Koreliacinės regresinės analizės skaičiavimas

1. Koreliacinė regresinė analizė 1.1 Tyrimo tikslai Koreliacinė regresinė analizė dažnai taikoma, kada reikia nustatyti, ar egzistuoja stochastinis (atsitiktinis) ryšys tarp nagrinėjamų veiksnių. Koreliacinė analizė apima porinę koreliaciją, porinę regresiją ir daugianarę regresiją. Šio kursinio darbo tikslas yra atlikti koreliacinę regresinę analizę ir nustatyti, ar egzistuoja stochastinis ryšys tarp veiksnių Y ir X, ir tarp kurių veiksnių egzistuoja funkcinė priklausomybė. Taip pat išrinkti kreivę, kuri geriausiai atvaizduotų statistinių taškų visumą ir nustatyti jos adekvatumą realiai padėčiai. Bei aprašyti gautus rezultatus. 1.1 Tyrimo tikslai: 1. Nustatyti, kaip Y (vidutinis degalų suvartojimas litrais/100 km.) įtakoja tokie veiksniai kaip:– variklio cilindrų skaičius(X1); variklio vožtuvų skaičius(X2); variklio darbinis tūris (litrais) (X3); degalai (benzinas-1, dyzelinas-2, dujos-3) (X4); automobilio masė (tonomis) (X5); automobilio naudojimo metai (amžius) (X6). 2. Nustatyti ryšių stiprumus, formą bei analitines išraiškas; 3. Nustatyti ryšių stiprumą tarp Y ir įtakingiausių veiksnių bei rasti tų ryšių formas bei analitines išraiškas; 4. išrinkti kreivę, kuri geriausiai atvaizduotų statistinių taškų visumą ir nustatyti jos adekvatumą realiai padėčiai; 5. aprašyti gautus rezultatus ir pateikti išvadas. Pradiniai duomenys:   Y X1 X2 X3 X4 X5 X6 Eil nr. degalų suvartojimas litrais/100 km variklio cilindrų skaičius variklio vožtuvų skaičius variklio darbinis tūris( litrais) degalai: (benzinas 1, dyzelinas 2, dujos 3) automobilio masė (tonomis) automobilio naudojimo metai (amžius) 1 9 5 10 2 3 1,5 15 2 8 5 10 2 1 1,2 10 3 7 4 8 2 2 1,3 5 4 11 6 12 2 2 1,2 11 5 17 12 48 4,2 3 1,8 12 6 9 5 10 1,8 2 1,1 7 7 4 3 12 1,5 1 0,9 5 8 12 6 12 2,5 2 1,5 3 9 6 4 16 2 2 1,5 5 10 10 5 20 2 3 1,4 2 11 9 4 16 2 1 1,3 6 12 8 4 16 2 1 1,2 8 13 7 4 16 1,8 2 1,8 9 14 11 6 24 1,8 3 2 4 15 14 8 32 3 3 2 16 16 15 8 16 3 1 2,4 10 17 13 6 24 2,5 1 1,8 7 18 10 5 20 2,3 2 1,1 5 19 14 8 32 3,2 1 1,2 6 20 6 4 16 1,6 2 1,4 4 1.2 Koreliacinė analizė y su kiekvienu x1,...,x6 Norėdamas įvertinti ryšio egzistavimą tarp Y ir visų X, paskaičiavau koreliacijos koeficientus pagal šią formulę: arba su CORREL funkcija Norint apskaičiuoti reikėjo dar papildomai pasiskaičiuoti. Reikšmės paimtos iš šių lentelių: Kvadratai   Y X1 X2 X3 X4 X5 X6 81 25 100 4 9 2,25 225 64 25 100 4 1 1,44 100 49 16 64 4 4 1,69 25 121 36 144 4 4 1,44 121 289 144 2304 17,64 9 3,24 144 81 25 100 3,24 4 1,21 49 16 9 144 2,25 1 0,81 25 144 36 144 6,25 4 2,25 9 36 16 256 4 4 2,25 25 100 25 400 4 9 1,96 4 81 16 256 4 1 1,69 36 64 16 256 4 1 1,44 64 49 16 256 3,24 4 3,24 81 121 36 576 3,24 9 4 16 196 64 1024 9 9 4 256 225 64 256 9 1 5,76 100 169 36 576 6,25 1 3,24 49 100 25 400 5,29 4 1,21 25 196 64 1024 10,24 1 1,44 36 36 16 256 2,56 4 1,96 16 Vidurkis 110,9 35,5 431,8 5,51 4,2 2,326 70,3 suma 2218 710 8636 110,2 84 46,52 1406   X1*Y X2*Y X3*Y X4*Y X5*Y X6*Y 45 90 18 27 13,5 135 40 80 16 8 9,6 80 28 56 14 14 9,1 35 66 132 22 22 13,2 121 204 816 71,4 51 30,6 204 45 90 16,2 18 9,9 63 12 48 6 4 3,6 20 72 144 30 24 18 36 24 96 12 12 9 30 50 200 20 30 14 20 36 144 18 9 11,7 54 32 128 16 8 9,6 64 28 112 12,6 14 12,6 63 66 264 19,8 33 22 44 112 448 42 42 28 224 120 240 45 15 36 150 78 312 32,5 13 23,4 91 50 200 23 20 11 50 112 448 44,8 14 16,8 84 24 96 9,6 12 8,4 24 Suma 1244 4144 488,9 390 310 1592 Apskaičiuojamas vidurkis su dispersija: 1.Vidurkis   Y X1 X2 X3 X4 X5 X6 Vidurkis 10,00 5,60 18,50 2,26 1,90 1,48 7,50 Suma 200 112 370 45,2 38 29,6 150 2.Dispersija Dispersija – tai išsibarstimo apie vidurkį matas. Tai skirtumų tarp stebėtų duomenų reikšmių ir vidurkio kvadratų vidurkis, kuris apskaičiuojamas pagal formulę . Standartinis nuokrypis – tai dydis parodantis, kiek vidutiniškai požymio reikšmės yra nutolusios nuo vidurkio. Ir apskaičiuojamas taip . X1, X2,X3 kintamųjų dispersijos buvo paskaičiuota pagal Dispersijos formulę X4,X5,X6 panaudojus VAR funkciją, su VAR funkcija buvo patikrintos ir X1,X2 bei X3 dispersijos. VAR X4 0,6211 X5 0,1427 X6 14,7895 3.Standartinis nuokrypis: X1, X2,X3 standartiniai nuokrypiai buvo paskaičiuoti ištraukus kvadratinę šaknį iš dispersijų X4,X5,X6 panaudojus STDEV funkciją, su STDEV funkcija buvo patikrintos ir X1, X2,X3 standartiniai nuokrypiai. 4. Koreliacijos koeficientas   X1 0,9230 X2 0,7106 X3 0,8810   Correl X4 0,1972 X5 0,5758 X6 0,3717 X1 X2 X3 X4 X5 X6 r 0,9230 0,7106 0,8810 0,1972 0,5758 0,3717 X1,X2,X3 standartiniai nuokrypiai buvo paskaičiuoti pagal aukščiau matomą formulę, o X4,X5,X6 panaudojus CORREL funkciją, su CORREL funkcija buvo patikrintos ir X1,X2 bei X3 koreliacijos koeficientai. 1.3 Atrinkti X1,...., X6 regresinei analizei atlikti. Noredamas įvertinti koreliacijos koeficientų reikšmingumą ir atrinkti x regresinei analizei atlikti, apskaičiavau t statistines reikšmes pagal formulę: Gauname: t1 t2 t3 t4 t5 t6 tstat. 10,1729 4,2845 7,8985 0,8533 2,9878 1,6988 Koreliacijos koeficientas rodo ryšio stiprumą: kuo koeficientas arčiau 1 (pagal modulį), tuo ryšys tarp Y ir X yra stipresnis. Šias reikšmes palyginame su t lenteline reikšme, kurią gavome su TINV funkcija: TINV(),=0,05, n=20-2=18; => tlent=2,1009 Jei palyginus gaunasi, kad tsttlent, tai koreliacijos koef.reikšmingas ir stochastinis ryšys tarp Y ir egzistuoja. Tokie kintamieji tinka regresinei analizei.Mano skaičiavimuose matosi, kad: X1, X2, X3, X5, daugiau už tlent=2,1009, todėl šie koreliacijos koeficientai yra reikšmingi, ir juos pasirenkame tolimesniai analizei. 1.4 Porinė regresinė analizė Y su kiekvienu X1, X2, X3, X5 Regresinės analizės tikslas nustatyti ryšį tarp Y ir kiekvieno pasirinkto veiksnio (X1, X2, X3, X5). Ieškoma regresijos lygtis: y= a0+a1*x Norint gauti lygtį y= a0+a1*x, kuri apibrėžtų ieškomą tiesę, turime apskaičiuoti lygties koeficientus a0 ir a1. Jie surandami, panaudojant formules: arba su SLOPE funkcija arba su INTERCEPT funkcija Porinės regresinės analizės tikslas yra surasti stochastinio ryšio formą ir analitinę išraišką. Tai daroma surandant kreivę, geriausiai aprašančią statistinių taškų visumą, ir tikrinant kreivės adekvatumą realiai padėčiai.   a1 a0   X1 1,4976 1,6135 X2 0,2479 5,4137 X1, X2 koeficientai pagal pateiktas formules, o X3, X5 panaudojus SLOPE ir INTERCEPT funkcijas, su SLOPE ir INTERCEPT buvo patikrintos X1, X2 koeficientai a0 ir a1. Gavosi tokios regresijos lygtys: Ŷ = -1,6135+1,4976X1, tiesė aprašo statistinių taškų visumą. Tiesė pavaizduojama grafiškai: Ŷ = 5,4137+0,2479X2 Ŷ = -0,3621+4,5850X3 Ŷ = 2,3599+5,1622X5 Toliau ieškome Fišerio reikšmės, ir daudojame šias formules: ; ; Lentelinio Fišerio reikšmė apskaičiuojama pagal FINV() funkciją. Panaudojus FINV funkcija randama Flent. su α = 0.05 reikšmingumo lygmeniu ir ν1 = k = 1 bei ν2 = n – k – 1 = 18 laisvės laipsniais. Flent. = 4,4139 Jei, tai regresijos lygtis yra adekvati realiai padėčiai ir ją galima taikyti planaviui. Kad įvertinti ar gautos tiesės adekvačios realiai padėčiai, skaičiuojamos dispersijos SŶ2 ir Slikut2 bei jų santykis F. Tam reikalingos papildomos lenteles: X1 X2 X3 X5 y^ (y^ - yvid)^2 y^ (y^ - yvid)^2 y^ (y^ - yvid)^2 y^ (y^ - yvid)^2 9,1014 0,8074 7,8928 4,4403 8,8079 1,4211 10,1032 0,0107 9,1014 0,8074 7,8928 4,4403 8,8079 1,4211 8,5546 2,0893 7,6039 5,7415 7,3970 6,7757 8,8079 1,4211 9,0708 0,8634 10,5990 0,3588 8,3886 2,5966 8,8079 1,4211 8,5546 2,0893 19,5845 91,8634 17,3132 53,4834 18,8949 79,1189 11,6519 2,7288 9,1014 0,8074 7,8928 4,4403 7,8909 4,4483 8,0383 3,8481 6,1063 15,1611 8,3886 2,5966 6,5154 12,1424 7,0059 8,9646 10,5990 0,3588 8,3886 2,5966 11,1004 1,2109 10,1032 0,0107 7,6039 5,7415 9,3802 0,3841 8,8079 1,4211 10,1032 0,0107 9,1014 0,8074 10,3719 0,1383 8,8079 1,4211 9,5870 0,1706 7,6039 5,7415 9,3802 0,3841 8,8079 1,4211 9,0708 0,8634 7,6039 5,7415 9,3802 0,3841 8,8079 1,4211 8,5546 2,0893 7,6039 5,7415 9,3802 0,3841 7,8909 4,4483 11,6519 2,7288 10,5990 0,3588 11,3635 1,8591 7,8909 4,4483 12,6844 7,2058 13,5942 12,9183 13,3467 11,2006 13,3929 11,5117 12,6844 7,2058 13,5942 12,9183 9,3802 0,3841 13,3929 11,5117 14,7493 22,5555 10,5990 0,3588 11,3635 1,8591 11,1004 1,2109 11,6519 2,7288 9,1014 0,8074 10,3719 0,1383 10,1834 0,0336 8,0383 3,8481 13,5942 12,9183 13,3467 11,2006 14,3099 18,5752 8,5546 2,0893 7,6039 5,7415 9,3802 0,3841 6,9739 9,1572 9,5870 0,1706 (y^ - y)^2 X1 X2 X3 X5 0,0103 1,2259 0,0369 1,2171 1,2132 0,0115 0,6527 0,3076 0,3647 0,1576 3,2685 4,2882 0,1608 6,8194 4,8053 5,9801 6,6799 0,0981 3,5906 28,6020 0,0103 1,2259 1,2301 0,9248 4,4364 19,2599 6,3273 9,0354 1,9627 13,0421 0,8093 3,5977 2,5724 11,4260 7,8843 16,8366 0,8074 0,1383 1,4211 0,1706 1,9492 0,1446 0,0369 0,0050 0,1569 1,9050 0,6527 0,3076 0,3647 5,6655 0,7937 21,6403 0,1608 0,1321 9,6665 2,8371 0,1647 0,4268 0,3686 1,7309 1,9763 31,5818 2,5828 0,0629 5,7646 2,6782 3,6085 1,8173 0,8074 0,1383 0,0336 3,8481 0,1647 0,4268 0,0960 29,6527 2,5724 11,4260 0,9485 12,8667 Tada gauname, kad:   F X1 185,7005 1,7944 103,4879 X2 110,0704 5,9961 18,3570 X3 169,1861 2,7119 62,3870 X5 72,2714 8,0960 8,9268 Kadangi visos F stat. didesnėsnės nei lentelinės, todėl galime teigti, kad visos lygtis yra adekvačios realiai padečiai t.y Y su kiekvienu X1, X2, X3, X5, turi tiesinę priklausomybę, kas matyti iš aukščiau pateiktu grafikų. 1.5 Daugianarė koreliacinė regresinė analizė. Šios analizės metu nustatysiu bendrojo ryšio tarp Y ir visu pasirinktų veiksnių X egzistavimą ir jo analitinę išraišką. Tiesinės regresijos lygties pavidalas: Y=a0+a1x1+a2x2+a3x3+ …+anxn Ja remiantis nustatysime bendrą ryšį tarp y ir pasirinktų X(1,3,4). Daugianarę analizę atliksiu naudodamas funkcijas: LINEST(įvertina tiesinės funkcijos koeficientus) ir LOGEST(įvertina rodiklinės funkcijos koeficientus), o taip pat prognozavimui reikalingas: TREND(aptinka būsimą tiesinę priklausomybę) ir GROWTH(aptinka būsimą eksponentinę priklausomybę). Y X1 X2 X3 X5 9 5 10 2 1,5 8 5 10 2 1,2 7 4 8 2 1,3 11 6 12 2 1,2 17 12 48 4,2 1,8 9 5 10 1,8 1,1 4 3 12 1,5 0,9 12 6 12 2,5 1,5 6 4 16 2 1,5 10 5 20 2 1,4 9 4 16 2 1,3 8 4 16 2 1,2 7 4 16 1,8 1,8 11 6 24 1,8 2 14 8 32 3 2 15 8 16 3 2,4 13 6 24 2,5 1,8 10 5 20 2,3 1,1 14 8 32 3,2 1,2 6 4 16 1,6 1,4 Norint išreikšti lygtį Y= a0+a1X2+a2X4+a3X5+a4X6, turime su LINEST funkcijos pagalba sužinoti lygties koeficientus. LINEST a4 a3 a2 a1 a0 1,2111 1,1314 -0,0495 1,2387 -0,3711 0,9792 1,4614 0,0569 0,4827 1,6691 0,8731 1,3579 #N/A #N/A #N/A 25,8090 15,0000 #N/A #N/A #N/A 190,3434 27,6566 #N/A #N/A #N/A Gaunama tiesė: Y= - 0,3711+1,2387X1-0,0495X2+1,1314X3+1,211X5 Tiesės adekvatumui patikrinti skaičiuojamos dispersijos SŶ2 ir Slikut2 bei jų santykis F. Taip pat skaičiuojama dispersija D, Kam kad gauti šias reikšmes reikia pasidaryti papildomą lentelę: y^ (y^ - yvid)^2 (y^ - y)^2 12,6868 23,3945 5,3509 11,8047 15,6398 0,0381 6,4758 1,8884 2,1780 10,1780 5,4195 4,7436 1,8197 36,3648 0,0325 11,0479 10,2265 4,1939 3,4765 19,1277 0,2741 10,0728 4,9409 8,5684 1,3611 42,1054 0,1304 12,1021 18,0806 4,4190 12,8609 25,1088 1,2976 5,8022 4,1934 0,0391 4,9553 8,3794 0,0020 2,8010 25,4922 0,0396 9,5745 2,9740 2,0320 4,6022 10,5481 5,7494 10,0006 4,6252 1,0013 6,3143 2,3584 1,7274 8,4327 0,3395 5,9179 10,6308 7,7329 1,8747 Panaudojus funkcija FINV randama Flent. su α = 0.05 reikšmingumo lygmeniu ir ν1 = m = 4 bei ν2 = n – m – 1 = 15 laisvės laipsniais.       47,5859 1,8438 25,8090 Fstat = 25,8090; Flent = 3,0556; Fstat > Flent Dterminacijos koeficientas = 0,8731 Koreliacijos koeficientas = 0,9344 Kaip matome iš aukščiau pateiktų lenteles Flent=0 Not Binding 33 $B$8 padėklai pirtims kintamieji 33 $B$8>=0 Not Binding 33 Microsoft Excel 11.0 Sensitivity Report Worksheet: [Book1.xls]Sheet2 Report Created: 2006.10.24 15:58:54 Adjustable Cells Final Reduced Objective Allowable Allowable Cell Name Value Cost Coefficient Increase Decrease $B$7 Statybiniai padėklai kintamieji 33 0 80 60 45 $B$8 padėklai pirtims kintamieji 33 0 70 90 30 Constraints Final Shadow Constraint Allowable Allowable Cell Name Value Price R.H. Side Increase Decrease $B$27 Mediena (m3.) Apribojimai 100 30 100 40 50 $B$28 Smeigės (vnt.) Apribojimai 333 0 400 1E+30 66,66666667 $B$29 Varžtai (kg.) Apribojimai 5 0 10 1E+30 5 $B$30 Darbas (h.) Apribojimai 10 200 10 4 5 $B$31 Vinys (kg.) Apribojimai 10 0 15 1E+30 5 Microsoft Excel 11.0 Limits Report Worksheet: [Book1.xls]Limits Report 1 Report Created: 2006.10.24 15:58:54 Target Cell Name Value $F$3 max pajamos 5000 Adjustable Lower Target Upper Target Cell Name Value Limit Result Limit Result $B$7 Statybiniai padėklai kintamieji 33 0 2333 33 5000 $B$8 padėklai pirtims kintamieji 33 0 2667 33 5000 Maksimalios pajamos yra 5000 Lt., jas gamykla gauna pardavus po 33 kiekvienos rūšies padėklus, ir gamybai sunaudojama tiek išteklių: Mediena (m3.) 100 Smeigės (vnt.) 333 Varžtai (kg.) 5 Darbas (h.) 10 Vinys (kg.) 10 3.2 Atrinkti 2 apribojimus ir sudaryti bei išspęsti dualų uždavinį Tikslo funkcija tikslo funkcija: f (x1, x2 ) = 80x1 +70x2 Pasirinkti 2 apribojimai: mediena ir darbas: 2X1 + X2 ≤ 100 5X1 + 5X2 ≤ 400 X1≥0 X2≥0 Įvedami kintamieji Y1 ir Y2 kiekvienam tiesioginio uždavinio apribojimui: 2X1 + X2 ≤ 100 Y1 5X1 + 5X2 ≤ 400 Y2 X1≥0 X2≥0 Sudaroma tikslo funkcija (laisvųjų narių ir įvestų kintamųjų sandaugų suma): min f(y1,y2) = 100 Y1+ 400 Y2 Kadangi tiesioginis uždavinys yra maksimizavimo, tai dualus uždavinys priešingai – minimizavimo. Sudaromi apribojimai (pirmasis atitinka X1 stulpelį, o antrasis X2 stulpelį): 2Y1 + Y2 ≥ 80 (Y1=0, Y2=80 / Y2=0, Y1=40) 5Y1 + 5Y2 ≥ 70 (Y1=0, Y2=14 / Y2=0, Y1=14) Y1 ≥ 0 Y2 ≥ 0 Jei tiesioginiame uždavinyje X1≥0 ir X2≥0, tai ir dualiame uždavinyje apribojimuose yra nelygybė. Jos ženklas priklauso nuo to, ar dualus uždavinys minimizavimo, ar maksimizavimo. Jei minimizavimo, tai apribojimams naudojamas ženklas „≥“, o jei maksimizavimo, nelygybės ženklas keičiamas priešingu („≤“). Kintamųjų Y1 ir Y2 ženklai priklauso nuo tiesioginio uždavinio apribojimų ženklų: jei ten naudojamos nelygybės, tai Y1 ir Y2 bus neneigiami. Braižau tikslo funkciją, kad rasčiau minimumą: 100Y1 + 400Y2 = 4000 Y1=0, Y2=10 Y1=40, Y2=0 ` Galimų sprendinių sritis prasideda nuo taško B tai yra kreivių 2Y1 + Y2 =80 ir 5Y1 + 5Y2 =70 susikirtimo taškas, todėl: Y1=30 Y2=20 min f(y1,y2) = 100*30 + 400*20=11000 4. Sudaryti ir išspręsti transporto uždavinį Yra 3 sandėliai, iš kurių vežamo spintos, ir 4 taškai, į kuriuos jos pristatomos. Yra žinoma kiek spintų yra sandėliuose ir kiek spintų reikia kiekvienam taškui. Atsargų ir prekių kiekis yra vienodas bei žinomos pervežimo kainos. Uždavinio tikslas – sudaryti tokią pervežimo programą, kad būtų: • Mažiausios transportavimo išlaidos • Patenkinti visų taškų poreikiai • Visos sandėlių atsargos išvežtos Jei turiu 3 siuntimo punktus (n) ir 4 gavimo punktus (m), tai viso langelių turiu 12 (n*m), o užpildytų – 6 (n+m-1). - kiek spintų (vnt) reikia vežti iš sandėlio (i) į tašką (j) - vienos spintos pervežimo kaina (Lt) - atsargos (vnt) sandėliuose - prekių kiekis (vnt) taškuose - sandėlių skaičius (m=3) - taškų skaičius (n=4) m\n Atsargos, 5 1 4 3 20 3 6 1 7 50 4 2 3 1 30 Poreikiai, 20 40 10 30 100 Tikslo funkcija (išreiškia bendras transportavimo išlaidas): Apribojimai (sandėlių): Apribojimai (taškų): Sprendžiame mažiausios kainos metodu: m\n Atsargos, 5 20 1 4 3 20 20 3 20 6 10 1 7 50 4 2 3 30 1 30 Poreikiai, 20 40 10 30 100 1 žingsnis - 2 žingsnis - 3 žingsnis - 4 žingsnis - 5 žingsnis - (Lt.) Dabar gerinsime šį sprendinį, kol bus gautas optimalus rezultatas. Tai atliksime naudodami potencialų metodą. - siuntimo punktų (sandėlių) potencialai - gavimo punktų (taškų) potencialai 3 1 -4 1 m\n Atsargos, 0 5 20 1 4 3 20 5 20 3 20 6 10 1 7 50 0 4 2 3 30 1 30 Poreikiai, 20 40 10 30 100 Gavome, kad visiems laisviems langeliams įvertinimai . Vadinasi pervežimų lentelėje esantis sprendinys yra optimalus ir minimali pervežimo kaina bus: (Lt.) Tiekėjas iš I sandėlio turi pristatyti: • Į II tašką – 20 spintų Pervežimo išlaidos: 20*1=20 (Lt.) Tiekėjas iš II sandėlio turi pristatyti: • Į I tašką – 20 spintų • Į II tašką – 20 spintų • Į III tašką – 10 spintų Pervežimo išlaidos: 20*3+20*6+10*1=190 (Lt.) Tiekėjas iš III sandėlio turi pristatyti: • Į IV tašką – 30 spintų Pervežimo išlaidos : 30*1=30 (Lt.) Taigi gavome optimalų pervežimo planą tenkinantį visus, pradžioje išvardintus, tikslus: bendros mažiausios transportavimo išlaidos yra 240 Lt., visų 4 taškų poreikiai patenkinti ir 3 sandėlių atsargos išvežtos.

Daugiau informacijos...

★ Klientai rekomenduoja

Šį rašto darbą rekomenduoja mūsų klientai. Ką tai reiškia?

Mūsų svetainėje pateikiama dešimtys tūkstančių skirtingų rašto darbų, kuriuos įkėlė daugybė moksleivių ir studentų su skirtingais gabumais. Būtent šis rašto darbas yra patikrintas specialistų ir rekomenduojamas kitų klientų, kurie po atsisiuntimo įvertino šį mokslo darbą teigiamai. Todėl galite būti tikri, kad šis pasirinkimas geriausias!