Skaitinio deferencijavimo formulės ir apvalinimo paklaidos įvertinimas

UŽDAVINYS
1. Išnagrinėti skaitinio deferencijavimo formules įvertinant jų paklaidas .
2. Išnagrinėti skaičiavimų apvalinimo paklaidas , kurios atsiranda dėl kompiuterio atminties ląstelės ilgio ir veiksmų su apytiksliais skaičiais .
3. Išnagrinėti apvalinimo paklaidų poveikį apskaičiuojant išvestines deferencijavimo formulių pagalba . Rasti optimalų skaičiavimo žingsnį .
4. Panagrinėti konvergavimą .
TEORINĖ DALIS
Skaitinis diferencijavimas .
Matematinės analizės kurse fukcijos , apibrėžtos intevale , išvestinė bet kuriame taške vadinama funkcijos ir argumento pokyčių santykio riba :
Šia formule apibrėžiama bet kurios diferencijuojamos funkcijos išvestinė .
Skaičiavimams kompiuteriu naudojame formulę :
kai h – pakankamai mažas teigiamas skaičius. (1)
Yra ir šios furmulės variacijų :
(2)
Sudėję formules (1) ir (2) ir padaliję iš dviejų gausime :
(3)
Net tuo atvėju , kai negalime rasti funkcijos išvestinės analizinės išraiškos , gausime norimo tikslumo atsakymą šių formulių pagalba , parinkę pakankamai mažą žingsnį .
Kadangi naudojame ne pokyčio santykio ribą , o tiesiog pokyčių santykį , kai žingsnis labai mažas , negalime išvengti paklaidų . Rezultatas ( vadinasi , ir paklaida ) priklauso nuo žingsnio h parinkimo . Kyla klausimas : kaip greitai rezultatas artėja į tikslų sprendinį ?
Išskleiskime funkciją Teiloro eilute :
, kur
Tarkime , antroji funkcijos išvestinė aprėžta : , tada gausime
Žinodami antros išvestinės absoliučios reišmės viršutinį rėžį , galime parinkti žingsnį h , duodantį norimą formulės tikslumą .
Tokiu pat būdu apskaičiuojama antros formulės paklaida :
, kur
Galime padaryti išvadą , kad metodas konverguoja , kai antra funkcijos išvestinė aprėžta ir žingsnis h pakankamai mažas .
Įvertinkime trečios formulės aproksimavimo paklaidą :
, kai
, kai
Atimame antrą skleidinį iš pirmo :
Jei trečia funkcijos išvestinė aprėžta , turėsime nelygybę :
Metodas irgi konverguoja mažinant žingsnį h .
Iš viso to galime padaryti išvadą , kad , paėmę vienodą žingsnį h , gausime tikslesnį atsakymą naudojant formulę (3) , negu formules (1) ar (2) .
Pavyzdžiui , skaičiuojant funkcijos y=Sin(x) išvestinę taške x=1 , gausime tokias paklaidas :
Žingsnis
Formulė
Reali paklaida
Maksimali teorinė paklaida
0.1
(1)
0.42939
0.5
(2)
0.41138
0.5
(3)
0.90005
0.16667
0.01
(1)
0.42163
0.5
(2)
0.41983
0.5
(3)
0.90005
0.16667
0.001
(1)
0.42083
0.5
(2)
0.42065
0.5
(3)
0.9005
0.16667
0.0001
(1)
0.42074
0.5
(2)
0.42073
0.5
(3)
0.9005
0.16667
Trečia formulė geričiau konverguoja į tikslų sprendinį ....

Daugiau informacijos...

★ Klientai rekomenduoja

Šį rašto darbą rekomenduoja mūsų klientai. Ką tai reiškia?

Mūsų svetainėje pateikiama dešimtys tūkstančių skirtingų rašto darbų, kuriuos įkėlė daugybė moksleivių ir studentų su skirtingais gabumais. Būtent šis rašto darbas yra patikrintas specialistų ir rekomenduojamas kitų klientų, kurie po atsisiuntimo įvertino šį mokslo darbą teigiamai. Todėl galite būti tikri, kad šis pasirinkimas geriausias!