Potencinė energija

5 a) Konservatyviųjų jėgų darbas ir potencinė energija. Mechaninės energijos tvermės dėsnis galioja kūnui ar jų sistemai, jei juos veikia tik konservatyviosios (potencinės) jėgos. Tokiomis vadinamos jėgos, kurių darbas nepriklauso nuo judėjimo trajektorijos, o priklauso tik nuo pradinio ir galinio taškų padėties. Kinetinė ar potencinė pilnutinės energijos dalys gali kūnams judant keistis, bet jų suma nekinta. Žinomos įvairios mechaninės energijos formos ir rūšys. Kūnai energijos įgyja, kai juos veikiančios jėgos kūnų atžvilgiu atlieka mechaninį darbą. Potencinės energijos turi kūnas, kuris sąveikauja su kitais kūnais arba yra potencinių jėgų lauke. Tai yra dviejų ar daugiau sąveikaujančių kūnų sistemos energija, nors trumpumo sumetimais ir sakoma, kad tai pavienio kūno energija. Potencinė energija apibrėžiama darbu, kurį konservatyviosios jėgos atlieka, perkeldamos kūną iš taško, kurio energija , į tašką, kurio energija . Žinome, kad sunkio jėgų lauke kūnas, pakeltas virš Žemės paviršiaus į aukštį h (sistema Žemė – kūnas) turi potencinės energijos . Tampriai deformuotas kūnas turi potencinės energijos. Čia k – tamprumo koeficientas, x – kūno deformacija (pailgėjimas). Potencinės energijos erdvinis kitimas susijęs su jėgomis, kuriomis kūnai sąveikauja. Tai galima įrodyti susiejus darbo apibrėžimą ir darbo ryšį su potencinės energijos pokyčiu (konservatyviosios jėgos darbas yra lygus potencinės energijos pokyčiui, paimtam su priešingu ženklu): . Palyginę pastarąsias išraiškas gauname, kad jėgos projekcijos į koordinačių ašis yra susiję su potencinės energijos išvestinėmis pagal koordinačių kintamuosius:. (Vektorius, kurio dedamosios koordinačių kryptimis yra funkcijos A išvestinės, yra jos gradientas: ) Taigi,  jėga yra potencinės energijos gradientas. b) Sąveikos potencinė energija. Sąveikos potencinė energija yra svarbus medžiagų agregatinės būsenos parametras: nuo kinetinės ir sąveikos potencinės energijų santykio priklauso, kokios fazės bus medžiaga – kietosios, skystosios ar dujinės. Apskritai, Žemės traukos lauke sąveikos potencinė energija yra , (26) tačiau vykstant judėjimui ir mechaninės būsenos pakitimams dažnai svarbu įvardyti tik energijos pokyčius, todėl energijos skaičiavimo lygiu patogu pasirinkti Žemės paviršių ir skaičiuojant W pokyčius pirmasis (26) lygybės narys praleidžiamas. 6 Pagrindinis sukamojo judėjimo dinamikos dėsnis. Sukamojo judėjimo dinamikos pagrindinis dėsnis (kartais vadinamas ir momentų lygtimi): apie nejudamąjį tašką besisukančio kūno impulso momento kitimo greitis (pokytis per laiko vienetą) yra lygus visų kūną veikiančių išorinių jėgų atstojamajam momentui to taško atžvilgiu. Tarkime, kad čia esantis m masės materialusis taškas juda greičiu ir turi impulsą (dar vadinamą judėjimo kiekiu) . Materialiojo taško impulso momentu taško O atžvilgiu vadiname vektorių , gaunamą vektoriškai sudauginus spindulį vektorių ir impulsą (4 pav.): (12) Tai labai svarbi dinaminė besisukančio kūno ar materialaus taško sukamojo judėjimo charakteristika, nes jai galioja tvermės dėsnis (žr.1.6 skyrių). Impulso momento vektoriaus kryptį ir modulį apibrėžia vektorinės sandaugos taisyklės: , t. y. jo didumas atitinka užbrūkšniuoto lygiagretainio (4 pav.) plotą, o kryptis surandama pagal dešiniojo sraigto taisyklę: yra statmenas plokštumai, kurioje guli spindulys vektorius ir impulsas . 4 pav. Materialiojo taško impulso momentas ir jo projekcija į z ašį Kietąjį kūną galima laikyti materialiųjų taškų sistema, kadangi kiekvieną jų galima išskaidyti į n tokių mažų dalelių, kad jų matmenys būtų maži, palyginus su viso kūno matmenimis. Kai visas kūnas įtvirtintas taške O, kuris vadinamas sukimosi centru, kiekvieno materialiojo taško impulso momentas, kurį apibrėžia jo kinematinės charakteristikos to taško atžvilgiu – spindulys vektorius , greitis , yra sudedamosios dalys kūno atstojamojo impulso momento taško O atžvilgiu: . (12a) 5 pav. Jėgos momentas taško O atžvilgiu Kai atskirus (i-tuosius) kūno taškus veikia išorinės jėgos , kurių veikimo taškų spindulys vektorius yra , visą kūną veikia šių jėgų momentų atstojamasis, dar vadinamas sukamuoju, momentas . Atskiros jėgos momentu taško O atžvilgiu (5 pav.) vadinama spindulio vektoriaus , nubrėžto į jėgos veikimo tašką, ir tos jėgos vektorinė sandauga: . Sukamasis momentas yra išorinio poveikio, dėl kurio kinta besisukančio kūno kampinis greitis, matas ir kūną veikiančių jėgos momentų vektorinė suma: . (13) Jėgos ir sukimo momentų moduliai ir kryptys surandami pagal jau aptartas vektorinės sandaugos taisykles. Parašykime antrąjį Niutono dėsnį materialiajam taškui kai jį veikia išorinių jėgų atstojamoji, ir vektoriškai padauginkime abi lygties puses iš spindulio vektoriaus . Gauname: (14) Iš (14 b) lygties gaunant (14 c) išvestinės laiko atžvilgiu ženklas gali būti iškeltas prieš vektorinės sandaugos ženklą, kadangi naujas narys, atsirandantis dėl sandaugos diferencijavimo, yra lygus nuliui  vektorinė greičio ir impulso sandauga yra lygi nuliui (sin  = 0). Kairiojoje (14 c) lygties pusėje, skliaustuose yra materialiojo taško impulso momentas, o dešiniojoje  tą tašką veikiančios išorinės jėgos momentas. Taigi, gauname:. Sudėję panariui visas tokias lygtis visiems materialiesiems sistemą ar kietąjį kūną sudarantiems taškams ir atsižvelgę į (12 a) ir (13) gauname, kad . (15) (15) lygtis yra kūno, įtvirtinto viename nejudamajame taške, sukamojo judėjimo dinamikos pagrindinis dėsnis (kartais vadinamas ir momentų lygtimi): apie nejudamąjį tašką besisukančio kūno impulso momento kitimo greitis (pokytis per laiko vienetą) yra lygus visų kūną veikiančių išorinių jėgų atstojamajam momentui to taško atžvilgiu. Jei kūnas yra įtvirtintas dviejuose nejudamuosiuose taškuose OO (6 pav.) taip, kad gali suktis apie einančią per tuos taškus ašį z, tai kiekvieno tašką veikiančio jėgos momento komponentės, statmenos įtvirtintai ašiai, yra atsveriamos reakcijos jėgų momentų, o sukimą atlieka tik tangentinės jėgų momentų komponentės išilgai ašies  momentų projekcijos į ašį z. Tokio kūno judėjimo lygtį gauname suprojektavę (15) lygtį į ašį z: . (15 a) Impulso momento ir jėgos momento projekcijos į ašį vadinamos kūno impulso momentu ir išorinių jėgų momentu sukimosi ašies atžvilgiu. (15 a) lygtis išreiškia pagrindinį kūno sukimosi apie nejudamąją ašį dinamikos dėsnį: kūno impulso momento nejudamosios ašies atžvilgiu pokytis per laiko vienetą yra lygus visų kūną veikiančių išorinių jėgų sukamajam momentui tos ašies atžvilgiu. Apskaičiuokime kūno impulso momentą sukimosi ašies atžvilgiu. Iš (6 pav.) matome, kad materialiojo taško, nes linijinis i-tojo taško greitis yra lygus .Viso kūno impulso momentas yra suma materialiųjų taškų impulsų momentų:Visų kūno materialiųjų taškų masių ir jų atstumų iki ašies kvadratų sandaugų suma vadinama kūno inercijos momentu tos ašies atžvilgiu: . (16) (16) lygtyje paskutinis narys taikomas skaičiuojant inercijos momentą ištisinio kūno, kuris paprastai išskaidomas į labai didelį skaičių labai mažos masės dm elementų, kuriame R yra elemento dm nuotolis nuo ašies z, o sumos ženklas keičiamas integralu. Todėl besisukančio kūno impulso momentas yra . (17) Iš šios ir (15 a) lygčių išplaukia, kad kūno sukimosi pagrindinę lygtį galime parašyti: . (18) Jei kūno inercijos momentas sukimosi metu nekinta (kūnas yra absoliučiai kietas), ši lygtis gali būti užrašyta ir taip:. Čia   kūno kampinis pagreitis. Todėl pagrindinis kūno sukimosi dinamikos dėsnis formuluojamas ir taip: aplink nejudamąją ašį besisukančio kietojo kūno kampinis pagreitis yra tiesiog proporcingas visų kūną veikiančių išorinių jėgų atstojamajam momentui tos ašies atžvilgiu ir atvirkščiai proporcingas kūno inercijos momentui tos ašies atžvilgiu. Taip formuluojamas dėsnis rodo, kad inercijos momentas yra fizikinis dydis, atspindintis besisukančio ir svyruojančio kūno inertiškąsias savybes. Priminsime, kad slenkančio kūno inertiškumą apibūdina jo masė. 7 . (15 a) Impulso momento ir jėgos momento projekcijos į ašį vadinamos kūno impulso momentu ir išorinių jėgų momentu sukimosi ašies atžvilgiu. (15 a) lygtis išreiškia pagrindinį kūno sukimosi apie nejudamąją ašį dinamikos dėsnį: kūno impulso momento nejudamosios ašies atžvilgiu pokytis per laiko vienetą yra lygus visų kūną veikiančių išorinių jėgų sukamajam momentui tos ašies atžvilgiu. Apskaičiuokime kūno impulso momentą sukimosi ašies atžvilgiu. Iš (6 pav.) matome, kad materialiojo taško, nes linijinis i-tojo taško greitis yra lygus .Viso kūno impulso momentas yra suma materialiųjų taškų impulsų momentų:Visų kūno materialiųjų taškų masių ir jų atstumų iki ašies kvadratų sandaugų suma vadinama kūno inercijos momentu tos ašies atžvilgiu: . (16) (16) lygtyje paskutinis narys taikomas skaičiuojant inercijos momentą ištisinio kūno, kuris paprastai išskaidomas į labai didelį skaičių labai mažos masės dm elementų, kuriame R yra elemento dm nuotolis nuo ašies z, o sumos ženklas keičiamas integralu. Todėl besisukančio kūno impulso momentas yra . (17) Iš šios ir (15 a) lygčių išplaukia, kad kūno sukimosi pagrindinę lygtį galime parašyti: . (18) Jei kūno inercijos momentas sukimosi metu nekinta (kūnas yra absoliučiai kietas), ši lygtis gali būti užrašyta ir taip:. Čia   kūno kampinis pagreitis. Todėl pagrindinis kūno sukimosi dinamikos dėsnis formuluojamas ir taip: aplink nejudamąją ašį besisukančio kietojo kūno kampinis pagreitis yra tiesiog proporcingas visų kūną veikiančių išorinių jėgų atstojamajam momentui tos ašies atžvilgiu ir atvirkščiai proporcingas kūno inercijos momentui tos ašies atžvilgiu. Taip formuluojamas dėsnis rodo, kad inercijos momentas yra fizikinis dydis, atspindintis besisukančio ir svyruojančio kūno inertiškąsias savybes. Priminsime, kad slenkančio kūno inertiškumą apibūdina jo masė 9 Giroskopas, kietasis, kūnas kuris greitai sukasi ir kurio sukimosi ašies kriptis laisvai kinta erdvėje. Giroskopo sukimosi apie savo ašį sukimosi greitis daug didesnis už kampini greitį, kuriuo sukasi pati ašis. Paprasčiausias giroskopas yra smarkiai įsuktas vilkelis.ašies kripis gali kisti, nes jos galas nepritvirtintas. Dažniausiai naudojamų giroskopų ašis įtvirtinama remuose, vadinamuose kardano pakaboje. Ašiis gali būti bet kokioje padėtyje, toks giroskopas turi trys laisvės laipsnius. Jei giroskopa neveikia išorinės jėgos ir jo sunkio centras sutampa su centru, tai bet kaip paslenkant ar virpant giroskopo ašis erdvėje išlaiko pradinę padėti. Jei giroskopo ašį veikia jėga giroskopo ašies galas nukripsta ne jėgos veikimo kriptimi, o statmenai šiai jėgai. Dėl to giroskopas ir jo rėmas pradeda pastoviu kampiniu greičiu suktis apie ašį. Šis sukimasis vadinamas precesija; jis tuo letesnis kuo greičiau apie ašį sukasi pats giroskopas. Tryjų laisvės laipsnių giroskopo savybemis naudojamsi automatiniam lėktuvų, raketų, laivų valdymui, navigaciniuose prietaisuose. Dviejų laisvės laipsnių giroskopo sąvybės pritaikomos aviacinėje posukių rodyklėje ir girostabilizatoriuje. 10 1. a) Impulso ir impulso momento tvermės dėsniai. Izoliuotai nuo išorinių kūnų sistemai galioja impulso tvermės dėsnis: izoliuotoje sistemoje kūnų impulsų suma nekinta vykstant įvairiems mechaniniams pasikeitimams ir sąveikoms. Kūnų sistema yra izoliuota arba uždara, jei visos jėgos, kuriomis veikia tos sistemos kūnus kiti, neįeinantys į sistemą kūnai, vienos kitą atsveria. Gamtos dėsniai yra atrandami, o ne įrodomi, bet galima aptarti įvairių dėsnių ryšius, juos susieti ir tuo patvirtinti jų neprieštaringumą. Trečiasis Niutono dėsnis teigia, kad sąveikaujant dviem kūnams kiekvienas jų veikia kitą vienodo didumo, bet priešingos krypties jėgomis:. Taigi sąveikaujantys vidinėmis jėgomis kūnai keičia greitį (įgyja pagreitį) ir pagal antrąjį Niutono dėsnį gauname, kad . Padauginę pastarosios lygybės narius iš ir pertvarkę, užrašome: (27) Uždarąją sistemą sudarančių kūnų impulsų suma yra pastovi. Kai kūną ar jų sistemą veikia išorinės jėgos, kiek pakinta kūno impulsas, apibrėžia antrasis Niutono dėsnis: . Impulso tvermės dėsnis taikomas ir tada, kai sistema yra uždara tik kai kuriomis kryptimis, išilgai kurių neveikia jokios jėgos: jei išorinių jėgų atstojamosios vektoriaus projekcija į kurią nors ašį yra lygi nuliui, tai sistemos impulso vektoriaus projekcija į tą ašį nepriklauso nuo laiko. Impulso tvermės dėsnis taikomas skaičiuojant kūnų tampriuosius ar netampriuosius smūgius. Netampriojo smūgio metu (kai po smūgio du kūnai juda kaip vienas) mechaninės energijos dalis virsta šilumine ir todėl mechaninės energijos tvermės dėsnis negalioja, pagal impulso tvermės dėsnį galime apskaičiuoti kai kurias smūgio pasekmes. Taip apskaičiuojame balistinės svyruoklės, taikomos dideliu greičiu skriejančių kūnų greičiams matuoti, galinį greitį po susidūrimo su kūnais. Šio dėsnio išdava yra taip pat reaktyvinės jėgos atsiradimas judant kintamos masės kūnams. Pavyzdžiui, išmetant per laiką dt iš raketos u greičiu dm kuro (kuro degimo greičiui esant ), raketą veikia reaktyvinė jėga. Šis dėsnis išplaukia iš erdvės vienalytiškumo savybių, kur kairė niekuo nesiskiria nuo dešinės. Pvz., kai skyla kūnas, neturintis impulso, dviejų vienodos masės kūnų įgyti impulsai (greitis) yra vienodo didumo, tik priešingų krypčių, nes dėl erdvės vienalytiškumo kūnai per vienodus laiko tarpus pasislenka vienodai. Erdvės vienalytiškumas taip pat reiškia, kad visos atskaitos sistemos yra lygiavertės, t. y. geometriniai ryšiai tarp geometrinių objektų pasirenkant įvairias koordinačių sistemos ašis nekinta. Impulso tvermės dėsnio ir erdvės vienalytiškumo sąsajas nagrinėja teorinė mechanika. Impulso momento tvermės dėsnis yra teisingas kaip ir impulso tvermės dėsnis tik izoliuotai sistemai. Pagrindinis sukamojo judėjimo dėsnis (15) tokiai sistemai užrašomas taip:. Nuliui yra lygi pastovaus dydžio išvestinė: . Tai reiškia, kad vykstant bet kokiems procesams izoliuotos sistemos viduje, jos impulso momentas nekinta. Kadangi besisukančio kūno impulso momentas yra lygus , įvykus sistemos inercijos momento I pasikeitimui, pakinta sistemos sukimosi kampinis greitis: . (28) Tokio impulso momento tvermės dėsnio pasireiškimą stebime, kai čiuožėjai ar balerinos įsisuka atsispirdami, o sukimosi greitį pakeičia išskėsdami rankas ar ištiesdami koją (inercijos momentas santykinai didesnis) ir vėl jas suglausdami. Sumažėjus inercijos momentui padidėja sukimosi kampinis greitis ir atvirkščiai. Nesupratus impulso momento tvermės dėsnio būtų neįmanomas progresas tobulinant sraigtasparnius, šiuo dėsniu remiasi tokių navigacinių prietaisų, kaip girokompasų autopilotuose, taikiklių tankuose veikimas ir pan 11 2. Apibrėžkite ir apskaičiuokite kietojo kūno kinetinę energiją. Tačiau, kaip jau minėjome, tokį kūno judesį galima išskaidyti kitaip. Jei pasirenkama ašis, einanti per masių centrą C, tai rato taškų riedėjimas gali būti nagrinėjamas kaip slenkamasis judėjimas greičiu v (taip „slenka“ įsivaizduojama momentinė sukimosi ašis) ir sukimasis apie ašį, kai kiekvieno iš rato taškų sukimosi linijinis greitis yra irgi v. 11 pav. Rato riedėjimo skaidymas į slenkamąjį ir sukamąjį judėjimus Toks judėjimų skaidymas yra svarbus, kai nagrinėjama besisukančio kūno kinetinė energija Wk, kurią skaičiuojant būtina atsižvelgti į kiekvieno kūno taško kinetinę energiją. Pastarąsias susumavus gaunama viso kūno kinetinė energija. Skaičiuojant energiją kūno, besisukančio apie ašį, einančią per masių centrą C, kiekvieno taško linijinį greitį išreiškiame linijinio greičio ir spindulio vektoriaus sandauga: . (22) Čia I yra kūno inercijos momentas, o ω – kūno sukimosi apie jo masių centrą kampinis greitis. Jei kūnas greičiu v slenka ir greičiu ω sukasi apie ašį, einančią per masių centrą (tik ką aptarėme, kad taip galima išskaidyti kūno riedėjimą, t. y. sukimąsi apie momentinę sukimosi ašį, einančią per lietimosi tašką) jo kinetinę energiją sudaro slenkamojo judėjimo ir sukimosi kinetinės energijos: . (23) Pavyzdžiui, rato, riedančio greičiu kinetinė energija yra: 13.Bilietas Paaiškinkite, kokias mechaninės enrgijos formas ir rūšis žinote, kada ji išsilaiko ir kaip gali keisti. Energija yra bendras kiekybinis visu materijos judejimo ir saveikos formu matas. Ji yra materialiosios daleles ar sistemos busenos funkcija.Mechanine energija skirstoma i judanciu kunu kinetine energija ir susijusia su saveikaujanciu kunu energia vadinama potencine.Kai judanti kuna mechaniskai veikia kiti kunai , tuomet vieni kunai perduoda energija kitiems. Sio proceso apibudinimas :mechaninis darbas apibudina veikiant jegai vykstanti energijos perdavimo procese. KINETINE ENERGIJA. Jei nekintancios mases materialusis taskas juda veikiamas atstojamosios jegos F=mvd/dt o jos poslinkis per trumpa laiko tarpa dt yra dr=vdt, tuomet atliekamas elementarusis darbas dA=mvdv=d(mv2/2).Atstojamosios jegos darbas baigtiniame kelyje s isreiskiamas tam tikro fizikinio dydzio pokyciu.Sis dydis susijes su materialiojo tasko mase m irgreiciu v.Ji galima uzrasyti sitaip: Wk=mv^2/2+C.C-adityvioji konstanta ,kurios .Atstojamosios jegos darbas lygus materialiojo tasko kinetines energijos pokyciui.Wk=mv^2/2.Judantis materialusis taskas turi kinetine energija ir dydis mv^2/2yra jo judejimo energijos matas.Slenkant kietajam kunui, visi jo taskai juda vienodu greiciu.Kai sistema sudarantys materialieji taskai juda skirtingais greiciais,tada apskaiciuojant kinetine energija,susumuojamos atskiru materialiuju tasku kinetines energijos Energijos kieki kunas gauna is darba atliekanciukunu.Todel mechaninis darbas A yra energijos kiekio, kuri vienas kunas perduoda kitam,martas.Darbo ir energijos vienetai yra vienodi.Pasipriesinimo jegu darbas neigiamas (A0), rezonansas pasiekiamas esant mažesniam nei savųjų svyravimų dažniui. Rezonanso reiškinys labai naudingai taikomas radiotechnikoje, akustikoje, optikoje, elementariųjų dalelių fizikoje. (Garsus italų dainininkas Enrikas Karuzas girdavosi turįs galingą baritoną (didelė Fm), nes jam užtraukus ariją subyrėdavo plonasienė taurė, nors akivaizdu, kad čia reiktų labiau girti jo idealią () klausą). Rezonansas, kaip ir kiekvienas reiškinys, taip pat gali sukelti nepageidaujamų pasekmių. Pakanka paminėti darbo mašinų, traktorių žalą vairuotojui dėl rezonansinių poveikių jo organizmui. Tokius poveikius galima sumažinti gerai pažįstant rezonanso prigimtį 17 6. a) Bangos lygtis. b) Aptarkite parametrus aplinkos, nuo kurių priklauso mechaninių bangų sklidimo greitis. Greitis kuriuo bangos sklinda terpėje, priklauso nuo aplinkos elastinių savybių, o pastarąsias nulemia molekulių šiluminio judėjimo ir sąveikos jėgų pobūdis. Bangavimą aiškindami paprasčiausiai visas terpes (nepraretintąsias dujas, skysčius, kietuosius kūnus) laikome absoliučiai tampriomis. Jose dėl mažų deformacijų atsirandančios vidinės jėgos ar įtemptys yra proporcingos tų deformacijų didumui. Pavyzdžiui, kietajam kūnui galioja Huko dėsnis: .(E lygi įtempčiai F/S, ištempiančiai strypą dvigubai.) Dujoms ir skysčiams būdingas tūrio tamprumas – jie neišlaiko formos, bet priešinasi tūrio pakeitimui (tūrio deformacijoms). Dujose tai pasireiškia dujų slėgio kitimu dėl mažų tūrio pakitimų . Iš izoterminio proceso Boilio ir Marioto arba adiabatinio proceso Puasono lygčių (4.8 skyrius) išplaukia šių pakitimų sąryšis: . (40) (40) lygtyje yra aplinkos tūrio spūdumo modulis. Jo fizikinę prasmę (37) lygtis ir apibrėžia: tai yra teigiamas dydis, atvirkščias santykiniam tūrio pokyčiui, atitinkančiam vienetinį slėgio prieaugį. Modulis ir aplinkos tankis lemia bangų sklidimo greitį . (41) 20 pav. Skersinių paviršinių (a) (šaltinis – vertikaliai skysčio paviršiuje virpantis rutuliukas) ir išilginių (b) (šaltinis – svyruojanti dujose garsiakalbio membrana) bangų pavyzdžiai Dujų spūdumo modulio išraiška (40) ir (41) lygtyse priklauso nuo to, koks procesas vyksta sklindant bangai. Bandymai nurodo, kad didelio dažnio akustinių bangų sklidimą, t. y. slėgio ir tūrio pakitimus tobuliau aprašo Puasono lygtis adiabatiniam procesui: . Diferencijuodami ją gauname: Palyginę pastarąją ir iš (40) lygties išplaukiančią vertes, gauname, kad dujų spūdumo koeficientas yra: . Iš šios K išraiškos ir (38) lygties išplaukia, kad akustinių bangų sklidimo dujose greitis proporcingas kvadratinei šakniai iš temperatūros ir dujų molio masės santykio: . (42) Kadangi bandymai patvirtina (42) ryšį, galime teigti, kad idealiosiose dujose garso (aukšto dažnio bangų) sklidimas turi adiabatinio proceso pobūdį. Žemesnio dažnio bangoms aprašyti geriau tinka izoterminis procesas (tada (42) lygtyje vietoj yra 1). Taigi išilginių bangų dujose sklidimo greitis priklauso nuo proceso, kuriam vykstant keičiamas dujų tūris, t. y. nuo bangų dažnio. Reiškinys, kai bangų sklidimo greitis priklauso nuo jų dažnio, vadinamas bangų dispersija. Jis labai reikšmingas elektromagnetinėms bangoms (optikoje), lemia tokius reiškinius, kaip vaivorykštę ar optinių spektrų struktūrą. Kadangi Puasono adiabatės rodiklis priklauso nuo molekulės laisvės laipsnių skaičiaus i ir atomų skaičiaus joje (smulkiau – 4.4 skyrelyje), išmatavus garso greitį galima įvertinti kai kuriuos dujų parametrus, susijusius su jų termodinaminėmis savybėmis: laisvės laipsnių skaičių (nustatyti atomų skaičių molekulėje!) ir jų molines šilumas . Skysčiuose sklindančių išilginių bangų greitį galima apskaičiuoti žinant skysčio spūdumo koeficientą , lygų santykiniam tūrio pokyčiui, atitinkančiam vienetinį slėgio pokytį (dydį, atvirkščią spūdumo moduliui (40)) ir medžiagos tankį . (43) Kietuosiuose kūnuose veikiančios atominės ar tarpmolekulinės sąveikos jėgos priešinasi tiek kūno formos, tiek tūrio pakeitimui (tempiant strypą jis plonėja) – kietiesiems kūnams būdinga šlyties deformacija. Todėl (išskyrus paviršines bangas skysčiuose, kuriose dalelės atlieka elipsinius arba dar sudėtingesnius judesius, o bangos yra mišraus pobūdžio) visuose kūnuose gali sklisti išilginės bangos, o skersinės bangos gali sklisti tik kietuosiuoe kūnuose (20 pav.). Išilginių bangų sklidimą ištisiniuose plonuose strypuose lemia strypų išilginis pailgėjimas ir suspaudimas. Tokių bangų sklidimo greitis susijęs su medžiagų Jungo moduliu ir tankiu . (44) 21 pav. Skersinė banga jėga įtemptoje stygoje. Skersinių bangų stygose (21 pav.) sklidimo greitis priklauso nuo įtempimo jėgos ir ilgio vieneto masės santykio:.(45) Skersinių bangų greitį vienalytėse izotropinėse kietosiose aplinkose lemia terpės šlyties modulis ir tankis . (46) Išilginių bangų greitį izotropinėse kietosiose aplinkose lemia tūriniai (gniuždymo-tempimo) K ir šlyties deformacijų G modulių deriniai: . (47) Bandymai rodo, kad išilginės mechaninės bangos auksu sklinda  3220 m/s, šlyties banga  1200 m/s greičiu, o garso greitis ploname auksiniame strypelyje yra 2030 m/s. 19 7. Mechaninių bangų interferencija ir stovinčiųjų bangų lygtis. (Paaiškinkite sklindančiųjų ir stovinčiųjų bangų skirtumus) Iš bangų sudėties reiškinių įdomiausias techninių pritaikymų prasme yra koherentinių bangų superpozicijos reiškinys, vadinamas interferencija. Jį stebint galima nustatyti kai kuriuos bangos ar terpės, kuria sklinda banga, parametrus: bangos ilgį ir jos sklidimo aplinkoje greitį, dujų molinių šilumų santykį, atomų skaičių molekulėje ir pan. Koherentinėmis bangomis (jas skleidžia koherentiški šaltiniai) vadinamos tokios bangos, kurių dažniai vienodi, o fazių skirtumas laikui bėgant nekinta. Panagrinėkime vienalyte ir izotropine aplinka vienodo dažnio ir ta pačia kryptimi sklindančių harmoninių bangų interferenciją kuriame nors taške M. Supaprastindami sau užduotį sudėkime bangas, kurių pradinės fazės yra vienodos ir lygios 0: ir . Čia yra nagrinėjamojo terpės taško M nuotoliai nuo koherentiškų šaltinių 1 ir 2. Atstojamųjų virpesių amplitudė pagal kosinusų sudėties formulę lygi . Iki taško M nusklidusių bangų fazių skirtumas yra . Čia x1– x2 yra bangų nueitų kelių skirtumas, o . Tuose erdvės taškuose, kur fazių skirtumas lygus lyginiam pusbangių skaičiui (), bangų fazės yra vienodos ir stebimas svyravimų amplitudės išaugimas. Čia yra interferencijos maksimumų vieta. Svyravimų amplitudė joje yra . Ten, kur , t. y. bangų nueitų kelių skirtumas lygus nelyginiam pusbangių skaičiui ir bangų fazės yra priešingos, bangos viena kitą slopina ir stebimas interferencijos minimumas. Šiuose taškuose atstojamoji amplitudė yra lygi nuliui:. Vienas iš interferencijos atvejų yra dviejų koherentiškų tampriąją aplinka (įtempta styga, dujomis) sklindančių viena prieš kitą vienmačių ar plokščiųjų bangų sąveika (skersinėms bangoms būtina vienoda bangų poliarizacija, t. y. dalelių svyravimo plokštumos abiejose bangose turi būti tos pačios). Tarkim, jų lygtys yra: – bangos, sklindančios į dešinę, ir – bangos, atsispindėjusios nuo įtvirtinimo ir sklindančios į kairę (24 pav.). (Įtvirtinimo vietoje atsispindėjusioji banga paprastai keičia savo fazę dydžiu ). Sudėję nuokrypius ir ir pritaikę žinomas sinusų sudėties formules gauname: .(57) Tai ir yra stovinčiosios bangos lygtis. Iš (57) aiškiai išplaukia tai, kad kitaip nei sklindančios bangos stovinčiųjų bangų svyravimų amplitudė yra periodinė koordinatės x funkcija, t. y. kiekviena pusės bangos ilgio stygos dalelė svyruoja turėdama savitą amplitudę: . Taškai (P, 24 pav.), kuriuose stovinčiosios bangos svyravimų amplitudė yra didžiausia (), vadinami nuokrypio pūpsniais, o taškai (M), kuriuose svyravimai visai nevyksta (), yra stovinčiosios bangos nuokrypio mazgai. Pūpsnių ir mazgų koordinatės randamos pagal sąlygas: Galima įrodyti, kad kitaip nei sklindančioje bangoje, kur potencinės energijos ir kinetinės energijos kitimas laikui bėgant yra vienodas, sinfaziškas, stovinčiojoje bangoje erdvės dalies potencinė energija yra didžiausia tada, kai tų pačių dalelių kinetinė yra mažiausia ir atvirkščiai. Akivaizdu, kad stovinčioji banga energijos neperneša, nes tai yra dviejų priešpriešiais „sklindančių“ vienodų energinių srautų atstojamasis judėjimas. 20 8. a) Akustinės bangos intensyvumas ir slėgis. Bangos sklisdamos terpe perduoda šaltinio svyravimų energiją dar nesvyruojančioms terpės dalelėms  taip bangos sklidimo kryptimi pernešama energija. Tarkime, kad erdvėje sklinda plokščioji banga . Energijos srautas yra vidutinė energija, bangos pernešta per kurį nors paviršių per laiko vienetą. Per paviršių S pernešama energija lygi sandaugai: (vieno bangos ilgio nuotolyje sukauptai bangos energijai)(bangų, prasklidusių per sekundę, skaičiui)  (minėtai bangos ilgio energijai)  (dažnio). Neskaidydami svyruojančių dalelių energijos į potencinę deformuotos aplinkos energiją ir kinetinę judančių dalelių energiją, apsiribosime supaprastintu pilnutinės energijos skaičiavimo būdu. Iš mechaninės energijos tvermės dėsnio išplaukia, kad laisvai svyruojančių dalelių pilnutinė energija yra lygi didžiausiai kinetinei energijai kurią dalelė turi pereidama pusiausvyros padėtį. Panašiai samprotaudami galime manyti, kad ir pilnutinė tūryje kurio masė svyruojančių dalelių energija yra Kadangi svyruojančios dalelės greitis yra , pilnutinė skaičiuojamojo tūrio energija, kuri pernešama per paviršių S per laiko vienetą (srautas ), yra: . (53) Energija, pernešta per laiko vienetą ir per vienetinio ploto paviršių (srautas per ploto vienetą, yra bangos intensyvumas I, matuojamas W/m2: . (54) Pabrėžiame, kad v yra bangos sklidimo greitis, o yra dalelių judėjimo greičio amplitudė. Intensyvumas (kaip ir dažnis bei bangos sklidimo greitis) yra svarbus akustinės bangos kiekybinis parametras. Iš (53) ir (54) lygčių, tinkančių visoms paprastoms harmoninėms bangoms, plaukia, kad bangos intensyvumas priklauso nuo dažnio kvadrato, todėl labai aukštus dažnius atitinka labai dideli (iki 20 W/cm2) intensyvumai. Kūnai, veikiami tokios ultragarso bangos, gali smarkiai įkaisti. Todėl ultragarsas gali būti panaudotas aliuminio sulydymui, kiaurymių gręžimui, ląstelių ardymui ir pan. Dabar apskaičiuosime efektinį viršslėgį kurį sukelia svyruojančios dujų dalelės plokščiojoje akustinėje bangoje. 23 pav. Jėgos, veikiančios dujų elementą dm Kaip matyti iš 23 pav., bangos (49) apimtą mažą aplinkos elementą dm veikia atstojamoji jėga , kuri pakeičia elemento dalelių impulsą dydžiu. Čia V yra svyruojančių dalelių bangoje judėjimo greitis, o v – bangos sklidimo greitis. Kadangi pagal slėgio apibrėžimą , iš pastarosios lygties gauname, kad nagrinėjamame bangos elemente yra papildomas slėgis . (55) Taigi slėgio amplitudė yra , o efektinis slėgis – . (56) Garso bangos slėgis kasdienių garsų pasaulyje yra nuo iki šimtų Pa dydžio, o kartais (pvz., sprogimo bangoje) siekia kelias atmosferas. Intensyvumas ir slėgis fizikinėje akustikoje yra objektyviosios garso bangos charakteristikos. Fiziologinėje akustikoje žinomos ir garso subjektyviosios charakteristikos (garso stiprumo lygis ir garso slėgio lygis, žymimos ta pačia raide L), kuriomis įvertinamas garso bangos sukelto pojūčio stiprumas, priklausantis ne tik nuo intensyvumo ar slėgio, bet ir ausies jautrumo. Mažiausias intensyvumas, kurį pajunta „vidutinė“ ausis „normaliame“ ore, yra vadinamas girdos slenksčiu. Jo didumas yra , o tai atitinka efektinį slėgį. Akustinės bangos, kurios intensyvumas yra I, garso stiprumo lygis L yra apskaičiuojamas taip: . Ir superaukštų dažnių technikoje galios lygis yra įvertinamas analogiškai, tik galios slenkstis P0 skaičiuojant pagal formulę prilyginamas 1 mW. b) Decibelas. Nesisteminis logaritminis vienvardžių reikšmių santykio vienetas. Tiek garso slėgį, tiek ir garso intensyvumą apibūdinti tokiais mažais dydžiais nėra patogu. Todėl šiems dydžiams apibrėžti buvo įvestas nesisteminis logoritminis vienetas decibelas (dB), t.y ir garso slėgio, ir garso intensyvumo skalė yra logoritminės. Priimta, kad girdos slenksčio garso intensyvumo ir garso slėgio lygis lygus 0 dB. Garso sustiprėjimas 1dB atitinka 1.25 karto didesnį garso intensyvumą, garso sustiprėjimas 10 dB – dešimt kartų didesnį garso intensyvumą, 20dB – šimtą kartų didesnį garso intensyvumą; atitinkamai garso slėgis pasikeičia 1.12; 3.16 ir 10 kartų. 21 Paaiskinkite, nuo ko priklauso akustiniu bangu intesyvumas. Girdos ir skausmo ribos. Decibelas. Energija, pernesta per laiko veineta ir per vienetinio ploto pavirsiu (srautas per ploto vieneta) yra bangos intensyvumas I, matuojamas W/m2 : I=dФ/dS=0,5ρ(Vm)2 v. v-bangos sklidimo greitis, oVm yra daleliu judejimo amplitude. Is parasytos lygties plaukia, kad bangos intensyvumas priklauso nuo daznio kvadrato [nes per pavirsiu S pernesama energija lygi sandaugai:(vienos bangos ilgio nuotolyje sukauptai energijai)x(bangu, prasklidusiu per sekunde, skaiciui)=(minetai bangos ilgio energijai)x(daznio). Maziausias intensyvumas, kuri pajunta “vidine” ausis “normaliame” ore, yra vadinamas girdos slenksciu. Jo didumas yra I0=10-12 W/m2, o tai atitinka p0=2·10-5 Pa efektini slegi. Akustines bangos, kurios intensyvumas yra I, garso stiprumo lygis L yra apskaiciuojamas: L=10lg I / I0 . Lygiu vienetas yra decibelas (dB). Maziausias garso intensyvumas (slegis), sukeliantis skausma yra vadinamas skausmo riba. Jos didumas I=10 W/m2, o tai atitinka p=63 Pa efektini slegi. 22 9. Doplerio efektas. Stebėdami pralekiančius lenktyninius automobilius arba traukinius, galime išgirsti jų variklių arba kauklių garso aukščio kitimą – artėjant šaltiniui garso aukštis (bangų dažnis) kyla, o nutolstant – žemėja. Bangų dažnio pakitimas dėl šaltinio ir stebėtojo reliatyviojo judėjimo vienas kito atžvilgiu vadinamas Doplerio efektu. Jis būdingas visų rūšių bangoms. Žinome, kad šaltiniui nejudant banga per vieno periodo laiką nusklinda atstumą l, lygų bangos ilgiui : (28 a pav.). Jei per šį laiką šaltinis, judantis v0 greičiu (28 b pav.), paslenka atstumą , tai spinduliuojamai bangai iki stebėtojo lieka sklisti nuotolį λ. 28 pav. Bangos ilgio pakitimas dėl Doplerio efekto Taške S esantį stebėtoją dvi iš šaltinio nusklidusių bangų keteros (tarp jų yra bangos ilgiui lygus atstumas), pažymėtos 28 pav. koncentriniais apskritimais, a ir b atvejais pasieks praėjus nevienodam laikui nuo spinduliavimo pradžios. Šis laikas lygus periodui T, kai šaltinis nejuda, ir „naujam“ periodui ,  kai šaltinis juda. Įrašę į pastarąją lygtį l =  bei T  1/ gauname, kad stebėtojas S šaltiniui artėjant registruos bangos dažnį , kuris skiriasi nuo dažnio : . (62) Jei bangų šaltinis nejuda, o link šaltinio greičiu juda stebėtojas, bangų, kurių greitis nejudančio oro atžvilgiu yra v, reliatyvusis greitis stebėtojo atžvilgiu yra v' = v+. Tai reiškia, kad naujasis (stebėtojo registruojamasis) dažnis yra didesnis:. Vietoj  įrašę v/, gauname: . Skaitiklyje minuso ženklas rašomas tada, kai stebėtojas tolsta nuo bangų šaltinio, o pliuso, atvirkščiai, kai artėja. Analogiškai galime surasti, kad šaltiniui ir stebėtojui judant viena kryptimi greičiais v0 ir vst, (v – bangos greitis nejudančioje atskaitos sistemoje) stebėtojas registruos dažnį . (63) Jei pagrindinio dažnio ir pasislinkusio dėl Doplerio efekto dažnio bangas sudėtume (žr. 3.7 skyrių), gautųsi bangų mūša ir mūšos dažnis priklausytų nuo šių bangų dažnių skirtumo. Stebėdami analogišką ultragarsinio diapazono bangų superpoziciją medikai nustato raudonųjų kraujo kūnelių judėjimo greitį kraujagyslėse, registruoja dar negimusio kūdikio krūtinės lastos judėjimą ar per nuotolį stebi širdies plakimą. Įvertinti Doplerio efekto įtaką būtina ir atliekant tyrimus didelės skiriamosios gebos spektroskopijoje, stebint molekulių ir atomų charakteringas spektrines linijas. Dažnai Doplerio efektas dėl molekulių šiluminio judėjimo nulemia daug didesnį linijų spektrinį išplitimą nei heizenberginis neapibrėžtumas. Doplerio efekto stebėjimas žvaigždžių švytėjimo spektruose pagal jų „raudonąjį“ ar „mėlynąjį“ poslinkį leidžia nustatyti žvaigždžių judėjimo greitį Žemės atžvilgiu. Tiesa, šiuo atveju reikia taikyti reliatyvistinę dažnio pokyčio sampratą. Kai šaltinis stebėtojo atžvilgiu juda greičiu, didesniu už garso greitį šiose dujose, atsiranda smūginė banga. Judančio šaltinio priekyje dėl daugelio bangų interferencijos susidaro didžiulė ketera (už šaltinio – įduba), todėl pvz., lėktuvui pralekiant viršgarsiniu greičiu girdimas dvigubas akustinis smūgis. Smūginė banga lydi lėktuvą ir girdima įvairiose vietose. Akustinės smūginės bangos analogas yra greitai plaukiančio laivo priekyje susidaranti vandens ketera, kai jis plaukia greičiau nei bangos plinta vandens paviršiumi 24 10. Aptarkite medžiagų molinių šilumų molekulinę kinetinę teoriją ir jos trūkumus. Nustatyta, kad vienodai šildomos skirtingos dujos įšyla nevienodai. Šį dujų savitumą atspindi izochorinė molinė šiluma, kuri apibrėžiama kaip molio dujų vidinės energijos pokytis, atitinkantis dujų temperatūros pokytį vienu kelvinu: . (82) Diferencijuodami (41) gauname, kad visų idealiųjų dujų . (83) Pastovaus tūrio dujoms (izochoriškai, kai dA  0) suteiktas šilumos kiekis dQ visas virsta kūno vidine energija. Tada iš (41) apibrėžimo išplaukia, kad vieno molio dujoms suteiktas šilumos kiekis dQ ir temperatūros pokytis dT yra susiję taip: . (84) Jei dujos šildomos izobariškai (kinta temperatūra ir tūris), dalis gauto šilumos kiekio dQ virsta darbu dA. Vieno molio dujos izobariškai pašildytos vienu kelvinu ir išsiplėsdamos ne tik pašyla (pakeičia savo vidinę energiją per CV), bet ir atlieka darbą lygų universaliajai konstantai R, t. y. dA=R (žr. (80)). Todėl . Iš pastarosios lygties išplaukia, kad izobarinė molinė šiluma Cp, kuri lygi šilumos kiekiui, pakeičiančiam vieno molio temperatūrą vienu kelvinu izobarinio proceso metu, yra . (85) Molinių šilumų santykis  (Puasono koeficientas) yra dujų charakteristika, atspindinti kai kurias dujų savybes: adiabatinio proceso, vykstančio be šiluminių mainų su aplinka, termodinaminių parametrų ryšį (4.8 skyrius), garso bangų greitį dujose (žr. (42)) ir t. t. Šis santykis yra laisvės laipsnių skaičiaus funkcija: . (86) Šilumos kiekis, kurio reikia medžiagos masės vienetui pašildyti vienu kelvinu, vadinamas medžiagos specifine šiluma . Nors bandymai rodo, kad dujų ir kietųjų kūnų šiluminė talpa priklauso nuo temperatūros (36 pav.), tai neišplaukia iš molinę šilumą CV ir Cp aprašančių (82) ir (85) formulių. Tenka pripažinti, kad molekulių laisvės laipsnių skaičius gali priklausyti nuo temperatūros, pavyzdžiui, molekulės žemose (T50 K) temperatūrose juda taip, lyg nesisuktų ar nesvyruotų, aukštesnėse (T300 K)  atsiranda jų sukimasis, o aukščiausiose – ir svyravimai. 25 11. Molekulinės teorijos slėgio ir temperatūros supratimas. Empiriškai temperatūrą suprantame kaip kūnų įšilimą apibūdinantį dydį. Termodinamikoje temperatūra yra sistemos pusiausvirosios būsenos parametras: štai nulinis termodinamikos principas teigia, kad izoliuotas ir termodinaminės pusiausvyros būsenos sistemas sujungus šiluminiu kontaktu naujai sudarytoji sistema išliks termodinamiškai pusiausvira tik tuo atveju, jei sujungtų sistemų temperatūros buvo vienodos. Empiriniam temperatūros matavimui reikia pasirinkti termometrinę medžiagą (skystį (gyvsidabrį, spiritą) arba kietojo kūno strypelį), termometrinį matuojamą dydį (skysčio stulpelio ar kieto strypelio ilgį l, elektrinę varžą R, termoelektrovarą  ir t. t.) ir bent du temperatūros atskaitos (pvz., vandens trigubą T1 ir virimo T2 ) taškus. Jei graduojant termometrą ir pašildžius strypelį nuo T1 iki T2 jo ilgis l pakinta nuo l1 iki l2, bet kurią kūno temperatūrą randame pagal sąryšį . (72) Čia k yra vieno tos temperatūros skalės laipsnio išraiška, parodanti, kiek pakinta termometrinio kūno ilgis (arba kitas termometrinis parametras), temperatūrai pakitus vienu laipsniu. Tarp gausybės empirinių temperatūros matavimo skalių populiariausios yra Celsijaus, Farenheito, Reomiūro ir absoliutinė(Kelvino). Jos skiriasi temperatūrų atskaitos taškų pasirinkimu. Ryšys tarp jų ir Celsijaus temperatūros Tc yra toks: . Mokslo ir technikos pasaulyje populiariausia yra SI termodinaminė temperatūros skalė. Ji sudaryta termometrine medžiaga pasirenkant idealiąsias dujas, o atskaitos tašku – vandens trigubojo taško temperatūrą, lygią 273,16 tos skalės temperatūros vienetų. Temperatūra apibrėžiama pagal dujų slėgio izochorinio proceso metu didumą p: . (73) Čia p0 yra idealiųjų dujų slėgis vandens trigubojo taško temperatūroje. Šios skalės temperatūros vienetu, kelvinu K, vadinama 1/273,16 dalis intervalo tarp vandens trigubojo taško ir absoliutinio nulio temperatūrų. Molekulinė kinetinė teorija suteikia temperatūrai gilesnę nei empiriškai apčiuopiamą prasmę. Ją galime įžvelgti palygindami idealiųjų dujų būsenos (64) lygtį, parašytą vieno molio dujoms, ir pagrindinę molekulinės kinetinės teorijos lygtį (68), padaugintą iš vieno molio tūrio Vμ. Lygindami gautųjų lygčių ir dešiniąsias puses matome, kad vidutinis kvadratinis greitis yra temperatūros funkcija: . Šią formulę buvome užrašę be įrodymo kalbėdami apie Maksvelo pasiskirstymą (57 psl.). Norėdami apskaičiuoti vidutinę molekulės kinetinę energiją, vidutinio kvadratinio greičio kvadratą padauginame iš pusės molekulės masės: . (74) Molekulinės teorijos požiūriu temperatūra yra atskiros molekulės ar jų visumos vidutinės judėjimo (kinetinės) energijos matas. Todėl kartais fizikai vartoja temperatūros sąvoką, apibrėždami įvairias energines situacijas: pvz., „karštieji elektronai“ puslaidininkių fizikoje yra neįprastai aukštos energijos elektronų plazma; „šiltieji neutronai“ atominiuose reaktoriuose yra gerokai mažesnės energijos neutronai, nei ką tik išlėkę iš branduolio; „neigiamos temperatūros“ lazeriuose susidaro, kai elektronų su didesne energija yra daugiau nei su mažesne. 26 23. Pernešimo reiškiniai nepusiausvirose termodinaminėse sistemose. Molekulinė kinetinė teorija aiškina, kokiu būdu vieni kūnai šilumą (vidinę energiją) perduoda kitiems. Paaiškėjo, kad, be šilumos perdavimo, dujose vyksta dar keli reiškiniai. Tai klampa ir difuzija, kurių aiškinimas yra ganėtinai panašus į šilumos pernešimo. Todėl visi šie reiškiniai vadinami pernešimo reiškiniais. Bendras jų bruožas yra tas, kad jie vyksta, kai sistemos būsena yra nepusiausviroji, t.y. kai sistemoje yra sudarytas vienokių ar kitokių (žr. lentelę) savybių nevienodumas, kurį aprašome šias savybes apibūdinančių dydžių (tankio ar koncentracijos, greičio, temperatūros) gradientais. (Funkcijos gradientas  tai vektorius, kurio projekcijos Dekarto koordinačių sistemos ašyse yra tos skaliarinės funkcijos dalinės išvestinės (23 psl.). Jis nukreiptas sparčiausio funkcijos didėjimo kryptimi. Pavyzdžiui, temperatūros gradientas tam tikrame erdvės taške parodo, kuria kryptimi sparčiausiai kinta temperatūra ir keliais laipsniais ji pakistų kas metrą.) Praėjus laiko tarpui, vadinamam relaksacijos trukme, paliktos savieigai nuo pusiausvyros nukrypusios sistemos grįžta į pusiausvyros būseną. Pernešimo reiškiniai surašyti į pateiktą lentelę. Reiškinys Pernešamas dydis Charakteringoji lygtis Difuzija masė (Fiko dėsnis) Klampa (vidinė trintis) impulsas (judesio kiekis) (Niutono dėsnis) Šilumos laidumas energija (Furjė dėsnis) Aptarsime vienmačius reiškinių atvejus, kai gradientinis, pernešimą lemiantis parametras kinta tik viena (z) kryptimi. Difuzija. Kai susidaro medžiagos tankio  gradientas , priešinga (minuso ženklas Fiko dėsnyje) gradientui kryptimi judančios ir besimaišančios dujos perneša masę dm, kuri priklauso nuo dujų sąlyčio ploto dS, laiko d ir dujų sąvybių. Pastarąją priklausomybę išreiškia difuzijos koeficientas D, kuris lygus medžiagos masei, difundavusiai per ploto vienetą ir per laiko vienetą, kai sudarytas vienetinis tankio gradientas. Difuzija vyksta skysčiuose ir kietuosiuose kūnuose, tik jų difuzijos koeficientai yra mažesni nei dujų. Klampa. Vidinę trintį skysčiuose ar dujose lemia molekulių impulso (judesio kiekio) pernešimas skersai dujų judėjimo krypčiai, kai sudarytas sluoksnių judėjimo greičio gradientas dv/dz. 42 pav. pavaizduotas klampos (vidinės trinties) susidarymas. Kai x kryptimi nevienodais greičiais juda sluoksniai ir sudarytas greičio gradientas z kryptimi dv/dz, kiekvieną sluoksnį, kurio plotas dS, veikia jėga dF, kuri priklauso nuo ploto dS, greičių gradiento dv/dz ir dujų ar skysčių savybių, kurias atspindi dinaminis klampos koeficientas . Jo fizikinę prasmę galima perskaityti iš antrosios (Niutono) lygties lentelėje: jis parodo klampos jėgą, veikiančią vienetinį skysčio plotą, kai skystyje sudarytas vienetinis greičių gradientas. 42 pav. Vidinės trinties susidarymas Skysčio sluoksnių molekulės, judėdamos x kryptimi kartu su sluoksniais įvairiais greičiais v, dėl šiluminio judėjimo peršoka iš vieno sluoksnio į kitą. Greičiau judančio sluoksnio molekulės padidina lėčiau judančio sluoksnio impulsą ir atvirkščiai  lėčiau judančio sluoksnio molekulės sumažina greičiau judančio sluoksnio impulsą. Tokie impulso pasikeitimai pagal antrąjį Niutono dėsnį yra ekvivalentiški klampos jėgos veikimui: greitesnius sluoksnius ji stabdo, o lėtesnius  greitina. Šiluminis laidumas. Jei vienoje srityje kūno molekulės turi daugiau kinetinės energijos nei kitoje, t. y. kūne sudarytas temperatūrų gradientas dT/dz, atsiranda šilumos srautas (energija per laiko vienetą), plūstantis iš karštesnės kūno dalies į šaltesnę. Per laiką d ir per plotą dS perneštos šilumos kiekis dQ priklauso (Furjė lygtis lentelėje) nuo temperatūros gradiento dT/dz ir kūno, per kurį pernešama šiluma, šiluminio laidumo, kurį nusako jo šiluminio laidumo koeficientas K. Molekulinė kinetinė teorija susieja difuzijos, klampos koeficientą ir laidumo koeficientus tarpusavyje ir su mikroskopiniais molekulių parametrais: laisvuoju lėkiu , vidutiniu greičiu ir makroskopinėmis kūno savybėmis: tankiu  ar specifine šiluma cv bei leidžia numatyti šių koeficientų priklausomybę nuo temperatūros ar slėgio. Kiekybiniam reiškinių nagrinėjimui reikia apibrėžti pagrindinius molekulinį judėjimą apibūdinančius dydžius ir nustatyti, kurie iš jų lemia vieną ar kitą pernešimo reiškinį. Paprasčiausias modelis yra toks, kuriame molekulės laikomos baigtinio didumo rutuliukais, kurių skersmuo d (maždaug 10-8 cm), ir kurios judėdamos susiduria, nulėkdamos skirtingus atstumus. Tuos atstumus suvidurkinus gaunama molekulių judėjimo charakteristika – laisvasis lėkis . Manoma, kad molekulė juda vidutiniu greičiu (žr. taip pat 10 pav.) , o kitos molekulės laikomos nejudančiomis. Judanti molekulė M (43 pav.) per laiko vienetą gali užkliudyti kitas (m, bet ne p) molekules, kurių masių centrai yra apibrėžto ritinio viduje. To ritinio aukštinė yra skaitmeniškai lygi vidutinio greičio didumui , o spindulys lygus molekulės skersmeniui d. 43 pav. Standžių rutuliukų susidūrimų skaičiaus skaičiavimui Smogiančioji molekulė nuskrieja l= atstumą susidurdama su N dalelių, esančių minėtame ritinyje. Jei dalelių koncentracija yra n, per laiko vienetą įvykusių susidūrimų skaičius galėtų būti N=πd2 n, tačiau būtina atsižvelgti į tai, kad ir kitos molekulės juda, o molekulių greičiams galioja Maksvelo pasiskirstymas, todėl reliatyvusis M molekulės greitis judančių m molekulių atžvilgiu yra didesnis nei . Taigi susidūrimų skaičius yra N=πd2 n. Vidutinis lėkis yra N kartų mažesnis nei per laiko vienetą nulekiamas atstumas : . (104) Normaliomis sąlygomis ore yra n1025 m–3 molekulių, v yra apie 500 m/s, d yra apie 10–10 m, todėl laisvasis lėkis yra apie 10–8 m, o per sekundę molekulė smūgiuoja į kitas apie milijardą kartų. Pernešimo reiškinių charakteristikos yra tampriai susijusios: difuzijos koeficientas D priklauso tik nuo molekulių vidutinio greičio ir laisvojo lėkio , klampos koeficientas η dar ir nuo medžiagos tankio ρ: , o šiluminio laidumo koeficientas K dar ir nuo medžiagos šiluminės talpos, kurią atspindi specifinė šiluma cv: . Todėl . Kadangi vidutinis molekulės greitis yra proporcingas , o koncentracija – atvirkščiai proporcinga temperatūrai T (Klapeirono lygtis), todėl kai slėgis p pastovus, D yra proporcingas T3/2. Analogiškai samprotaujant galima parodyti, kad kai temperatūra yra pastovi, difuzijos koeficientas D yra atvirkščiai proporcingas slėgiui p, bei tai, kad dujų dinaminės klampos  ir šilumos laidumo K koeficientai nepriklauso nuo slėgio p ir didėja (!) proporcingai temperatūros kvadratinei šakniai . Tai gana gerai patvirtina ir eksperimentiniai duomenys. Pernešimo reiškiniai skysčiuose ir kietuosiuose kūnuose gali būti aprašomi panašiomis lygtimis, bet proporcingumo koeficientus jose lemia kitos priežastys, nes pernešimo mechanizmai dujose ir skysčiuose bei kietajame kūne yra nevienodi. Skysčių savybės yra panašios tiek į dujų, tiek į kietųjų kūnų, tačiau dujose molekulės juda chaotiškai, o kristaliniuose kietuosiuose kūnuose dalelės virpa apie pusiausvyros padėtis, vadinamas kristalinės gardelės mazgais. Skysčio molekulės irgi svyruoja apie pusiausvyros padėtis, kurios pačios irgi juda. Skysčiams yra būdinga artimoji tvarka, kuri suyra tolstant nuo „centrinės“ molekulės. Kad skysčiuose vyktų difuzija, molekulė atitrūkdama nuo ją supančių molekulių turi nugalėti didesnį ar mažesnį energinį barjerą W, todėl skysčių . Tai susiję su tuo, kad molekulių judėjimo vidutinis greitis yra nedidelis ir labai priklauso nuo temperatūros: . Molekulių greitis skysčiuose didėja kylant temperatūrai. Todėl skysčių difuzijos koeficientas artėja prie suslėgtųjų dujų difuzijos koeficiento. Krizinei temperatūrai artimoje temperatūroje vidinę trintį skysčiuose taip pat galima paaiškinti kaip ir dujose. Aukštesnėse (artimose lydymosi T) temperatūrose skysčių klampumo negalima laikyti molekulių tvarkingo judėjimo impulso pernešimo pasekme. Jų klampa mažėja kylant temperatūrai (priešingai negu dujų), nes kinta molekulių judrumas (greitis, kurį suteikia vienetinė jėga, veikianti skysčio molekulę): . Ji priklauso tik nuo tankio. Modeliuoti ir kiekybiškai apskaičiuoti šiluminį skysčių laidumą, nors ir susijusį su molekulių sąveika, yra gana sudėtinga. Difuzija kietuosiuose kūnuose yra susijusi su kristalinės gardelės mazguose esančių atomų migracija į greta esančius tuščius gardelės mazgus (vakansijas) arba su galimu atomų judėjimu (įgijus pakankamai virpesių energijos) gardelės tarpmazgiais. Šiluminis laidumas kietuosiuose kūnuose (ypač dielektrikuose) yra ne atomų šiluminio maišymosi, bet sąveikaujančių atomų kolektyvinius virpesius atitinkančių kvazidalelių (tampriųjų bangų energinių kvantų–porcijų), vadinamųjų fononų, šiluminio judėjimo pasekmė. 28 12. Adiabatinis procesas ir dujų darbas jo metu. Dujų slėgimo ar plėtimosi procesai, kurie vyksta termiškai izoliuotoje nuo aplinkos dujų sistemoje, negaunančioje iš aplinkos ir neperduodančioje jai šilumos (dQ=0), yra adiabatiniai procesai. Į juos panašūs yra visi spartūs procesai dujose: garso bangų sklidimas arba kai kurie procesai, vykstantys šaldytuvuose ar vidaus degimo varikliuose. Iš pirmojo termodinamikos dėsnio, kuriame dQ = 0, išplaukia, kad adiabatinio proceso metu visas sistemos darbas dA atliekamas vidinės energijos dU sąskaita (dA= – dU). Į šią lygtį įrašę darbo (79) ir vidinės energijos pokyčio (84) išraiškas gauname, kad (*). Kadangi , tai . Gautą iš pastarosios lygties dT vertę įrašę į (*) gauname, kad . Atskyrę kintamuosius ir pažymėję molinių šilumų santykį  = Cp/Cv gauname, kad . Po integravimo (laisvąja konstanta pasirinkus ln const) antilogaritmuodami gauname Puasono lygtį adiabatiniam procesui: . (90) Ši ir iš jos gaunamos lygtys (77 e, f) yra adiabatinio proceso lygtys. Grafiškai (pV) ašyse (90) lygtį vaizduojančios kreivės polinkis yra  kartų didesnis už izotermės, einančios per konkretų tašką, polinkį. Adiabatinio proceso metu atliktas darbas yra apskaičiuojamas taip: (91) Šios (91) lygtys tinka ir politropinio proceso metu atliktam darbui skaičiuoti: tereikia vietoj γ įrašyti politropės rodiklį n (išskyrus izoterminį procesą (n=1), kuriam taikoma (81) lygtis). Adiabatinio proceso metu atliktam darbui apskaičiuoti kartais patogu pasinaudoti ir tuo, kad procesas vyksta vidinės energijos sąskaita ir todėl  molių dujų atliktas darbas gali būti apskaičiuotas ir taip: . (92) Pasitelkus (77 e, f) ir (92) galima gauti dar dvi darbo skaičiavimo formules, kuriose vidinės energijos pokytis būtų išreiškiamas slėgio ar tūrio pakitimais. Adiabatinis suspaudimas ir išsiplėtimas yra du procesai iš keturių, sudarančių idealiausią procesų seką, vadinamą Karno ciklu. Norėtume pabrėžti, kad adiabatinis procesas idealiosiose ir realiosiose dujose vyksta nevisiškai vienodai. Jei idealiosios dujos negaudamos šilumos adiabatiškai plečiasi į vakuumą neatlikdamos darbo, iš pirmojo termodinamikos principo (78) (dQ=(U2U1)+dA) išplaukia, kad jų vidinė energija nepakinta: U2=U1, o tai reiškia, kad nekinta ir jų temperatūra, tai realiųjų dujų (88) vidinei vieno molio (m=M) energijai nekintant (!) (U2=U1 ir šiuo atveju) tokio plėtimosi metu jų temperatūra pasikeičia: .Tai reiškia, kad išsiplėsdamos į tuštumą realiosios dujos net ir neatlikdamos darbo ataušta. Šis reiškinys paaiškinamas tuo, kad tokioms dujoms plečiantis (didėjant tarpmolekuliniams atstumams) darbas prieš molekulių traukos jėgas atliekamas vidinės energijos kinetinės dalies sąskaita. Iš esmės taip realiosios dujos atšąla šaldymo įrenginiuose arba dujų skystinimo įrenginiuose, kurių veikimas pagrįstas Džaulio ir Tompsono reiškiniu dujų droseliuose, kai dujos adiabatiškai stumiamos pro akytąją pertvarą, kurios įvairiose pusėse slėgis labai (iki šimtų atmosferų) skiriasi. 29-30 13. Idealiosios šiluminės mašinos tiesioginis ir atvirkštinis Karno ciklai. Cikliniu procesu arba ciklu vadinamas toks procesas, po kurio termodinaminė sistema sugrįžta į tą pačią būseną. Ciklai pVT diagramose vaizduojami uždaromis kreivėmis. Atlikusios ciklą dujos atlieka darbą nepakeisdamos savo vidinės energijos. Taigi pagal pirmąjį termodinamikos dėsnį turime: ΔQ = ΔU + A = A. Termodinaminis procesas vadinamas grįžtamuoju, jei gali vykti tiek tiesiogine (dujų atliktas darbas A), tiek atbuline kryptimis (A0), o sugrįžus į pradinę būseną nelieka jokių sistemos pokyčių. Pusiausvirieji procesai, kuriuos sudaro pusiausvyros būsenų seka, yra grįžtamieji. Visi realieji procesai dėl trinties ir kitų energinių nuostolių yra negrįžtamieji. Grįžtamieji procesai yra realiųjų procesų idealizacija padedanti geriau suvokti realiuosius procesus ir juos apskaičiuoti. Šiluminės technikos ir termodinamikos mokslui labai svarbus yra iš grįžtamųjų procesų susidedantis Karno ciklas, kurį nagrinėjant galima suprasti šiluminių variklių darbo ir antrojo termodinamikos dėsnio esmę. Karno ciklą (39 pav.) sudaro du izoterminiai (12 ir 34) bei du adiabatiniai (23 ir 41) procesai. Teoriniu požiūriu šie procesai yra ekonomiškiausi šilumos sąnaudų ir darbo išgavimo prasme: izoterminio šildymo metu dujos plečiasi paversdamos visą iš kaitintuvo gautą šilumos kiekį Q1 darbu A12, o adiabatinio proceso metu darbas A23 atliekamas sistemos vidinės energijos sąskaita. Dujos, gaudamos šilumos, iš (p1,V1,T1) būsenos izotermiškai plečiasi iki (p2,,V2,,T1), o po to ataušdamos adiabatiškai plečiasi iki (p3 ,V3 ,T2). 39 pav. Karno ciklas pV (a) ir TS (b) koordinatėse Antrojo izoterminio proceso metu dujos, atiduodamos aušintuvui šilumą Q2 ir atlikdamos neigiamą darbą, suspaudžiamos iki (p4, V4, T2) ir galiausiai adiabatiškai suspaudžiamos ir grąžinamos į pradinę būseną (p1, V1, T1). Ciklo metu atliktas darbas apskaičiuojamas sumuojant visų procesų metu atliktą darbą: . (93) Kadangi iš (92) lygties išplaukia, kad adiabatinių procesų 23 ir 41 metu atlikti darbai savo didumu yra lygūs ir priešingų ženklų(nes vieną kartą dujos adiabatiškai plečiasi ataušdamos nuo T1 iki T2, o antrą kartą  įkaisdamos nuo T2 iki T1), todėl norėdami įvertinti visą ciklo metu atliktą darbą turime apskaičiuoti pagal (81) lygtį tik izoterminių procesų metu atliktus darbus A12 ir A34 (medžiagos kiekis yra ν=m/M) ir juos sudėti: Gauname: . (94) Čia įvertinta tai, kad antrojo izoterminio proceso metu darbas yra neigiamas, nes dujos yra suspaudžiamos. Pasitelkę adiabatinių procesų 23 ir 41 lygtis , gauname, kad V2/V1= V3/V4. Tada . (94 a) Bet kokio variklio šiluminis naudingumo koeficientas  yra . (95) Įrašę į (95) darbo, atlikto viso ciklo metu, vertę (94 a), ir vertę darbo, atlikto 12 izoterminio proceso metu šilumos gavimo sąskaita, kuris lygus Q1, gauname, kad idealaus šiluminio variklio, atliekančio Karno ciklą, naudingumo koeficientas priklauso tik nuo kaitintuvo T1 ir aušintuvo T2 temperatūrų: . (96) Palyginę (95) ir (98) formules matome, kad grįžtamajam Karno ciklui (39 pav.) galioja . (97) Realių šiluminių įrenginių naudingumo koeficientas dėl papildomų trinties, šilumos nutekėjimo į aplinką ir kitų nuostolių yra dar mažesnis, nei idealiosios šiluminės mašinos, dirbančios pagal Karno ciklą. Taip yra ir kai šiluminiame variklyje vyksta negrįžtamasis ciklas. Tada galioja . (98) 40 pav. Šiluminio variklio (a) ir šaldymo įrenginio (b) schemos Aptartasis Karno ciklas yra pusiausvirasis, todėl jį galima atlikti atvirkščia tvarka – 39 pav. ją sudarytų 14321 procesų seka, kuri vadinama atvirkštiniu Karno ciklu. Jo metu dujos plečiasi paimdamos iš žemesnės temperatūros kūno šilumos kiekį Q2, o išorinių jėgų veikiamos (jėgos dujų atžvilgiu atlieka darbą A) ir suspaudžiamos perduoda karštesniam kūnui šilumos kiekį Q1=A+Q2. Taip dirba šaldymo mašina (40 b pav.) – šaldomas žemesnės temperatūros kūnas. Jei atiduotą šilumos kiekį laikysime neigiamu, o gautą – teigiamu, tai Q10 ir A

Daugiau informacijos...

★ Klientai rekomenduoja

Šį rašto darbą rekomenduoja mūsų klientai. Ką tai reiškia?

Mūsų svetainėje pateikiama dešimtys tūkstančių skirtingų rašto darbų, kuriuos įkėlė daugybė moksleivių ir studentų su skirtingais gabumais. Būtent šis rašto darbas yra patikrintas specialistų ir rekomenduojamas kitų klientų, kurie po atsisiuntimo įvertino šį mokslo darbą teigiamai. Todėl galite būti tikri, kad šis pasirinkimas geriausias!