Relaksacijos metodas

1. Uždavinio formulavimas Duota netiesinė lygtis . Rasti jos sprendinį. Kadangi programiškai tiksliojo lygties sprendinio rasti neįmanoma (pvz., šaknis gali būti skaičius =3.141592654...), tai šį uždavinį galima performuluoti taip: Rasti tokį tiksliojo sprendinio x artinį , su kuriuo . Kitaip tariant, surastojo sprendinio paklaida neturi viršyti mūsų pageidaujamo tikslumo. 2. Teorinė dalis Netiesinę lygtį galime spręsti skirtingais metodais. Vis dėlto, jiems visiems būdingi tokie sprendimo etapai: 1. Šaknų atskyrimas (šaknies izoliacinio intervalo radimas); 2. Šaknies tikslinimas žinant šaknies izoliacinį intervalą. Šaknies atskyrimas (šaknies izoliacinio intervalo radimas). Apibrėžimas. Intervalas (a,b) yra šaknies izoliacinis intervalas, jei lygtis šiame intervale turi vienintelę šaknį. Bendro lygties šaknų izoliacinių intervalų radimo metodo nėra. Kokį tinkamiausia pasirinkti, nusprendžia pats programuotojas. Aptarsime keletą dažniausiai naudojamų šaknų atskyrimo metodų. 1. Intervalo skaidos metodas. Dažniausiai lygties šaknys atskiriamos padalinus pradinį intervalą [a,b] į N dalių: [a,x1], [x1,x2],...,[xi,xi+1],...[xN-1,b], ir nustačius funkcijos f(x) ženklus kiekvieno dalinio intervalo galuose. Šis šaknų atskyrimo metodas yra labai paprastas, tačiau juo galima ir nerasti visų sprendinių: jei dalinio intervalo ilgis pasirinktas per didelis, tai kuriame nors daliniame intervale galime prarasti lyginį šaknų skaičių. 2. Grafinis šaknų atskyrimas. a) jei galima bent schematiškai nubrėžti lygties f(x) grafiką, tai atskirti šaknis nėra sudėtinga. 1 pav. Grafinis lygties x4-4x3+4x2-20 šaknų atskyrimas b) lygtį f(x) 0 perrašome pavidalu f1(x) f2(x), jei nesunku nubrėžti funkcijų f1(x) ir f2(x) grafikus. Šių grafikų susikirtimo taškų abscisės yra lygties f(x)0 šaknys. Brėžiant f1(x) ir f2(x), dažnai pakanka pavaizduoti tik šių funkcijų kitimo pobūdį, o po to analitiškai nustatyti tikslesnę šaknų buvimo vietą. 2 pav. Lygties x2-x-2=0 šaknų lokalizavimas Relaksacijos metode lygtis perrašoma panašiu pavidalu . Todėl tikslusis sprendinys bus lygčių ir susikirtimo taško absicė. 2. Fizikinis. Tarkime sprendžiamoji lygtis f(x)=0 aprašo kokį nors fizikinį (gali būti cheminis ar pan.) reiškinį. Tuomet šaknų izoliacinius intervalus galima nurodyti pagal šį reiškinį. 3. Monotoniškumo intervalų metodas. Funkcijos f(x) monotoniškumo intervale funkcija gali turėti tik vieną arba nei vienos šaknies. Tuose monotoniškumo intervaluose, kurių galuose funkcija įgyja priešingų ženklų reikšmes, yra vienintelis lygties f(x) =0 sprendinys, tuose monotoniškumo intervaluose, kurių galuose ženklai vienodi, sprendinių nėra. Šis būdas taikytinas tada, kai nesunkiai bent apytiksliai išsprendžiama lygtis (jos sprendinių reikia monotoniškumo intervalams nustatyti). 4. Algebrinių lygčių šaknų atskyrimo metodai. Lygtį f(x)=0 vadiname algebrine, jei f(x) yra algebrinis polinomas. Šioms lygtims yra naudojami specialūs šaknų atskyrimo metodai (pvz., Šturmo grandinė). Aš pasirinkau grafinį šaknų atskyrimo metodą, t.y. prieš sprendžiant uždavinį, reiktų bent jau apytiksliai nusistatyti, kokiame intervale yra funkcijų ir grafikų susikirtimo taškas. Relaksacijos metodas. Nusistačius šaknų izoliacinius intervalus, jau galime pradėti spręsti lygtį . Sprendimo būdų yra įvairių: pusiaukirtos, paprastųjų iteracijų, relaksacijos, Niutono, kirstinių. Relaksacijos metodas, skirtas netiesinių lygčių sprendimui, yra labai panašus į paprastųjų iteracijų metodą, tik šiek tiek „tobulesnis“. Norėdami išsiaiškinti relaksacijos metodo pranašumus, iš pradžių panagrinėkime paprastųjų iteracijų metodo ypatumus. Trumpai apie paprastųjų iteracijų metodą Sprendžiant paprastųjų iteracijų metodu, lygtis perrašoma tokiu pavidalu: Pavyzdžiui, lygtį galime perrašyti taip: . Grafiniu būdu nusistatę izoliacinį intervalą (jame būtinai turi kirstis lygčių ir grafikai) ir parinkę pradinį artinį , pagal formulę sudarytume reikšmių seką, vadinamą iteracine seka: Vieno jos nario apskaičiavimo procedūra vadinama iteracija. Jei ši seka artėja prie tiksliojo sprendinio c , tai sakoma, kad ji (ir iteracinis procesas) konverguoja. Pakankamosios iteracinės sekos konvergavimo sąlygos teorema: 1 teorema. Jei, pirma, lygties sprendinys c yra intervale , antra, funkcija šiame intervale turi tolydžią išvestinę ir, trečia, tos išvestinės modulis yra mažesnis už vienetą tame pačiame intervale, |(x)|≤q1, tai paprastųjų iteracijų metodas =() diverguoja – (n+1)-asis artinys yra toliau nuo tiksliojo sprendinio negu n-asis (žr. 3 brėž.). Tačiau jei (n+1)-uoju artiniu laikytume n-tojo ir (n+1)-ojo paprastųjų iteracijų metodo artinio tiesinę kombinaciją, t.y. =(1-)+(), tai naujasis artinys, specialiai parinkus parametrą , būtų „geresnis“ negu n-tasis. Šis metodas ir yra vadinamas relaksacijos metodu. Skaičius  vadinamas relaksacijos parametru. Jei =1, tai relaksacijos metodo formulė sutampa su =() formule, t.y. su paprastųjų iteracijų metodo formule. Jei =1/2, tai reikšmė lygi n-tojo relaksacijos artinio ir (n+1)-ojo paprastųjų iteracijų artinio aritmetiniam vidurkiui. Optimali parametro  reikšmė yra ta, su kuria relaksacijos artiniai greičiausiai artėja prie šaknies c: . Įrodymas. Įrašykime tikslųjį lygties sprendinį c į relaksacijos metodo formulę, c= (1-)c+(c), ir panariui atimkime iš jos gautąją tapatybę: =(1-)+ (()-(c)), kur =-c ir =-c; dydis yra relaksacijos metodo paklaida. Pritaikę Lagranžo formulę funkcijos (c) reikšmių skirtumui, ()-(c)=()(-c); =+(-), ||0 then na:=False; min:=k3; max:=k3; x:=a+2*t1; k1:=k2; While xmax then max:=k3; k1:=k2; x:=x+t1; end; End; { Procedūra optimaliam relaksacijos parametrui rasti } Procedure OPT; Begin If na=True then w:=2/(ABS(min)+ABS(max)+2) else w:=2/(ABS(min)+ABS(max)-2); WriteLn('w: ',w:12:10); End; { Procedūra intervalo rėžiams įvesti } Procedure REZIAI; Begin ClrScr; WriteLn('Prasome nurodyti intervalo galus:'); Write('a='); ReadLn(a); Write('b='); ReadLn(b); WriteLn('Prasome nurodyti paklaida:'); Write('epsilon='); ReadLn(epsilon); End; { Jei iteracinis procesas diverguoja, kreipiamasi į šią procedūrą } Procedure MSGDIV; var key:char; Begin ClrScr; TextColor(lightred); WriteLn('KLAIDA! INTERVALE [',a:0:6,';',b:0:6,'] FUNKCIJA DIVERGUOJA!'); TextColor(7); WriteLn('KEISTI REZIUS - spauskite ENTER'); Writeln('BAIGTI PROGRAMA - spauskite ESC'); Repeat key:=ReadKey; Until (key=#27)OR(key=#13); Case key of #13: REZIAI; #27: Halt(1); end; End; { Procedūra šaknies radimui } Procedure SAKNIS; var it:integer; e1,e2,x,r:double; Begin error:=False; it:=0; x:=a; Writeln(it:3,'. ',x:0:10); Repeat {kartoti ciklą, kol e2 taps ≤ epsilon } it:=it+1; r:=F(x); If na=True then x:=(1-w)*x+w*r else x:=(1+w)*x-w*r; e2:=ABS(r-x); WriteLn(it:3,'. ',x:0:10,' ',e2:0:10); If it>2 then if e2>e1 then begin error:=True; MSGDIV; Exit; end; e1:=e2; Until e2

Daugiau informacijos...

★ Klientai rekomenduoja

Šį rašto darbą rekomenduoja mūsų klientai. Ką tai reiškia?

Mūsų svetainėje pateikiama dešimtys tūkstančių skirtingų rašto darbų, kuriuos įkėlė daugybė moksleivių ir studentų su skirtingais gabumais. Būtent šis rašto darbas yra patikrintas specialistų ir rekomenduojamas kitų klientų, kurie po atsisiuntimo įvertino šį mokslo darbą teigiamai. Todėl galite būti tikri, kad šis pasirinkimas geriausias!