Aibių teorija ir logika

AIBIŲ TEORIJOS IR LOGIKOS PRADŽIAMOKSLIS Įvadas Logika (gr. Logikẽ) – tai mokslas apie priimtinus samprotavimo būdus. Su logikos sąvoka tradiciškai siejami trys pagrindiniai šios sąvokos aspektai: • Ontologinis – daiktų logika, reiškianti būtiną tikrovės objektų sąryšį (Demokritas); • Gnoseologinis – pažinimo logika, reiškianti sąveikų, kuriomis suvokiama esmė ir tiesa, sąryšį (Platonas); • Loginis – įrodymų ir paneigimų logika, tirianti mąstymą jo formos požiūriu (t.y. teiginius, samprotavimus ir pan.) ir teisingų išvadų gavimą grindžianti vien samprotavimų logine forma ir nesigilinant, ar nagrinėjami teiginiai ir samprotavimai išreiškia esmę ir tiesą ar ne (Aristotelis). Pirmieji du aspektai priskiriami filosofijai ir dialektinei logikai, o trečiasis – matematinei logikai. Matematinės logikos pagrindų vystymas tapo itin aktualus XX a. pradžioje, kai buvo intensyviai nagrinėjami matematinės logikos pagrindai, gimė aibių teorija, buvo tikslinama algoritmo sąvoka ir pan. Tačiau matematinės logikos svarba nusakoma ne vien jos taikymais matematikoje, nes logiškai mąstyti svarbu ne vien kiekvienoje mokslo šakoje, bet ir realioje kasdienybėje. Štai kodėl trečiasis logikos sąvokos aspektas dar yra vadinamas šiuolaikine logika. 1. Teiginių logika 1.1. Teiginio apibrėžimas ir pavyzdžiai. Elementarieji ir sudėtiniai teiginiai ir jų pavyzdžiai 1. Apibrėžimas. Teiginys – tai toks tvirtinimas, apie kurį galima pasakyti, kad jis yra teisingas arba klaidingas 2. Vadinasi, kiekvienas teiginys turi būti teisingas arba klaidingas. Teiginys negali būti vienu metu ir teisingas ir klaidingas. 3. Užduotis. Nusakyti kurie iš sekančių sakinių yra teiginiai, o kurie ne. Kurie iš teiginių yra teisingi? Klaidingi? • Beržas yra medis. • Dabar lyja. • Tenisas yra įdomesnis žaidimas už badmintoną. • Ar rytoj lis? • Skaičius 5 mažesnis už 7. • Du plius x daugiau už tris. • Skaičiaus π milijonasis skaitmuo po kablelio yra 5. 4. Apibrėžimas. Teiginiai kurių negalima išskaidyti į sudėtines dalis, kurios vėl būtų teiginiai vadinami elementariaisiais teiginiais. 5. Apibrėžimas. Sudėtiniais teiginiais vadinami teiginiai, kurie gaunami iš elementariųjų teiginių sujungiant juos loginėmis jungtimis «...ir...», «...arba...», «jeigu... , tai...», «... tada ir tik tada, kai...» Pavyzdžiai: • 6 dalijasi iš 3 (elementarusis teiginys); • 6 dalijasi iš 2 (elementarusis teiginys); • 6 dalijasi iš 2 ir 3 (sudėtinis teiginys. „6 dalijasi iš 2 ir 6 dalijasi iš 3“); • 6 dalijasi iš 2 arba 3 (sudėtinis teiginys. „6 dalijasi iš 2 arba 6 dalijasi iš 3“). 6. Įvairūs (iš «Matematika 7 kl.»). Kurie iš šių sakinių yra tvirtinimai? Kurie tvirtinimai yra teiginiai? • Kieme stovi autobusas • Sankt Peterburgas yra Rusijos sostinė • Valio! • Naujų metų naktį švies saulė • Ar mėgsti žvejoti? • Liūdnų žmonių daugiau nei linksmų • Visi paukščiai – vanagai • Žemė – vienintelė planeta, kurioje yra gyvybė • 2013 metais bus pasaulio pabaiga • Nemeluok! 7. Įvairūs (iš «Matematika 7 kl.»). Ar teisingi šie matematiniai teiginiai? • 12 + (-15) > 0 • -12 = (-1)2 • Kiekvienas lyginis skaičius dalinasi iš 2 • -33 = (-3)3 • x2 ≥ 0 • 0 · x = 1 • x + 3 ≥ 4, x N 1.2. Loginės operacijos su teiginiais. Teisingumo reikšmių funkcija ir lentelės Nagrinėsime penkias logines operacijas: neigimą, konjunkciją, disjunkciją, implikaciją ir ekvivalenciją atitinkančias logines jungtis «ne...», «...ir...», «...arba...», «jeigu... , tai...», «... tada ir tik tada, kai...». 1. Apibrėžimas. Teiginio neigimu yra vadinamas teiginys «Netiesa, kad » («ne »), kuris yra teisingas tada ir tik tada, kai yra neteisingas. Pavyzdys: «šiandien lyja», «šiandien nelyja». 2. Apibrėžimas. Dviejų teiginių ir konjunkcija yra vadinamas sudėtinis teiginys « ir », kuris yra teisingas tada ir tik tada, kai abu jį sudarantys teiginiai yra teisingi. Pavyzdys: « ir » yra klaidingas teiginys. 3. Apibrėžimas. Dviejų teiginių ir disjunkcija yra vadinamas sudėtinis teiginys «arba », kuris yra klaidingas tada ir tik tada, kai abu jį sudarantys teiginiai yra klaidingi. Pavyzdys: « arba » yra teisingas teiginys. 4. Apibrėžimas. Dviejų teiginių ir implikacija yra vadinamas sudėtinis teiginys «jeigu , tai », kuris yra klaidingas tada ir tik tada, kai yra teisingas, o - klaidingas. Pavyzdys: «Jei , tai klevas – lapuotis medis» yra teisingas teiginys. «Jei klevas – lapuotis medis, tai » - teiginys klaidingas. 5. Apibrėžimas. Dviejų teiginių ir ekvivalencija yra vadinamas sudėtinis teiginys «tada ir tik tada, kai », kuris yra teisingas tada ir tik tada, kai ir teisingumo reikšmės sutampa, ir klaidingas, kai jos skiriasi. Pavyzdys: Teiginys «35 yra sveikojo skaičiaus kvadratas tada ir tik tada kai 10 dalijasi iš 7» yra teisingas. 6. Apibrėžimas. Teiginių aibėje apibrėžtą funkciją vadinsime teisingumo reikšmių funkcija, jei , kai teiginysyra teisingas ir kai teiginys yra klaidingas. 7. Teisingumo reikšmes yra patogu vaizduoti teisingumo reikšmių lentelėmis: 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 8. Užduotys: Teisingumo reikšmių lentelių pagalba įrodyti de Morgano dėsnius • ir ; Teisingumo reikšmių lentelių pagalba įrodyti kontrpozicijos dėsnį: • . Nustatyti šio reiškinio teisingumo reikšmę: • [sakinys «Skaičius yra mažesnis už 3» yra teiginys] Teisingumo lentelės pagalba įrodyti silogizmo dėsnį: • 9. Namų darbų užduočių sprendimas. 1. Nustatykite šių teiginių teisingumo reikšmes: 1) teiginys p Lygiapločių trikampių aukštinės lygios. p) = 0 2) teiginys p Sakinys „Skaičius  mažesnis už 3“ yra teiginys p) = 1 3) teiginys p Visi šios užduoties sakiniai yra teiginiai. p) = 1 2. Sudarykite nurodytų teiginių neiginius. Nustatykite tų teiginių ir jų neiginių teisingumo reikšmes. 1) teiginys p Lygtis 3x2-4x-5=0 turi realią šaknį. p) = 1 neiginys Ne tiesa, kad lygtis 3x2-4x-5=0 turi realią šaknį. ) = 0 2) teiginys p Ne į kiekvieną trikampį galima įbrėžti apskritimą. p) = 0 neiginys Į kiekvieną trikampį galima įbrėžti apskritimą. ) = 1 3) teiginys p Yra tokia  reikšmė, kad cos 2 ≠ cos2  - sin2 . p) = 0 neiginys Nėra tokios  reikšmės, kad cos 2 ≠ cos2  - sin2 . ) = 1 4) teiginys p 4224 p) = 1 neiginys 42>24 ) = 0 5) teiginys p Nėra tokios kvadratinės lygties, kurios šaknų suma būtų lygi jos laisvajam nariui. p) = 0 neiginys Yra tokia kvadratinė lygtis, kurios šaknų suma būtų lygi jos laisvajam nariui. ) = 1 3. Sudarykite teiginių p ir q disjunkciją, konjunkciją, abi implikacijas ir ekvivalenciją. Suformuluokite jas žodžiais. Raskite nurodytųjų ir sudarytųjų teiginių teisingumo reikšmes. 1) p – „32-4“, q – „Lygtis x2-3x+5=0 turi realią šaknį“. Teiginių loginė simbolika: p – „32-4“, p)= 0; q – „Lygtis x2-3x+5=0 turi šaknį, q)= 0; pq  „32-4 arba lygtis x2-3x+5=0 turi realią šaknį“, pq)= 0, pq  „32-4 ir lygtis x2-3x+5=0 turi realią šaknį“, pq)= 0, pq „Jeigu 32-4, tai lygtis x2-3x+5=0 turi realią šaknį“, pq)= 1, qp „Jeigu lygtis x2-3x+5=0 turi realią šaknį, tai 32-4“, qp)= 1, pq „32-4 tada ir tik tada, kai lygtis x2-3x+5=0 turi realią šaknį“, pq)= 1. Teiginių p ir q teisingumo reikšmių lentelė: p q pq pq pq qp pq 0 0 0 0 1 1 1 2) p – „Į kiekvieną trikampį galima įbrėžti apskritimą“, q – „Ne apie kiekvieną trikampį galima apibrėžti apskritimą“. Teiginių loginė simbolika: p – „Į kiekvieną trikampį galima įbrėžti apskritimą“, p)= 1, q – „Ne apie kiekvieną trikampį galima apibrėžti apskritimą“, q)= 0, pq  „Į kiekvieną trikampį galima įbrėžti apskritimą arba ne apie kiekvieną trikampį galima apibrėžti apskritimą“, pq)= 1, pq  „Į kiekvieną trikampį galima įbrėžti apskritimą ir ne apie kiekvieną trikampį galima apibrėžti apskritimą“, pq)= 0, pq „Jeigu į kiekvieną trikampį galima įbrėžti apskritimą, tai ne apie kiekvieną trikampį galima apibrėžti apskritimą“, pq)= 0, qp „Jeigu ne apie kiekvieną trikampį galima apibrėžti apskritimą, tai į kiekvieną trikampį galima įbrėžti apskritimą“, qp)= 1, pq „Į kiekvieną trikampį galima įbrėžti apskritimą tada ir tik tada, kai ne apie kiekvieną trikampį galima apibrėžti apskritimą“, pq)= 0. Teiginių teisingumo reikšmių lentelė: p q pq pq pq qp pq 1 0 1 0 0 1 0 4. Sudarykite šių formų teisingumo lenteles: 1) p q pq 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 2) p q r 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 3) p q 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 4) p q r pq qr pr 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0  p q r pq 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0  p q r 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0  p q r 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0  p q r 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0  p q r 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0  p q r 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1.3. Loginės formos ir jų ekvivalentumas Iš 1.2 paragrafo matome, kad sudėtiniai teiginiai gaunami iš elementariųjų, sujungiant juos loginėmis jungtimis. Apibrėžimas. Sudėtiniai teiginiai , , , , dar yra vadinami pagrindinėmis loginėmis formomis. Į pagrindines logines formas vietoj raidžių vėl įrašius elementariuosius ar sudėtinius teiginius gausime naujus teiginius, kurie yra vadinami loginėmis formomis. Pavyzdys: , , yra loginės formos. • Logines formas žymėsime panašiai kaip funkcijas. Pavyzdys: , Apibrėžimas. Loginės formos ir , kurių teisingumo reikšmių lentelės sutampa, vadinamos logiškai ekvivalenčiomis. Pavyzdys: , jei jų teisingumo reikšmių lentelės sutampa. Apibrėžimas. Loginė forma, kurios teisingumo reikšmės lygios 1 imant bet kurias jos kintamųjų teisingumo reikšmes, vadinama tautologija ir žymima . Pavyzdys: . Apibrėžimas. Loginė forma, kurios teisingumo reikšmės lygios 0 imant bet kurias jos kintamųjų teisingumo reikšmes, vadinama tapačiai neteisinga arba loginiu nuliu. Pavyzdys: Apibrėžimas. Kiekvieną tautologiją vadiname logikos dėsniu. Pavyzdžiuose pateiktatautologija vadinama negalimo trečiojo dėsniu, o - prieštaravimo dėsniu. Kitų dėsnių pavyzdžiai: • - dvigubo neigimo dėsnis • , - idempotencijos dėsnis • - kontrpozicijos dėsnis • ir - de Morgano dėsniai • - silogizmo dėsnis Namų darbų užduočių sprendimas. Patikrinkite, ar šios poros logiškai ekvivalenčios: 1) p  (q  r) ir (p  q)  r p q r qr p(qr) pq (pq)r 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 Išvada: (p  (q  r)) ((p  q)  r) 2) (p  q)  (p  r) ir p  (q  r) p q r p  q p  r (p  q)  (p  r) q  r p  (q  r) 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 3) (p  r)  (q  r) ir (p  q)  r p q r p  r q  r p  r)  (q  r) p  q p  q)  r 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 Išvada: ((p  r)  (q  r)) ((p  q)  r) 4) (p  r)  (q  r) ir (p  q)  r p q r p  r q  r (p  r)  (q  r) p  q (p  q)  r 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 Išvada: ((p  r)  (q  r)) ((p  q)  r) 5) (q  )  ir q  p p q q  (q  )  q  p 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 Išvada: ((q  )  ) (q  p) 6) ir p q r 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 Išvada: 7) (p  q)  (q  r) ir p  q p q r p  q q  r (p  q)  (q  r) p  q 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 Išvada: ((p  q)  (p  r)) p  q 8) p  q  ir  q  p p q p  q   q  p 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 Išvada: (p  q  ) (  q  p) O 9) (p  q)  (r  q) ir (p  r)  q p q r p  q r  q (p  q)  (r  q) p  r (p  r)  q 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Išvada: ((p  q)  (r  q)) (p  r)  q 10) (  q)  (r  ) ir (p  r)  q p q r  q r   q)  (r  ) p  r p  r)  q 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 Išvada: ((  q)  (r  )) ((p  r)  q) 1.4 Predikatas. Aibė apibrėžiama predikatu 1. Kaip jau matėme, yra sakinių, kurie nėra teiginiai. Pavyzdžiui: • Ar rytoj lis? • ; • yra status. 2. Pirmame sakinyje klausiama, o kituose dviejuose kažkas teigiama. Tačiau kas teigiama – tiesa ar netiesa – nustatyti negalima, nes juose veiksnys yra kintamasis. 3. Apibrėžimas. Predikatu vadinamas sakinys su vienu ar keliais kintamaisiais, kuris tampa teiginiu, kai vietoj kintamojo(-ųjų) įrašomos konkrečios reikšmės. 4. Predikatus žymėsime didžiosiomis raidėmis, tarp skliaustų nurodydami į juos įeinančius kintamuosius. Pavyzdžiui: 2 pavyzdyje - , 3 pavyzdyje - . 5. Turėdami kokį nors predikatą , jo reikšmių visumą galime skirti į dvi dalis: į tuos , su kuriais yra teisingas teiginys, ir į tuos , su kuriais yra klaidingas. Apibrėžimas. Aibė {yra teisingas} yra vadinama aibe, apibrėžiama predikatu P(x) 6. Pavyzdys: . Tada {yra teisingas}= 7. Pažymėsime, kad vidurinėje mokykloje sprendžiamos lygtys, nelygybės ir jų sistemos yra sakiniai su kintamaisiais, taigi, predikatai. Jas sprendžiant ieškoma atitinkamais predikatais apibrėžtų aibių. 8. Pavyzdžiai: 1) Geometriškai pavaizduoti plokštumoje aibę apibrėžiamą predikatu P(x,y), Sprendimas: 2) Reikia patikrinti ar taškas 0 priklauso aibei, apibrėžiamai predikatu . Sprendimas: Kadangi , tai 8. Namų darbų užduočių sprendimas. Nustatykite, kurie sakiniai yra teiginiai, kurie – predikatai: 1) Vilniuje yra kinoteatras „Skalvija“. teiginys 2) Kinoteatras „Skalvija“ yra Vilniuje. teiginys 3) Kur yra kinoteatras „Skalvija“? klausimas, ne teiginys 4) a

Daugiau informacijos...

★ Klientai rekomenduoja

Šį rašto darbą rekomenduoja mūsų klientai. Ką tai reiškia?

Mūsų svetainėje pateikiama dešimtys tūkstančių skirtingų rašto darbų, kuriuos įkėlė daugybė moksleivių ir studentų su skirtingais gabumais. Būtent šis rašto darbas yra patikrintas specialistų ir rekomenduojamas kitų klientų, kurie po atsisiuntimo įvertino šį mokslo darbą teigiamai. Todėl galite būti tikri, kad šis pasirinkimas geriausias!