Lygtys su vienu kintamuoju

Lygtys su vienu kintamuoju . Lygtys su vienu kintamuoju Lygties apibrėžimas. Lygties šaknys Lygybę ?(x)=g(x) vadiname lygtimi su vienu kintamuoju x. Kiekvieną kintamojo reikšmę, su kuria reiškiniai ?(x) ir g(x) įgyja lygias skaitines reikšmes, vadiname lygties šaknimi. Išspręsti lygtį – reiškia rasti visas jos šaknis arba įrodyti, kad jų nėra. Lygtis, turinčias tas pačias šaknis, vadiname ekvivalenčiomis. Ekvivalenčiomis laikome ir lygtis, kurių kiekviena neturi šaknų. Lygtis galima spręsti grafiniu būdu, tačiau jis nėra patogus. Tiesinės lygtys Tiesine lygtimi su vienu kintamuoju x vadiname lygtį ax=b (a ir b – realieji skaičiai); a vadiname kintamojo koeficientu, b – laisvuoju nariu. Galimi trys tiesinės lygties ax=b atvejai: 1) a?0; tada lygties šaknis lygi ; 2) a=0, b=0; tada lygtis virsta 0·x=0, o tokia lygybė teisinga su kiekvienu x; 3) a=0, b?0; tada lygtis virsta 0·x=b ir neturi šaknų. Kvadratinės lygtys Lygtį ax²+bx+c=0, kurios a,b,c – realieji skaičiai ir a?0, vadiname kvadratine lygtimi. Kai a=1, tai kvadratinę lygtį vadiname redukuotąja, kai a?1,– tai neredukuotąja. Skaičius a,b,c vadiname taip: a – pirmuoju koeficientu, b – antruoju koeficientu, c – laisvuoju nariu. Kvadratinės lygties ax²+bx+c=0 sprendimas: 1) randame D (diskriminantą): D=b²-4ac arba D=k²-ac, kur k= (patogu, kai b – lyginis skaičius): a) kai D0, tai lygtis turi dvi šaknis. 2) randame x: , kur D=b²-4ac , kur D=k²-ac Nepilnosios kvadratinės lygtys Kai kvadratinės lygties ax²+bx+c=0 antrasis koeficientas (b) arba laisvasis narys lygus nuliui, tai kvadratinę lygtį vadiname nepilnąja. Šios lygtys išskiriamos, nes jas galima išspręsti netaikant kvadratinės lygties šaknų formulės – paprasčiau lygtį spręsti skaidant jos kairiąją pusę dauginamaisiais. Racionaliosios lygtys (kintamasis vardiklyje) Lygtį ?(x)=g(x), kurioje ƒ(x) ir g(x) yra racionalieji reiškiniai, vadiname racionaliąja. Be to.kai ?(x) ir g(x) – sveikieji reiškiniai, tai lygtį vadiname sveikąja (pvz. tiesinės, kvadratinės). Kai bent vienas iš reiškinių ?(x) ir g(x) yra trupmeninis, tai racionaliąją lygtį vadiname trupmenine. Norint išspręsti racionaliąją lygtį, reikia: 1) rasti visų trupmenų bendrąjį vardiklį; 2) pakeisti duotąją lygtį sveikąja dauginant abi jos puses iš bendrojo vardiklio; 3) išspręsti gautą sveikąją lygtį; 4) atmesti tas jos šaknis, su kuriomis bendrasis vardiklis virsta nuliu. Iracionaliosios lygtys Iracionaliąja lygtimi vadiname lygtį, kurioje kintamasis yra po radikalo ženklu arba po kėlimo trupmeniniu laipsniu ženklu. Išnagrinėkime du iracionaliųjų lygčių sprendimo metodus: abiejų lygties pusių kėlimą tuo pačiu laipsniu ir naujų kintamųjų įvedimo metodą (su pasižymėjimu). Abiejų lygties pusių kėlimo tuo pačiu laipsniu metodas yra toks: a) duotąją iracionaliąją lygtį pertvarkome į tokią: b) gautos lygties abi puses keliame n-tuoju laipsniu: c) atsižvelgiame, kad , ir gauname lygtį ?(x)=g(x); d) išsprendžiame lygtį ir patikriname gautąsias šaknis, nes keldami tuo pačiu lyginiu laipsniu abi lygties puses, galime gauti pašalinių šaknų. Rodiklinės lygtys Rodiklinei lygčiai dažniausiai galima suteikti pavidalą , čia a>0, a?1. Pastaroji lygtis ekvivalenti lygčiai ?(x)=g(x). Yra du pagrindiniai rodiklinių lygčių sprendimo būdai: 1) rodiklių sulyginimo metodas, kai lygtis pertvarkoma į lygtį , o po to – į lygtį ?(x)=g(x); 2) naujo kintamojo įvedimo metodas. Pvz.: Sprendžiant lygtį , įvesti naują kintamąjį ir išspręsti gautą kvadratinę lygtį. Tada kvadratinės lygties atsakymus (y) įsistatyti į ir išspręsti. Logaritminės lygtys Logaritminę lygtį dažniausiai galima pakeisti lygtimi , čia a>0, a?1. Norint išspręsti lygtį , reikia: 1) išspręsti lygtį ?(x)=g(x); 2) iš rastųjų šaknų išrinkti tas, kurios tinka nelygybei ?(x)>0 (arba g(x)>0); kitos lygties ƒ(x)=g(x) šaknys yra pašalines lygčiai . Yra du pagrindiniai logaritminių lygčių sprendimo būdai: 1) lygtį pertvarkant į lygtį , po to į lygtį ?(x)=g(x); 2) naujo kintamojo įvedimo metodas. Trigonometrinės lygtys Lygtys, kuriose kintamasis yra po trigonometrinės funkcijos ženklu, vadiname trigonometrinėmis. Norint išspręsti trigonometrinę lygtį, ją reikia tapačiai pertvarkyti į paprasčiausias: sin=a, cos=a, tg=a, ctg=a. Žinant a reikšmę,  reikšmę galime pagal formules: a) kai , sin=a, tai , nZ; kai sin=-1, ; kai sin=1, ; kai sin=0, ; nZ; b) kai , cos=a, tai , nZ; kai cos=-1, ; kai cos=1, ; kai cos=0, ; nZ; c) kai tg=a, ; kai tg=0, ; nZ; d) kai ctg=a, ; kai ctg=0, ; nZ. Modulinės lygtys Lygtis , kai ekvivalenti lygčių ?(x)=a ir ƒ(x)=-a visumai. Lygtis ekvivalenti lygčiai . Aukštesniojo laipsnio lygtys Aukštesniojo laipsnio lygtimi vadiname lygtį, kurios kintamojo laipsnis yra sveikasis skaičius, didesnis už 2. Aukštesniojo laipsnio lygtims priklauso ir bikvadratinė lygtis. Bikvadratinė lygtis , a?0 sprendžiama naujojo kintamojo įvedimo metodu: pažymėję , gauname kvadratinę lygtį. Suradę ir, rasime keturias x reikšmes, spręsdami lygtis ir . Aukštesniojo laipsnio lygtys dažnai sprendžiamos naujo kintamojo įvedimo būdu ir kairiųjų pusių skaidymo dauginamaisias būdu. Taip pat tokias lygtis galima išspręsti atspėjus vieną jos šaknį (ji dažnai būna skaičius, iš kurio dalinasi laisvasis narys) ir išskaidžius reiškinį dauginamaisiais.

Daugiau informacijos...

★ Klientai rekomenduoja

Šį rašto darbą rekomenduoja mūsų klientai. Ką tai reiškia?

Mūsų svetainėje pateikiama dešimtys tūkstančių skirtingų rašto darbų, kuriuos įkėlė daugybė moksleivių ir studentų su skirtingais gabumais. Būtent šis rašto darbas yra patikrintas specialistų ir rekomenduojamas kitų klientų, kurie po atsisiuntimo įvertino šį mokslo darbą teigiamai. Todėl galite būti tikri, kad šis pasirinkimas geriausias!