 2) galima laimėti ir pajudėti viršun nuo laiptelio “0”. • Du nesėkmingi žaidimai  sėkmė Jeigu žaistume tokia strategija: du kartus metame kauliuką iš žaidimo 1, ir po to žengiame du žingsnius sekdami žaidimą 2, tai nelengva pamatyti, bet šitoks mūsų žaidimas galų gale vestų į pergalę. Pabandysime į šiuos žaidimus pažvelgti praktiškai ir pažiūrėti, ar teorija nemeluoja. Pirmąjį žaidimą aprašanti funkcija: > Zaidimas1 Moneta1 Moneta2 Zaidimas2 rezultatai1 for (i in 1:100) { + pozicija rezultatai1 [1] -16 -10 48 -18 -2 12 -24 -34 0 36 20 -4 -36 -26 -22 24 -60 -42 [19] -40 -20 32 -10 2 -6 -12 -18 2 0 -24 -10 4 -26 16 -16 -4 -8 [37] -26 -34 -50 -4 -22 2 -38 -16 6 14 -16 4 -4 18 -2 -4 -32 6 [55] -42 -16 10 -56 -16 0 -2 -12 -34 -30 -2 -48 -2 -4 -6 0 4 -10 [73] -24 -50 12 -40 8 -2 18 -74 6 -38 -28 6 10 -22 18 8 0 2 [91] 30 -8 32 -12 -34 28 -18 10 -2 -4 Kad būtų lengviau apibendrinti, paskaičiuojame kai kurias charakteristikas. Mažiausia reikšmė Didžiausia reikšmė Vidurkis Dispersija Standartinis nuokrypis > min (rezultatai1) [1] -74 > max (rezultatai1) [1] 48 > mean (rezultatai1) [1] -9.24 > var (rezultatai1) [1] 496.6287 > sd (rezultatai1) [1] 22.28517 Gauta reikšmė rodo, kad vidutiniškai, po 500 metimų, žaidėjas nusileido 9 laiptelius, o tai reiškia, kad žaidimą pralaimėjo. Matome, kad reikšmių išsimėtymas yra pakankamai didelis. Šį faktą galima būtų paaiškinti tuo, kad sėkmės ir nesėkmės tikimybės yra beveik lygios, o metimai nepriklausomi, todėl vieną žaidimą gali kristi daugiausia skaičiai, o kitą – herbai. Žaidžiamas antrasis žaidimas. “rezultatai2” yra masyvas, kuriame saugomi žaidimo rezultatai. Antrojo žaidimo monetos metamos 500 kartų ir po jų gauta laiptelių pozicija išsaugoma masyve. Šis žaidimas kartojamas 100 kartų: > rezultatai2 for (i in 1:100) { + pozicija rezultatai2 [1] -16 2 2 -26 -8 -14 -18 -24 -2 -10 -10 -38 -6 6 -18 -12 -28 -10 [19] 0 8 14 -8 2 -4 22 -6 -12 -6 -18 -16 12 8 12 -28 -24 -10 [37] -12 -12 20 -6 -6 -30 14 2 -12 -16 6 14 -8 -16 -4 6 -12 -16 [55] -4 8 16 -2 -10 6 0 10 -16 -30 -6 -6 -6 -32 -16 -12 -18 20 [73] -16 12 12 18 -4 -6 -12 2 0 -18 -6 0 -12 -12 2 -10 32 2 [91] -20 -12 8 -16 -16 6 -4 14 2 2 Paskaičiuojame kai kurias charakteristikas: Mažiausia reikšmė Didžiausia reikšmė Vidurkis Dispersija Standartinis nuokrypis > min (rezultatai2) [1] –38 > max (rezultatai2) [1] 32 > mean (rezultatai2) [1] -5.22 > var (rezultatai2) [1] 175.3451 > sd (rezultatai2) [1] 13.24179 Gauta reikšmė rodo, kad vidutiniškai, po 500 metimų, žaidėjas nusileido 5 laiptelius, o tai reiškia, kad žaidimą pralaimėjo. Palyginę pirmojo ir antrojo žaidimų vidurkius, galime spėti, kad antrasis žaidimas pralaimimas rečiau, negu pirmasis, arba mažesniu rezultatu. Matome, kad antrojo žaidimo reikšmių išsibarstymas yra gerokai mažesnis. Tai galima būtų paaiškinti didesne galimybe nuspėti monetos metimo baigtį: jei metama pirmoji moneta, sėkmės tikimybė yra 0,095, todėl galima “drąsiai” spėti, kad metimas bus nesėkmingas, o antrosios – 0,745, todėl galima numanyti sėkmę. Nukrypkime truputį į šalį ir patikrinkime, ar teorija nemeluoja. Pažiūrėkime, kas būtų nutikę su antruoju žaidimu, jei “nelaimingąją” monetą mestume, kai laiptelio numeris dalus iš 2 arba 4. Pradėsime nuo 2: > Zaidimas3 rezultatai3 for (i in 1:100) { + pozicija rezultatai3 [1] -88 -100 -88 -102 -66 -58 -80 -88 -44 -80 -50 -92 -86 -98 -78 [16] -112 -62 -80 -74 -90 -58 -66 -100 -76 -78 -54 -86 -90 -82 -86 [31] -90 -74 -70 -100 -102 -94 -58 -50 -68 -52 -110 -58 -94 -82 -92 [46] -72 -82 -56 -80 -70 -98 -112 -92 -76 -62 -74 -96 -72 -86 -54 [61] -92 -72 -74 -62 -72 -62 -62 -100 -48 -112 -76 -96 -72 -66 -70 [76] -82 -88 -84 -48 -74 -54 -78 -84 -74 -74 -74 -78 -100 -56 -106 [91] -42 -84 -90 -98 -90 -90 -78 -76 -82 -94 Paskaičiuokime charakteristikas: Mažiausia reikšmė Didžiausia reikšmė Vidurkis Dispersija Standartinis nuokrypis > min (rezultatai) [1] -112 > max (rezultatai) [1] -42 > mean (rezultatai) [1] –78.82 > var (rezultatai) [1] 272.9774 > sd (rezultatai) [1] 16.52203 Matome, kad tiek mažiausia, tiek didžiausia reikšmės yra neigiamos, o tai reiškia, kad visus 100 kartų žaidimas buvo pralaimėtas. Dabar padarykime tą patį, kai tikrinamas dalumas iš 4. > Zaidimas4 rezultatai4 for (i in 1:100) { + pozicija rezultatai4 [1] -4 10 24 28 26 22 20 10 26 24 44 -2 20 34 14 32 16 22 52 20 28 32 -4 6 20 [26] 14 14 48 36 26 22 54 8 26 66 4 20 20 12 64 16 24 14 52 32 24 36 44 38 80 [51] 16 34 8 28 20 8 32 16 36 56 42 50 16 34 34 44 38 8 4 20 28 68 16 24 20 [76] 6 36 -6 28 22 24 12 50 32 30 36 -2 46 24 8 38 32 16 4 48 44 12 32 24 4 Pasiskaičiuokime charakteristikas: Mažiausia reikšmė Didžiausia reikšmė Vidurkis Dispersija Standartinis nuokrypis > min (rezultatai) [1] -6 > max (rezultatai) [1] 80 > mean (rezultatai) [1] 26.14 > var (rezultatai) [1] 281.3135 > sd (rezultatai) [1] 16.77240 Matome, kad vidurkis yra daug didesnis už nulį, o tai reiškia, kad žaidimas yra dažniausiai laimintis. Galime pastebėti tendenciją, kad didindami daliklį, gauname vis “ryškiau” laiminčius žaidimus. Dabar grįžkime prie savo eksperimento.Kombinuojame abu žaidimus. Generuojamas atsitiktinis dydis tolygiai pasiskirstęs intervale [0;1). Jei sugeneruota reikšmė yra mažesnė už 0,5, žaidžiame pirmąjį žaidimą, jei nemažesnė – antrąjį. Laiptelių pozicija į rezultatų masyvą (“rezultatai”) įtraukiama po 500 metimų ir tai daroma 100 kartų. > rezultatai for (i in 1:100) { + pozicija rezultatai [1] -2 -28 -40 30 -4 24 14 -10 -38 -18 28 24 -14 52 -56 -8 26 42 [19] 28 46 44 30 44 4 -56 2 24 2 30 -12 24 2 12 22 -2 12 [37] -4 16 -12 14 62 -18 18 12 -28 -18 14 -6 24 24 2 -4 24 16 [55] -16 8 30 -6 8 12 -14 -22 -6 12 24 26 28 -4 0 -4 6 -8 [73] 2 -16 2 42 16 0 24 28 -8 68 2 6 10 42 34 36 38 50 [91] 8 12 16 30 34 -30 26 36 -18 –14 Paskaičiuojame kai kurias charakteristikas: Mažiausia reikšmė Didžiausia reikšmė Vidurkis Dispersija Standartinis nuokrypis > min (rezultatai) [1] –56 > max (rezultatai) [1] 68 > mean (rezultatai) [1] 9.64 > var (rezultatai) [1] 565.52 > sd (rezultatai) [1] 23.78078 Gauta reikšmė rodo, kad vidutiniškai, po 500 metimų, žaidėjas pakilo 9 - 10 laiptelių, o tai reiškia, kad žaidimą laimėjo. Matome, kad kombinuoto žaidimo reikšmių išsibarstymas yra didžiausias. Tai galima būtų paaiškinti labai įvairiom galimom metamų monetų kombinacijom. Dabar panagrinėsime atvejį, kai žaidimai išdėstomi ne atsitiktine, o konkrečia tvarka. Žaidimus pirmą su antru keisime kas du metimus, t.y. pirmus du kartus mesime monetą iš pirmojo žaidimo, tada du kartus iš antrojo, tada vėl iš pirmojo ir t.t. Laiptelių pozicija į rezultatų masyvą (“rezultatai”) įtraukiama po 500 metimų ir tai daroma 100 kartų. > rezultatai for (i in 1:100) { + pozicija rezultatai [1] 36 -30 -24 -26 22 8 18 2 30 8 22 24 2 16 6 -10 -14 6 [19] -18 -6 -8 -18 48 32 -6 -24 24 20 18 2 8 -12 26 -12 6 -42 [37] -10 -12 6 16 -8 -16 -6 8 14 2 -28 18 20 18 -2 0 2 -2 [55] 24 -4 32 -16 -10 -14 2 72 -20 40 18 8 2 46 36 -18 20 22 [73] 50 14 -6 20 -14 8 8 10 62 -32 24 36 4 24 -16 -12 12 32 [91] -16 -16 -10 -40 6 8 8 10 26 2 Paskaičiuojame kai kurias charakteristikas: Mažiausia reikšmė Didžiausia reikšmė Vidurkis Dispersija Standartinis nuokrypis > min (rezultatai) [1] -42 > max (rezultatai) [1] 72 > mean (rezultatai) [1] 5.96 > var (rezultatai) [1] 456.8065 > sd (rezultatai) [1] 21.37303 Kaip ir atsitiktinio kombinavimo atveju matome, kad vidurkis yra didesnis už nulį, o tai reiškia laimėjimą. Išvados Nors Parrondo paradoksas atrodo gana teorinis, tačiau jis dažnai pastebimas ir praktikoje. Pavyzdžiui, yra įrodyta, kad investuotojas vienu metu išdalinęs savo portfelį į du nepelningus akcijų fondus, visgi gali pasiekti savo kapitalo padidėjimą (Nėra plačiai naudojama dėl akcijų rinkos kompleksinės prigimties). Tiesiog pirmąjį žaidimą pavertus akcijų fondu A su tikimybe užsidirbti 1$ p. O antrąjį žaidimą pervadinkime fondu B, kuris yra šiek tiek komplikuotesnis ir susideda iš dviejų žaidimų B1 (tikimybė laimėti p1) ir B2 (tikimybė laimėti p2). Žaidime B, B1 yra žaidžiamas, jei dabartinis kapitalas yra M kartotinis, priešingu atveju pasirenkamas B2. Tiek fondas A, tiek B yra nešantis nuostolį. Tačiau juos tinkamai sukombinavus galima ir padidinti kapitalą. Jie gali būti pasirenkami atsitiktinai arba kaip AABB (šiuos du atvejus parodėme su R). Kombinacija ABBAB yra geriausia, kai M=3, tuo tarpu AB geriausia, kai turime M=2. Literatūra http://www.cut-the-knot.org/ctk/Parrondo.shtml http://ssrn.com/abstract=581521 http://abcnews.go.com/Technology/WhosCounting/story?id=144000&page=1 http://seneca.fis.ucm.es/parr/GAMES/Paradox%20in%20Game%20Theory%20Losing%20Strategy%20That%20Wins.htm http://www.eleceng.adelaide.edu.au/Personal/gpharmer/games/pg.htm

Daugiau informacijos...

★ Klientai rekomenduoja

Šį rašto darbą rekomenduoja mūsų klientai. Ką tai reiškia?

Mūsų svetainėje pateikiama dešimtys tūkstančių skirtingų rašto darbų, kuriuos įkėlė daugybė moksleivių ir studentų su skirtingais gabumais. Būtent šis rašto darbas yra patikrintas specialistų ir rekomenduojamas kitų klientų, kurie po atsisiuntimo įvertino šį mokslo darbą teigiamai. Todėl galite būti tikri, kad šis pasirinkimas geriausias!