Mokėjimo srautų analizė

4. Mokėjimų srautų analizė 4.1. Mokėjimų srautai ir finansinės rentos Įvairiuose kontraktuose, sandoriuose, gamybinėse ir ūkinėse operacijose dažniausiai susiduriama ne su vienkartiniais mokėjimais, o su daugybe pagal laiką pasiskirsčiusių išmokų ir įplaukų. Pavyzdžiui, ilgalaikio kredito ar kitų skolų padengimas, kredito gavimas, piniginiai investicinio proceso srautai ir kt. Tai yra laike pasiskirsčiusių išmokų ir įplaukų eilutės. Užsienio finansinėje literatūroje tokias eilutes arba jų atskiras dalis įprasta vadinti mokėjimų srautais (cash flows). Mokėjimų srauto nariai gali būti tiek teigiami (įplaukos), tiek ir neigiami (išmokos). Mokėjimų srautą, kurio visi nariai teigiami, o laiko tarpai tarp visų mokėjimų yra lygūs, įprasta vadinti finansine renta arba anuitetu, nepriklausomai nuo mokėjimų kilmės ir tikslo. Pavyzdžiui, procentų mokėjimas už obligacijas, įnašai kreditui padengti arba draudimo fondui sudaryti ir pan. Mokėjimų srautų tipizavimas įgalina panaudoti standartines jų skaičiavimo formules. Finansinė renta (arba tiesiog renta) apibrėžiama tokiais parametrais: • rentos narys (rent) - tai kiekvieno mokėjimo apimtis, • rentos periodas - tai laiko tarp dviejų mokėjimų intervalas, • rentos trukmė - tai laikotarpis nuo rentos pradžios iki pabaigos, • palūkanų norma - procentai, kuriais kuapiami mokėjimai, • diskontavimo norma - procentai, kuriais diskontuojami mokėjimai. Finansinėms rentoms apibūdinti tenka pasinaudoti ir tokiais parametrais, kaip mokėjimų skaičius per metus, palūkanų priskaičiavimo skaičius, mokėjimų momentai laiko bėgyje ir kt. Finansinių rentų tipai. Rentų klasifikavimo pagrindu pasirenkami gana įvairūs požymiai. Priklausomai nuo mokėjimų periodo trukmės, rentos skirstomos į metines ir p-kartinines (p - mokėjimų skaičius per metus). Investicinių procesų aprašyme, kaip ir kituose skaičiavimuose, naudojamos rentos, kurių mokėjimo periodas viršija vienerius metus. Paprastai rentos yra diskretinės. Tačiau dažnai mokėjimų būna tiek daug, kad skaičiavimus patogiau atlikti į rentą žiūrint kaip į tolydinį mokėjimų srautą (tolydinė renta). Procentai gali būti priskaičiuojami vieną kartą per metus, m kartų per metus arba tolygiai per visą laikotarpį. Pagal rentos narių dydį rentos skirstomos į pastovias ir kintančias. Kintančios rentos nariai keičiasi laiko bėgyje dažnai paklusdami kokiam nors dėsningumui: aritmetinei progresijai, geometrinei progresijai ir panašiai arba nesistemingai. Pagal mokėjimų patikimumą rentos skirstomos į garantuotas (annuity certain) ir atsitiktines (contingent annuity). Garantuotos rentos - tai būtinai įvykdomi mokėjimai, pavyzdžiui, kredito padengimas ir kt. Atsitiktinių rentų mokėjimai būna susiję su tam tikru atsitiktiniu veiksniu ar įvykiu, todėl mokėjimų dydis ar skaičius iš anksto nėra žinomi. Tokios rentos - tai pensijų išmokėjimų skaičius ir suma, kompensacijų ir draudimo kontraktų sumos ir pan. Pagal narių skaičių rentos skirstomos į baigtines ir begalines (amžinas). Begalinės (amžinos) rentos kategorija yra artima daugybei gyvenimo realijų. Pavyzdžiui, palūkanų išmokėjimai pagal neterminuotas obligacijas ir pan. Pagal rentos laiko pradžios ir tokio svarbaus laiko momento kaip kontrakto įsigaliojimo (arba kitų momentų) rentos skirstomos į tiesiogines ir atidėtas. Tiesioginių rentų laikotarpis prasideda iš karto po kontrakto pasirašymo. Atidėtų rentų laikotarpis prasideda vėliau, negu įsigalioja kontraktas. Pakankamai svarbi rentų klasifikacijos savybė yra rentos periodo momentas, kuriuo atliekami mokėjimai. Jeigu mokama periodo pabaigoje, tai tokios rentos vadinamos paprastomis arba postumerando. Jeigu mokėjimai atliekami periodo pradžioje, tokios rentos vadinamos prenumerando. Praktikoje dažniausiai naudojamos paprastos rentos. Nors kartais naudojamos ir rentos, kada mokėjimai atliekami periodo viduryje. Pateiksime pavyzdį. Turime kontraktą, pagal kurį kreditas padengiamas kas pusmetį tiksliai nustatytu laiku, o palūkanos skaičiuojamos kas pusmetį. Tai pusmetinė garantuota renta. Jeigu pirmas mokėjimas bus atliekamas po dvejų metų - tai bus atidėta renta. Mokėjimų srautus apibendrinantys rodikliai. Dažniausiai finansiniuose-ekonominiuose skaičiavimuose naudojamas vienas iš dviejų apibendrinančių rodiklių: sukaupta (akumuliuota) suma ir dabartinė (redukuota) vertė. Sukaupta suma (amount of an annuity) - tai suma visų mokėjimų, įskaitant priskaičiuotas palūkanas iki rentos laikotarpio pabaigos. Dabartinė mokėjimų srauto vertė (present value) suprantama kaip suma visų srauto narių, diskontuotų mokėjimų pradžios arba būsimajam momentui. Sukaupta suma paprastai parodo bendrą skolos ir investicijų apimtį, piniginio fondo apimtį, sukauptą iki įvertinamojo momento ir pan. Dabartinė mokėjimų srauto vertė apibūdina atitinkamai dabartines sąnaudas, kapitalizuotas pajamas, grynąjį dabartinį pelną. Apibendrinantys rentos rodikliai plačiai naudojami įvairiuose finansiniuose skaičiavimuose ir metodiniuose apibendrinimuose. Kaip svarbius pavyzdžius galima nurodyti skolos aptarnavimo planų sudarymą, kontraktų sąlygų palyginimą, bei jų pakeitimą nepatiriant nuostolių, investicijų efektyvumo įvertinimą ir pan. Šioje dalyje panagrinėsime baigtines rentas, kurių nariai laiko bėgyje išlieka pastovūs (pastovios rentos), kada mokėjimai atliekami kartą ar p kartų per metus arba po n metų (periodų pabaigoje), o palūkanos pridedamos kartą ar m kartų per metus arba priskaičiuojamos tolygiai. 4.2. Sukaupta (sukaupta) paprastos rentos suma Metinė renta. Panagrinėkime paprasčiausią metinės rentos atvejį. Tegul per ketverius metus kiekvienų metų pabaigoje į banką įmokama po 1000 litų, palūkanų norma yra 5% ir jos priskaičiuojamos metų pabaigoje. Sukaupta rentos suma laikotarpio pabaigoje bus lygi: 1000  1.053 + 1000  1.052 + 1000  1.05 + 1000 . Pabandykime tai pateikti apibendrintai. Įveskime šiuos žymėjimus: S - sukaupta rentos suma; R - rentos nario dydis; i - palūkanų norma; n - rentos laikotarpis (metais). Tuomet turėsime: (4.1) Įrodymas: S = R + Rq + ... + Rqn-1. Tolesniuose vertinimuose įveskime vadinamąjį rentos kaupimo koeficientą sn;i: (4.2) Dabar (4.1) formulę galime perrašyti taip: Sn;i = R. sn;i. (4.3) Kiekvienas skaičiavimų paketas paprastai turi sn;i. skaičiavimo programą. Konkretūs sn;i dydžiai skirtingoms n ir i vertėms yra pateikiami lentelėse. 4.1 pavyzdys. Sudaromas fondas į kurį 10 metų bėgyje, kiekvienų metų pabaigoje bus inešama po 40000 litų, palūkanų norma i = 10%. Reikia rasti, kokio dydžio bus fondas laikotarpio pabaigoje. S10;10=40000  s10;10 = 40000  15.94 = 637497.00 Lt; o jeigu R = 40000 litų, i = 12%, n = 10, tuomet S10;12= 40000  (1.1210- 1) / 0.12 = 701949.00 Lt [1] Kaupimo koeficientas sn;i priklauso nuo dviejų parametrų n ir i ir grafiškai ši priklausomybė atrodo taip: 4.1 pav. Kaupimo koeficiento sn;i priklausomybė nuo palūkanų normos i. Didėjant n arba i vertėms, didėja ir sn;i vertė. Jeigu i = 0, tai pagal 4.2 formulę sn;i = n, o S = R  n. Metinė renta, kai palūkanos pridedamos m kartų per metus. Tarkime, kad dabar kiekvieną kartą pridedama j/m palūkanų, kur j yra nominali metinė palūkanų norma. Kaip jau buvo parodyta anksčiau, rentos nariai su priskaičiuotais jiems procentais sudaro tam tikrą eilę: paskutiniam įnašui procentai nepriskaičiuojami, priešpaskutiniam įnašui priskaičiuojama (1 + j / m)m procentų ir t.t. Užrašę visus rentos narius su priskaičiuotais procentais atvirkščia tvarka, gauname, kad sukaupta suma lygi: S=R + R(1 + j/m)m + R(1 + j/m) m2 + ... + R(1 +j/m) m(n - 2) + R(1 + j/m) m(n - 1). Taigi, turime augančią geometrinę progresiją, kurios pirmasis narys lygus R, o vardiklis - (1 + j/m)m.. Sukaupta rentos suma snm;j/m bus lygi: (4.4) 4.2 pavyzdys. Turime prieš tai pateiktą rentos tipą, tik dabar palūkanos pridedamos keturis kartus per metus (ketvirčio pabaigoje). Taigi m = 4; nm = 40; j/m = 0,12/4 = 0,03. Pasinaudodami (4.4) formule turėsime: [2] Pastaba. Kaip matome, priskaičiuojant palūkanas kiekvieną ketvirtį, sukaupta suma žymiai padidėjo. Tai atsitinka todėl, kadangi palūkanų norma mažinama netiksliai, kad būtų galima gauti tą pačią sumą, o imama lygi j/m. Suprantama, kad šis didėjimas nėra begalinis, nes yra baigtinis. Daugiklis (4.4) formulėje skiriasi nuo sn;i, todėl, norėdami pasinaudoti daugiklio sn;i vertėmis iš lentelės, (4.4) formulę padauginsime iš j/m ir ją išskirsime į dvi dalis: (4.5) Taigi: kur: (4.6) ir (4.7) 4.3 pavyzdys. Norėdami surasti 4.2 pavyzdžio duomenims reikalingą koeficientą, pasinaudosime atatinkamų koeficientų lentelių vertėmis: [3] P-kartinė renta (m = 1). Suraskime sukauptą sumą tuo atveju, jeigu renta mokama p kartų per metus, o procentai pridedami tik vieną kartą (m = 1) periodo pabaigoje Jeigu metinė mokėjimų suma yra R, tai kiekvieną kartą reikia mokėti R/p. Tuomet mokėjimų eilutė sudarys geometrinę progresiją* (čia parašyta atvirkščia tvarka): Taigi, sukaupta rentos suma S(p) n;i bus: (4.8) O rentos kaupimo koeficientas bus: (4.9) P-kartinė renta (p = m). Tai vienas iš paprastesnių skaičiavimo atvejų, kai mokėjimų skaičius per metus lygus p ir palūkanos priskaičiuojamos m kartų per metus, t.y. p=m. Sukauptos rentos sumos S formulei išvesti reikia (4.1) ir (4.4) formules pritaikyti rentos eilutei: Pritaikę minėtas formules gausime: (4.10) P-kartinė renta (p  m). Dabar pabandykime rasti rentos sukauptos sumos skaičiavimo formulę bendriausiuoju atveju: kai p kartų mokamas įnašas ir m kartų pridedamos palūkanos, o m nelygus p. Tokia renta vadinama bendrąja renta. Pirmasis rentos narys lygus R/p ir įmokėtas po 1/p metų nuo rentos pradžios. Priskaičius visus procentus, rentos pabaigoje jis bus lygus: Antrasis narys bus lygus: ir t.t. Matome, kad gauti dydžiai sudaro (jeigu užrašysime juos atvirkščia eile) geometrinę progresiją, kurios pirmasis narys lygus R/p, vardiklis (1 + j/m)m/p, o narių skaičius lygus np. Taigi sukaupta suma bus: (4.11) arba (4.11a) Kaip matome, antrasis (4.11a) daugiklis yra smn;j/m, o trečiasis, jeigu m/p yra sveikas skaičius, lygus s-1 m/p;j/m. Tada turėsime, kad: (4.12) 4.4 pavyzdys. Rezerviniam fondui sudaryti kiekvienais metais skiriama po 4 tūkst. litų. Akumuliuojamoms lėšoms priskaičiuojamos 6% palūkanos. Reikia surasti sukauptą fondo sumą po penkerių metų: a) įmokėjimai mokami metų pabaigoje, palūkanos priskaičiuojamos kas pusmetį; b) įmokėjimai mokami ketvirčio pabaigoje, palūkanos priskaičiuojamos kas pusmetį; c) įmokėjimai mokami ir palūkanos priskaičiuojamos kiekvieną ketvirtį. Taigi, pagal jau įvestus žymėjimus ir duotas sąlygas turėsime: R=4000, n=5, i=j=0,06: a) čia m = 2, j/m = 0,03, s10;3 = 11,5; s2;3 = 2,03. Taigi pagal (4.5) formulę turėsime: b) čia p = 4, m = 2, j/m = 0,03. Kadangi m/p S(4,2) ir pan. 4.5 pavyzdys. Iliustracijai peržiūrėkime rentos, kuriai metinė įmoka lygi 10 tūkst. litų, palūkanų norma - 6%, rentos trukmė - 10 metų, sukauptų sumų lentelę: Sukauptų sumų lentelė 4.1 lentelė m = 1 m = 2 m = 4 m = 12 m =  p = 1 131810 132370 132650 132850 132850 p = 4 134740 135350 135670 135880 135990 (atlikti jautrumo analizę) 4.3. Dabartinė paprastos rentos vertė Metinė renta. Dabartine mokėjimo srauto, tarp jo ir finansinės rentos verte laikoma suma visų tokio srauto narių, diskontuotų pradiniam laiko momentui. Šalia termino dabartinė vertė dar vartojami terminai kapitalizuota vertė, tikroji vertė. Kaip paaiškės vėliau, dabartinė vertė finansiniu požiūriu yra ekvivalentiška visų mokėjimų, kurie įeina į srautą, dabartinei vertei. Šis rodiklis praktiškai plačiai naudojamas atliekant ilgalaikės skolos padengimo skaičiavimus, įvertinant ir palyginant skirtingo pobūdžio finansinius įsipareigojimus arba įplaukas, investicijų efektyvumą, draudimo skaičiuotes ir pan. Teigiama, kad dabartinė mokėjimų srautų vertė yra vienas iš svarbiausių rodiklių, naudojamų kiekybiniuose finansiniuose skaičiavimuose. Gerai nesuprantant šios charakteristikos esmės bei jos matavimo metodų, sunkoka suprasti tokias praktiškai labai svarbias problemas, kaip finansinių-kreditinių operacijų, tame tarpe - investicijų operacijų efektyvumo matavimas, kontraktų sąlygų palyginimas ir pan. Daugybės finansinių ir komercinių problemų sprendimas vienaip ar kitaip siejasi su piniginių srautų (įplaukų) dabartinės vertės nustatymu. Rentų dabartinės vertės nustatymą išnagrinėsime tokiu pat eiliškumu, kaip ir sukauptos sumos skaičiavimą. Pradėkime nuo paprastos metinės rentos, kurios narys R = 1, palūkanų norma - i, procentai, priskaičiuojami rentos periodų pabaigoje, rentos trukmė - n metų. Paprastai laikoma, kad nagrinėjamos rentos yra momentinio vyksmo, t.y. diskontavimo pradžia sutampa su rentos pradžia. Taigi mokėjimų eilutės, kurių kiekviena lygi vienetui, diskontavimas atliekamas pagal geometrinę progresiją (v = 1/(1+i)): Randame šios eilutės sumą: (4.17) Koeficientas an;i - vadinamas rentos diskontavimo koeficientu. Jis parodo, kiek kartų dabartinė rentos vertė didesnė už rentos narį. Koeficiento an;i vertės paprastai skaičiuojamos kompiuteriais, be to, yra sudaromos lentelės. Kadangi (4.17) formulė apibūdina rentą, kurios visi nariai lygūs 1, tai dabartinės analogiškos rentos, kurios visi nariai lygūs R, vertė bus: A = R  an;i.. (4.18) Kad galima būtų atsekti priklausomybes tarp rentos įmokų eilutės ir sukauptos rentos sumos Sn;i bei kaupimo koeficiento sn;i ir dabartinės rentos vertės An;i bei rentos diskontavimo koeficiento an;i, patogiausia sugretinti P, S ir R eilutes bei jų sumas (P, S, R): R; R; R; ...; R; (P) R; R (1 + i); R (1 + i)2; ...; R (1 + i)n-1; (S) (P) R + R + R + ... + R = nR; (R) (S) (P) 4.6 pavyzdys. Tegul renta bus mokama 10 metų po 500 litų kiekvienų metų pabaigoje, palūkanų norma - 6%. Reikia surasti dabartinę rentos vertę: [6] Tą pačią sumą galime surasti ir tabuliuotose lentelėse, kai a10;6 = 7.36, A = 500  7,36 = 3680 Lt. Taigi visų ateityje įmokėtų 500 litų dabartinė suma įvertinama 3680 litų. Iš 4.2 paveikslo matome kaip an;i priklauso nuo i. 4.2 pav. Diskontavimo koeficiento an;i priklausomybė nuo palūkanų normos i Kai i=0, tai an;i =n; jeigu n=1, tai an;i =v. Jeigu rentos kaupimo koeficientas sn;i teoriškai nebuvo apribotas, kai n artėja į begalybę, tai rentos diskontavimo koeficientas yra apribotas: Metinė renta, kai palūkanos priskaičiuojamos m kartų per metus. Naudodamiesi (4.4) ir (4.17) formulių radimo logika, turėsime, kad minėtos rentos dabartinė vertė A bus lygi: (4.19) (4.19) formulę galima pertvarkyti taip: (4.19a) arba (4.20) 4.7 pavyzdys. Tegul metinis rentos narys lygus 1000 litų, diskontuojama kiekvieno ketvirčio pabaigoje, nominali palūkanų norma - 10%, rentos trukmė - ketveri metai. reikia surasti dabartinę rentos vertę. Kadangi a16;2,5 = 13,055, o s4;2,5 = 4,1525, tai [7] P-kartinės paprastos rentos, kai procentai priskaičiuojami vieną kartą per metus, dabartinė vertė (m = 1). Jeigu pagrindinės įmokos atliekamos p kartų per metus, o procentai priskaičiuojami vieną kartą per metus, tai taip pat, kaip paprastoms metinėms rentoms, diskontavimo koeficientai bus nustatomi taip: (4.21) o dabartinė rentos vertė bus (4.22) 4.8 pavyzdys. Viena JAV korporacija pasiūlė Indijos gamyklai, patyrusiai avariją, per 35 metus išmokėti 200 mln. USD kompensaciją, mokant ją kiekvieno mėnesio pabaigoje lygiomis dalimis. Tegul palūkanų norma yra 10% per metus. Reikia surasti dabartinę rentos vertę charakterizuojančią realų pasiūlytos kompensacijos dydį. Metinė įmoka sudarys 200 / 35 = 5.714 tūkst. USD. [8] Jeigu procentus priskaičiuotume m kartų per metus ir m  p, tuomet: (4.23) (4.24) Jeigu m = p, tai: (4.25) 4.9 pavyzdys. Pagal įsipareigojimą reikia per penkerius metus kasmet mokėti po 10 tūkst. litų. Kiek reikės turėti pinigų, kad kartu su priskaičiuotais procentais (nominali palūkanų norma j = 8%) reikiamu laiku padengtume numatytą sumą. Reikia surasti sprendimus tokiems atvejams: a) pagrindinės įmokos mokamos kartą metų pabaigoje, palūkanos priskaičiuojamos kas pusmetį; b) tiek pagrindinis mokestis, tiek ir procentai priskaičiuojami kiekvieną ketvirtį. Aišku, kad uždavinio sprendimas adekvatus atitinkamų rentų dabartinių reikšmių nustatymui: a) pagal sąlygą p=1, R=10000 Lt, n=5, j=0,08, m=2, m  n=10. Pagal (4.19) ir (4.20) formules randame: arba b) šiam atvejui yra adekvati renta, kurios: p=m=4, R=10000 Lt, n=5, j=0.08, j/m=0.02, m  n=20. Pagal (4.25) formulę turėsime: arba [9] Rentų, kurioms palūkanos priskaičiuojamos tolydžiai, dabartinės vertės. Rentos nariai, diskontuoti pagal tolydinę diskonto normą , sudaro tokią geometrinę progresiją: R; Re-; Re-2; ...; Re-(n-1), kurios dabartinę sumą A galime nustatyti pagal formulę: A = R.an; (4.26) kur an; - diskontavimo koeficientas, nustatomas tokiu būdu: (4.27) p-kartinei rentai turėsime: (4.28) kur diskontavimo koeficientas nustatomas taip: (4.29) Paprastų metinių ir įvairaus tipo p-kartinių rentų dabartinių verčių palyginimas. Rentos dabartinės vertės priklauso nuo to, kaip mokami pagrindiniai įnašai bei priskaičiuojamos palūkanos. Pabandykime palyginti atitinkamų rentų dabartines vertes. Panagrinėkime šiuos dabartinių verčių A(p;m) tipus: A(1;1) - kai yra paprasta metinė renta; A(p; ) - kai yra p-kartinė tolydinė renta; A(1;m) - kai yra paprasta metinė renta, kuriai palūkanos priskaičiuojamos m kartų per metus ir t.t. Esant tapatiems metiniams mokėjimams, rentos trukmei bei palūkanų nominaliai, efektyviai ir tolydinei normoms (j=m=c), turėsime: Gautos nelygybės gali būti panaudotos sudarant kontrakto sąlygas. Pavyzdžiui, vienodų pagrindinių įmokų ir vienodos trukmės rentai bus: A(p=2; m=4) 1 (4.37) (4.42) m=1 (4.38) (4.43) p>1 m=p (4.39) (4.44) mp (4.40) (4.45) 3. Iš pateiktų n skaičiavimo formulių, kai skaičiavimai atliekami pagal dabartinę rentos vertę A, matome, kad n bus teigiamas ir baigtinis skaičius tuomet, kai bus įvykdytos šios sąlygos: (4.36) formulei: R > A  i; (4.37) formulei: R > A  j/m  sm;j/m; (4.38) formulei: R > A  p[1 + j/m)m/p - 1]; (4.39) formulei: R > A  j; (4.47) formulei: R > A  (e -1); (4.49) formulei: R > A  p(e/p - 1). Kitaip tariant, jeigu A yra dabartinė (dabartinė) rentos, dengiamos pastoviais mokėjimais, vertė, tai renta bus baigtinė tik tuomet, kai bus įvykdytos visos anksčiau monėtos sąlygos. Jeigu (4.37) lygybėje R=A  i, tai n=  ir turime begalinę rentą - skola praktiškai nepadengiama. Ir pagaliau jeigu R

Daugiau informacijos...

★ Klientai rekomenduoja

Šį rašto darbą rekomenduoja mūsų klientai. Ką tai reiškia?

Mūsų svetainėje pateikiama dešimtys tūkstančių skirtingų rašto darbų, kuriuos įkėlė daugybė moksleivių ir studentų su skirtingais gabumais. Būtent šis rašto darbas yra patikrintas specialistų ir rekomenduojamas kitų klientų, kurie po atsisiuntimo įvertino šį mokslo darbą teigiamai. Todėl galite būti tikri, kad šis pasirinkimas geriausias!