Įvadas į statistiką

I Įvadas ir pagrindinės sąvokos 1.1 Atsitiktinė seka. Pavyzdžiai 1. Labai dažnai stebimam reiškiniui aprašyti matuojamos kokio nors kintamo dydžio reikšmės įgyjamos laikui bėgant arba skirtingose vietose. 2. Fiksuojamas metinis gyventojų skaičiaus prieaugis. 3. Užrašomas žmogaus rašomas žodis. Pirmieji du pvz. yra diskrečiojo laiko, 3-asis - tolydaus. PVZ.: Technologiniame procese gaminamas siūlas. Kiekviename ilgio vienete matuojamas siūlo storis. Mums svarbu tai, kad čia veikia atsitiktinumai. -tikimybinė erdvė, kur -elementarių įvykių aibė, F-poaibis, . 1 Apibr. Atsitiktinis dydis, apibrėžtas tikimybinėje erdvėje yra tokia (R-skaičių f-ja), kad , . 2 Apibr. Atsitiktinio dydžio x pasiskirstymo f-ja apibrėžiama taip: , -tankio f-lė. Jei imsime seką . Ši seka yra nepriklausomų dydžių seka, jei , -nepriklausomi dydžiai, -priklausomi dydžiai. Atsitiktinio dydžio vidurkis: . Dispersija: . Nagrinėjant mišrius momentus: , , 3 Apibr. Sekos mišrieji momentai vadinami tos sekos autokovariacine f-ja R(s,t). Dar kitaip žymima . Kai s=t, turime , dispersij , ši f-ja vadinama autokoreliacine f-ja. Kai R(s,t)-autokovariacinė. Sakykime, kad seka nekoreliuotų dydžių seka, jei kiekvienam . Tokia seka vadinama grynai atsitiktine. 1.2 Statistinė atsitiktinių sekų analizė. Modelio sukūrimo uždavinys. Tarpusavio nepriklausomumo prielaida yra viena iš klasikinių. Yra daugybė uždavinių, kur būtent priklausomumas yra informatyvūs ir svarbūs. Dažnai tą priklausomumą reikia nagrinėti ir pažinti priklausomybę, pobūdį, tinkantį ne tik nagrinėjamiems, bet ir tos pačios kilmės duomenims aprašyti. Pati paprasčiausia seka yra nepriklausomų atsitiktinių dydžių seka . Vidurkis ir dispersija yra pastovūs dydžiai, t.y. ; , visiems t. Parodysime, kad bet kurie du dydžiai ir yra nekoreliuoti, t.y , (reiškia yra nekoreliuoti). Seka turi sudėtingesnę struktūrą. Jos vidurkis gali kisti laikui bėgant. Negana to, tos sekos svyravimai vidurkiai gali būti priklausomi dydžiai. Kuriant modelį į tai reikia atsižvelgti. Paprastumo dėlei nagrinėsime seką, kurios vidurkis , mes nustatome dydžių tarpusavio priklausomumą. Konkrečiau kalbant reikia apspręsti ryšius taip: praeities, esamų, būsimų reikšmių bei surasti kokiu būdu susiję . Taigi ieškome modelio (2). Nepriklausomų dydžių seka (2)-osios f-lės dešinėje pusėje reiškia, kad modelis paaiškino visas ryšių, kurie buvo sekoje ir liko tik nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai . Ryšiai tarp dviejų dydžių kai likučiai tampa nepriklausomais atsitiktiniais dydžiais Represijos teorija. Bendrasis modelis kūrimo uždavinių būtų formuluojamas taip: turime atsitiktinės sekos stebėjimus(realizaciją) . Reikia rasti tokią f-ją , kuri keičia seką , nepriklausomų dydžių seką. Jei surastoji f-ja yra tokia, kad (2)-oji lygtis gali būti išspręsta atžvilgiu, t.y. (3), kur , tada mes esame radę sekai kiek galima geriausią modelį. Bet suprantama, jei f-ja - bet kokia f-ja, o mes turime , M-baigtinis skaičius, tai uždavinys neišsprendžiamas. 1.3 PAGRINDINĖS STACIONARIŲJŲ SEKŲ SAVOKOS 1. STACIONARUMAS. Negriežtai sakant seka vad. stacionariąja, jei jos savybės nekinta laikui bėgant, o griežčiau- skiriamas dviejų rūšių stacionarumas: silpnasis arba stacionarumas iki antros eilės ir griežtasis – visiškas stacionarumas 1APIBR. Sakoma, kad seka griežtai stacionari, jei paėmus tokius rinkinius jų pasiskirstymai yra tapatūs visiems n Ir. visiems rinkiniams Ir. visiems . 2 APIBR. Sakoma, kad seka silpnai stacionari arba stacionari iki antros eilės, jei visi minėtų pasiskirstymų momentai iki antros eilės egzistuoja ir yra tapatūs . Dažnai ši seka vad. tiesiog stacionariąja Ir. (1) visiems t yra konstantos. Negana to kovariacinė f-ja R(s,t) priklauso tik nuo argumentų skirtumo (t-s). 2. Stacionariosios sekos autokovariacinė ir autokoreliacinė f-jos. Nagr. kovariacinę (2) autokovariacinė f-ja. Visiems r f-ja R(r) padalijus iš reikšmės gauname koreliacinė (3) . Autokovariacinės f-jos R(r) pagr. savybės: 1.Visada 2. visiems 3.F-ja R(r)=R(-r) visiems 4.Realioji lyginė f-ja R(r) apibrėžta visiems yra neneigiamai apibrėžta tada Ir. tik tada jeigu ji yra stacionariosios sekos autokovariacinė. 3. Gauso procesai (normaliniai) vad. Gauso procesai jeigu visiems atsitiktiniams dydžiams iš sekos bendras pasiskirstymas yra daugiamatis normalusis. Normalusis pasiskirstymas apibrėžiamas vidurkiu ir kovariacijų matrica. Sąvokos silpno ir griežto stacionarumo Gauso atveju sutampa. Sektrinio tankio f-jos Jeigu R(r) yra mažejanti ir absoliučiai sumuojama, t. y. (4), tada galime atlikti f-jos diskrečiąją Furje transformaciją (5) vad. sekos spektrinio tankio f-ja. Atlikus atvirkščią transformaciją (5) f-lę galima perašyti 6), r=…-2,-1,0,1,2,… Gali būti atvejų, kad (6) skleidimo irspekrinio tankio f-ja neegzistuoja, tuomet (7) Savybės… (tuščia) Tolydžiojo parametro procesai (irgi nėra) Daugiamatės sekos Tiriant sudėtingus reiškinius,keleto atsitiktinių procesų duomenys gali būti užrašomi kartu,gaunant p komponenčių.Galima nagrinėti kiekvieną procesą atskirai irkiekvienai skaičiuoti charakteristikas,bet tuo metu prarandame daug informac,todėl būtina aprėpti visumą, irįskaityti kryžminius ryšius tarp sekų.Turime stebėjimus 0=0,0 Jei kiekvienai atskirai paimta seka yra stacionarioji irsekos tarpusavyje stacionarios,tai kiekvienai porai (I,j) galima skaičiuoti cov(0), irji priklausys tik nuo (s-t).Taigi, 0ji vadinama kryžmine kovariacija tarp0Galime atitinkamai apibrėžti irkoreliaciją: 0 (17).Ji vaadinama kryžminės koreliacijos funkcija. Kiekv. r galime sukonstruoti: 0(18). Jei kiekv. i teisinga 0, tuomet egzistuoja tankio funkcija kiekv. atskirai paimtai sekai: 0(19). Ir jei kiekv.porai (i,j) teisinga: 0,tuomet galime apibrėžti kryžminio tankio funkciją: 0(20). Spektrinė matrica: 0h(w)0, i,j0(21) Ryšiai tarp kryžminių spektrų ir kovariacijų yra analogiški:h(w)0R(0)0 (22), R00h0 (23). . Tiesinės stacionarinio proceso išraiškos 0-stacionarus, vidurkis0 0 (1) -spektrinė išraiška, čia 0 Z(w) yra kompleksinis atsitiktinis ortogonaliųjų pokyčių procesas; (2)00. Kiekviena diskrečiojo parametro stacionarioji seka, kintant dėsniams, gali būti užrašyta kisinusoidžių suma. Jeigu funkcija H(w),kad egzistuoja ir spektriniomtankio funkcija 0, tuomet kairioji pusė yra neneigiama, todėl ir dešnioji neneigiama. O jei 0, tai atsiras tam tikra funkcija kad spektrinio tankio funkcija (3) Prisiminus, kad autokoreliacinė f-ja , tai yra kvadratu integruojama. Tuomet Jeigu tuomet f-ja Tuomet (1) lygtį galime perrašyti : arba pažym. Paskaičiuokime spektrinį tankį: Iš čia matome, kad Gavome grynai atsitiktinį procsą. (8) f-lėje užrašytas procesas per atsitiktinę sumą atsitikt. dydž. Parodėm, kad kiekv. stacionarus procesas, turintis absoliučiai tolydų spektrą, yra išreiškiamas buvusių, esamų ir būsimų grynai atsitikt. proceso reikšmių tiesiniu deriniu.Norint išvengti priklausomumo nuo buvusių reikšmių, spektriniam tankiui reikalaujama, kad log būtų integruojamas: Tuomet jei reikalavimai tenkinami, galime rasti: Tuomet analogiškai:Wold skaidinys ir kartais vad. fiziškai realizuojamu.0 1.5. Atsitiktinių sekų modeliai ir operatorinė forma Anksciau nagrinejome tokio tipo tiesinius modelius : (1) - konstantø seka - priklauso nuo visu praeitø reikðmiø, t.y. ,kai uą, j1,…,p. Šis daugianaris vadinamas ARMA lygties charakteristiniu daugianariu, o šaknys - charakteringomis šaknimis. Gali būti ir vienetinių šaknų tada turime ARMA apibendrintą modelį, jei dar tos šaknys yra d-kartų. Dar šis modelis vadinamas integruotu slenkančiojo vidurkio modeliu ir žymimas ARIMA(p,d,q) Daugianaris turi daugiklį ,o G(z) perdavimo f-ja d-ojo kartotinumo polių z=1. Kai vienetinė šaknis, tai seka -nestacionari, tai stacionariaja keičiame taip : (13) -daugianaris neturintis vienetinių šaknų. Nestacionarusis jau yra stacionarusis procesas. Imame ARIMA(p,d,q) procesai de(-0,5 ; 0,5) šis procesas vad. fralitaliniu, kurių koreliacinė f-ja ilgai gęstanti, bet jis yra stacionarus. 1.4. Tiesinis filtras, spektrinių tankių f-jų ryšiai Imkime procesą Sakykime atsitiktiniai procesai daugianariai . Tada pagr-procesų spektr. tnkių f-ja tenkina ryšius. dažniai -0 (9) (10). Tada sakome, kad seka yra asimptotiškai stacionari iki II-os eilės. Jei modelis yra a=1, atsit. Klaidžiojimo procesas nestacionarus. AR(1) . yra būtina stac. sąlyga. (11). (12). Kokios autoregrecijos f-jos galimos AR procesui? a>0 brezinuks a jei D=0 Kai Asimptotinio stacionarumo sąlyga: 0, z(-1)>0 >0, >0, >-1, =1 teisinga Šios formulės vad. Yūle-Walker metodu. Išsprendę (12) ir (13) lygtis , gausime: Ji sieja… Jei r>2 , skaičiuojamos rekurentiškai pagal f-lę (14). Gausime išraiškas per charakt. Šaknis Sprendžiant (14) bendras sprendinys užrašomas taip: B1 ir B2 reikšmės nustatomos iš kraštinių sąlygų: Įstatę tas išraiškas, gausime: Nagr. Kai šaknys realios ir kompleksinės: 1) realios šaknys, Jei ir f-ja mažėja tolygiai Jei Jei 2) kompleksinės jungtinės šaknys (sąlyga koef.) – Q apibrėžiamas iš priklausomumo: Įstatę jas į (17) f-lę, gauname: Spektr. Tankio funkcija pr. AR(2) 2.5 Bendrasis baigtinės eilės autoregresijos procesas APIBR. Atsitikt. seka vad. p-tosios eilės autoregresijos procesu, (AR(p)) jei kiekvienas tenkina skirtuminę lygtį Visos šaknys turi būti vienetinio apskritimo išorėje. Jei daugianaris trupmeniškai integruotas triukšmas. (11) perrašome tokiu pavidalu TEOREMA: Tegu Neturi bendrų šaknų. Sąlygos: a) jei tada (11) lygties vienintelis sprendinys stacionarusis yra užrašomas taip: b) sprendinys yra priežastinis tada ir tik tada, kai c) sprendinys yra apgręžiamasis tada ir tik tada, kai daugianaris d) jei sprendinys yra priežastinis ir apgręžiamasis, tai jo koreliacinė f-ja ir spektrinio tankio f-ja , tai tenkina tokias priklausomybes: Tokio tipo procesai sutinkami: 1. lėtai gęstanti 2. 2.6 Slenkamojo vidurkio procesas. MA(q) AP.Atsitiktinė seka {Xt} vad. q-tosios eilės slenkamojo vidurkio procesu MA(q)jei galime užrašyti tokią skirtuminę lygtį: Xt= b0 t+ b1 t-1+....+ bq t-q. (1) b0 , b1 ,..., bq -konst.; {t}-grynai atstitikt. procesas. (z)= b0 + b1 z+ bq zq (2) b0=1, 2 1; b01, 2 =1 AR(p)MA(), MA(q)AR() (a1,..., ap), (b0, b1,..., bq)  {Xt} procesas stacionarinis. (b0, b1,..., bq) zu-1, apibrëðime d-tojo skirtumo operatoriø .Panaudojus binominá skleidiná : APIBR.Procesas vad. traktaliniu (trupmeniðkai integruotu) triukðmu arba ARIMA (0,d,0) procesu,kurio parametras yra ið int.jei yra skirtuminės lygties stacionarus sprendinys Panagrinekime TEOREMA: jei ,tai (4) lygtis turi vienintelá stacionarø sprendiná kuriokoeficientai,o koreliacinë taðke h: Asimplotiðkai: Kai baigtinis dydis,tada ir tik tada ,kai APIB.Procesas yra vad. trupmeniðkai integruotu ARIMA(p,d,q) procesu, fraktaliniu ARIMA, kai ir tenkina skirtuminæ lygtá: -grynai atsitikyinë seka(nekorialiuotø dydþiø) eilës polinomai. d-tøjø trupmeniniø skirtumø seka yra paprastas ARMA procesas. Jei ,-yra trupmeniðkai subalansuotas triukðmas. Tada (11) lygtá galima uþraðyti tokiu pavidalu:.Èia paprastasis ARMA procesas, bet jau suþadinimui naudojame ne paprastà triukðmà,bet integruotà.(11) lygties ir vienatinumà árodo teorema. TEOREMA:Jeigu , neturi bendrø ðaknø. a)jei tada (11) lygties vienintelis stacionarus sprendinys uþraðomas taip: kur b) sprendinys yra prieþastinis tada ir tik tada, kai jei c) sprendinys yra apgreþiamas tada ir tik tada, kai daugianaris jei d) jei sprendinys yra prieþastinis ir apgreþiamas , tai jo koreliacinë f-ja ir spektrinio tankio f-ja tenkina priklausomybes: jei . 1) Koreliacinë lëtai gæstanti 2)Spektrinio tankio f-ja panaði á f-jà Tokio tipo procesai sutinkami: PVZ: 1)Upiø srauto matavimo duomenys (efektyviai atkuriami tûkstanèiø metø senumo duomenys) 2) Svorio etalono matavimai 3. Baigtinės eilės statistinių modelių parametrų vertinimas x1,x2,…,xn-> modelį 1) modelių parametro vertinimo metodas 2) skirtuminės lygties eilės nustatymo būdai 3) modelio parinkimas Modelio kūrimas vyksta 2 etapais: a)parametrų vertinimas (tarus, kad eilė žinoma); 2) modelio eilės nustatymas 3.1. Autoregresijos modelio parametrų vertinimas Sakykime . (1) (a1…ap) yra tokie, kad d(r)=1+a1z+…+apP visos šaknys yra vienintelio apskritimo išorėje. , jei turime AR(1), tai =(-1,1); jei turime AR(2), =trikampis plokðtumoje (a1,a2) Parametrø vertinimo uždavinys Tegul turime autoregresinio proceso AR(p) ,{xt} užrašyto (1) lygtimi stebėjimus x1,x2,…,xN ir žinoma lygties eilė p. Reikia gauti nežinomų parametrų , įverčius: I. Mažiausiųjų kvadratų įverčiai (1) perkeliame į dešinę pusę: (2) p,…,N II Didžiausio tikėtinumo įverčiai {t}-> pasiskirstymo dėsnį, reikia žinoti N(0,2) jei normaliai, tai ir nepriklausomi Galima atlikti kintamųjų pakeitimą Jei p - didelis, tai ignoruojamas Logaritminio tankio f-ja: (3) -žinomas (3) minimizuoti (8) maksimizuoti (8) max-> sąlyg. didž. tikėtinumo įverčiai (7) max-> tikslūs didž. tikėtin. įverčiai jei j=1,2,…,p (10) (10)pertvarkę j=1,2,…,p(12) -kovariacinis įvertis Sekos R(j) įvertis paskaičiuotas iš realizacijos Yule-Walker Dispersijos įvertis skaičiuojamas taip: (12) ir (14) yra Yule-Wallker lygčių imties realizacijos analogai. Galime užrašyti matricinę formą: R(0)>0 matrica R­­p yra neissigimusi, Y-W lygtis galima isspresti parametru a1…ap atzvilgiu.Paprastai naudojamos tokios lygtys ­­=R(0)[1+a1(1)+…+app(0) Rpa=-r, 2=R(0)+ar, tai didziausias tiketinumo ivertis (a,)  ivertis kitais metodais: (i) maziausiu kvadratu: (ii)nepaslinktasis: Salyginis didziausio tiketinumo : Pastabos: Tikslius didziausio tiketinumo ivercius tikslinga vartoti 1)Jei N-realizacijos ilgis nera didelis,o parametrai a yra netoli stacionarumo ribos.2)Jei N pakankamai didelis skaicius ir N>>p tai visi artutiniai dydziu tiketinumo maziausia kv. Iverciai visi tinkami 3)Maziausiu kv iverciu a1…apasimptotiniai pasiskirstymai.Jei sekos {t} yra vienodai pasiskirste ir yra neprikl.atsitik. dydziai,kuriu 4-os eiles momentai E­­­­­,tuomet dideliems N teisingas asimptotinis desnis Kai -zinomas p-zinoma Rp-X1,X2…Xp eiles p kovariacine matrica. Kitaip (20) atrodys taip: Gautoji is ilgos realizacijos. Jei N-didelis sk. Tai parametru iverciai gauti tiek maziausiu kv.metodu tiek didz.tiketinumo metodu turi ta pati asimptotini normalini pasiskirstyma . Pasikliautinieji intervalai.Intervalai AR koeficientams Tegu AP eile p yra tiksli.Rasime parametru vektoriaus a ir jo bet kurios komponentes aj pasikliaunamuosius intervalus,kai is ilgos realizacijos X1..XNgauti iverciai a Tegu Yra (1-)kvantlis ……. (22)su tikimybe artima (1-) turi pakliuti tikrasis parametru vektorius.(21)bendru atveju duoda pasikliautine sriti -klaidos tikimybe. (1-)-0.95 pasikl. Lyg. Tegu aj yra standart. normalinio desnio (1-)kvantilis t.y. z1- -N(0,1). Tegu jj-j-tasis matricos Rp-diag elem.Tuomet I intervala aj=z1-/2 1/N jj pateks tikroji parametro reiksme aj su tikimybe artima 1-[aj-zaj+z1-/2 1/N jj 3.2 Slenkamo vidurkio modelio MA(q) parametrų vertinimas Sakykime q žinoma, reika įvertinti param. . Turime stebėjimus , - neturi šaknų vienetinio apskritimo viduje, t.y. yra apgrežiamasis procesas: (2) (be galo daug narių). Jei ~ N(0,1), galime užrašyti daugianario - sudėtinga. Box&Jankins skaitmeninė procedūra Tegu - stebimi dydžiai. ir MA lygties rekurentiška , , …, . : , logaritminė tikėtinumo f-ja būtų didž. įverč.(4) , maž. kv. įverčiai. Skaitmen. minimizuojama . (i)didž. tikėtinumo (sąlyginis) (ii) Jankins&Wats : Būdas MA(q) parametrams vertinti: MA(q)~ AR(p) 3.3 ARMA(p,q) modelio parametrų vertinimas Tegu teisingos prielaidos 1) (i) (z) ir (z) neturi bendrų šaknų 2) (ii) (z) ir (z) šaknys yra vienetinio apskritimo išorėje 3) (iii) Šios prielaidos užtikrina modelio vienatį Rekurentinis Box- Jenkins vertinimo modelis Reikia pasidaryti ir užsiduodame pradines sąlygas. Tuomet taikant (1) galima sk. ….. (3) rekurentiškai skaičiuojant: Galime apsk. kvadratų sumą. skaitmeniškai minimizuojant Q( ), užrašytą (4) lygybe. įvertį galime gauti 3.3.2 Alternatyvus įverčių gavimo būdas reikia praeitų reikšmių. Skaičiujame kvadratų sumą : Grubių pradinių sąlygų įtaka gali būti lemiama, jei yra netoli apskritimo ribos. 3.4.INTERVALINIAI BAIGTINĖS EILĖS MODELIŲ PARAMETRŲ ĮVERČIAI Iki šiol nagr. taškinius įverčius ir nesirūpinam jų galimu tikslumu, o apie įverčio tikslumą spręsti galima tik sudarius pasiklautinąjį intervalą. Visiems Gauso arba normalinių sekų modeliams galima užrašyti artutinę tikėtinumo f-ją: (1). Čia - m-matis parametras, į kurį įeina : , m=p+q+1. (2) Konstruosime pasikliautiną intervalą. Pažymime -diausio tikėtinumo arba mažiausio kvadrato įvertį parametrui. galima išskleisti daugiamate Teiloro eilute: (3) yra lokaliniai kvadratinė f-ja . Šią f-ją =(3) galima perrašyti: (4) Dideliems M teisinga artutinė lygybė: ; gali būti aproksimuojamas įverčio kovariacijų (5) Jei - nežinomas, tai jį vertiname tokiu įverčiu: (6) Įstačius į turėtą išraišką vietoj , jos įvertis bus: Jei modelis tiesinis: (7). Padalinę (5)/(7) gausime: (8) Fišerio pasiskirstymas, kai nepr. stebėjimai: , . -tikimybė atmesti teisingą . Konstruojam -pasikliautinają sritį . (9) (9) atrodys kitaip: (10) Dar supaprastinębeveik nekinta Artutinė pasikliautinė sritis : (11) . ASIMPTOTIŠKAI PASIKLIAUTINĖS SRITYS Jei N-didelis sk. . TEOREMA: jei yra priežastinis AR(p) procesas, o yra vienodai pasiskirsčiųsių ir Y-W , Q įverčiai, tada dideliam N teisinga, kad (1). -proceso kovariacijų matrica tiesinė, įverčiui ; (2) . PVZ: AR(1) (3) , ir įverčiai (4). (5). Nagr.skirtumą: ; (6). 1-2p , ; -standartinio normalinio dėsnio p kvantilis (7). . 3.5.MODELIO EILĖS NUSTATYMO PROBLEMA Iki šiol vertindami modelio parametrus remiamės prielaida, kad modelio eilė žinoma iš anksto. Dabar įvertinsime nežinomą lygties eilę ir nagr. keletą metodų. Sakykime vertiname nežinomą autoregresijos AR(k), k=? ,k=0,1,2,3,…… 1. Kartotinis tikrinimas tęsiamas, kol pasirinktam pasikliovimo lygmeniui arba priimame arba su norimu tikslumu. 2. Bendresnių kartotinių sprendinių metodas A laike(1974). 3. Liekamosios dispersijos tyrimas AICC. I.LIEKAMOSIOS DISPERSIJOS TYRIMAS (1). -tikroji modelio eilė, . -dispersijos įvertis. (2) ; II.DALINĖ AUTOKORELIACIJA. Durbin-Levinson algoritmas AR parametrų vertinimas (PACF). AR- modelis, kokia eilė ? Tegu yra ir ; neišsigimę DURBIN-LEVINSON ALGORITMAS AR MODELIŲ NUOSEKLIAM KŪRIMUI Turime skirtuminę lygtį m=1,2,3,… (1) , tada m=1,2,…,N-1 galime nuosekliai kurti modelius: AR(1), AR(2),… , o jų parametrai skaičiuojami pagal tokias f-les: (2) (3). (4), m=2,3,4,… Algoritmo rezultate gauname tokią sekų reikšmę: .Ši seka vad. dalinės autokoreliacijos f-ja. (PACF) Pažymėkime Jos įvertis , statistika Kai procesas autoregresinis AR(p), iš to seka, kad , jei .Dideliems N, AR(p) dėl visų yra artutinai normalusis su nuliniu vidurkiu ir dispersija , t.y. (5). Hipotezė priimtina, jei (6). Dalinė koreliacija -tai koreliacija tarp .

Daugiau informacijos...

★ Klientai rekomenduoja

Šį rašto darbą rekomenduoja mūsų klientai. Ką tai reiškia?

Mūsų svetainėje pateikiama dešimtys tūkstančių skirtingų rašto darbų, kuriuos įkėlė daugybė moksleivių ir studentų su skirtingais gabumais. Būtent šis rašto darbas yra patikrintas specialistų ir rekomenduojamas kitų klientų, kurie po atsisiuntimo įvertino šį mokslo darbą teigiamai. Todėl galite būti tikri, kad šis pasirinkimas geriausias!