Tiesinių lygčių sprendimas, atvirkštinės matricos metodu su programa MathCad

4.Išvados.............................................................................................................16
5.Naudota literatūra............................................................................................16
1.Tiesinės algebros uždavinių tipai
Pagrindiniai tiesinės algebros uždaviniai yra šie:
1.) Tiesinių lygčių sistemos Ax=b sprendimas; čia A – kvadratinė matrica, x ir b – vektoriai stulpeliai;
2.) Determinanto apskaičiavimas;
3.) Atvirkštinės matricos apskaičiavimas;
4.) Matricos tikrinių reikšmių ir tikrinių vektorių apskaičiavimas.
5.) Kiti.
2.Atvirkštinės matricos apskaičiavimo metodai
Tarkime, kad A yra n-tosios eilės neišsigimusi kvadratinė matrica.Tada matricos A atvirkštinė matrica yra tokia matrica ,su kuria A*=*A=E;čia E – vienetinė n-tosios eilės matrica.Yra žinoma analitinės matricos išraiška:
; (1)
Čia Aij – matricos A elemento aij adjunktas.
Skaičiuoti atvirkštinę matricą pagal (1) formulę neracionalu,nes reikia rasti
determinantą.Determinanto apskaičiavimo algoritmo apimtis yra , vadinasi, atvirkštinės matricos apskaičiavimo pagal (1) formulę algoritmo apimtis bus .
Išnagrinėkime kitus atvirkštinės matricos apskaičiavimo metodus,kurių apimtis . Metodo idėją aptarsime imdami antrosios eilės matricą A.
Tarkime , kad matricos
atvirkštinė matrica yra .Tada AX=E. Išskleista ši lygybė atrodys taip:
.
Vadinasi ,
ir
Taigi, norint rasti n-tosios eilės kvadratinės matricos A atvirkštinę matricą, reikia išspresti n tiesinių lygčių sistemų, kurių koeficientų prie nežinomųjų matricos lygios matricai A, o laisvieji nariai yra vienetinės matricos stulpeliai. Tokias lygčių sistemas Gauso, Žordono, sklaidos bei QR (aprėpinimo) metodais galima spręsti vienu metu. Jei lygčių sistemos sprendžiamos Gauso metodu, gaunamas atvirkštinės matricos skaičiavimo Gauso metodas, jeigu Žordano metodu – Žordono metodas,o jei QR metodu – QR metodas.
2.1.Atvirkštinės matricos apskaičiavimas Gauso metodu
Duota lygčių sistema
AX=E; (2)
čia A ir X – n-tosios eilės kvadratinės matricos, o E – n-tosios eilės vienetinė matrica .
Ši lygybė turi ne vieną,o n nežinomųjų ir laisvųjų narių stulpelių.Vadinasi, Gauso metodo, taikomo vienai tiesinių lygčių sistemai spręsti ,tiesioginis bei atvirkštinis etapas turi būti modifikuotas,kad būtų atsižvelgta i šį skirtumą.
Pateiksiu pavyzdį,kaip apskaičiuoti matricos atvirkštinę matricą gauso metodu.
Pavyzdys.
Apskaičiuokime matricos
atvirkštinę matricą.
Tiesioginis etapas:
; ;.
Atvirkštinis etapas
Kai l=1,sprendžiame sistemą
ir gauname pirmąjį stulpelį
Kai l=2, sprendžiame sistemą
ir gauname antrajį stulpelį .
Kai l=3, sprendžiame sistemą
ir gauname trečiąjį stulpelį .
Taigi matricos A atvirkštinė matrica yra tokia:
2.2.Atvirkštinės matricos apskaičiavimas QR metodu
Tarkime, kad matricos
(čia A11 – (n-r)- tosios eilės matrica,o...

Daugiau informacijos...

★ Klientai rekomenduoja

Šį rašto darbą rekomenduoja mūsų klientai. Ką tai reiškia?

Mūsų svetainėje pateikiama dešimtys tūkstančių skirtingų rašto darbų, kuriuos įkėlė daugybė moksleivių ir studentų su skirtingais gabumais. Būtent šis rašto darbas yra patikrintas specialistų ir rekomenduojamas kitų klientų, kurie po atsisiuntimo įvertino šį mokslo darbą teigiamai. Todėl galite būti tikri, kad šis pasirinkimas geriausias!