Matematinės logikos uždaviniai

3.1. Kurie iš šių žodžių yra formulės? b) ne formulė, nes pažeistas 1.2 apibrėžimo c) punktas, nėra skliaustų. h) ((P1 כ ( ¬P2)) ^ P3) Ats. Formulė. 1. P1, P2, P3 – formulės pagal 1.2 apibrėžimo a) punktą; 2. ¬P2 - formulė pagal 1.2 apibrėžimo b) punktą; 3. ((P1 כ (¬P2)) - formulė pagal 1.2 apibrėžimo c) punktą; 4. ((P1 כ ( ¬P2)) ^ P3) – formulė pagal 1,2 apibrėžimo c) punktą. 3.2 Praleiskite nereikalingus skliaustus formulėse: a) (((( Ø P ) Ù Q ) ~ R ) Ú (( S É P ) Ù Q )) ( Ø P Ù Q ~ R ) Ú ( S É P ) Ù Q 3.3. Grąžinkite skliaustus šiose formulėse: b) 1) 2) 3) 4) c) (R כ P) כ P ~ ¬P v Q (((R כ P) כ P) ~ ((¬P) v Q)) 3.4. Apskaičiuokite formulių teisingumo reikšmes, kai žinomi rinkiniai: a) 1) Q כ ( P v R כ( R כ¬Q)) (P,Q,R,S) = (k,k,t) t k t t k t k k k Ats.: formulė klaidinga. 2) Q כ ( P v R כ( R כ¬Q)) (P,Q,R,S) = (k,k,k) k k k k t k t t t Ats.: formulė teisinga. 3.5. Sudarykite šių funkcijų teisingumo lenteles: b) ( P כ Q ) v ( P כ Q ^ P) P Q Q ^ P P כ Q ^ P P כ Q ( P כ Q ) v ( P כ Q ^ P) t t t t t t t k k k k k k t k t t t k k k t t t 3.6. Nurodykite, ar pakanka duomenų kiekvienos iš šių formulių teisingumo reikšmei nustatyti. Jeigu pakanka, nurodykite tą reikšmę. Jeigu nepakanka, tai parodykite, kad formulė gali įgyti ir reikšmę t, ir reikšmę k. b) t 1) P = t t t t t t k k k k t 2) P = k k t k t t t k k k t Ats.: duomenų pakanka. 3.8. Sudarykite šiomis formulėmis išreiškiamų funkcijų TNDF ir TNKF: c) 1 2 3 4 5 P Q R t t t t t t k t t t t k t t t k t t t k t t k t k t t t k k k k t k k k k t t t k t k k k k t k t k t k k k k k t t k t k k k k k k k k t k k k f(P, Q, R) = t (P, Q, R) = (t, t, t) (P, Q, R) = (t, t, k) (P, Q, R) = (t, k, t) TNDF: f(P, Q, R) = k (P, Q, R) = (t, k, k) (P, Q, R) = (k, t, t) (P, Q, R) = (k, t, k) (P, Q, R) = (k, k, t) (P, Q, R) = (k, k, k) TNKF: Ats.: TNDF: TNKF: 3.9 Sudarykite teisingumo funkcijų TNDF ir TNKF, jei šios funkcijos: a) yra sudarytos iš trijų atomų ir lygios t tada ir tik tada, kai reikšmę t įgyjančių atomų skaičius mažesnis už du arba ne mažesnis už tris; P Q R f(P, Q, R) t t t t t t k k t k t k k t t k t k k t k t k t k k t t k k k t f( P, Q, R ) = t: ( P, Q, R ) = ( t, t, t); ( P, Q, R ) = ( t, k, k ); ( P, Q, R ) = ( k, t, k ); ( P, Q, R ) = ( k, k, t ); ( P, Q, R ) = ( k, k, k ); Atitinkamos elementariosios konjunkcijos: P Ù Q Ù R; P Ù Ø Q Ù Ø R; Ø P Ù Q Ù Ø R; ØP Ù Ø Q Ù R; Ø P Ù Ø Q Ù Ø R; TNDF: P Ù Q Ù R Ú P Ù Ø Q Ù Ø R Ú Ø P Ù Q Ù Ø R Ú ØP Ù Ø Q Ù R Ú Ø P Ù Ø Q Ù Ø R; f( P, Q, R ) = k: (P, Q, R ) = ( t, t, k); ( P, Q, R ) = ( t, k, t ); ( P, Q, R ) = ( k, t, t ); Atitinkamos elementariosios disjunkcijos: P Ú Q Ú ØR; P Ú ØQ Ú R; ØP Ú Q Ú R; TNKF: (P Ú Q Ú ØR) Ù (P Ú ØQ Ú R) Ù (ØP Ú Q Ú R); 3.10. Išspręskite lygtis: b) 1 4 2 5 3 6 g) (P כ Q ν R) Λ (¬Q כ S) Λ (S Λ P כ ¬R) כ Q = k P כ Q ν R = t, ¬Q כ S = t, S Λ P כ ¬R = t, Q = k. ¬Q = t, S = t, P כ k ν R = t; 1) R = t, P = t; t Λ t כ k = k ≠ t, (NETINKA); 2) R = t, P = k; t Λ k כ k = t, (P, Q, R, S) = (k, k, t, t); 3) R = k, P = k; t Λ k כ t = t, (P, Q, R, S) = (k, k, k, t). Patikrinimas: P Q R S 1 2 3 4 5 6 t t t t t t k t k t t t t k t t t t t t t t k t t t t t t t t t k k t t t t t t t k t t t t k t k t t k t k t k t k k t t k k t k t t k k t t k k k k t t k k t k t t t t t t t t t k t t k t t t t t t k t k t t t t t t t k t k k t t t t t t k k t t t t t t t k k k t k t k t k k t k k k t t t t t t k k k k k t k t k k t čia: 1 – (P כ Q ν R), 2 - (¬Q כ S), 3 - (S Λ P כ ¬R), 4 – (1 Λ 2), 5 – (4 Λ 3), 6 – (5 כ Q). Ats.: (P, Q, R, S) = (k, k, t, t), (P, Q, R, S) = (k, k, k, t). 3.12. Išspręskite lygtis: a) ¬P כ ( P כ Q ) = P v ¬Q ¬P כ ( P כ Q ) = t ¬P כ ( P כ Q ) = k arba P v ¬Q = t P v ¬Q = k Pagal implikacijos apibrėžimą : P = k Q = t P = t arba arba Q = k P v ¬Q = t P v ¬Q = t P v ¬Q = t Ats.: (P,Q) = {(t,t);(k,k)}. h) Pertvarkome šią formulę į lygčių sistemas: (1), arba (2). Sprendžiame pirmąją lygtį, pertvarkome ją pagal implikacijos ir konjunkcijos apibrėžimus: (1.1.), arba (1.2.). Pagal Pirso strėlės apibrėžimą, . Tikriname šį sprendinį: - neteisinga. Taigi 1.1. lygčių sistema sprendinių neturi. Pagal Šeferio brūkšinio apibrėžimą: Tikriname, - neteisinga. Taigi 1.2. lygčių sistema sprendinių taip pat neturi. Sprendžiame antrąją lygtį pagal konjunkcijos ir implikacijos apibrėžimus: Pagal Šeferio brūkšnio apibrėžimą tik tuo atveju kai , gavome prieštarą salygai, todėl ši sistema sprendinių neturi. Atsakymas: Lygtis sprendinių neturi. 3.15. Įrodykite lygiavertiškumą: c) P ν Q ≡ (P │ P) │ (Q │ Q) P Q P │ P Q │ Q P ν Q (P │ P) │ (Q │ Q) t t k k t t t k k t t t k t t k t t k k t t k k Ats.: formulės lygiaverčios. 3.19. Be teisingumo lentelių įrodykite formulių tapatųjį teisngumą: a) ¬P כ (P כ Q) (15) (15,42) (25) (22) ¬P כ (P כ Q) ≡ ¬¬ P ν (P כ Q) ≡ P ν (¬P ν Q) ≡ (P ν ¬P) ν Q ≡ t ν Q ≡ Q ν t ≡ t 3.20. Be teisingumo lentelių įrodykite formulių prieštaringumą: d) (P ~ Q) Λ Q Λ ¬P (14) (15) (P ~ Q) Λ Q Λ ¬P ≡ (P כ Q) Λ (Q כ P) Λ Q Λ ¬P ≡ (15) (21) (27) ≡ (¬P ν Q) Λ (¬Q ν P) Λ Q Λ ¬P ≡(¬P ν Q) Λ Q Λ ¬P Λ (¬Q ν P) ≡ (27) (45) (27) ≡ (¬P ν Q) Λ Q Λ (¬P Λ ¬ Q ν ¬P Λ P) ≡ (¬P ν Q) Λ Q Λ (( ¬P Λ ¬Q) ν k) ≡ (27) (45) ≡ (¬P ν Q) Λ (Q Λ ¬P Λ ¬Q ν Q Λ k) ≡ (¬P ν Q) Λ (¬P Λ k ν Q Λ k) ≡ (38) ≡ (¬P ν Q) Λ (k ν k) ≡ (¬P ν Q) Λ k ≡ k. Ats.: formulė prieštaringa. 3.21. Kurios iš pateiktų formulių yra tapačiai teisingos? Prieštaringos? Neutralios? Netapačiai teisingos? Įvykdomos? a) 1 2 3 4 P Q R t t t t t t t t t t k t t t t t t k t t t t t t t k k t t t k t k t t t t t t t k t k t k k t k k k t k t t t t k k k k k t k t Ats.: formulė neutrali, įvykdoma, netapačiai teisinga. 3.22 Įrodykite lygiavertiškumus: c) (P Ú Q Ú R) Ù (Q Ú P Ú S) Ù (R Ú S Ú P) ≡ P Ú ((Q Ú R Ù S) Ù (S Ú R)) (P Ú Q Ú R) Ù (Q Ú P Ú S) Ù (R Ú S Ú P) (28) ≡ P Ú ((Q Ú R) Ù (Q Ú S) Ù (R Ú S)) (28) ≡ P Ú ((Q Ú R Ù S) Ù ( R Ú S)) (22) ≡ P Ú ((Q Ú R Ù S) Ù (S Ú R) 3.23. Raskite tokius P, Q, R reikšmių rinkinius, kuriems esant duotosios formulės įgyja: 1) vienodas teisingumo reikšmes, 2) skirtingas teisingumo reikšmes. a) ir 1 2 P Q R t t t t t t t t t k t k k k t k t k t t t t k k k t t t k t t k t t k k t k k t k k k k t k t t k k k k k t t k Ats.: vienodos reikšmės Skirtingos reikšmės 3.24 b) 3.25 a) z) 3.26. Įrodykite teiginius (Γ – bet kuri formulių aibė): a) Tarkime, kad išplaukimas neteisingas. Gautosios lygybės yra klaidingos, o tai reiškia, kad nėra tokio rinkinio, kuriam esant prielaida įgytų reikšmę t, o tuo pačiu metu išvada reikšmę k. Todėl teiginys yra teisingas. 3.27 Ar teisingi išplaukimai: f) , X ╞ ¬Y ¬ Z Spręsime prieštaros metodu: išplaukimas neteisingas, jei bent vienam (X, Y, Z) rinkiniui: 3.28 Įrodykite, kad išplaukimai yra teisingi: e) Ø (A ~ B) ╞ (A Ú B) Ù Ø (A Ù B) Tarkim, išplaukimas yra klaidingas, tuomet turi egzistuoti bendras sprendinys, kai (1)Ø (A ~ B) = k, (2)(A Ú B) Ù Ø (A Ù B) = t, (1) A = t, B = t, arba A = k, B = k, (2) (A Ú B) = t, Ø(A Ù B) = t, (2) A = t, B = t, Ø(t Ù t) = k, prieštara A = t, B = k, Ø(t Ù k) = t, A = k, B = t, Ø(k Ù t) = t, Bendrų sprendinių nėra. Prielaida nepasitvirtino, išplaukimas yra teisingas. f) Tarkime, kad išplaukimas yra neteisingas, tada gauname sistemą: => =>=> Ats.: Gauta prieštara įrodo, kad išplaukimas yra teisingas. 3.29.Teiginių algebros formulėmis užrašykite šiuos mokyklinės matematikos teiginius: a) a ≥ 0 Pažymime: P – a > 0 Q – a = 0 R – a ≥ 0 , Ats.: , 3.30. Teiginių algebros formulėmis užrašykite šiuos sakinius i) Jeigu studentas iš visų kontrolinių gavo po 2, tai ir iš egzamino gaus 2, nebent jis kruopščiai išmoks kiekvieną dalyko klausimą. P - studentas iš visų kontrolinių gavo po 2 Q – studentas iš egzamino gaus 2 R – studentas išmoks kiekvieno dalyko klausimą (P Q) (R ¬Q) 3.31. Lietuvių kalba išreiškite šių sakinių neigimus: a) P – tiesės a ir b erdvėje R3 Q – a ir b lygiagrečios R – a ir b kertasi S – a ir b prasileknkia P ( ) • Neigiame: ¬ ( P ) ≡ P ¬( ) ≡ P • Išverčiame į lietuvių kalbą: ◦ ¬ ( P ) Netiesa, kad jei tiesės a ir b erdvėje R3 , tai jos yra lygiagrečios arba kertasi, arba prasilenkia. ◦ P ¬ ( ) Tiesės a ir b erdvėje R3 , bet netiesa, kad jos yra arba lygiagrečios, arba kertasi, arba prasilenkia. ◦ P Tiesės a ir b erdvėje R3 yra arba nelygiagrečios, arba nesikerta, arba neprasilenkia. 3.32 Užrašykite sakinius, kontrapozityvius šiems: a) Jeigu a>b ir b>=0, tai a>0 P - a>b Q - b>=0 R - a>0 Tuomet P Ù Q É R, neigimas Ø(P Ù Q É R) (40) ≡ P Ù Q Ù ØR - a>b ir b>=0 ir a

Daugiau informacijos...

★ Klientai rekomenduoja

Šį rašto darbą rekomenduoja mūsų klientai. Ką tai reiškia?

Mūsų svetainėje pateikiama dešimtys tūkstančių skirtingų rašto darbų, kuriuos įkėlė daugybė moksleivių ir studentų su skirtingais gabumais. Būtent šis rašto darbas yra patikrintas specialistų ir rekomenduojamas kitų klientų, kurie po atsisiuntimo įvertino šį mokslo darbą teigiamai. Todėl galite būti tikri, kad šis pasirinkimas geriausias!